Appunti di Matematica 4
- I numeri complessi -
148
I numeri complessi
Abbiamo visto come dall’insieme N dei numeri naturali si passi all’insieme Z dei numeri relativi
per poter effettuare sempre la sottrazione e poi all’insieme Q dei numeri razionali per poter
effettuare sempre la divisione naturalmente con divisore diverso da zero).
Abbiamo infine ampliato il nostro insieme numerico con i numeri “irrazionali” cioè con i numeri
decimali illimitati aperiodici ( π,2 ecc.) ottenendo così l’insieme R dei numeri reali.
Ma i matematici non si sono fermati ai numeri reali ed hanno ampliato anche R definendo
l’insieme C dei numeri “complessi”.
Nel 1545 il matematico italiano Girolamo Cardano aveva pubblicato nella sua opera Ars Magna
la formula risolutiva delle equazioni di terzo e quarto grado ( gli “scopritori” di tali formule erano
stati altri matematici quali Scipione Del Ferro, Tartaglia e Ferrari).
Ma in certi casi la formula risolutiva delle equazioni di terzo grado sembrava non funzionare…
Per esempio considerando l’equazione 04153 =−− xx , si verifica facilmente che x = 4 è
soluzione mentre applicando la formula risolutiva si ottengono radici quadrate di numeri
negativi…
Fu il matematico Raffaele Bombelli a proporre di operare sulle radici quadrate di numeri negativi
trattandole come “quantità silvestri” (letteralmente “selvatiche”) svolgendo i calcoli con esse fino
ad arrivare al risultato.
Il termine di numeri immaginari fu coniato solo in seguito da Cartesio.
Inizialmente ci fu molta diffidenza verso questi nuovi numeri e lo stesso Bombelli che li aveva
introdotti li considerava essenzialmente artifici per risolvere alcuni problemi.
Appunti di Matematica 4
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149
Solo alla fine del Settecento i numeri complessi , espressi dalla scrittura bia + con Rba ∈, e
1−=i cioè 12 −=i , vennero riconosciuti come vero e proprio insieme numerico (contenente
l’insieme dei numeri reali) e fu il matematico Eulero, nel 1777, a indicare 1− con il simbolo i .
Il matematico Gauss ideò la rappresentazione geometrica dei numeri complessi associando al
numero complesso bia + il punto ( )ba, del piano (fissato un sistema di riferimento cartesiano
ortogonale).
Alla fine dell’Ottocento ci fu la prima applicazione dei numeri complessi alla realtà: i numeri
complessi furono utilizzati per sviluppare la teoria delle correnti alternate.
Ma ripartiamo dalla definizione.
Definizione di numero complesso
(espresso in forma algebrica)
Chiamiamo numero complesso z , espresso in forma algebrica, l’espressione
biaz += con Rba ∈, e 12 −=i
a viene detta “parte reale”
bi viene detta “parte immaginaria” (b è chiamato coefficiente della parte immaginaria).
Osservazione
Se 0=a abbiamo quello che viene chiamato “numero immaginario”;
se 0=b abbiamo un numero reale.
Quindi i numeri reali sono numeri complessi aventi coefficiente nullo della parte immaginaria e
diciamo quindi che l’insieme C è un’estensione di R.
Definizione
Due numeri complessi del tipo bia + e bia − aventi cioè la stessa parte reale e parti immaginarie
opposte si dicono numeri complessi “coniugati”.
Se per esempio consideriamo le soluzioni in campo complesso dell’equazione 012 =++ xx
abbiamo due soluzioni complesse coniugate:
2
31
2
31
2
4112,1
iz
±−=−±−=−±−=
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- I numeri complessi -
150
Operazioni tra numeri complessi
Vediamo come sono definite le operazioni tra numeri complessi:
• addizione: ( ) ( ) ( ) ( )idbcadicbia +++=+++
• sottrazione: ( ) ( ) ( ) ( )idbcadicbia −+−=+−+
• moltiplicazione: ( ) ( ) ( ) ( )ibcadbdacdicbia ++−=+⋅+
Infatti sviluppando con le usuali regole di calcolo avremmo:
( ) ( ) ( ) ( )ibcadbdacbdbciadiacdicbia ++−=−++=+⋅+
• divisione:
( ) ( )( ) ( )
( )i
dc
adbc
dc
bdac
dc
iadbcbdac
dicdic
dicbia
dic
bia ⋅+−+
++=
+−++=
−⋅+−⋅+=
++
222222
Esempi
1) iii 35)43()2( −=−++
2) iii 51)43()2( +−=−−+
3) iiiii 5104386)43()2( −=++−=−⋅+
4) 25
112
)43()43(
)43()2(
43
2 i
ii
ii
i
i +=+⋅−+⋅+=
−+
Osservazione
Se consideriamo un numero complesso biaz += e il suo complesso coniugato biaz −=
osserviamo che:
azz 2=+ , bizz 2=− , 22 bazz +=⋅
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151
Esercizi
Sviluppa:
1. ( ) ( )ii 432 −++ [ i35 − ]
2. ( ) ( )ii +−− 123 [ i32 − ]
3. ( ) ( )ii −⋅+ 225 [ i−12 ]
4. ( ) ( )ii +⋅− 22 [5]
5. ( ) ii ⋅+ 34 ]43[ i+−
6. i
i
24
2
++
[ 2
1 ]
7. i
i
25
25
+−
[ i29
20
29
21 − ]
8. ( )21 i+ [ 2i ]
9. ( )31 i+ [ i22 +− ]
10. ii
i 1
24
1 ++−
[ i10
13
10
1 − ]
11. ( ) ( ) iii 42323 +−⋅+ [ i413 + ]
12. ( ) ( ) ( )iii 32122 +⋅−−− [ i38 − ]
13. ( )iii
i −⋅+−+
421
32 [ i
2
21
2
3 + ]
14. ( ) ( )3242 +−− ii [ i5149 −− ]
15. ( ) ( )
i
ii
−+⋅−
1
15 [ i51+ ]
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152
Rappresentazione geometrica di un numero complesso
Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale (O,x,y) si può associare ad ogni numero
complesso bia + un punto ( )baP , del piano e viceversa.
Il piano in cui si rappresenta l’insieme C dei numeri complessi viene chiamato piano complesso
(o piano di Gauss).
Quindi i punti dell’asse x sono associati ai numeri reali (l’asse x è detto asse reale) e i punti
dell’asse y sono associati ai numeri immaginari (l’asse y è detto asse immaginario).
Possiamo anche associare al numero complesso
biaz += il vettore →
OP con ( )baP , : ci accorgiamo che
la somma tra numeri complessi 1z e 2z corrisponde alla
somma tra i vettori corrispondenti con la regola del
parallelogramma e la differenza alla differenza tra
vettori.
( )baPbia ,↔+
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153
Forma trigonometrica di un numero complesso
Dato il numero complesso biaz += se esprimiamo il suo punto associato nel piano complesso
( )baP , in coordinate polari abbiamo:
Il numero complesso può quindi anche essere scritto nella forma (detta trigonometrica):
( )ϑϑρ isenz +⋅= cos
Nota: ρ viene detto modulo di z e ϑ viene detto argomento di z ( πθ 20 <≤ ).
Esempio
Consideriamo il numero complesso (espresso in forma algebrica) iz += 3 .
Come possiamo esprimerlo in forma trigonometrica?
Considerando il punto associato nel piano complesso ( )1,3P in questo caso abbiamo:
2=ρ e 6
2
1
2
3cos πϑ
ϑ
ϑ=
=
=
sen
e quindi
+⋅=66
cos2ππ
isenz
⋅=⋅=
ϑρϑρ
senb
a cos
a
btg
ba
=
+=
θ
ρ 22
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154
Esercizi
Passa dalla forma algebrica alla forma trigonometrica rappresentando il numero complesso nel
piano di Gauss:
1. iz 22 += [
+⋅=44
cos22ππ
isenz ]
2. iz −= 1 [
+⋅= ππ4
7
4
7cos2 isenz ]
3. iz 2−= [ ]2
3
2
3cos2
+⋅= ππ isenz
4. 4
1−=z [ ( )ππ isenz +⋅= cos4
1]
5. iz2
3
2
1 += [33
cosππ
isenz += ]
6. iz −−= 3 [
+⋅= ππ6
7
6
7cos2 isenz ]
7. iz4
1
4
3 −= [
+⋅= ππ6
11
6
11cos
2
1isenz ]
8. iz += 1 [
+⋅=44
cos2ππ
isenz ]
9. iz += 3 [
+⋅=66
cos2ππ
isenz ]
10. iz = [22
cosππ
isenz += ]
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155
Prodotto e quoziente tra numeri complessi utilizzando la forma trigonometrica
Utilizzando la forma trigonometrica le operazioni di moltiplicazione e divisione tra numeri
complessi vengono espresse in modo molto più semplice e significativo.
Infatti sviluppando abbiamo:
( ) ( )( )[ ]
( ) ( )[ ]βαβαρρβαβαβαβαρρ
ββρααρ
+++⋅⋅==+⋅+⋅−⋅⋅=
=+⋅∗+⋅=⋅
isen
sensenisensen
isenisenzz
cos
coscoscoscos
coscos
21
21
2121
Quindi il prodotto di due numeri complessi risulti un numero complesso avente per modulo il
prodotto dei moduli e per argomento la somma degli argomenti dei due numeri.
( )( )
( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( )[ ]βαβαρρ
βββαβαβαβα
ρρ
ββββρββααρ
ββρααρ
−+−⋅=
=
+−⋅+⋅+⋅⋅=
=−⋅+⋅−⋅+⋅
=+⋅+⋅
=
isen
sen
sensenisensen
isenisen
isenisen
isen
isen
z
z
cos
cos
coscoscoscos
coscos
coscos
cos
cos
2
1
22
2
1
2
1
2
1
2
1
Quindi il quoziente di due numeri complessi risulta un numero complesso avente per modulo il
rapporto tra i moduli e per argomento la differenza degli argomenti dei due numeri.
Nota
Da un punto di vista “geometrico” le operazioni di prodotto e quoziente tra numeri complessi
possono quindi essere viste come l’applicazione di una rotazione composta con un’omotetia:
infatti se il numero 2z ha modulo 2ρ e angolo associato β , il prodotto 21 zz ⋅ si trova ruotando
1z dell’angolo β e poi applicando l’omotetia ( )2; ρω O mentre il quoziente 2
1
z
z si trova ruotando
1z dell’angolo β− e poi applicando l’omotetia
2
1;ρ
ω O .
Appunti di Matematica 4
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156
Per esempio moltiplicare un numero complesso →z per un numero complesso di modulo 1 e
argomento β equivale a ruotare →z di β , mentre dividerlo per un numero complesso di modulo 1
e argomento β equivale a ruotare →z di β− .
Quindi come caso ancora più particolare moltiplicare un numero complesso →z per i equivale a
ruotarlo di 90°.
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157
Esercizi
1) Calcola il prodotto dei seguenti numeri complessi e scrivi il risultato in forma algebrica:
1.
+⋅= ππ3
2
3
2cos
2
11 isenz
+⋅= ππ6
5
6
5cos
3
22 isenz [ izz
3
121 −=⋅ ]
2.
+⋅=66
cos21
ππisenz
+⋅=33
cos2
12
ππisenz [ izz =⋅ 21 ]
3.
+⋅= ππ6
5
6
5cos
3
41 isenz
+⋅=33
cos2
12
ππisenz [ izz
3
1
3
321 −−=⋅ ]
4.
+= ππ4
3
4
3cos1 isenz
+⋅= ππ4
11
4
11cos22 isenz [ izz 221 −=⋅ ]
5.
+= ππ4
3
4
3cos1 isenz
+=44
cos2
ππisenz [ 121 −=⋅ zz ]
2) Calcola il quoziente tra i seguenti numeri complessi e scrivi il risultato in forma algebrica:
1.
+⋅= ππ4
7
4
7cos61 isenz
+⋅=22
cos22
ππisenz [ i
z
z
2
3
2
3
2
1 −−= ]
2.
+= ππ4
7
4
7cos1 isenz
+= ππ4
3
4
3cos2 isenz [ 1
2
1 −=z
z ]
3.
+= ππ6
7
6
7cos1 isenz
+= ππ6
5
6
5cos2 isenz [ i
z
z
2
3
2
1
2
1 += ]
4. 00cos1 isenz +=
+⋅=66
cos2
12
ππisenz [ i
z
z−= 3
2
1 ]
5. 00cos1 isenz += 22
cos2
ππisenz += [ i
z
z−=
2
1 ]
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158
Potenza di un numero complesso
Utilizzando la forma trigonometrica si può calcolare facilmente la potenza di un numero
complesso poiché se )(cos ϑϑρ isenz += abbiamo , proprio per quanto osservato per il prodotto
))()(cos( ϑϑρ ⋅+⋅= nisennz nn
Radici n-esime di un numero in campo complesso
a) Radici n-esime dell’unità
Quali sono le soluzioni, in campo complesso, di 1=nz ?
In campo reale se consideriamo 1=nx abbiamo soluzioni 1± se n è pari e soltanto 1 se n è
dispari.
Esempi: 11 2,1
2 ±== xx ; 113 == xx
Ma in campo complesso?
Scrivendo z in forma trigonometrica abbiamo:
( ) ( ))()cos(cos θθρθθρ nisennzisenz nn +⋅=→+=
Quindi se vogliamo che 1=nz , essendo ( )00cos11 isen+⋅= dobbiamo avere 11 =→= ρρ n e
( )
−=−=
==
==
→=→=
n
nnk
nk
k
n
kkn
n
πθ
πθ
θ
πθπθ
121
....
21
00
22
2
1
Quindi ponendo 1,....,1,0 −= nk otterrò n soluzioni distinte.
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159
Esempio 1:
Risolviamo 13 =z .
Abbiamo 1=ρ e 3
4,
3
2,0
3
2 πθπθθπθ ===→= k e quindi
+=
+==3
4
3
4cos,
3
2
3
2cos,1 321
ππππisenzisenzz
Possiamo rappresentare le tre soluzioni nel piano complesso ed osservare che risultano i vertici di
un triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di centro l’origine e raggio 1.
Esempio 2 : risolviamo 14 =z
Abbiamo πθπθπθθπθρ2
3,,
2,0
4
2,1 43 ====→== k
e quindi abbiamo:
izzizz −=−=== 4321 ,1,,1
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160
b) Radici n-esime di un numero complesso
Consideriamo l’equazione 0zz n = dove 0z è un generico numero complesso.
Scriviamo sia z che 0z in forma trigonometrica:
( ) ( ) ( ) ( )( )θθρθθρθθρ nisennzisenzisenz nn +=→+=+= coscos,cos 0000
Quindi perché sia 0zz n = in questo caso dovrà essere:
1.....,1,02
2 00
0
−=+
=→+=
=→=
nkconn
kkn
nn
πθθπθθ
ρρρρ
Esempio 1
Risolviamo iz 83 = .
In questo caso 2
,8 00
πθρ == e avremo quindi 2,1,0,3
22,2 =
+== kcon
kππ
θρ
+=
+=
+= ππππππ2
3
2
3cos2,
6
5
6
5cos2,
66cos2 321 isenzisenzisenz
Esempio 2
Risolviamo iz += 14
In questo caso 4
,2 00
πθρ == e avremo quindi
3,2,1,0,2164
24,24 =+=
+== kconk
k ππππ
θρ
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161
Esercizi
1) Calcola le potenze dei seguenti numeri complessi dopo averli trasformati in forma trigonometrica
e rappresentale nel piano di Gauss:
a) iz2
3
2
1 += ...2 =z , ...3 =z ,….. ..6 =z
[ iz2
3
2
12 +−= ; 13 −=z ; iz2
3
2
14 −−= ; iz2
3
2
15 −= ; 16 =z ]
b) iz 22 += ...2 =z , ...3 =z ,….. ..8 =z
[ iz 42 = ; iz 24243 +−= ; 164 −z ; iz 2162165 −−= ; iz 646 −= ;
iz 2642647 −= 88 2=z ]
2) Risolvi in campo complesso le seguenti equazioni,rappresenta le soluzioni nel piano complesso
ed esprimile anche in forma algebrica:
a) iz =2 [ iziz2
1
2
1,
2
1
2
121 −−=+= ]
b) iz 42 −= [ iziz 22,22 21 −=+−= ]
c) iz 83 = [ iziziz 2,3,3 321 −=+−=+= ]
d) iz += 14 [ izzizz 84
83
82
81 2,2,2,2 ==−=−= ]
e) 15 =z [ 4,3,2,1,0,5
2
5
2cos =
+= kk
isenk
zππ
]
f) iz =5 [ 4,3,2,1,0,5
2
105
2
10cos =
++
+= kkisenkz ππππ ]