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Il comportamento microscopico dei gas
Il 1 principio della termodinamica
La lezione di oggi
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! Equazione di stato dei gas
! Applicazioni dell’equazione di stato
! La teoria cinetica dei gas
! Il 1 principio della termodinamica
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Equazione di stato dei gas ideali ! Gas ideale: non ci sono interazioni tra le molecole
! Condizioni standard ( T = 20 oC, P= 1 atm )
! Gas reale in condizioni standard = gas ideale
Se voglio aumentare la pressione P…
Aumento il numero di molecole (N)
Diminuisco il volume (V)
VNTk P =Equazione di stato
dei gas perfetti
Aumento la temperatura a V costante
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Equazione di stato dei gas ideali
Tk N V P =
T Rn V P =
J/K 101.38 k -23⋅=
K)J/(mole 8.31 ole)molecole/m10J/K)(6.022 10(1.38 kN R 23-23Avogadro ⋅=⋅⋅==
Costante di Boltzmann
N: numero di molecole di gas ( massa) T in K, P in Pa, V in m3
∝
n: numero di moli di gas ( massa) T in K, P in Pa, V in m3
∝
VNTk P =Equazione di stato
dei gas perfetti
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Moli e massa molecolare o Unità di massa atomica (u, o uma) è ottenuta assegnando
arbitrariamente 12 u al 12C o 1 u = 1 uma = 1.665.10-27 kg o Una mole (o grammo-molecola) ! numero di Avogadro di quantità elementari (atomi, molecole,....) o Una mole contiene tante quantità elementari quante ce ne sono in 12
grammi di 12C o Una mole è il numero di grammi di sostanza uguale alla massa
molecolare espressa in uma
Problema Calcolare la massa di una molecola di ossigeno O2
N
M m
Avogadro
ossigeno molecolare == akg/molecol 105.32 olemolecole/m 1002.6
kg/mole 1032.0 26-
23
-3
⋅=⋅
⋅
massa di 1 mole = 32.10-3 kg
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! Equazione di stato dei gas
! Applicazioni dell’equazione di stato
! La teoria cinetica dei gas
! Il 1 principio della termodinamica
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Trasformazioni isoterme Parto dall’equazione di stato dei gas T Rn V P =
Ipotesi: " T costante (trasformazione isoterma) " Massa costante
finalefinaleinizialeiniziale V P V P =Legge di Boyle
Nel piano PV le isoterme sono iperboli PV = k
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Trasformazione isobara
Ipotesi: " P costante (trasformazione isobara) " Massa costante
TV
TV
finale
finale
iniziale
iniziale =Legge di Charles
Nel piano VT le isobare sono rette V = k . T
# T = 0, V = 0 # T = 0 ! zero assoluto
Parto dall’equazione di stato dei gas T Rn V P =
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! Equazione di stato dei gas
! Applicazioni dell’equazione di stato
! La teoria cinetica dei gas
! Il 1 principio della termodinamica
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La teoria cinetica dei gas ! Pressione e temperatura ! grandezze macroscopiche ! Posizione o velocità di una molecola ! grandezze microscopiche
Come faccio a misurarle ? o Macroscopiche: manometro e termometro o Microscopiche: ???
o Teoria cinetica dei gas: # gas ! insieme di molecole # grande numero di molecole identiche # ogni molecola ha massa m ed è
puntiforme # s i muovono in modo casua l e e
obbediscono alle leggi di Newton # solo urti elastici
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Teoria cinetica e pressione dei gas Una molecola di massa m, con velocità v, in un contenitore di volume V urta contro la parete
Prima dell’urto xxi, mv- p =
Dopo l’urto xxf, mv p =
Variazione xx 2mv p =Δ
Quantità di moto
F parete su molecola causa la Δp
Tempo necessario a fare andata e ritorno xv
L 2 t =Δ 2a legge di
Newton tp FΔ
Δ=∑
== 2L/v2mv
Fx
x
Lmv2x Pressione
media == AF P =
L/Lmv
2
2x
Vmv
2x
tpFΔ
Δ=∑
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Teoria cinetica e pressione dei gas Distribuzione delle velocità delle molecole di un gas a due temperature (Distribuzione di Maxwell)
Velocità più probabile
Generica velocità in 3 dimensioni )(v )(v )(v )(v m2zm
2ym
2xm
2 ++=
Non ci sono direzioni privilegiate )(v )(v )(v m2zm
2ym
2x ==
m2xm
2zm
2ym
2xm
2 )(v 3 )(v )(v )(v )(v =++= m2
m2x )(v
31
)(v =ovvero
== V
)m(vN
31 P m
2
mK VN
32 V
mvP
2x=
Nella pagina precedente avevamo ottenuto
Per N molecole P / Km
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kT23 K m =
L’energia cinetica media delle molecole di un gas è proporzionale alla Temperatura
Energia cinetica e temperatura Equazione dei gas perfetti
Tk N V P = + Pressione nella teoria cinetica
dei gas
V)m(vN
31 P m
2
=
NkT )Nm(v31 PV m
2 == NkT )mv21N(
32
m2 = m
2m )mv
21( K =
== m2
qm )(v v
Velocità quadratica media
=m
3kT =)(M/N
3kT A
=M
kT3N A
M3RT
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km/h 320 m/s 88 =
=+⋅ K) 37 J/K)(273 10(1.3823 23-
Esercizio Qual è l’energia cinetica media di una molecola di gas a 37 C ?
== kT23 K m J 104.6 21−⋅
Calcolo l’energia cinetica media di una mole dello stesso gas alla stessa temperatura.
== kT)23
(N K Agas di mole 1
m
(6.02 ⋅1023 molecole/mole)(6.4 ⋅10-21 J/molecola) =3900 J/mole3700 J sono tanti o pochi ? Prendiamo una pietra di 1 kg e vediamo a che velocità devo lanciarla per avere questa K ?
== m2K v 2 ⋅3900
1 =
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km/h 1800 m/s 510 =
km/h 1700 m/s 480 =
Esercizio Qual è la velocità quadratica media delle molecole presenti nell’aria
(O2 e N2) a temperatura ambiente (20 C) ?
=⋅= (u.m.a.)M )m(O2O2 =⋅ kg) 1032)(1.66( -27 kg 103.5 -26⋅
=⋅= (u.m.a.)M )m(N2N2 =⋅ kg) 1028)(1.66( -27 kg 106.4 -26⋅
==m
3kT vqm =⋅
+⋅
kg 105.320)J/K)(273 103(1.38
26-
-23
==m
3kT vqm =⋅
+⋅
kg 104.620)J/K)(273 103(1.38
26-
-23
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Energia interna di un gas ideale ! Energia interna: somma dell’energia potenziale e cinetica
delle molecole che la compongono
! U = Σi (Ui + Ki)
! Gas perfetto: urti elastici ! Ui = 0 ! Ki = 3/2 kT
== NkT23 U = kTN
NN
23 A
AnRT
23
Numero di molecole
Numero di moli
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La legge di Dalton (o delle pressioni parziali) ! Considero una miscela di due gas perfetti ! I due gas non interagiscono/reagiscono tra di loro ! Le molecole non interagiscono tra di loro ! La pressione è data dagli urti delle molecole sulle pareti ! Il contributo alla pressione totale è indipendente per i 2 gas
VTk N P 1
1 =Gas 1
VTk N P 2
2 =Gas 2
Ptotale = (N1 + N2 ) k TV
Gas (1+2)
In una miscela, ciascun gas esercita la pressione che eserciterebbe se occupasse da solo tutto il volume
21totale P P P +=
Legge di Dalton
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Esercizio Un pneumatico viene gonfiato a una pressione relativa di 200 kPa a T=10 C. Dopo
un tragitto di 100 km, la T sale a 40 oC. Qual è ora la pressione del pneumatico ?
Condizioni a contorno
" n costante (non aggiungo/tolgo aria)
" V costante (se varia il volume, varia di una quantità trascurabile)
T Rn V P = Equazione di stato dei gas perfetti
TP
TP
finale
finale
iniziale
iniziale =
20
Esercizio
== PTT
P inizialeiniziale
finalefinale =⋅
+
+ Pa 103.01K 10)(273K 40)(273 5 kPa 330 Pa 103.3 5 =⋅
P e T assolute !!!
10% 0.10 301kPa
kPa 29103.01
103.01-1030.3P
P-P PP 5
55
iniziale
inizialefinale =≅=⋅
⋅⋅==
Δ
La pressione è aumentata del 10% (!non trascurabile !)
T Rn V P = Equazione di stato dei gas perfetti
TP
TP
finale
finale
iniziale
iniziale =
21
! Equazione di stato dei gas
! Applicazioni dell’equazione di stato
! La teoria cinetica dei gas
! Il 1 principio della termodinamica
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Il primo principio della termodinamica ! Voglio applicare la legge di conservazione dell’energia ! Il calore è una forma di energia che viene scambiata ! Energia interna: somma di energie potenziale e cinetica di un
sistema ! Caso 1: nel sistema entra una quantità di calore Q senza che venga
compiuto del lavoro
t = t0 t = t1 t = t2
Uf = Ui + Q
ΔU = Uf - Ui = Q
Convenzione importante Il sistema acquista calore: Q > 0 Uf > Ui Il sistema cede calore: Q < 0 Uf < Ui
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Il primo principio della termodinamica ! Caso 2: il sistema compie un lavoro sull’ambiente esterno
Uf = Ui - L
ΔU = Uf - Ui = -L t = t0 t = t1 t = t2
Convenzione importante Il sistema compie lavoro: L > 0 Compio lavoro sul sistema: L < 0
Primo principio della termodinamica
ΔU = Q - L
N.B. il sistema è termicamente isolato $ Q=0
In generale, se Q e L sono entrambi diversi da 0, vale il
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Il primo principio della termodinamica U, Q, L
Q ! energia che fluisce per contatto termico
L ! energia trasferita per azione di una forza che agisce su una distanza
U dipende dallo stato del sistema (T, P, V) U ! FUNZIONE DI STATO Q e L dipendono da come il sistema cambia da uno stato all’altro
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Trasformazioni reversibili e irreversibili ! Processi quasi-statici: sono molto lenti ! Il sistema è sempre in equilibrio con l’ambiente circostante ! Il valore di P e T è sempre uniforme in tutto il sistema ! Sistemi privi di attrito e forze dissipative ! Questi processi sono reversibili ! torno allo stato iniziale
Nella realtà tutti i processi sono irreversibili (attrito,.....), ma noi faremo sempre l’approssimazione di processi reversibili
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Trasformazione isobara P = cost Il gas si espande
Il gas compie un lavoro L sul pistone
=⋅= ) x- (xF L if
=⋅⋅ ) x- (xAP if
=⋅ )Ax - (AxP if
=⋅ )V - (VP if VP Δ⋅
L = area sotto la curva che rappresenta la trasformazione nel diagramma PV
Primo principio della termodinamica Q = ΔU + P. ΔV
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Trasformazione isocora
Il recipiente contiene un gas
Fornisco una quantità di calore Q
Il volume rimane costante
0 ) x- (xF L if =⋅= Trasformazione isocora ! L = 0
Primo principio della termodinamica
ΔU = Q
Area = 0
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Trasformazione isoterma Espansione isoterma
Equazione dei gas perfetti
Tk N V P =
costante T =
costante V P =
Vcostante
P =Nel piano PV la trasformazione è descritta da un’iperbole
Il lavoro L è l’area sottesa dalla curva
=!!"
#$$%
&=
VVln NkT L
i
f!!"
#$$%
&
i
f
VVln nRT
Nota. Se comprimo il gas, Vf/Vi<1, ln(Vf/Vi )<0, L<0, compio lavoro sul sistema
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Trasformazione adiabatica Non ho scambio di calore con l’esterno Q = 0
Compressione adiabatica Espansione adiabatica
Una compressione veloce è una buona approssimazione di adiabatica
costante V P =γ
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Il primo principio della termodinamica
Trasformazione Grandezza costante In base al primo principio:
Isobara P = costante Q = ΔU + L= ΔU + PΔV
Isocora V = costante ΔV = 0
quindi L = 0 Q = ΔU
Isoterma T = costante ΔT = 0
quindi ΔU = 0 Q = L
Adiabatica Q = 0 ΔU = -L
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n. 72, pag. T124 Walker Un cilindro dotato di un pistone mobile contiene 2.50 moli di argon a temperatura costante di 295 K. Quando il gas viene compresso isotermicamente, la sua pressione aumenta da 101 kPa a 121 kPa. Trovare: 1. Il volume finale del gas
2. Il lavoro compiuto dal gas
3. La quantità di calore fornita al gas
Esercizio
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1. Il volume finale del gas
Equazione dei gas perfetti
T Rn V P =
32-3
ff m 105.1
10121(295)(8.31)2.5
PT Rn V ⋅=
⋅
⋅⋅==
2. Il lavoro compiuto dal gas
!!"
#$$%
&=!!"
#$$%
&=
f
i
i
f
PPln nRT
VVln nRT L
kJ 1.1- 1012110101ln(8.31)(2.5)
PPln nRT L 3
3
f
i =!!"
#$$%
&
⋅
⋅⋅⋅=!!
"
#$$%
&=
K) J/(mol 8.31 R ⋅=
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3. La quantità di calore fornita al gas
1 principio della termodinamica
ΔU = Q - L#
kJ 1.1- kJ) (-1.1 0 L U Q =+=+Δ=
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La conservazione dell’energia porta alla formulazione del 1 principio della termodinamica
Riassumendo