Il problema geometrico e la Geometria Analitica
Dispense ad uso degli studenti dell’ ISU Istituti Superiori Universitari
Corso di Matematica A.A.2008/2009
Docente Ing. Romina Martis
Indice1. Il piano cartesiano (concetti generali) Assi cartesiani ortogonali
Il piano cartesiano
Coordinate cartesiane di un punto
Condizioni di appartenenza di un punto
Distanza tra due punti
Punto medio
Osservazioni
1Corso di Matematica 11
Il piano cartesiano
Corso di Matematica 2
I luoghi geometrici nel piano cartesiano
Un luogo geometrico è una linea del
piano i cui punti godono di una
particolare proprietà e tale che tutti i
punti del piano che godono di quella
proprietà giacciono sulla suddetta linea.
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Il piano cartesiano
• In un piano consideriamo due rette perpendicolari che chiamiamo con x e y, orientate nel senso che stabiliamo un verso di percorrenza.
• Solitamente, disegniamo la retta x orizzontalmente e orientata da sinistra a destra, la retta y verticalmente e orientata dal basso verso l'alto.
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Assi cartesiani ortogonali
• Le due rette si chiamano assi coordinati e il loro punto d'intersezione O origine.
• Stabiliamo, infine, una unità di misura, u che ci consente di misurare le lunghezze sui due assi.
• In matematica, si prende la stessa unità di misura per l'asse x e per l'asse y.
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Assi cartesiani ortogonali
• asse delle ascisse (o asse delle x)
• asse delle ordinate (o asse delle y)
Tali assi, inoltre, determinano quattro angoli retti(angoli di 90° gradi) detti quadranti.
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Assi cartesiani ortogonali
• Per convenzione, diremo I Quadrante quello formato dai due semiassi positivi(-;0)(0;+).
• Il II, III e IV Quadrante seguiranno il primo in senso antiorario (cioè contrario a quello delle lancette dell’orologio).
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Il piano cartesiano
• Nelle applicazioni fisiche, chimiche, economiche, non sempre si segue questa convenzione.
• Si dice che nel piano è stato fissato un sistema di riferimento cartesiano, o che il piano è riferito a un sistema di assi cartesiani xOy, o che si è fissato un piano cartesiano.
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Il piano cartesiano
Asse y o delle ordinate
u
II quadrante I quagrante
Asse x o delle ascisse
O=origine
III quadrante IV quadrante
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Il piano cartesiano, segni
Asse y o delle ordinate
u
II quadrante -,+ I quagrante +,+
O=origine Asse x o delle ascisse
III quadrante -,- IV quadrante +,-
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Punti nel piano cartesiano
•L'origine O, punto di intersezione degli assi, ha coordinate (0,0).
•I punti dell'asse x, come H, hanno ordinata nulla, quindi H(x,0).
•I punti dell'asse y, come K, hanno ascissa nulla, quindi K(0.y).
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y(ordinate)
x(ascisse)
K
H
P(x,y)
O+1 +2-1-2
+1
-1
+2
-2
Punti nel piano cartesiano
• A questo punto è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra punti del piano P e le coppie di numeri reali (x,y).
• Dal punto P si tracciano le parallele PH all'asse y e PK all'asse x. Misurando OH, con l'unità di misura u otteniamo il numero x, l'ascissa; misurando OK, con la stessa unità di misura, otteniamo il numero y, l'ordinata.
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Coordinate cartesiane di un punto
Per convenzione diremo che: l’ascissa di un punto nel piano cartesiano è quella del punto in
cui l’asse delle ascisse è intersecato dalla retta passante per il punto dato e parallela all’asse delle ordinate.
y
x
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Coordinate cartesiane di un punto
Per convenzione diremo che: l’ordinata di un punto nel piano cartesiano è quella del punto in
cui l’asse delle ordinate è intersecato dalla retta passante per il punto dato e parallela all’asse delle ascisse.
y
x
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Coordinate cartesiane di un punto
• La coppia di numeri (x,y) si chiamano coordinate del punto P.
• Viceversa, assegnata una coppia di numeri reali (x,y), individuiamo prima il punto H, poi il punto K, infine, tracciando le due parallele agli assi, si ottiene il punto P.
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Condizione di appartenenza di un punto ad una curva
• Ricordando la definizione di luogo geometrico, risulta evidente che:
Condizione necessaria e sufficiente affinchè un punto di coordinate date appartenga ad una curva è che le sue coordinate verifichino l’equazione della funzione di cui la curva è il diagramma, cioè, sostituendo alla x l’ascissa e alla y l’ordinata del punto, sia verificata l’equazione della funzione.
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Condizione di appartenenza di un punto ad una curva
La suddetta condizione è
• sufficiente in quanto, se le coordinate del punto verificano l’equazione della funzione, il punto appartiene alla curva;
• necessaria in quanto tutti i punti della curva verificano, mediante le loro coordinate, l’equazione della funzione.
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Distanza tra due punti
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo PHQ, rettangolo in H si ottiene che:
d(P,Q)=(x2-x1)2+(y2-y1)2
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y(ordinate)
x(ascisse)o
y2
y1
x2x1
y2 -
y 1
x2 - x1
Q
P H
Distanza tra due punti: casi particolari
1. I due punti individuano un segmento parallelo all'asse x, come PH. La distanza si calcola più rapidamente con la formula |x2-x1|.
2. I due punti individuano un segmento parallelo all'asse y, come QH. La distanza si calcola più rapidamente con la formula |y2-y1|.
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y(ordinate)
x(ascisse)o
y2
y1
x2x1
y2 -
y 1
x2 - x1
Q
P H
Coordinate del punto medio di un segmento
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y(ordinate)
x(ascisse)o
y2
y1
x2x1
y2 - y1
x2 - x1
Q
P H
2
2M
M = ( XM ; YM )
Coordinate del punto medio di un segmento
• l’ascissa del punto medio di un segmento è uguale alla semisomma delle ascisse dei suoi estremi
XM=(x1+x2)/2
• l’ordinata del punto medio di un segmento è uguale alla semisomma delle ordinate dei suoi estremi
YM = (y1+y2)/2
M =[(x1+x2)/2 ; (y1+y2)/2]
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OSSERVAZIONI
In questa prima lezione della Geometria Analitica, ho ritenuto di dover trattare, sin dalla prima slide, il concetto di funzione e i luoghi geometrici partendo, naturalmente, dalla retta.
Lo scopo della geometria analitica getta, se si può dire, un ponte tra l’algebra e la geometria piana facendo corrispondere all’ente algebrico l’ente geometrico e viceversa.
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