Universita della CalabriaFacolta di S. M. F. N.
CORSO DI LAUREA IN FISICA
Tesi di Laurea Magistrale
Produzione di jet di Mueller-Navelet nelle
collisioni adrone-adrone
Anno Accademico 2008-2009
RelatoreProf. Alessandro PAPA
CandidataBeatrice MURDACAmatr.121197
...a mio cugino Gaetano
1
Indice
Introduzione 3
1 Aspetti introduttivi 81 Matrice S e Ampiezze di diffusione . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1 QCD Perturbativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 La teoria di Regge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Processi adronici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 I jet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 QCD perturbativa nel limite di Regge 161 Equazione BFKL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1 Reggeizzazione del gluone nella LLA . . . . . . . . . . 161.2 Ampiezza di diffusione AA′B′
AB nella cinematica multi-Regge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Sezione d’urto totale per la diffusione “in avanti” conscambio di numeri quantici del vuoto nel canale t . . . 26
2 Equazione BFKL nella NLLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1 Correzioni all’ordine sottodominante . . . . . . . . . . 27
3 Quadro riassuntivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
A Decomposizione di Sudakov 33
3 Fattore di impatto per la produzione di un jet 341 Due diverse notazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 Struttura generale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 Il Jet all’ordine piu basso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384 Il Jet all’ordine NLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405 Risommazione dei logaritmi dell’energia . . . . . . . . . . . . . 50
B Funzioni speciali e integrali notevoli 541 La funzione gamma di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2
1.1 La derivata logaritmica della funzione gamma . . . . . 551.2 La funzione beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2 La funzione + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563 Integrali notevoli e parametrizzazione di Feynman . . . . . . . 56
C Calcolo degli integrali 581 Integrali fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582 Calcolo degli integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 Verifica della (3.53) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624 Calcolo esplicito della (3.83) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Bibliografia 66
3
Introduzione
Il presente lavoro di tesi puo essere considerato il punto di partenza per
il calcolo della sezione d’urto del processo p + p → jet + jet + X, in cui i
jet finali sono collineari ai protoni iniziali, mentre X rappresenta un generico
insieme di adroni.
Questo processo, gia realizzato a Tevatron, e presto anche a LHC, viene
studiato nel regime di alte energie, cio significa una grande separazione di
rapidita tra i due jet, nonche per momento trasverso del jet molto maggiore
della massa del protone e molto minore del momento del protone stesso. Il
sistema di adroni X, invece, e caratterizzato da basso momento longitudinale
e momento trasverso dello stesso ordine di quello dei jet.
Il processo in questione e di tipo inclusivo, per il fatto che occorre sommare
su tutti i possibili sistemi adronici X che si accompagnano ai jet. Poiche si
assume che i momenti trasversi dei jet siano molto grandi, e possibile studiare
il processo in QCD perturbativa.
Il calcolo procede attraverso la combinazione di diversi sottoprocessi: prima
di tutto va assunto che il processo puo essere decomposto nella somma incoe-
rente di sottoprocessi iniziati dai partoni (quark e gluoni) che costituiscono
i protoni in collisione. Pertanto il processo in esame si riduce allo studio
di sottoprocessi del tipo q + q → jet + jet + X, q + g → jet + jet + X e
g + g → jet + jet +X.
A sua volta, l’ampiezza di ciascuno di questi sottoprocessi, ad esempio per il
processo q + q → jet + jet +X, va scritta come la somma delle ampiezze di
processi del tipo q+ q → jet + jet + n con n = 0, 1, 2... e denota il numero di
partoni che possono essere prodotti durante la collisione. Il modulo quadro
della somma di tutte queste ampiezze, dopo l’integrazione sullo spazio delle
4
fasi degli n partoni prodotti, conduce alla sezione d’urto inclusiva per il sot-
toprocesso considerato.
I jet che appaiono nello stato finale sono “iniziati” da partoni prodotti nella
collisione, ma nel calcolo della sezione d’urto l’integrazione sullo spazio delle
fasi di questi non viene effettuata. In altri termini, la sezione d’urto per il
sottoprocesso q+q → jet+jet+X differisce da quella del processo q+q → X,
in cui X indica un generico stato finale di adroni, per il fatto che, su due di
questi partoni nello stato finale, in particolare quelli con i momenti collinea-
ri con quelli dei quark che collidono, non viene effettuata l’integrazione sui
momenti.
In altre parole il sottoprocesso in questione e quello in cui tra n+ 2 partoni
prodotti nello stato finale, due di essi vengono “selezionati” come gli “inizia-
tori” dei jet, mentre sugli altri si effettuata l’integrazione sui momenti.
Pertanto, se nel sottoprocesso q+q → jet+jet+X si rinunciasse alla selezio-
ne nello stato finale dei due jet e si effettuasse anche sui partoni che iniziano
i jet l’integrazione sui momenti, la sezione d’urto di questo sottoprocesso si
ricondurrebbe alla sezione d’urto totale per la collisione tra quark.
Il teorema ottico mette in relazione la sezione d’urto totale di un generico
processo A+B → X, dove X sta ad indicare un qualsiasi stato, con la parte
immaginaria del processo elastico in avanti A+B → A +B.
L’applicazione di questo teorema al sottoprocesso q + q → X, dice che la
sua sezione d’urto puo essere messa in relazione con la parte immaginaria
dell’ampiezza q + q → q + q. Quindi, in definitiva, la sezione d’urto per la
produzione inclusiva di due jet nella collisione di due quark si riduce all’am-
piezza elastica per il processo q+ q nel limite in cui si rinuncia alla selezione
nello stato finale dei partoni che “iniziano” i jet.
In QCD perturbativa e nel limite di alte energie le ampiezze di diffusione
per un generico processo A+B → A′ +B′ possono essere fattorizzate come
mostrato nella Figura 1 in due fattori d’impatto ΦA′A e ΦB′B ed una funzione
di Green G.
5
pA pA′
ΦA′A
q1 q1 − q
q2 q2 − q
G
pB pB′
ΦB′B
Fig. 1 Fattorizzazione dell’ampiezza
La funzione di Green e universale ed e l’unica parte dell’ampiezza a dipendere
dall’energia, mentre i fattori d’impatto dipendono dal tipo di particelle in
collisione. Come conseguenza di cio, per poter studiare il processo p + p →jet+jet+X nell’approccio BFKL, e necessario conoscere il fattore di impatto
protone-jet.
Questo calcolo e gia stato eseguito da J. Bartels, D. Colferai e G.P. Vacca [1],
che hanno utilizzato una differente notazione rispetto a quella introdotta da
Balitskii, Fadin, Kuraev e Lipatov nella costruzione della teoria BFKL. Essi,
per poter ottenere il fattore di impatto, hanno studiato un sottoprocesso
q + p→ jet + q + n dove n = 0, 1.
Lo scopo di questa tesi e stato quello di controllare la correttezza del calcolo
in un caso limite, cioe e stato verificato che, quando non viene selezionato il
jet nello stato finale, la sezione d’urto si deve ricondurre alla sezione d’urto
per il processo q + q. Cio e stato fatto con lo scopo di verificare che non ci
fossero errori (come effettivamente riscontrati) e per adattare il risultato alla
notazione di Balitskii, Fadin, Kuraev e Lipatov. Inoltre, mentre il calcolo di
J. Bartels, D. Colferai e G.P. Vacca [1] e ad ordine perturbativo fissato, qui
verra effettuata la risommazione di tutta la serie perturbativa limitatamente
ai termini con i logaritmi dell’energia dominanti e sottodominanti.
Il risultato ottenuto costituira il punto di partenza per il calcolo numerico
della sezione d’urto per il processo p+ p→ jet + jet +X, da confrontare con
i risultati sperimentali di Tevatron e LHC.
6
L’importanza di questo studio e quella di fornire un test della QCD e, in
particolare, dell’approccio BFKL, attraverso il confronto tra i risultati teorici
e quelli sperimentali.
7
Capitolo 1
Aspetti introduttivi
1 Matrice S e Ampiezze di diffusione
Si consideri un processo di diffusione. Lo stato iniziale del sistema, molto
prima che avvenga l’interazione, e rappresentato dal vettore di stato |i〉. L’o-
peratore che descrive l’evoluzione del sistema nello stato finale, molto tempo
dopo che la collisione sia avvenuta, e [2] l’operatore unitario di evoluzione
temporale per t0 → −∞ e per t→ +∞, detto S ed e definito
|Φ(∞)〉 = S|Φ(−∞)〉 = S|i〉. (1.1)
Una collisione puo portare a molti stati finali |f〉; tutti gli stati possibili sono
contenuti in |Φ(∞)〉. La probabilita di transizione che dopo la collisione (cioe
per t = ∞) il sistema si trovi nello stato |f〉 e data da
Pf = |〈f |φ(∞)〉|2. (1.2)
La corrispondente “ampiezza” di probabilita sara
〈f |Φ(∞)〉 = 〈f |S|i〉 ≡ Sfi. (1.3)
Se si esprime lo stato |Ψ(∞)〉 in termini di un set completo di autostati
ortonormali,
|Φ(∞)〉 =∑
f
|f〉〈f |Φ(∞)〉 =∑
f
|f〉Sfi, (1.4)
8
per l’unitarieta della matrice S si avra:
∑
f
|Sfi|2 = 1 (1.5)
L’equazione appena scritta esprime la conservazione della probabilita.
Se e nota la Lagrangiana del sistema, per calcolare la matrice S, e necessario
risolvere l’equazione del moto
i∂
∂t|φ(t)〉 = HI |Ψ(t)〉 (1.6)
con la condizione iniziale |i〉 = |Φ(−∞)〉, ottenendo, in forma integrale,
|Φ(t)〉 = |Φ(t0)〉 − i∫ t
t0dt′HI(t
′)|Φ(t′)〉 . (1.7)
Questa equazione puo essere risolta soltanto iterativamente
|Φ(t)〉 = |i〉 + (−i)∫ t
−∞dt′HI(t
′)|i〉 (1.8)
+(−i)2∫ t
−∞dt′∫ t′
−∞dt′′HI(t
′)HI(t′′) + ......
e cosı via. Ora, nel limite t→ ∞, tenendo conto della (1.1), si ottiene che
S =∞∑
n=0
(−i)n∫ ∞
−∞dt′∫ t′
−∞dt′′...
∫ t(n−1)
−∞dt(n)HI(t
′)HI(t′′)...HI(t
(n)). (1.9)
Si puo dimostrare che quest’espressione e equivalente a
S =∞∑
n=0
(−i)n
n!
∫
...∫
d4x′d4x′′....d4x(n)T [HI(x′)HI(x
′′)...HI(x(n))], (1.10)
dove l’integrando e un prodotto temporale e l’integrazione e supposta su tutto
lo spazio-tempo. La (1.10) esprime, quindi, lo sviluppo perturbativo della
matrice S in serie di potenze di HI (densita dell’Hamiltoniana di interazione).
Uno sviluppo perturbativo ha senso se il termine HI e effettivamente una
perturbazione, ovvero e piccolo rispetto ad H0 (densita dell’Hamiltoniana
imperturbata). Questo si verifica per l’interazione forte nel regime ad alto
quadrimpulso trasferito (piccole distanze).
9
Teoria perturbativa Lo studio della maggior parte dei sistemi quan-
tistici reali presenta delle difficolta matematiche di tale portata che molto
raramente si riesce a risolvere i relativi problemi in modo esatto. Esistono
tuttavia diversi metodi grazie ai quali si possono ottenere soluzioni appros-
simate di moltissimi problemi, anche molto complessi.
Metodi di calcolo approssimato particolarmente potenti sono forniti dalla co-
siddetta teoria delle perturbazioni che permette di ottenere soluzioni nella
forma di serie di potenze in un parametro di espansione, troncata ad un cer-
to ordine. Piu si va avanti negli ordini, piu il risultato si avvicina a quello
esatto.
Affinche questo metodo possa essere applicato e necessario che ogni ordine
perturbativo sia piccolo rispetto al precedente.
Ampiezza di diffusione. Il calcolo perturbativo degli elementi della
matrice di scattering Sfi permette di fare delle previsioni sulle sezioni d’urto
dei processi di interazione [2].
Si definisce [3] ampiezza di diffusione Afi la grandezza legata agli elementi
di matrice Sfi dalla relazione
Sfi = δfi + i(2π)4δ4(
∑
a
pi −∑
b
pf
)
Afi, (1.11)
dove la δ4(∑
a pi −∑
b pf) indica la conservazione del quadrimpulso tra lo
stato iniziale e quello finale.
Le ampiezze di diffusione, ordine per ordine, possono essere messe in corri-
spondenza con un certo numero di “diagrammi di Feynman”. Questi permet-
tono da una parte di visualizzare in maniera semplificata le interazioni tra le
particelle, dall’altra di calcolare le sezioni d’urto dei vari processi attraverso
delle precise regole1.
Purtroppo, nel calcolo relativo agli ordini perturbativi superiori a quello piu
basso2 capita di imbattersi in quantita divergenti, che rischiano di rendere
1Per conoscere queste regole (regole di Feynman) per la costruzione dei diagrammi, inparticolare per la QCD, si rimanda ai testi classici, come [4].
2Per ordine piu basso qui si intende il secondo ordine perturbativo (livello ad albero),dal momento che il calcolo troncato al primo ordine non descrive processi fisici reali.
10
il calcolo privo di senso. In particolare questo accade per gli integrali che si
incontrano nel calcolo di diagrammi contenenti loop [2].
Per superare questo problema si utilizza la procedura di rinormalizzazione la
quale e preceduta da una regolarizzazione che puo essere la regolarizzazione
dimensionale. Essa consiste [2] nel valutare gli integrali in uno spazio non a
4-dimensioni bensı in uno a D-dimensioni. Gli integrali risultano essere, cosı,
funzioni analitiche del numero di dimensione D, per cui e possibile costruire
il prolungamento analitico, mediante il quale le divergenze ricompaioniono
sotto forma polare.
Se una teoria e rinormalizzabile allora e possibile riassorbire tutte le diver-
genze nella ridefinizione dei campi e dei parametri della teoria in modo che
tutte le predizioni fisiche, quando espresse in termini dei parametri ridefinite,
siano non divergenti.
Il prezzo da pagare e l’introduzione di una scala di rinormalizzazione µ che
comporta la rottura dell’invarianza di scala anche laddove essa non contenga
parametri con dimensione di massa.
1.1 QCD Perturbativa
Da ora in poi si fara riferimento ai processi adronici descritti dalle in-
terazioni forti. La teoria piu accreditata per la descrizione di questi tipi di
interazione e la QCD.
La QCD [5] e una teoria di Yang-Mills dove la simmetria di gauge e il colo-
re. La Lagrangiana che descrive l’interazione tra quark colorati qk e gluoni
vettoriali Gaµ con accoppiamento specificato da g e
L = −1
2Ga
µνGµνa + Σ
Nf
k qk(iγµDµ −mk)qk, (1.12)
con
Gaµν = ∂µA
aν − ∂νA
aµ + gfabcA
b
µAcν (1.13)
e
Dµ ≡ ∂µ − igT aAaµ, (1.14)
11
dove Aaµ e la componente µ-esima del campo vettoriale del gluone con indice
di colore a. Le matrici T a sono i generatori dell’algebra di SU(3) e soddisfano
[
T a, T b]
= ifabcTc (1.15)
con la convenzione che T a = 12λa, cosicche
Tr(T aT b) =1
2δab. (1.16)
Nella Lagrangiana (1.12) non c’e una scala, ma essa viene introdotta quando
viene compiuta la rinormalizzazione. Esprimendo la variazione della costante
di accoppiamento rinormalizzata gR in funzione della scala µ si ha
β(gR) = µ∂gR
∂µ(1.17)
e risolvendo l’equazione si ottiene
β(gR) = −β0g3
R
(4π2)+O(g5
R) (1.18)
dove β0 = 33−2NF
3, la quale, contrariamente a quanto accade nella QED,
e maggiore di zero e determina cosı la liberta asintotica della teoria. E a
causa di questa liberta asintotica che l’interazione forte diventa poco intensa
a distanza piu piccole delle dimensioni adroniche (d≪ 1fm) ovvero per scale
di energia e momento superiori a circa 200MeV, la scala tipica della QCD.
Si puo far risalire questa proprieta della QCD alle auto-interazioni dei gluoni.
2 La teoria di Regge
Prima dell’introduzione dellla teoria di gauge, lo studio delle interazioni
forti si basava su un insieme di postulati su alcune proprieta generali della
matrice S. La teoria di Regge rappresentava il contesto piu naturale in
cui venivano studiati i processi di diffusione ad alta energia nel centro di
massa. L’avvento della QCD distoglie, per un po’ di tempo l’attenzione
da questo “antico” approccio allo studio delle interazioni forti. L’interesse
verso la teoria di Regge si riaccende in seguito alla realizzazione dei grandi
12
collisionatori ad alta energia nel centro di masssa (come HERA al DESY o il
TEVATRON a FNAL). I fisici iniziano, cosı a confrontare le proprieta della
QCD nel limite di alte energie con le predizioni della teoria di Regge che,
sorprendentemente, si rivela il punto d’incontro tra l’ “antica” fisica delle
particelle e la “nuova”.
Una particella di massa m e spin J Reggeizza se l’ampiezza A, per un processo
che coinvolgono lo scambio di numeri quantici della particella nel canale t, si
comporta, asintoticamente in s, come
A ∝ sα(t), s≫ |t|
dove α(t) e la traiettoria di Regge e α(m2) = J ; cosicche la particella stessa
si trova sulla traiettoria.
L’idea della Reggeizzazione [3] viene proposta per la prima volta, nei primi
anni ’60, da Gell-Mann e coll. [6] e da Polkinghorne [7]. Poco tempo dopo,
Mandelstam [8] indica le condizioni generali perche la Reggeizzazione possa
verificarsi. Frolov, Gribov e Lipatov [9, 10] eseguono per la prima volta i
calcoli nell’ambito della QED, dimostrando che il fotone non Reggeizza in
QED, ma rimane elementare. Calcoli effettuati in un secondo momento ad
opera di McCoy e Wu [11] stabiliscono invece che il fermione Reggeizza in
QED.
Mason [12] estende, per primo, questa procedura alle teorie non-Abeliane. La
Reggeizzazione del gluone viene provata da molti autori, utilizzando tecniche
differenti, a tutti gli ordini perturbativi nel limite LLA (Leading Logaritmic
Approximation), ovvero nell’approssimazione dei logaritmi dominanti di s.
Tale procedura consiste nel collezionare, a tutti gli ordini perturbativi in
αs, i termini proporzionali ad [αs ln(s)]n, in cui il valore (piccolo) di αs e
compensato dai “grandi” logaritmi di s. La Reggeizzazione del gluone agli
ordini sottodominanti in ln s, viene provata in modo rigoroso, solo ai primi
ordini perturbativi in αs, mentre, l’ipotesi che cio possa avvenire a tutti
gli ordini perturbativi, viene supportata da procedure di auto-consistenza
(bootstrap).
13
3 Processi adronici
I processi adronici possono essere classificati in: processi soffici e processi
duri.
Nei processi soffici non esiste una grande scala di energia, percio l’approccio
perturbativo non e applicabile. Esempi di processi soffici sono la diffusione
elastica di adroni e la dissociazione diffrattiva. Questi processi sono descritti
teoricamente sin dagli anni ’60 dalla teoria di Regge. La loro caratteristica
peculiare e la formazione di una separazione di rapidita tra i prodotti della
reazione.
Un processo adronico duro e caratterizzato da un’interazione a corta distanza,
che puo essere descritta dalla QCD perturbativa, e da un’adronizzazione delle
particelle finali, caratterizzata da una grande scala di lunghezza (dell’ordine
delle dimensioni adroniche), che non puo essere descritta perturbativamente.
Spesso i teoremi di fattorizzazione consentono di separare i regimi di corta
e lunga distanza. La parte non perturbativa di un processo e descritto in
termini di funzioni universali (funzioni di distribuzione partoniche o funzioni
di distribuzione partoniche generalizzate o funzioni di frammentazione, ecc.)
che possono essere estratte da un processo e utilizzate per prevederne un
altro. Alcuni esempi di processi duri sono la diffusione profondamente ane-
lastica (DIS), l’annichilazione elettrone-positrone e la produzione di jet con
grande impulso trasverso.
Una delle principali novita degli ultimi dieci anni e la scoperta e lo studio
dei processi diffrattivi che hanno proprieta soffici e dure allo stesso tempo
(processi semi-duri); in altri termini, questo tipo di processi e caratterizzato
da una scala di energia che puo variare tra i due regimi (soffice e duro). Un
tipico processo di semi-duro e la diffusione profondamente anelastica diffrat-
tiva (DDIS). In questo processo il protone e il sistema diffratto sono separati
da un ampio intervallo di rapidita.
14
4 I jet
Caso particolare dei processi adronici e il jet. Esso e [13] definito come
una concentrazione di energia trasversa ET in un cono di raggio R. Nel pro-
cesso h+h → jet+ jet i due jet nello stato finale sono interpretati in termini
di una diffusione elastica di un partone proveniente da un adrone con un
partone proveniente dall’altro adrone. Ogni partone, il quale si porta una
frazione x dell’impulso totale dell’adrone genitore, e viene diffuso, genera un
jet di adroni.
Generalmente gli stati finali di queste interazioni vengono classificati in ter-
mini di particolari variabili come la rapidita y, definita da
y =1
2
(
E + pz
E − pz
)
. (1.19)
il momento trasverso pT e l’angolo azimutale Φ. E spesso usata anche
l’energia trasversa
ET = E sin θ (1.20)
e piu raramente l’impulso trasverso pT . R puo quindi essere definito come
R =√
(∆η)2 + (∆Φ)2. (1.21)
La rapidita e generalmente rimpiazzata dalla variabile pseudorapidita, defi-
nita come:
η = − ln tan(θ/2), (1.22)
dove θ e l’angolo tra i due adroni.
Un esempio particolare di jet e costituito dai jet Mueller-Navelet in cui i due
jet, che vengono prodotti dalla collisione tra due adroni, hanno momento
trasverso maggiore o uguale alla massa M degli adroni che li hanno generati
con la condizione che M2/s sia piccolo e il valore M sia fissato.
15
Capitolo 2
QCD perturbativa nel limite diRegge
1 Equazione BFKL
L’equazione BFKL [14] e un’equazione integrale che determina il com-
portamento alle alte energie√s delle ampiezze di QCD perturbativa in cui
vengono scambiati i numeri quantici del vuoto nel canale t. Essa e valida sia
nella LLA (leading logarithmic approximation) che consiste nel risommare
tutti i termini della forma αns lnn s della serie perturbativa, sia nella NLLA
(next-to-leading logarithmic approximation) che consiste nel risommare tutti
i termini della forma αn+1s lnn s della serie perturbativa.
Nella sua derivazione, la Reggeizzazione del gluone in QCD, gioca un ruolo
fondamentale.
In questa sezione sara trattata l’equazione BFKL nella LLA; nella sezione
successiva sara trattato il caso della NLLA [15].
1.1 Reggeizzazione del gluone nella LLA
La Reggeizzazione del gluone in QCD ha un significato piu profondo
rispetto a quello usuale; infatti essa indica che non solo deve esistere un
Reggeone con i numeri quantici del gluone, segnatura negativa e traiettoria
α(t) = 1 + ω(t) (2.1)
16
che assume valore unitario in corrispondenza di t = 0, ma anche che questo
Reggeone fornisce il contributo dominante, a tutti gli ordini perturbativi, alle
ampiezze per i processi a grande s e a t fissato (cioe non crescente con s).
pA
pB ΓiB′B
ΓiA′A pA′
pB′
Fig. 2.1. Diagramma che rappresenta l’ampiezza relativa allo scambio di un
Reggeone nel canale t con i numeri quantici del gluone.
Si consideri un processo di diffusione elastica A+B → A′ +B′, con s≫ |t|,in cui
s = (pA + pb)2 , t = q2 , q = pA − pA′. (2.2)
Le ampiezze relative allo scambio dei numeri quantici del gluone nel canale
t possono essere presentate nella forma fattorizzata (si veda la Figura 2.1.)
(A8)A′B′
AB = ΓiA′A
s
t
[
(
s
−t)ω(t)
+(−s−t)ω(t)
]
ΓiB′B, (2.3)
dove i e l’indice di colore e i fattori ΓiP ′P (con P = A,B) rappresentano i
vertici particella-particella-Reggeone (PPR) e non dipendono da s.
La (2.3) e stata provata rigorosamente [16] a tutti gli ordini perturbativi della
teoria in approssimazione (LLA).
In questa approssimazione, la traiettoria di Regge e calcolata all’ordine g2.
Si ha
ω(t) ≃ ω(1)(t) =g2t
(2π)(D−1)
N
2
∫ dD−2k⊥k2⊥(q − k)2
⊥(2.4)
= −g2NΓ(1 − ε)
(4π)2+ε
[Γ(ε)]2
Γ(2ε)
2
ε(~q 2)ε,
17
con t = q2 ≈ q2⊥ eD = 4+2ε e la dimensione spazio-temporale, introdotta per
regolarizzare le divergenze infrarosse. L’integrazione dell’espressione (2.4) e
eseguita su uno spazio (D− 2)-dimensionale ortogonale al piano formato dai
quadrimpulsi iniziali pA e pB. I vertici ΓiP ′P possono essere presentati nella
seguente forma:
ΓiP ′P = g〈P ′|T i|P 〉ΓP ′P , (2.5)
dove 〈P ′|T i|P 〉 e l’elemento di matrice del generatore del gruppo di colore
nella rappresentazione corrispondente (cioe, fondamentale per i quark ed ag-
giunta per i gluoni). Nella LLA, le elicita λP delle particelle diffuse sono
conservate e quindi, nella base di elicita si ha
ΓP ′P = Γ(0)P ′P = δλP ′λP
. (2.6)
Dalla (2.4) si puo verificare che, per il gluone, ω(0) = 0, cioe α(0) = 1. Quindi
questo mostra che, in effetti, il gluone giace sulla traiettoria del Reggeone con
i suoi numeri quantici.
1.2 Ampiezza di diffusione AA′B
′
AB nella cinematica multi-Regge
La parte immaginaria dell’ampiezza di diffusione elastica AA′B′
AB del pro-
cesso A + B → A′ + B′ puo essere scritta tramite la relazione di unitarieta
nel canale s (regola di Cutkosky) come
ℑmsAA′B′
AB =1
2
∞∑
n=0
Σ{f}
∫
AAB+nAB (AAB+n
A′B′ )∗dΦAB+n, (2.7)
dove AAB+nAB rappresenta l’ampiezza di produzione di n + 2 particelle con
momenti ki, i = 0, 1, ..., n, n + 1 del processo A + B → AB + n, dΦAB+n
rappresenta lo spazio delle fasi delle particelle negli stati intermedi e Σ{f} e la
somma sui numeri quantici discreti di queste particelle (si veda la Figura 2.2.).
Supponiamo che tutte queste particelle abbiano massa nulla, approssimazione
lecita nel limite di grande s.
18
Lo spazio delle fasi sara
dΦAB+n =2
s(2π)Dδ
(
1 +m2
A
s−
n+1∑
i=0
αi
)
δ
(
1 +m2
B
s−
n+1∑
i=0
βi
)
× δ(D−2)
(
n+1∑
i=0
ki⊥
)
dβn+1
2βn+1
dα0
2α0
n∏
i=1
dβi
2βi
n+1∏
i=1
dD−2ki⊥(2π)D−1
, (2.8)
dove αi e βi sono le variabili di Sudakov1 e avendo posto
pA = k0, pB = kn+1. (2.9)
Nella (2.7) il contributo di ordine s, a cui si e interessati, e dato dalla regione
cinematica in cui gli impulsi trasversi delle particelle prodotte sono limitati
(cioe non crescono con s). I logaritmi dominanti provengono dall’integrazione
sugli impulsi longitudinali delle particelle prodotte. Nella LLA, in cui ogni
particella aggiuntiva contribuisce con un ln(s), solo questa cinematica conta.
Essa e chiamata cinematica multi-Regge (MRK). Per definizione, in questa
cinematica, le variabili di Sudakov sono fortemente ordinate: αn+1 ≫ αn ≫αn−1...≫ α0, β0 ≫ β1 ≫ β2...≫ βn+1.
pA
pB
k0
k1
ki−1
ki
kn
kn+1
}
si = (ki−1 + ki)2
Fig. 2.2. Rappresentazione della produzione di particelle nella cinematica
multi-Regge.
1Si veda l’appendice alla fine di questo capitolo.
19
Nella MRK, le masse invarianti sij = (ki+kj)2 di una qualsiasi coppia di par-
ticelle prodotte i e j sono grandi. Affinche si ottengano logaritmi dominanti
dopo l’integrazione su βi nello spazio delle fasi (2.8), le ampiezze che com-
paiono nell’equazione (2.7) non devono decrescere all’aumentare delle masse
invarianti. Cio e possibile solo nel caso in cui sono scambiate particelle vet-
toriali (cioe gluoni) in tutti i canali con impulso trasverso qi, i = 1 ÷ n + 1;
infatti, i termini contenenti fermioni negli stati intermedi sono soppressi di
un fattore βi/βi−1 rispetto a quelli che prevedono lo scambio di gluoni [15].
Gli impulsi trasversi qi dei gluoni possono essere espressi nel seguente
modo:
qi = pA −i−1∑
j=0
kj = −(
pB −n+1∑
l=i
kl
)
≃ βip1 − αi−1p2 −i−1∑
j=0
kj⊥; (2.10)
q2i ≃ q2
i⊥ = −~q 2i .
Le ampiezze relative a questi processi hanno una struttura analitica com-
plicata; tuttavia, nella LLA solo le parti reali di queste ampiezze contribui-
scono [15]. A causa della Reggeizzazione del gluone, esse hanno la semplice
forma multi-Regge
AAB+nAB = 2sΓc1
AA
(
n∏
i=1
γPicici+1
(qi, qi+1)(
si
sR
)ω(ti) 1
ti
)
× 1
tn+1
(
sn+1
sR
)ω(tn+1)
Γcn+1
BB, (2.11)
dove sR e una qualunque scala di energia, irrilevante nella LLA; ω(t) e ΓaP ′P
sono la traiettoria di Regge ed i vertici PPR dati rispettivamente dalle equa-
zioni (2.4), (2.5) e (2.6); γGicici+1
(qi, qi+1) sono i vertici efficaci per la produzione
di particelle Pi con quadrimpulsi qi − qi+1 nella collisione di gluoni Reggeiz-
zati rispettivamente con impulsi qi e −qi+1 e indici di colore ci e ci+1.
Nella LLA solo una particella puo essere prodotta dai vertici RRP e dal mo-
mento che i Reggeoni in questione sono gluoni Reggeizzati, questa particella
puo essere soltanto un gluone, poiche un vertice gluone-gluone-fermione non
esiste in QCD [13]. In Figura 2.3 sono stati rappresentati i contributi al
20
vertice efficace per la produzione di un gluone.
B
A
B’
A’
a
b
c≡ 2s 1~q 21Γa
A′Aγcab(q1, q2)
1~q 22Γb
B′B
Fig. 2.3. Contributi al vertice efficace per la produzione di un gluone.
La forma del vertice efficace Reggeone-Reggeone-gluone (RRG) e la seguente:
γGicici+1
(qi, qi+1) = gT dicici+1
e∗µ(ki)Cµ(qi+1, qi), (2.12)
dove T dicici+1
sono gli elementi di matrice dei generatori del gruppo SU(N)
nella rappresentazione aggiunta, di e l’indice di colore del gluone prodotto,
e∗µ(ki) il suo vettore di polarizzazione, ki = qi − qi+1 il suo impulso.
L’ampiezza AAB+nA′B′ (si veda la Figura 2.4.) che compare nella (2.7) puo
essere ottenuta dalla (2.11) sostituendo A → A′, B → B′, q′i ≡ qi − q, dove
q = pA − pA′ ≃ q⊥.
Usando la seguente decomposizione
T dicici+1
(T di
c′ic′i+1
)∗ =∑
R
cR〈cic′i|PR|ci+1c′i+1〉 (2.13)
si ha [15]∑
Gi
γGicici+1
(qi, qi+1)(γGi
c′ic′i+1
(q′i, q′i+1))
∗ (2.14)
21
=∑
R
〈cic′i|PR|ci+1c′i+1〉2(2π)D−1K(R)
r (~qi, ~qi+1; ~q),
dove si e sommato sugli stati di colore e sugli stati di polarizzazione dei gluoni
prodotti, e inoltre
K(R)r (~qi, ~qi+1; ~q) = − g2cR
2(2π)D−1Cµ(qi+1, qi)Cµ(qi+1 − q, qi − q)
=g2cR
(2π)D−1
(
~q 2i (~qi+1 − ~q)2 + ~q 2
i+1(~qi − ~q)2
(~qi − ~qi+1)2− ~q 2
)
. (2.15)
A
B
A
B
q1
qi
qi+1
qn+1
g1
gi
gn
γGicici+1
(qi, qi+1) −→
Fig. 2.4. Rappresentazione schematica dell’ampiezza AAB+nAB .
Sempre dalla (2.13) si ha la seguente decomposizione dell’ampiezza di diffu-
sione AA′B′
AB sulle rappresentazioni del gruppo di colore:
AA′B′
AB =∑
R
(AR)A′B′
AB , (2.16)
dove (AR)A′B′
AB e la parte dell’ampiezza di diffusione che corrisponde ad una
definita rappresentazione irriducibile R del gruppo di colore nel canale t.
Introducendo la trasformata di Mellin2 fR(ω, ~q)A′B′
AB (onda parziale) della
parte immaginaria dell’ampiezza, si ha
fR(ω, ~q)A′B′
AB =∫ ∞
s0
ds
s
(
s
s0
)−ω
ℑms(AR)A′B′
AB , (2.17)
2Per la definizione e le proprieta della trasformata di Mellin si veda, per esempio, [3].
22
la cui inversa e data da (sviluppo in onde parziali) (si veda la Figura 2.5.)
pA
pB
pA′
pB′
q1
qi
qi+1
qn+1
q′1
q′i
q′i+1
q′n+1
Σn
Fig. 2.5. Rappresentazione della parte immaginaria dell’ampiezza AA′B′
AB .
ℑms(AR)A′B′
AB =s
2πi
∮
Cdω
(
s
s0
)ω
fR(ω, ~q)A′B′
AB
≡ s
2πi
∫ δ+i∞
δ−i∞dω
(
s
s0
)ω
fR(ω, ~q)A′B′
AB . (2.18)
Utilizzando la relazione di dispersione e possibile ricostruire l’ampiezza totale
(AR)A′B′
AB =s
2π
∫ δ+i∞
δ−i∞
dω
sin(πω)
[(−ss0
)ω
− η(
s
s0
)ω]
fR(ω, ~q)A′B′
AB , (2.19)
dove η e la segnatura, che coincide con la simmetria della rappresentazione R.
Per la rappresentazione del gluone, bisogna aggiungere il contributo all’ordine
perturbativo piu basso (ampiezza di Born).
La funzione fR(ω, ~q)A′B′
AB puo essere espressa come
fR(ω, ~q)A′B′
AB =∞∑
n=0
f(n)R (ω, ~q)A′B′
AB =1
(2π)D−2
∫ dD−2qA⊥~q 2A (~qA − ~q)2
(2.20)
× dD−2qB⊥~q 2B (~qB − ~q)2
∑
ν
I(R,ν)A′A G(R)
ω (~qA, ~qB; ~q)I(R,ν)B′B .
23
La funzione G(R)ω , chiamata funzione di Green per la diffusione di due gluoni
Reggeizzati, e definita come
G(R)ω (~qA, ~qB; ~q) =
∞∑
n=0
∫
(
n+1∏
i=1
dD−2qi⊥~q 2i (~qi − ~q)2(ω − ω(ti) − ω(t′i))
)
×(
n∏
i=1
K(R)r (~qi, ~qi+1; ~q)
)
~q 2A(~qA − ~q)2~q 2
B(~qB − ~q)2
×δ(D−2)(q1⊥ − qA⊥)δ(D−2)(qn+1⊥ − qB⊥). (2.21)
q1
q2
q1 − q
q2 − q
q1 q1 − q
q1
q′1
q2
q1 − q
q′1 − q
q2 − q
= +G(R)ω
G(R)ω
Fig. 2.6. Rappresentazione schematica dell’equazione integrale per G(R)ω .
Essa e l’unica quantita dipendente da ω, pertanto, determina la dipen-
denza da s dell’ampiezza di diffusione. Si puo verificare che essa e la soluzione
perturbativa della seguente equazione integrale (si veda la Figura 2.6.):
ωG(R)ω (~q1, ~q2; ~q) = ~q 2
1 (~q1 − ~q)2δ(D−2)(~q1 − ~q2) (2.22)
+∫ dD−2q′1⊥~q ′ 21 (~q ′
1 − ~q)2K(R)(~q1, ~q
′1; ~q)G
(R)ω (~q ′
1, ~q2; ~q),
dove la funzione K(R)(~q1, ~q′1; ~q), chiamata kernel della funzione integrale, ha
la seguente espressione:
K(R)(~q1, ~q2; ~q) = [ω(q21⊥) + ω((q1 − q)2
⊥)]~q 21 (~q1 − ~q)2 (2.23)
×δ(D−2)(~q1 − ~q2) + K(R)r (~q1, ~q2; ~q),
24
dove si possono distinguere due termini; il primo di essi e chiamato parte “vir-
tuale” ed e espresso in termini della traiettoria di Regge del gluone, mentre il
secondo, che e legato alla produzione di particelle reali, e dato dall’equazione
(2.15) (si veda la Figura 2.7.).
Fig. 2.7. Rappresentazione schematica della parte “reale” del kernel nell’ap-
prossimazione di Born.
L’equazione (2.22), nel caso in cui R = 0 (singoletto) e t = 0, e chiamata
equazione BFKL. Nel caso generale, viene chiamata equazione BFKL gene-
ralizzata. Essa e un’equazione di tipo iterativo.
Il kernel K(R) e la funzione di Green G(R)ω possono essere visti come operatori
che agiscono nello spazio degli impulsi trasversi; quindi, l’equazione (2.22)
puo essere scritta nella seguente forma operatoriale:
ωG(R)ω = 1 + K(R)G(R)
ω ,
da cui
G(R)ω =
1
ω − K(R). (2.24)
Se si utilizza la rappresentazione definita da
~q |~qi〉 = ~qi|~qi〉,〈~q1|~q2〉 = ~q 2
1 ~q22 δ
(D−2)(~q1 − ~q2),
〈A|B〉 = 〈A|~k〉〈~k|B〉 =∫
dD−2k
(~k 2)2A(~k)B(~k), (2.25)
e possibile ricostruire l’equazione BFKL generalizzata nella forma integrale
(2.22) a partire dalla (2.24).
25
1.3 Sezione d’urto totale per la diffusione “in avan-ti” con scambio di numeri quantici del vuoto nel
canale t
Si consideri ora un processo di diffusione “in avanti” (A = A′ e B =
B′) con scambio dei numeri quantici del vuoto nel canale t. La sezione
d’urto totale σAB(s), per il teorema ottico3, e legata alla parte immaginaria
dell’ampiezza ℑmsAABAB dalla relazione
σAB(s) =ℑmsAAB
AB
s. (2.26)
Dalle equazioni (2.18) e (2.20) si ottiene che
σAB(s) =∫ δ+i∞
δ−i∞
dω
2πi
1
(2π)D−2
∫
dD−2qA⊥dD−2qB⊥
(
s
s0
)ω
×ΦA(~qA)
(~q 2A)2
Gω(~qA, ~qB)ΦB(−~qB)
(~q 2B)2
, (2.27)
dove
ΦA(~qA) = I(0)AA =
1√N2 − 1
∑
A,c
|ΓcAA
|2; ~qA = −~pA, (2.28)
ΦB(~qB) = I(0)BB =
1√N2 − 1
∑
B,c
|ΓcBB
|2; ~qB = −~pB,
sono chiamati fattori di impatto; mentre Gω(~q1, ~q2) e la funzione di
Green e soddisfa l’equazione
ωGω(~qA, ~qB) = (~q 2A)2δ(D−2)(~qA − ~qB) +
∫
dD−2qr
(~qr2)2
K(~qA, ~qr )Gω(~qr, ~qB),(2.29)
dove
K(~qA, ~qr) = 2ω(−~q 2A)δ(D−2)(~qA − ~qr)(~q
2A)2 + Kr(~qA, ~qr). (2.30)
L’espressione della traiettoria ω(−~q 2) e data nell’equazione (2.4), mentre il
kernel integrale Kr(~q1, ~q2), legato alla produzione di particelle reali, e dato
dalla (2.15) (per q = 0):
Kr(~qA, ~qr) =g2CR
(2π)D−1
2~q 2A~qr
2
(~qA − ~qr)2. (2.31)
3Si veda, per esempio, [3].
26
I due contributi al kernel (virtuale e reale) se considerati separatamente,
presentano divergenze infrarosse; infatti, dalla (2.4),
ω(1)(−~q 2) = −g2NΓ(1 − ǫ)
(4π)2+ǫ
[Γ(ε)]2
Γ(2ε)
2
ǫ(~q 2)ǫ, (2.32)
che diverge quando ε → 0; equivalentemente, la (2.29) da un contributo
di ordine 1/ε dopo l’integrazione intorno al punto ~q1 − ~q2 = 0. Tuttavia,
queste divergenze si cancellano reciprocamente nella (2.29) [17]. Dalla (2.27)
si vede che, se la funzione di Green Gω(~q1, ~q2) presenta un polo ω′, la sezione
d’urto esibira un andamento proporzionale a sω′
(mentre ℑmsAABAB ∝ sω′+1).
Inoltre, poiche in forma operatoriale
Gω =1
ω − K, (2.33)
allora la ricerca delle singolarita di Gω(~q1, ~q2) si puo ricondurre alla ricerca
degli autovalori del kernel. In particolare si trova
σLLAtot ∼ sωB
P√ln s
, (2.34)
dove ωBP = 4N(αs/π) ln 2 e rappresenta il massimo autovalore del kernel.
Il pedice P indica il Pomerone, che e la traiettoria di Regge che governa
l’andamento asintotico in s delle ampiezze con scambio di numeri quantici
del vuoto nel canale t.
2 Equazione BFKL nella NLLA
Nell’approssimazione NLLA [18, 19] la (2.3) e stata provata fino ai pri-
mi tre ordini della teoria perturbativa ed e assunta essere valida a tutti gli
ordini perturbativi [20, 21, 22, 23]. In questo caso il vertice PPR assume la
forma ΓP ′P = δλP λP ′Γ
(+)PP + δλP ′ ,−λP
Γ(−)PP in cui appare un termine in cui non
e conservata l’elicita.
2.1 Correzioni all’ordine sottodominante
L’approccio che si utilizza nella NLLA e formalmente analogo a quello
della LLA; infatti, anche in questo caso, l’obiettivo finale e scrivere l’ampiez-
ze AA′B′
AB per il processo A+B → A′+B′. Evidentemente, le equazioni (2.16)
27
- (2.19), che esprimono queste ampiezze in termini delle loro parti immagi-
narie nel canale s, rimangono inalterate.
Come gia visto nella LLA, anche nella NLLA alla cinematica multi-Regge
(MRK) contribuiscono solo le ampiezze con numeri quantici del gluone nei
canali con impulso trasferito qi. Queste ampiezze dominano su tutte le altre
perche solo per esse non c’e cancellazione fra i contributi dei canali s ed u
(questo implica che solo per queste ampiezze i termini dominanti sono reali);
di conseguenza tutte le altre ampiezze intermedie sono soppresse di un fattore
ln s. Cio significa che nella (2.7) le ampiezze con numeri quantici differenti da
quelli del gluone nei canali ti, porterebbe alla perdita complessiva di almeno
due logaritmi di s; quindi, queste ampiezze aggiuntive possono essere igno-
rate nella NLLA e contribuiranno solo all’approssimazione successiva. Nella
cinematica multi-Regge le parti reali dei contributi alle ampiezze sono pre-
senti nella stessa forma (2.11) della LLA. Pertanto, in questa cinematica, il
problema si riduce al calcolo del contributo a due loop ω(2)(t) [20, 21, 22, 23]
della traiettoria del gluone Reggeizzato ω(t) ed alla correzione ad un loop
della parte reale dei vertici PPR [24, 25, 26] e RRG [27, 28, 29, 30] (si veda
la Figura 2.8.). MRK
• ω(1) −→ ω(2)
• Γc (Born)P ′P −→ Γ
c (1-loop)P ′P
Born −→ 1-loop
• γGi(Born)cici+1 −→ γ
Gi(1-loop)cici+1
Born
−→1-loop
Fig 2.8. Correzioni NLLA alla traiettoria e ai vertici PPR e RRG nella cine-
matica multi-Regge.
Contrariamente alla LLA, nella NLLA la cinematica multi-Regge non e l’u-
nica cinematica che contribuisce alla (2.7); infatti, poiche in questa appros-
simazione si ha la possibilita di perdere un logaritmo di s, va considerata
28
anche la cinematica in cui una qualsiasi coppia di particelle prodotte (ma
una soltanto!) possa avere una massa invariante fissata (non crescente con
s). In altri termini, le componenti di questa coppia possono avere le relative
variabili di Sudakov dello stesso ordine di grandezza. Questa cinematica,
chiamata quasi-multi-Regge (QMRK), puo essere trattata includendo, insie-
me alla produzione di un gluone, la produzione di stati piu complessi nella
collisione Reggeone-Reggeone (RR), cioe stati gluone-gluone (GG) [31, 32] e
quark-antiquark (QQ) [33, 34, 35, 36, 37]. Inoltre, nelle collisioni Reggeone-
particella (RP), si deve considerare la produzione di stati “eccitati” (con-
tenenti una particella in piu) nella regione di frammentazione di una delle
particelle iniziali (si veda la Figura 2.9.). Di conseguenza, l’onda parziale
(2.17) puo essere presentata nella stessa forma (2.20), ma con la funzione di
Green ed i fattori d’impatto modificati. Questi ultimi dovranno contenere le
correzioni ai vertici PPR. L’equazione (2.22) per la funzione di Green e la
rappresentazione (2.23) del kernel restano formalmente invariati.
QMRK
• Γc (Born)P ′P −→ Γ
c (Born){f}P
Born −→Born
• γGi(Born)cici+1 −→ γ
QQ(Born)cici+1
Born
−→Born
• γGi(Born)cici+1 −→ γ
GG(Born)cici+1
Born
−→
Born
Fig 2.9. Correzioni NLLA alla traiettoria e ai vertici PPR e RRG nella cine-
matica quasi-multi-Regge.
29
Nella parte virtuale del kernel, pero, la traiettoria va considerata fino
all’approssimazione di due loop:
ω(t) ≃ ω(1)(t) + ω(2)(t) (2.35)
e la parte “reale” dovra contenere, oltre ai contributi relativi alla produzione
di un gluone nelle collisioni RR (calcolati al livello di un loop) [27], anche i ter-
mini relativi alla produzione di stati GG [31, 32, 38, 39] e QQ [33, 34, 36, 37]
(calcolati al livello di Born). Il primo contributo dovra essere calcolato nel-
l’approssimazione di un loop, mentre gli altri due al livello di Born. Percio,
la parte “reale” del Kernel NLLA puo essere presentata nella forma (si veda
la Figura 2.10.)
K1−loopRRG
KBornRRQQ
KBornRRGG
Fig. 2.10. Rappresentazione schematica delle correzioni NLLA alla parte
reale del kernel.
Kr(~q1, ~q2) = K1−loopRRG (~q1, ~q2) + KBorn
RRGG(~q1, ~q2) + KBornRRQQ(~q1, ~q2). (2.36)
30
Nella rappresentazione di singoletto, il kernel NLLA e noto completamente
sia per il caso di diffusione in avanti (t = 0), sia per il caso di diffusione non
in avanti. Lo stesso vale per il caso della rappresentazione di ottetto.
Questa rappresentazione e importante perche quando nel processo elastico
A+B → A′ +B′ si considera lo scambio nel canale t della funzione di Green
nella rappresentazione di ottetto con segnatura negativa, l’ampiezza si deve
ridurre a quella con lo scambio di un solo gluone Reggeizzato (bootstrap) [36,
40, 41, 42].
3 Quadro riassuntivo
Nell’approccio BFKL, sia nella LLA che nella NLA, l’ampiezza per un
processo di diffusione ad alta energia puo essere scritta come la convoluzione
della funzione di Green G di due gluoni Reggeizzati interagenti con i fattori
di impatto ΦA′A e ΦB′B delle particelle che collidono (si veda la Figura 2.11.).
pA pA′
ΦA′A
q1 q1 − q
q2 q2 − q
G
pB pB′
ΦB′B
Fig. 2.11. Fattorizzazione dell’ampiezza
La funzione di Green puo essere ottenuta dal kernel dell’equazione BFKL,
che gia da tempo e noto nella NLA per il caso in avanti [19, 21, 23, 24, 25,
28, 29, 31, 33, 34, 35, 38] e solo qualche anno fa anche per il caso non-in
avanti [43].
Mentre la funzione di Green e universale, i fattori di impatto dipendono dal
processo in analisi. Il calcolo dei fattori di impatto all’ordine sottodominante
per particelle fisiche non e un compito facile ed e stato effettuato solo per
31
pochi casi. In particolare sono noti, all’ordine sottodominante, i fattori di
impatto per il quark [42], per il gluone [41], per la transizione fotone virtuale-
fotone virtuale [44] e per la transizione fotone virtuale-mesone [45].
32
Appendice A
Decomposizione di Sudakov
Un generico quadrivettore q puo essere decomposto [46] come
q = βp1 + αp2 + q⊥, (2.37)
dove q⊥ e, per costruzione, la componente di q perpendicolare al piano
individuato dai due quadrivettori p1 e p2 con le seguenti proprieta
p21 = p2
2 = 0, s = 2(p1p2). (2.38)
Da cio ne segue che
q2 = βαs− q2⊥ (2.39)
dq =s
2dβdαd2q⊥ (2.40)
Per un generico processo di collisione tra le particelle A e B e conveniente
scegliere i quadrivettori p1 e p2 tali che giacciano sul piano dei momenti pA
e pB. Cio equivale a definire
pA = p1 +m2
A
sp2, pB = p2 +
m2B
sp1. (2.41)
Avendo fatto questa scelta il termine “trasverso” assume ora il significato di
trasverso rispetto al piano della collisione.
33
Capitolo 3
Fattore di impatto per laproduzione di un jet
Quello che si vuole studiare e l’adroproduzione inclusiva di una coppia
di jet con momento trasverso prodotto molto maggiore rispetto alla massa
dell’adrone stesso e con grande separazione di rapidita y. Se y e abbastanza
grande, come deve esserlo nel limite di alte energi e (s → ∞), tale che il
prodotto αsy ∼ 1 allora, puo essere fatta la risommazione BFKL di questi
termini.
Poiche i fattori di impatto non sono universali, ma dipendono dalle particelle
che collidono, e necessario conoscere l’espressione del fattore di impatto del
protone-jet. Il jet puo essere generato da un quark o un gluone che determi-
nano quindi due fattori di impatto differenti. In questo lavoro di tesi e stato
considerato solo il primo dei due.
Questo calcolo, in realta, e gia stato eseguito da J. Bartels, D. Colferai e G.P.
Vacca [1] i quali hanno utilizzato una differente notazione rispetto a quella
introdotta da Balitskii, Fadin, Kuraev e Lipatov nella costruzione della teoria
BFKL.
Per poter utilizzare il loro risultato e stato necessario controllare la correttez-
za del calcolo in un caso limite, per verificare che non ci fossero errori (come
effettivamente riscontrati) e adattare il risultato alla notazione di Balitskii,
Fadin, Kuraev e Lipatov. Inoltre, mentre il calcolo di J. Bartels, D. Colfe-
rai e G.P. Vacca [1] e ad ordine perturbativo fissato, qui verra effettuata la
risommazione di tutta la serie perturbativa limitatamente ai termini con i
34
logaritmi dell’energia dominanti e sottodominanti.
1 Due diverse notazioni
In questa sezione verranno confrontate le due diverse notazioni: quella
usata da J. Bartels, D. Colferai e G.P. Vacca [1] e quella introdotta da Bali-
tskii, Fadin, Kuraev e Lipatov nella costruzione della teoria BFKL che sara
proprio quella utilizzata in questo lavoro di tesi.
Nel formalismo di J. Bartels, D. Colferai e G.P. Vacca la sezione d’urto
differenziale per il processo A+B → A′ +B′ viene scritta come [47]
dσAB
d[k1]d[k2]=∫
dω
2πiω
(
s
s0(k1,k2)
)ω
hA(k1)Gω(k1,k2)hB(k2), (3.1)
dove s0(k1,k2) e una scala di energia e sara scelta essere s0 = |~k||~k′| (ki =
|ki|); d[k] = d2+2εkπ1+ε rappresenta la misura dello spazio trasverso; hi(kn) sono i
fattori di impatto; Gω(k1,k2) e la funzione di Green, che in forma operatoriale
all’ordine leading e scritta come
Gω =(
1 − αs
ωK0
)−1
, (3.2)
con
K0(k1,k2) =1
q2Γ(1 − ε)µ2ε+ 2ω(1)(k2
1)δ[q], δ[q] = π(1+ε)δ2+2ε(q), (3.3)
dove q = k1 − k2.
All’ordine NLA si ha invece
Gω = (1 + αsHL)[
1 − αs
ω(K0 + KNL)
]−1
(1 + αsHR) (3.4)
in cui HL e HR sono due fattori operatoriali che nel caso in cui s0 = |~k||~k′|soddisfano la relazione HR = H
†L = H e prendono la forma [47]
H(k1,k2) = − 1
q2µ2εln
q
k1
Θ(q2 − k21); (3.5)
35
e
αs =N
π
g2Γ(1 − ε)µ2ε
(4π)1+ε(3.6)
e la costante di accoppiamento dimensionale.
Nella notazione di Fadin et al. la sezione d’urto e data dalla (2.27) mentre
la funzione di Green, a tutti gli ordini, e data dalla (2.29) che in forma
operatoriale diventa
Gω = (ω −K)−1. (3.7)
Confrontando la (3.1) con la (2.27) si puo notare che e stata utilizzata una
normalizzazione differente, in particolare nel primo caso si ha:
〈~q ′|~q〉 = δ(~q − ~q′
), (3.8)
mentre nel secondo
〈~q ′|~q〉 = δ(~q − ~q′
)~q 2~q′2. (3.9)
Nonostante cio all’ordine dominante i due metodi sono analoghi come si puo
facilmente vedere se nella (2.27) e nella (3.1) la funzione di Green viene
espressa in forma funzionale.
Le cose cambiano nella NLA a causa della differente definizione della funzione
di Green (3.4). In particolare per poter confrontare le due differenti notazioni
e necessario fare la seguente identificazione
Φ(1)(~k1)
Φ(B)(~k1)=h(1)(~k1)
h(0)(~k1)+ αs
∫
d~krh(0)(~kr)
h(0)(~k1)HL(~kr, ~k1), (3.10)
dove HL pero va moltiplicato per un fattore 1/Γ(1 − ε) dovuto al fatto che
quando e stato definito, nella [47], c’e stato un errore, gia riscontrato in [41].
Φ(1)A (~k1) e il fattore di impatto nella notazione usata in questo lavoro; h
(1)A (~k1)
il fattore di impatto nella notazione di J. Bartels, D. Colferai e G.P. Vacca;
la funzione di Green e la sezione d’urto soddisfano rispettivamente la (2.29)
e la (2.27).
36
2 Struttura generale
Per poetr determinare la sezione d’urto per il processo H + H → jet +
jet + X e conveniente studiare, preliminarmente, un sottoprocesso in cui
un adrone H , interagendo fortemente con un partone b, produce nello stato
finale un solo jet nella direzione in avanti rispetto all’adrone H , in particolare
H + b→ jet + q +X dove X rappresenta un insieme di particelle con basso
momento longitudinale.
L’adrone e il partone iniziale avranno quadri-impulso rispettivamente
pH =
√
s
2(1, 0, 0, 1) pb =
√
s
2(1, 0, 0,−1) (3.11)
Nella cinematica di Regge si ha
s = (pH + pb)2 → ∞, t = (pH − pJ)2 ≃ −√
sEJe−yJ fisso, (3.12)
dove pJ e il momento del jet nello stato finale, ed EJ la sua energia.
Nel limite s → ∞ e possibile trascurare la massa dei partoni costituenti
l’adrone H e l’interazione tra i partoni stessi. E quindi possibile considerare
esclusivamente la collisione tra il quark b e un generico quark a proveniente
dall’adrone H .
Il quark (a) proveniente dall’adrone H avra impulso
pa = xpH = x
√
s
2(1, 0, 0, 1), (3.13)
dove x e la variabile di Bjorken.
Il processo studiato da Bartels et al. e stato quindi H + b → q + jet + X
in cui il jet e collineare a b e ha una grande separazione in rapidita rispetto
all’altro quark emesso. Questo, nel limite di alte energie, puo essere visto
come la somma di diversi sottoprocessi quali: H + b → q + jet, produzione
di un quark ed un jet con lo scambio di un gluone, H + b → q + g + jet,
nello stato finale oltre al quark e al jet, vi e anche la produzione di un gluone
nella parte centrale con una grande separazione in rapidita tra il quark e il
jet stessi, H+ b→ q+ g+ g+jet, nella zona centrale si ha non piu un gluone
ma due e cosı via.
Bartels et al. si sono dedicati solo allo studio dei primi due, ottenendo la
37
sezione d’urto differenziale dσ/dJ , integrando quindi su tutto lo spazio delle
fasi degli stati finali escluso quello del jet. Per identificare il jet hanno intro-
dotto una generica funzione SJ con lo scopo di selezionare le configurazioni
dello stato finale.
Per verificare l’esattezza del risultato trovato in [1] e stato qui considerato
un caso limite, cioe quello in cui non vi e la selezione del jet. Questo significa
integrare su tutto lo spazio delle fasi, anche quello del jet, ottenendo cosı la
sezione d’urto totale per il processo quark-quark. Per cui le condizioni da
porre sono [48]:
∫
dJSJ = 1, (3.14)∫
dxfa(x) = 1. (3.15)
La (3.14) e dovuta al fatto che si integra su tutto lo spazio della fasi degli
stati finali; la (3.15) significa integrare la distibuzione partonica fa(x) sulla
variabile di Bjorken poiche non si vuole studiare il processo H + q ma q + q.
Con queste condizioni il vertice del jet si deve ridurre al fattore di impatto
del quark che, nella notazione di Fadin et al. e stato calcolato all’ordine
dominante e sottodominante in [42].
Nelle due sezioni successive sara quindi verificata l’esattezza del risulta-
to trovato in [1] all’ordine dominante(a + b → q + jet) e sottodominante
(a + b→ q + g + jet) rispettivamente.
3 Il Jet all’ordine piu basso
All’ordine piu basso il processo da studiare e a b → 1 2. Le particelle
scambiate avranno momento, tramite parametrizzazione di Sudakov (si veda
la Figura 3.1.)
k = pb − p2 = −ωpa + ωpb + k⊥, k⊥ = (0, 0, ~k) (3.16)
k′ = p1 − pa = −zpa + zpb + k′⊥, k′⊥ = (0, 0, ~k′)
s = (pa + pb)2 = xs.
38
pb p2
Φ
k k − q
k′ k′ − q
G
pa p1Φ
Fig. 3.1. Fattorizzazione dell’ampiezza
In questo caso la parte immaginaria dell’ampiezza di diffusione e
ℑms(A)ABAB =
s
(2π)2+2ε
∫
d2+2εk
(~k2)2
∫
d2+2εk′
(~k′2)2
Φcc′(B)AA (~k; 0) (3.17)
×∫ δ+∞
δ−∞
dω
2πi
[(
s
s0
)ω 1
ω(~k2)2δ(2+2ε)(~k − ~k′)
]
×Φcc′(B)BB (−~k′; 0),
dove il fattore di impatto per il quark, all’ordine dominante, e [42]
Φcc′(B)(~k) = g2
√N2 − 1
2N. (3.18)
Sostituendo la (3.18) nella (3.17) ed integrando su ω e k si ha
ℑms(A)ABAB = s
d2+2εk
(2π)2+2εg4N
2 − 1
4N2
1
(~k2)2. (3.19)
Confrontando, come detto, questo risultato con quello ottenuto in [1], si puo
notare che non ci sono discordanze.
A questo livello e evidente che il jet puo contenere solo uno dei due quark nello
stato finale. Inoltre poiche si e interessati al jet in avanti rispetto all’adrone
iniziale, la configurazione p2 = pJ da un contributo trascurabile rispetto alla
configurazione p1 = pJ . Questo puo essere visto notando che l’ampiezza
corrispondente alla prima configurazione ha un propagatore ∼ 1/|u| ≃ 1/s
(dove u = (pb − p1)2) mentre la seconda ha un propagatore ∼ 1/t. Per
39
cui l’identificazione da fare e p1 = pJ , cosı la distribuzione del jet per due
particelle nello stato finale puo essere scritta come
S(2)J (~k; x) = S
(2)J (p1, p2; pa, pb) = δ
(
1 − xJ
x
)
E1+2εJ δ(~k − ~kJ), (3.20)
con xJ = EJeyJ√s, e ~kJ il momento trasverso del jet.
Si puo quindi concludere che il vertice all’ordine piu basso assume la forma
V (B)q (~k, x) = Φcc′(B)
q (~k)S(2)J (~k; x). (3.21)
4 Il Jet all’ordine NLA
In questa sezione verra calcolato il contributo al vertice del jet all’ordine
NLA. E qui necessario correggere il fattore di impatto con le correzioni reali
dovute all’emissione di un gluone nello stato finale e con le correzioni virtuali
che comportano, nei diagrammi, lo scambio di due gluoni.
Il processo da studiare sara ora a b → 1 2 3, dove 3 rappresenta il gluone con
momento p3.
Nella cinematica MRK si ha
y1 ≫ y3 ≫ y2, |~k′| ∼ |~k − ~k′| ∼ |~k|, (3.22)
cioe la rapidita y3 del gluone emesso e fortemente ordinata tra la rapidita dei
partoni diffusi y1 e y2, in altri termini il gluone e emesso nella zona centrale.
Attraverso la parametrizzazione di Sudakov si ha
k = pb − p2 = −ωpa + ωpb + k⊥, k⊥ = (0, 0, ~k), (3.23)
k′ = p1 − pa = −zpa + zpb + k′⊥, k′⊥ = (0, 0, ~k′),
e in MRK ω ∼ z ≪ ω ∼ z ≪ 1.
Definizione di jet In generale nella QCD in cui vengono trascurate
le masse dei partoni, esistono due divergenze infrarosse: (i) soffice la qua-
le emerge quando un gluone e emesso con un momento che va a zero; (ii)
collineare la quale emerge quando due partoni interagenti sono emessi col-
linearmente. E quindi necessario che la SJ che determina il jet non abbia
40
queste divergenze, in particolare dato un set di funzioni S(n)J (p1, ..., pn; pa, pb)
(dove pa e pb denotano i momenti degli stati iniziali) e necessario richiedere
che uno stato (p1, ..., pj , ..., pn) con una particella soffice pj → 0 deve essere
indistinguibile dalle altre n− 1 particelle dello stato finale (p1, ..., pn), cioe
limpj→0
S(n)J (..., pj, ...; pa, pb) = S
(n−1)J (...; pa, pb). (3.24)
Allo stesso modo in uno stato (p1, ..., pi, pi+1..., pn) con due particelle colli-
neari, cioe pi||pi+1, esse non possono essere distinte dalle altre n−1 particelle
dello stato finale (p1, ...pi, pi+1, ..., pn). La funzione S(n)J deve allora soddisfare
S(n)J (..., ap, bp, ...; pa, pb) = S
(n−1)J (..., (a + b)p, ...; pa, pb), (3.25)
con a, b > 0.
Quando una particella uscente e collineare con una iniziale detta a, la fun-
zione S(n)J dovra soddisfare una relazione simile:
S(n)J (..., apa, ...; pa, pb) = S
(n−1)J (...; (1 − a)pa, pb), (3.26)
con 0 < a < 1.
Poiche vi e l’emissione di tre partoni nello stato finale (due quark e un gluone),
le possibili configurazioni di divergenza collineare sono: a||1, a||3, 1||3, b||2,b||3, 2||3. Anche in questo caso il contributo dovuto al vertice dalla parti-
cella 2 e soppresso. Per cui solo le particelle 1 e 3 possono far parte del jet e
quindi la funzione SJ , detta ora S(3)J oltre al quark 2 dovra selezionare anche
il gluone 3.
Per determinare la parte immaginaria dell’ampiezza di diffusione e necessario
fare la convoluzione della funzione di Green con i fattori di impatto ottenen-
do tre termini: il primo conterra i due fattori di impatto uno all’ordine NLA
e l’altro all’ordine LA combinati con la funzione di Green all’ordine LA e
l’altro fattore di impatto all’ordine LA; il secondo conterra la funzione di
Green all’ordine NLA con i fattori di impatto al livello di Born; e l’ultimo e
analogo al primo. Nel caso limite si ha
ℑm(A)ABAB =
s
(2π)2+2ε
∫
d2+2εk
(~k2)2
d2+2εk′
(~k′2)2
∫ δ+∞
δ−∞
dω
2πi
(
s
s0
)ω 1
ω(3.27)
41
×{
Φ(1)b (~k; 0; s0)(~k
2)2δ2+2ε(~k − ~k′)Φcc′(B)a (−~k′; 0; s0)
+Φcc′(B)b (~k; 0; s0)
[
∫
d2+2εkr
(~k2r)
2
1
ω(~k 2
r )2δ2+2ε(~kr − ~k′
)
×
2ω(−~k2r)(~k2
r)2δ2+2ε(~kr − ~k) + 2g2 N
(2π)3+2ε
~k2~k2r
(~k − ~kr)2
×Φcc′(B)a (−~k′; 0; s0)
]
+Φcc′(B)b (~k; 0; s0)(~k
2)2δ2+2ε(~k − ~k′)Φ(1)a (−~k′; 0; s0)
}
≡ I1 + I2 + I3,
dove
I1 =s
(2π)2+2ε
∫ d2+2εk
(~k2)2
d2+2εk′
(~k′2)2
∫ δ+∞
δ−∞
dω
2πi
(
s
s0
)ω 1
ω(3.28)
×Φ(1)b (~k; 0; s0)(~k
2)2δ2+2ε(~k − ~k′)Φcc′(B)a (−~k′; 0; s0)
(3.29)
I2 =s
(2π)2+2ε
∫
d2+2εk
(~k2)2
d2+2εk′
(~k′2)2
∫ δ+∞
δ−∞
dω
2πi
(
s
s0
)ω 1
ω(3.30)
Φcc′(B)b (~k; 0; s0)
∫
d2+2εkr
(~kr
2)2
1
ω( ~K 2
r )2δ2+2ε(~kr − ~k′
)
×
2ω(−~k2r)(~k2
r)2δ2+2ε(~kr − ~k) + 2g2 N
(2π)3+2ε
~k2~k2
(~k − ~kr)2
×Φcc′(B)a (−~k′; 0; s0)
]
(3.31)
I3 =s
(2π)2+2ε
∫
d2+2εk
(~k2)2
d2+2εk′
(~k′2)2
∫ δ+∞
δ−∞
dω
2πi
(
s
s0
)ω 1
ω(3.32)
Φcc′(B)b (~k; 0; s0)(~k
2)2δ2+2ε(~k − ~k′)Φ(1)a (−~k′; 0; s0)
e il fattore di impatto per il quark all’ordine NLA [42] e
Φ(1)a (~k′, 0; s0) = g2
√N2 − 1
2N
[
−g2NΓ(1 − ε)
(4π)2+ε
[Γ(ε)]2
Γ(2ε)(~k′2)
]
(3.33)
×[
− ln(
s0
~k′2
)
+(
10
3− 1
3
nf
N
)
+ ε
(
−38
9+π2
6+
5
9
nf
N
)]
,
42
Sostituendolo nella (3.27) si ha, attraverso semplici passaggi,
I1 = I3 =s
(2π)2+2εg4N
2 − 1
4N2
∫
d2+2εk
(~k2)2
[
−g2NΓ(1 − ε)
(4π)2+ε
Γ(ε)2
Γ(2ε)~k2ε
]
(3.34)
×[
− ln(
s0
~k2
)
+(
10
3− 1
3
nf
N
)
+ ε
(
−38
9+π2
6+
5
9
Nf
N
)]
,
e
I2 = g6N2 − 1
4Nln
(
s
s0
)
s
(2π)3+3ε
∫
d2+2εk
~k2(3.35)
×
−Γ(1 − ε)[Γ(ε)]2
Γ(2ε)
1
22+επ
~k2ε
~k2
+1
π
1
(2π)1+ε
∫
d2+2εk′
~k′2(~k − ~k′)2
}
Quest’ultimo coincide con il risultato ottenuto in [1].
Per poter confrontare I1 e necessario prima di tutto riportare l’equazione
(3.33) in una forma generale, cioe senza fissare una particolare scala di energia
s0, facendo la seguente trasformazione:
φAA′(~k, ~q; s0) −→ φAA′(~k, ~q; s0) +1
2
∫ d2+2εkr
~k2r~k′2
r
Φ(B)AA′(~kr, ~q) (3.36)
×K(B)(~kr, ~k; ~q) ln
f1(~kr, ~q)
s0
,
con s0 =√
f1(~k, ~q)f2(~k′, ~q).
Usando come scala s0 = |~k||~k′| per l’equazione (3.33) si ha:
Φ(1)q (~k; s0)
Φ(B)q
−→ ω(1)(−~k2)[(
− ln(
s0
~k2
)
+10
3− 1
3
nf
N
)
(3.37)
+ε
(
−38
9+π2
6+
5
9
nf
N
)]
+1
2
∫ d2+2εkr
(~k2r)
2
×
2ω(1)(−~k2r)(~k2
r)2δ(2+2ε)(~kr − ~k) + g2 N
(2π)3+2ε2
~k2r~k2
(~kr − ~k)2
× ln
f1(~kr, 0)
s0
43
da cui
Φ(1)q (~k; s0)
Φ(B)q (~k)
−→ ω(1)(−~k2)[(
10
3− 1
3
nf
N
)
(3.38)
+ε
(
−38
9+π2
6+
5
9
nf
N
)]
+ g2N~k2
(2π)3+2ε
∫
d2+2εkr
~k2r(~kr − ~k)2
ln
~k2r
~k2
.
La stessa scala s0 = |~k||~k′| e stata usata anche in [47], ma qui il fattore
di impatto e stato definito in modo diverso, come gia visto. In particolare
h(1)q (~k) [47] e
h(1)q (~k) =
N
π
(
67
36− π2
12
)
− 5
18
Nf
N+
1
ε
ε
4− 3
4
~k 2ε
µ2ε
(3.39)
−b0 lnE2
J
µ2
]
h(0)q (~k).
E necessario quindi usare la (3.10), ottenendo
h(1)q (~k)
h(0)q (~k)
−→ ω(−~k2)
[
(
10
3− 1
3
nf
N
)
+ ε
(
−38
9+π2
6+
5
9
nf
N
)]
(3.40)
−g2N~k2
(2π)3+2ε
∫ d2+2ε ~kr
~kr
2(~kr
2 − ~k)2ln
(~kr − ~k)2
~kr
2
Θ(
(~kr − ~k)2 − ~kr
2)
,
dove h(0)q (~k) [47]
h(0)q (~k) =
21+εg2
(4π)1+ε√N2 − 1
N2 − 1
2N
1
~k 2. (3.41)
Si ha in particolare per la (3.38)
I1 =1
(2π)2+2εg4N
2 − 1
4N2
∫
dd−2k
(~k2)2
{
−g2NΓ(1 − ε)
(4π)2+ε
[Γ(ε)]2
Γ(2ε)(~k2)ε (3.42)
×[
(
10
3− 1
3
nf
N
)
+ ε
(
−38
9+π2
6+
5
9
nf
N
)]
+g2N~k2
(2π)3+2ε
∫
d2+2εkr
~k2r(~kr − ~k)2
ln
~k2r
~k2
44
e analogamente per la (3.40)
I1 =g4
(2π)2+2ε
N2 − 1
4N2
∫ d2+2εk
(~k2)2
{
−g2NΓ(1 − ε)
(4π)2+ε
Γ(ε)2
Γ(2ε)~k2ε (3.43)
×[
(
10
3− 1
3
nf
N
)
+ ε
(
−38
9+π2
6+
5
9
nf
N
)]
− g2N~k2
(2π)3+2ε
×∫ d2+2ε~kr
~k2r(~kr − ~k)2
ln
(~kr − ~k)2
~k2r
Θ(
(~kr − ~k2)2 − ~k2
r
)
Si dimostra [41] che l’ultimo termine della (3.42) e della (3.43) sono uguali,
a meno di termini dell’ordine di ε, cioe
∫
d2+2εkr
~k2r(~kr − ~k)2
ln
~k2r
~k2
+ ln
(~kr − ~k)2
~k2r
Θ(
(~kr − ~k2)2 − ~k2
r
)
= 0,(3.44)
per cui i due risultati coincidono.
Rimane ora da confrontare I2. Per fare cio e necessario verificare che l’e-
spressione del vertice ottenuta in [1] nel caso limite si riduce alla (3.39) o
analogamente, dopo aver fatto le dovute trasformazioni (3.10), alla (3.43).
Il fattore di impatto del vertice e stato corretto, come si e detto, attraverso
delle correzioni virtuali e reali, in particolare per le correzioni reali [1] si ha
V(1)q(d,f)(
~k, x) =NCF
2π
∫ 1
zcut
dzPgq(z, ε)
πε
1
~k ′2~q 2(~q − z~k)2(3.45)
×[CF z2~k
′2 + CA(1 − z)~q · (~q − z~k)]S(3)J (~k
′
, ~q, xz; x),
dove N = 21+εαs
µ2εΓ(1−ε)√
N2−1; Pgq(z, ε) rappresenta la parte reale della funzione
di splitting q → g nello spazio a (4 + 2ε)-dimensioni; Ci sono i fattori di
colore, in particolare CF = N2−12N
(per un quark) e CA = N (per un gluone);
Nf e il numero di sapori dei quark.
Il pedice (f, d) indica la presenza di una parte divergente ed una finita. Que-
st’ultima fara completamente parte dell’espressione del vertice finale, mentre
una parte divergente contribuira al vertice e l’altra alla correzione del kernel.
In particolare la parte finita, ottenuta dalla (3.45) mediante sottrazione delle
parti divergenti, e:
V (1)q (~k, x) =
[(
3
2lnE2
J
Λ2− 2
)
CF
π+
(
85
36+π2
4
)
CA
π− 5
18
Nf
π(3.46)
45
−b0 lnE2
J
µ2
]
V (0)q (~k, x) +
∫
dz V (0)q (~k, xz)
{
CF
π
[
1 − z
2
+
(
ln(1 − z)
1 − z
)
+
(1 + z2)
]
+CA
π
z
2
}
+CA
π
∫
d2+2εk′
π
×∫
dz
1
2Pqq(z)
(1 − z)~q · (~q − ~k)
~q 2(~q − ~k)2h(0)
q (~k′
)
× S(3)J (~k
′
, ~q, xz, x) − 1
~k ′2Θ(
Λ2 − ~k′2)
V (0)q (~k, xz)
)
− 1
z~q 2Θ(
|~q| − z(|~q| + |~k ′|))
V (0)q (~k
′
, x)
]
+CF
2π
∫
dz1
(1 − z)+
(1 + z2)∫
d2+2εl
π~l 2
[
NCF
~l 2 + (~l − ~k)2
×(
S(3)J (z~k + (1 − z)~l, (1 − z)(~k −~l), x(1 − z); x)
+S(3)J (~k − (1 − z)~l, (1 − z)~l, x(1 − z); x)
)
−Θ(
Λ2 −~l 2) (
V (0)q (~k, xz) + V (0)
q (~k, x))]
,
dove Λ e un cut-off ultravioletto; Pqq(z) = CF
(
1+z2
1−z
)
+e la funzione di split-
ting q → q Altarelli-Parisi; per semplicita e stato riscalato il momento tra-
sverso del gluone trasferito ponendo ~q = z~l.
Nel caso limite, cioe quando sono verificate le (3.14) e (3.15), il processo da
studiare e a b→ 1 2 3 e se la (3.46) e corretta si dovrebbe ridurre alla (3.39).
L’equazione di partenza e quindi
V (1)q (~k, x) →
[(
3
2lnE2
J
Λ2− 2
)
CF
π+
(
85
36+π2
4
)
CA
π− 5
18
Nf
π(3.47)
−b0 lnE2
J
µ2
]
h(0)q (~k) +
∫
dz h(0)q (~k)
{
CF
π
[
1 − z
2
+
(
ln(1 − z)
1 − z
)
+
(1 + z2)
]
+CA
π
z
2
}
+CA
π
∫
d2+2εk′
π
×∫
dz
1
2Pqq(z)
(1 − z)~q · (~q − ~k)
~q 2(~q − ~k)2h(0)
q (~k′
)
− 1
~k ′2Θ(
Λ2 − ~k′2)
h(0)q (~k)
)
− 1
z~q 2Θ(
|~q| − z(|~q| + |~k ′|))
h(0)q (~k
′
)
]
46
+CF
π
∫
dz1
(1 − z)+(1 + z2)
∫ d2+2εl
π~l 2
[
NCF
~l 2 + (~l − ~k)2
−Θ(
Λ2 −~l 2)
h(0)q (~k)
]
.
In realta nella (3.47) sono stati riscontrati degli errori e l’espressione corretta
da cui partire e
V (1)q (~k, x) →
[(
3
2lnE2
J
Λ2− 2
)
CF
π+
(
85
36+π2
4
)
CA
π− 5
18
Nf
π(3.48)
−b0 lnE2
J
µ2
]
h(0)q (~k) +
∫
dz h(0)q (~k)
{
CF
π
[
1 − z
2
+
(
ln(1 − z)
1 − z
)
+
(1 + z2)
]
+CA
π
z
2
}
+CA
π
∫ d2+2εk′
π
×∫
dz
1
2Pgq(z)
(1 − z)~q · (~q − z~k)
~q 2(~q − z~k)2h(0)
q (~k′
)
− 1
~k ′2Θ(
Λ2 − ~k′2)
h(0)q (~k)
)
− 1
z~q 2Θ(
|~q| − z|~k|)
h(0)q (~k
′
)
]
+CF
π
∫
dz1
(1 − z)+(1 + z2)
∫
d2+2εl
π~l 2
[
NCF
~l 2 + (~l − ~k)2
−Θ(
Λ2 −~l 2)
h(0)q (~k)
]
= h′(1)q(fin).
In particolare, i termini da modificare sono:
Pqq(z) −→ Pgq(z); (3.49)
~q · (~q − ~k)
~q 2(~q − ~k)2−→ ~q · (~q − z~k)
~q 2(~q − z~k)2(3.50)
Θ(
|~q| − z(|~q| + |~k ′|))
−→ Θ(
|~q| − z|~k|)
(3.51)
La (3.49) e la (3.50) sono gia evidenti confrontando la (3.47) con la (3.45)
e sono state confermate esplicitando il calcolo della (3.47) a partire dalla
(3.45).
La (3.51) e meno evidente e l’origine del problema e da riscontrare nel fatto
che Bartels et al. trovano questo termine a partire da una media sull’angolo
azimutale del gluone φ3, ottenendo
〈(1 − z)~q · (~q − z~k)
~q 2(~q − z~k)2〉φ3 =
1
~q 2Θ(
|~q| − z(
|~q| + |~k ′ |))
, (3.52)
47
mentre e stato trovato che la quantita divergente da sottrarre e
〈 ~q · (~q − z~k)
~q 2(~q − z~k)2〉φ3 =
1
~q 2Θ(
|~q| − z|~k|)
(3.53)
Per il calcolo esplicito si veda l’Appendice (3).
Poiche la (3.48) e nel limite ε → 0, per poterla risolvere, e stato necessario
ripristinare la dipendenza da ε, in particolare, e stato reintrodotto un para-
metro πε (πε = π1+εΓ(1 − ε)µ2ε).
Risolvendo la (3.48) si ha
h′(1)q(fin) =
[(
3
2lnE2
J
Λ2− 2
)
CF
π+
(
85
36+π2
4
)
CA
π− 5
18
Nf
π(3.54)
−b0 lnE2
J
µ2
]
h(0)q (~k) + Ia + Ib + Ic + Id + Ie + If
dove gli integrali Ia, Ib, Ic, Id, Ie, If (calcolati nell’Appendice (2)) sono
Ia(~k) :=∫ 1
0dz h(0)
q (k)
{
CF
π
[
1 − z
2+
(
ln(1 − z)
1 − z
)
+
(1 + z2)
]
(3.55)
+CA
π
z
2
}
= h(0)q (k)
(
2CF
π+CA
4π
)
;
Ib(~k) :=CA
ππε
∫
d2+2εk′∫ 1
zcut
dz1
2Pgq(z)(1 − z)
~q · (~q − z~k)
~q 2(~q − z~k)2h(0)
q (~k′
)(3.56)
=CA
ππεh(0)
q (~k)π1+ε~k 2ε Γ(1 − ε)Γ2(1 + ε)
εΓ(1 + 2ε)
×(
−2 ln zcut −1
2ε− π2
3ε− 3
4− ε
2
)
;
Ic(~k) := − CA
ππε
∫
d2+2εk′∫ 1
zcut
dz1
2Pgq(z)
1
~k ′2Θ(
Λ2 − ~k′2)
h(0)q (~k) (3.57)
=CA
ππεπ1+εh(0)
q (~k)1
Γ(1 + ε)
(
ln zcut +3
4
)
Λ2ε
ε;
Id(~k) := − CA
ππε
∫ 1
zcut
dz
z
∫
d2+2εk′
~q 2h(0)
q (~k′
)Θ(
|~q| − z|~k|)
(3.58)
48
= h(0)q (~k)
CA
ππεπ1+ε~k 2ε Γ(1 − ε)Γ2(1 + ε)
εΓ(1 + 2ε)
(
1
2ε+ 2 ln zcut
)
;
Ie(~k) :=CF
π
∫ 1
0dz
(1 + z2)
(1 − z)+
∫
d2+2εl
πε~l 2
NCF
~l 2 + (~l − ~k)2(3.59)
= −3
2
CF
ππεh(0)
q )(~k)π1+εΓ(1 − ε)~k 2ε
ε;
If(~k) := −CF
π
∫ 1
0dz
(1 + z2)
(1 − z)+
∫ d2+2εl
πε~l 2
Θ(
Λ2 −~l 2)
h(0)q (~k) (3.60)
=3
2
CF
ππε
h(0)q (~k)
π1+ε
Γ(1 + ε)
Λ2ε
ε.
Dalla (3.45) si ottiene che la parte divergente che contribuira al fattore di
impatto del vertice e
Vdiv =1
2πε
(
Λ2
µ2
)ε∫
dz V (0)q (~k, xz) [Pqq(z) + CAPgq(z)] (3.61)
e nel caso limite diventa
Vdiv → 1
2πε
(
Λ2
µ2
)ε∫
dz h(0)q (~k) [Pqq(z) + CAPgq(z)] (3.62)
= h′(1)(~k)div.
Integrando si ha
Ig(~k) :=1
2πε
(
Λ2
µ2
)ε∫ 1
0dz h(0)
q (~k)Pqq(z) = 0 (3.63)
Ih(~k) :=CA
2πε
(
Λ2
µ2
)ε∫ 1
zcut
dz h(0)q (~k)Pgq(z) (3.64)
=CA
πε
(
Λ2
µ2
)ε
h(0)q (~k)
(
− ln zcut −3
4
)
Sommando la (3.54) e la (3.62) si ha proprio il fattore di impatto del quark
h(1)q (~k) (3.39).
La nuova espressione del vertice all’ordine NLA e quindi:
V (1)q (~k, x) =
{[(
3
2lnE2
J
Λ2− 2
)
CF
π+
(
85
36+π2
4
)
CA
π− 5
18
Nf
π
]
(3.65)
49
×V (0)q (~k, x) +
∫
dz V (0)q (~k, xz)
{
CF
π
[
1 − z
2+
+
(
ln(1 − z)
1 − z
)
+
(1 + z2)
]
+CA
π
z
2
}
+CA
π
∫
d2+2εk′
π
×∫
dz
1
2Pgq(z)
(1 − z)~q · (~q − z~k)
~q 2(~q − z~k)2h(0)
q (~k′
)
× S(3)J (~k
′
, ~q, xz, x) − 1
~k ′2Θ(
Λ2 − ~k′2)
V (0)q (~k, xz)
)
− 1
z~q 2Θ(
|~q| − z|~k|))
V (0)q (~k
′
, x)
]
+CF
2π
∫
dz1
(1 − z)+(1 + z2)
∫
d2+2εl
π~l 2
[
NCF
~l 2 + (~l − ~k)2
×(
S(3)J (z~k + (1 − z)~l, (1 − z)(~k −~l), x(1 − z); x)
+S(3)J (~k − (1 − z)~l, (1 − z)~l, x(1 − z); x)
)
−Θ(
Λ2 −~l 2) (
V (0)q (~k, xz) + V (0)
q (~k, x))]
+g2N~k 2
(2π)3+2εV (0)
q (~k)∫
d2+2εkr
~k 2r (~kr − ~k)2
ln
~k 2r
~k 2
V (B)q (~k)
V(0)q (~k)
,
dove e stata usata la (3.10) che ha portato all’introduzione dei fattori
g2N~k 2
(2π)3+2εV (0)
q (~k)∫
d2+2εkr
~k 2r (~kr − ~k)2
ln
~k 2r
~k 2
(3.66)
V (B)q (~k)
V(0)q (~k)
. (3.67)
Inoltre il fattore b0 ln(
~k 2
µ2
)
, dovuto alla rinormalizzazione della costante di ac-
coppiamento, e stato omesso poiche il calcolo di Fadin et al. e stato effettuato
con grandezze non-rinormalizzate.
5 Risommazione dei logaritmi dell’energia
Come gia visto l’ampiezza in avanti nell’approccio BFKL, fino all’ordine
NLA, puo essere espressa come
ℑms(A) =s
(2π)2
∫ d2k
~k 2Φ1(~k; s0)
∫ d2k′
~k ′2Φ2(−~k
′
; s0) (3.68)
50
×∫ δ+i∞
δ−i∞
dω
2πi
(
s
s0
)ω
Gω(~k,~k′
),
dove Φi sono i fattori di impatto.
Se viene considerato il processo quark-quark che porta alla produzione di due
jet in avanti qa qb → jet jet, allora la sezione d’urto differenziale sara data da
d2σ
dJ1dJ2
∣
∣
∣
∣
∣
q
=1
(2π)2
∫
d2k
~k 2V1(~k)
∫
d2k ′
~k ′2V2(~k
′
) (3.69)
×∫ δ+i∞
δ−i∞
dω
2πi
(
s
s0
)ω
Gω(~k,~k′
),
dove V1(~k) e V2(~k′
) rappresentano i fattori di impatto quark-jet che de-
scrivono la transizione dal quark al jet rispettivamente qa(~pa) → jet(~pJ) e
qb(~pb) → jet(~pJ ′). Essi sono dati dall’equazione (3.65).
La funzione di Green obbedisce alla
δ2(~k − ~k′
) = ωGω(~k,~k′
) −∫
d2krK(~k,~kr)Gω(~kr, ~k′
), (3.70)
dove K(~k,~kr) e il kernel.
E conveniente lavorare nella rappresentazione dei momenti trasversi. In
questa rappresentazione definita da
~q |~qi〉 = ~qi|~qi〉, (3.71)
〈~k|~k ′〉 = δ2(~k − ~k′
), 〈A|B〉 = 〈A|~q〉〈~q|B〉 =∫
d2qA(~q)B(~q),(3.72)
l’operatore K in forma funzionale e espresso
K(~k′
, ~k) = 〈~k ′ |K|~k〉 (3.73)
e l’equazione per la funzione di Green e
1 =(
ω − K)
Gω, (3.74)
e la soluzione e
Gω =(
ω − K)−1
. (3.75)
51
Il kernel e dato come un’espansione nella costante di accoppiamento,
K = αsK0 + α2
sK1, (3.76)
dove
αs =αsN
π. (3.77)
Il fattore K0 e il kernel dell’equazione BFKl all’ordine LLA, K1 rappresenta
le correzioni all’ordine NLA.
Per determinare l’ampiezza fino all’ordine NLA e necessaria una soluzione
approssimativa della (3.75). La soluzione e
Gω =(
ω − αsK0)−1
+(
ω − αsK0)−1 (
α2sK
1) (
ω − αsK0)−1
(3.78)
+O[
(
α2sK
1)2]
.
E necessario ora scegliere una base sulla quale esprimere la sezione d’urto.
Questa base dovra dipendere non solo dai moduli dei momenti trasversi, ma
anche dal loro angolo rispetto al piano trasverso. Essa sara [49]
〈~q |ν, n〉 =1
π√
2(q2)iν− 1
2 einθ (3.79)
La proiezione 〈n, ν|~q〉 sara il complesso coniugato della (3.79). Questa base
viene scelta in modo che
〈n′, ν ′|ν, n〉 = δ(ν − ν ′)δnn′. (3.80)
L’azione del kernel NLO su questa base da [50]
K|ν, n〉 = αs(µR)χ0(ν, n)|ν, n〉 + (3.81)
+α2s(µR)
(
χ(1)(ν, n) +β0
4Nχ0(ν, n) ln(µ2
R)
)
|ν〉 +
+α2s(µR)
β0
4Nχ0(ν, n)
(
i∂
∂ν
)
|ν〉,
dove il primo termine rappresenta l’azione del kernel LLA, mentre il secondo
e il terzo rappresentano la parte diagonale e non diagonale del kernel NLA.
52
Le funzioni χ0(n, ν) e χ1(n, ν) sono dati in [50].
Per semplicita con c1(ν, n) si indichera
c1(ν, n) ≡∫
d2qVJ1(~q,
~k)
q2〈~q |ν, n〉, (3.82)
analogamente c2(ν, n) che rappresenta la proiezione di ΦJ2(~q,~k
′
) su 〈n, ν|~q〉sara il complesso coniugato della (3.82).
Usando la (3.78) e la (3.81) si ha (il calcolo esplicito e fatto nell’Appendice
(4))
d2σ
dJ1dJ2=
s
(2π)2
∫ +∞
−∞dν
+∞∑
n=−∞
(
s
s0
)αsχ0(ν,n)
c1(ν, n)c2(ν, n) (3.83)
×{
1 + α2s ln
(
s
s0
)
[χ1(ν, n)
+β0
4Nln(µ2
R)χ0(ν, n) − iβ0
8Nχ′
0(ν, n)
+i
2
β0
4Nχ0(ν, n)
d
dν
(
c1(ν, n)
c2(ν, n)
)]}
.
Questo sara il punto di partenza per il calcolo numerico in vista del confronto
con i dati sperimentali.
Questo calcolo e tutt’altro che banale per il gran numero di integrali coinvolti
occorre, infatti, prima di tutto fare un’integrazione sui momenti trasversi
per ottenere i fattori di impatto in rappresentazione ν (si veda la (3.82)).
Successivamente e necessario effettuare l’integrazione in dν (si veda la (3.83))
e infine fare la convoluzione del risultato con le funzioni di distribuzione
partoniche dei partoni nel protone, che comporta un’ulteriore integrazione
sulla variabile di Bjorken x.
Effettuare questo calcolo e al di la degli obiettivi di questa tesi.
53
Appendice B
Funzioni speciali e integralinotevoli
1 La funzione gamma di Eulero
Una delle piu importanti funzioni speciali e la cosiddetta funzione gam-
ma o funzione gamma di Eulero di seconda specie [51]. Essa viene indicata
con Γ(z) e puo essere definita in vari modi, e in particolare come funzione
interpolatrice del fattoriale.
Per definizione
Γ(z) =∫ ∞
0e−ttz−1dt ℜez > 0. (B.1)
essendo z una variabile complessa la cui parte reale ℜez e positiva.
Integrando per parti la (B.1) si ha:
Γ(z + 1) = zΓ(z). (B.2)
Utilizzando questa relazione e possibile prolungare analiticamente questa fun-
zione anche ai punti del piano complesso con parte reale negativa. Riespri-
mendo questa espressione come
Γ(z) =∫ 1
0e−ttz−1dt+
∫ ∞
1e−ttz−1dt (B.3)
=∞∑
n=0
(−1)n
n!
∫ 1
0tn+z−1dt+
∫ ∞
1e−ttz−1dt
=∞∑
n=0
(−1)n
n!(n+ z)+∫ ∞
1e−ttz−1dt,
54
e evidente che la funzione gamma presenta poli semplici per z = 0,−1,−2, ....
Dalla (B.1) con una lecita derivazione sotto il segno di integrale si ha
Γ′(z) =∫ ∞
0dte−ttz−1 log t, ℜez > 0 (B.4)
In particolare le derivate prima e seconda della funzione gamma valutata in
z = 1 sono rispettivamente
Γ′(1) = −γE (B.5)
Γ′′(1) = γ2E +
1
6π2, (B.6)
dove γE e la costante di Eulero la quale soddisfa
γE = limn→∞
[
− log(n) + 1 +1
2+
1
3+ ....+
1
n
]
= 0.5772157, (B.7)
e
γE = −∫ ∞
0e−z log(z)dz (B.8)
1.1 La derivata logaritmica della funzione gamma
Nella teoria della funzione gamma ha importanza un’altra funzione spe-
ciale e precisamente la funzione ψ(z) [51] cosı definita
ψ(z) =Γ′(z)
Γ(z), (B.9)
cioe la derivata logaritmica della funzione gamma.
Poiche Γ(z) e una funzione priva di zeri ed avente solo singolarita polari in
z = 0,−1,−2, ..., le uniche singolarita di ψ(z) saranno dei poli semplici in
z = −n (n = 0, 1, 2, ...). Dalla (B.2) si ha la seguente proprieta:
Ψ(z + 1) =1
z+ Ψ(z) (B.10)
1.2 La funzione beta
La funzione beta [51], o integrale di Eulero di prima specie, e cosı definita
B(a, b) =∫ 1
0ta−1(1 − t)b−1dt, ℜea > 0. (B.11)
55
Come si vede subito cambiando t in 1 − u, si ha
B(a, b) = B(b, a), (B.12)
inoltre la funzione beta e collegata alla gamma dalla relazione
B(a, b) =Γ(a)Γ(b)
Γ(a+ b). (B.13)
2 La funzione +
Le funzioni + [52] sono delle distribuzioni che hanno un buon com-
portamento solo quando sono convolute con una funzione regolare che va
rapidamente a zero come x→ 1. Hanno la proprieta che∫ 1
0(F (z))+dz = 0 (B.14)
In particolare sono state utilizzate le seguenti espressioni∫
1
(1 − z)+
f(z)dz =∫
f(z) − f(1)
1 − zdz (B.15)
e∫
dz
(
ln(1 − z)
1 − z
)
+
f(z) =∫
dz [f(z) − f(1)]
(
ln(1 − z)
1 − z
)
(B.16)
3 Integrali notevoli e parametrizzazione di Feyn-
man
La piu generale formula della parametrizzazione di Feynman e la seguente
1
aλ11 a
λ22 ...a
λnn
=Γ(∑
k)λk
Γ(λ1)Γ(λ2)...Γ(λn)(B.17)
×∫ 1
0...∫ 1
0
dx1...dxnxλ1−11 ...xλn−1
n δ(1 −∑
k xk)
(∑
k akxk)∑
kλk
Oltre alla parametrizzazione di Feynman si e fatto uso dei seguenti integrali
notevoli:∫ dd−2k
(2π)3+2ε
1
(~k2 − 2~p · ~k + a2)α=
2
(4π)2+2ε
2
Γ(α + 1 −D/2)
Γ(α)(B.18)
× 1
(a2 − ~p2)α+1−D/2.
56
∫ 1
0dx
(1 − x)α − 1
x= ψ(1) − ψ(1 + α), (B.19)
con
ψ(1) =π2
6(B.20)
Queste relazioni sono reperibili in molti testi classici di teorie di campo (si
veda per esempio il riferimento [4]).
57
Appendice C
Calcolo degli integrali
1 Integrali fondamentali
In questo appendice verranno calcolati gli integrali Ia(~k), Ib(~k), Ic(~k),
Id(~k), Ie(~k), If(~k), Ig(~k).
Per fare cio si fara uso delle seguenti espressioni
∫ d2+2εk′
~k ′2~q 2= π1+ε2
Γ(1 − ε)Γ2(1 + ε)
εΓ(1 + 2ε)
~k 2ε
~k 2(C.1)
∫
d2+2εk′
~q 2(~k ′2)2= π1+ε Γ(2 − ε)Γ(1 + ε)Γ(ε− 1)
εΓ(2ε− 1)
~k 2ε
(~k 2)2(C.2)
∫
d2+2εl
~l 2
1
~l 2 + (~l − ~k)2= π1+ε Γ(1 − ε)
ε
~k 2ε
~k 2(C.3)
∫ Λ2
0
d2+2εl
~l 2=
π1+ε
Γ(1 + ε)
Λ2ε
ε(C.4)
1
~k 2α
∫ d2+2εk′
~k ′2(~q 2)1−α=
π1+ε
Γ(1 + α)Γ(1 − α− ε)
Γ(ε)Γ(ε+ α)
Γ(2ε+ α)
~k 2ε
~k 2(C.5)
∫
d2+2εk′
~k ′2(~q − z~k)2= π1+εΓ(1 − ε)2(1 − z)2ε−2 Γ2(1 + ε)
εΓ(1 + 2ε)
~k 2ε
~k 2(C.6)
∫
d2+2εk′
~q 2(~q − z~k)2= 2π1+εΓ(1 − ε)z2ε−2 Γ2(1 + ε)
εΓ(1 + 2ε)
~k 2ε
~k 2. (C.7)
Di questi integrali viene calcolato esplicitamente solo uno, il primo; in modo
analogo possono essere ottenuti anche gli altri.
58
Si vuole quindi risolvere il seguente integrale
∫
d2+2εk′
~k ′2~q 2. (C.8)
Facendo uso della parametrizzazione di Feynman (B.17) si ha
∫
d2+2εk′
~k ′2~q 2=
∫
d2+2εk′∫ 1
0
dx[
~k ′2 − 2~k ′~kx+ ~k 2x]2 . (C.9)
L’integrazine in d2+2εk′ puo essere eseguita facilmente facendo uso della
relazione (B.18)
∫
d2+2εk′
~k ′2~q 2= π1+εΓ(1 − ε)
~k 2ε
~k 2
∫ 1
0
dx
x1−ε(1 − x)1−ε. (C.10)
A questo punto, facendo uso della (B.11) e della (B.13), si ottiene facilmente
∫
d2+2εk′
~k ′2~q 2= π1+ε2
Γ(1 − ε)Γ2(1 + ε)
εΓ(1 + 2ε)
~k 2ε
~k 2(C.11)
2 Calcolo degli integrali
Di seguito verrano calcolati Ia(~k) (3.55), Ib(~k) (3.56), Ic(~k) (3.57), Id(~k)
(3.58), Ie(~k) (3.59), If(~k) (3.60) e Ig(~k) (3.63).
Per determinare Ia(~k) si usa la proprieta della funzione + (B.16), ottenendo
Ia(~k) :=∫ 1
0dz h(0)
q (k)
{
CF
π
[
1 − z
2+
(
ln(1 − z)
1 − z
)
+
(1 + z2)
]
(C.12)
+CA
π
z
2
}
= h(0)q (~k)
[
CF
4π− CF
π
∫ 1
0dz ln(1 − z)(1 + z) +
CA
4π
]
e integrando in dz si ha
Ia(~k) := h(0)q (k)
(
2CF
π+CA
4π
)
. (C.13)
Per calcolare la (3.56) viene fatto uso della seguente uguaglianza:
~q · (~q − z~k)
~q 2(q − z~k)2=
1
2(1 − z)
[
(1 − z)2
~k ′2(~q − z~k)2− z2
~q 2(~q − z~k)2+
1
~k ′2~q 2
]
(C.14)
59
per cui si ha, utilizzando rispettivamente gli integrali (C.6), (C.7) e (C.1),
Ib(~k) =CA
ππε
∫
d2+2εk′∫ 1
zcut
dz1
2Pgq(z)(1 − z)
~q · (~q − z~k)
~q 2(~q − z~k)2(C.15)
×h(0)q (~k
′
)
=CA
ππε
NCF
∫ 1
zcut
dz1 + (1 − z)2
2z(1 − z)
×π1+ε Γ(1 − ε)Γ2(1 + ε)
εΓ(1 + 2ε)
~k 2ε
~k 2
1 − z2ε + (1 − z)2ε
1 − z.
Viene ora esplicitata l’integrazione in dz∫ 1
zcut
dz(1 + (1 − z)2) (1 − z2ε + (1 − z)2ε)
2z(C.16)
=∫ 1
zcut
d
z
[
2
z− z2ε−1 +
(1 − z)2ε − 1
z− 1 + z2ε − (1 − z)2ε
+z
2− z2ε+1
2+z
2(1 − z)2ε
]
,
facendo uso della (B.11) e della (B.19) si ha
Ib(~k) =CA
ππεh(0)
q (~k)π1+εΓ(1 − ε)Γ2(1 + ε)
εΓ(1 + 2ε)~k 2ε [−2 ln zcut + ψ(1) (C.17)
−ψ(1 + 2ε) − 1
2ε− 3
4− 1
2
1
2ε+ 2+
1
2
Γ(1 + 2ε)
(2 + 2ε)(1 + 2ε)Γ(1 + 2ε)
]
,
in cui zcut, ove possibile, e stato mandato a zero.
Sviluppando in serie la (C.17) si ottiene proprio la (3.56).
L’integrando della (3.57), Ic(~k) e facilmente riconducibile alla (C.4), infatti
si ha
Ic(~k) = − CA
ππε
∫
d2+2εk′∫ 1
0dz
1
2Pgq(z)
1
~k ′2(C.18)
×Θ(
Λ2 − ~k′2)
h(0)q (~k)
=CA
ππεh(0)
q (~k)(
ln zcut +3
4
) ∫ Λ2
0
d2+2εk′
~k ′2
da cui la (3.57).
Per poter ottenere Id(~k) e necessario far uso della seguente proprieta
ln
(
~q 2
~k 2
)
=d
dα
(
~q 2
~k 2
)α ∣∣
∣
∣
∣
α=0
, (C.19)
60
infatti, integrando in dz si ottiene
Id(~k) := − CA
ππε
∫ 1
zcut
dz
z
∫
d2+2εk′
~q 2h(0)
q (~k′
)Θ(
~q − z~k)
(C.20)
=CA
ππεNCF
∫
(
−1
2ln~q 2
~k 2+ ln zcut
)
d2+2εk′
~k ′2~q 2
=CA
ππεNCF
ln zcut2π1+ε Γ(1 − ε)Γ2(1 + ε)
εΓ(1 + 2ε)
~k 2ε
~k 2
−1
2
d
dα(~k 2)−α
∫
d2+2εk′
~k ′2~q 2(1−α)
]
dove e stata utilizzata la (C.19). Facendo ora uso della (C.5) si ha
Id(~k) =CA
ππε
h(0)q (~k)
[
ln zcut2π1+εΓ(1 − ε)Γ2(1 + ε)
εΓ(1 + 2ε)(C.21)
−π1+ε
2Γ(ε)
d
dα
Γ(1 − α− ε)Γ(ε+ α)
Γ(1 − α)Γ(2ε+ α)
]
~k 2ε
e derivando rispetto ad α
Id(~k) =CA
ππεh(0)
q (~k)
[
ln zcut2π1+ε Γ(1 − ε)Γ2(1 + ε)
εΓ(1 + 2ε)(C.22)
−π1+ε
2Γ(ε)
Γ(ε)Γ(1 − ε)
Γ(2ε)(ψ(ε) + ψ(1) − ψ(2ε) − ψ(1 − ε))
]
~k 2ε
facendo uno sviluppo si ottiene
Id(~k) =CA
ππεh(0)
q (~k)π1+ε~k 2ε Γ(1 − ε)Γ2(1 + ε)
εΓ(1 + 2ε)
(
1
2ε+ 2 ln zcut
)
(C.23)
Per effettuare l’integrazione in dz nella (3.59), Ie(~k), si fa uso della proprieta
(B.15) della “funzione +”. L’integrando in d2+2εk′ e proprio uguale all’inte-
grale (C.3).
In If (~k) (3.60), l’integrazione in dz, e uguale a quella vista per (3.59), quello
che cambia e l’integrazione in d2+2εk′ che puo essere facilmente riconducibile
all’integrale (C.4) esplicitando la Θ(Λ2 −~l 2).
Infine per ottenere Ig(~k) si fa semplicemente uso della proprieta della “fun-
zione +” (B.14).
61
3 Verifica della (3.53)
Il fattore proporzionale a
∫
dz
z
d2+2εk′
~q 2Θ(
|~q| − z(
|~q| + |~k ′|))
(C.24)
e fatto derivare da Bartels et al. dalla divergenza soffice ottenuta mediando
sull’angolo azimutale del gluone φ3, cioe, secondo loro,
〈(1 − z)~q · (~q − z~k)
~q 2(~q − z~k)2〉φ3 =
1
~q 2Θ(
|~q| − z(
|~q| + |~k ′ |))
. (C.25)
In realtae stato verificato che questo risultato non e esatto ed inoltre per
ottenere la consistenza nel caso limite studiato, la quantita da calcolare deve
essere
〈 ~q · (~q − z~k)
~q 2(~q − z~k)2〉φ3 =
1
~q 2Θ(
~q − z~k)
. (C.26)
Infatti se
q = q(cosφ3, sinφ3), k = k(1, 0), (C.27)
allora
I = 〈 ~q · (~q − z~k)
~q 2(~q − z~k)2〉φ3 =
1
2π
∫ 2π
0dφ3
1
2πq2(C.28)
× q2 − zkq cos φ3
q2 + z2k2 − 2zkq cosφ3
e passando alle variabili complesse: t = eiφ3 si ha
I =1
2πq2
∮
dt
it
q2 − zkq2
(
t+ 1t
)
q2 + z2k2 − zkq(
t+ 1t
) (C.29)
=1
2πq2
∮
dt
it
q2 − zkq2
(
t+ 1t
)
−zkq(
t− zkq
) (
t− qzk
) .
Poiche bisogna integrare in una circonferenza di raggio unitario, se
zk
q< 1, (C.30)
62
allora i poli saranno
0 ezk
q. (C.31)
Applicando il teorema dei residui
I =1
q2
1 +2qzk − zkq − z3k3
q
−zkq
(z2k2 − q2)
(C.32)
e attraverso semplici passaggi algebrici si ottiene
I = 〈 ~q · (~q − z~k)
~q 2(~q − z~k)2〉φ3 =
1
q2. (C.33)
L’altro caso possibile e che
q
zk< 1, (C.34)
avendo quindi come poli
0 eq
zk, (C.35)
ma in questo caso si puo verificare che la soluzione e nulla. Per cui si ha
I = 〈 ~q · (~q − z~k)
~q 2(~q − z~k)2〉φ3 =
1
q2Θ(q − zk). (C.36)
4 Calcolo esplicito della (3.83)
La sezione d’urto differenziale e data da
d2σ
dJ1dJ2=
s
(2π)2
∫ δ+i∞
δ−i∞
dω
2πi
(
s
s0
)
(C.37)
×
〈VJ1(~q,~k)
~q2 |Gω|
VJ2(~q,~k
′
)
~q2 〉
,
inserendo la chiusura una volta a destra e una volta a sinistra di Gω per
simmetrizzare l’espressione, si ha
d2σ
dJ1dJ2
=s
(2π)2
∫ δ+i∞
δ−i∞
dω
2πi
(
s
s0
)
(C.38)
63
×
1
2
∫ +∞
−∞dν
+∞∑
n=−∞〈VJ1(~q,
~k)
~q2 |ν, n〉〈n, ν|Gω|
VJ2(~q,~k
′
)
~q2 〉
+1
2
∫ +∞
−∞dν
+∞∑
n=−∞〈VJ1(~q,
~k)
~q2 |Gω|ν, n〉〈n, ν|
VJ2(~q,~k
′
)
~q2 〉
,
utilizzando la (3.78) ed inserendo una nuova chiusura si ha
d2σ
dJ1dJ2=
s
(2π)2
∫ δ+i∞
δ−i∞
dω
2πi
(
s
s0
)
(C.39)
×1
2
∫
d2kVJ1(~q,
~k)
~k 2〈~k|
∫ +∞
−∞dν
+∞∑
n=−∞
[
|ν, n〉〈n, ν| 1
ω − αsK0
+α2s
∫ +∞
−∞dν
′
+∞∑
n′=−∞|ν, n〉〈n, ν| 1
ω − αsK0K1|ν ′
, n′〉〈n′, ν′| 1
ω − αsK0
+1
ω − αsK0|ν, n〉〈n, ν|
+α2s
∫ +∞
−∞dν
′
+∞∑
n′=−∞
1
ω − αsK0|ν ′
, n′〉〈n′, ν′ |K1| 1
ω − αsK0|ν, n〉〈n, ν|
×∫
dk′ VJ2(~q,
~k′
)
~k ′2|~k ′〉,
usando ora la (3.81) e applicando il teorema dei residui
d2σ
dJ1dJ2=
s
(2π)2
∫ +∞
−∞dν
+∞∑
n=−∞
c1(ν, n)c2(ν, n)
(
s
s0
)αsχ0(ν,n)
(C.40)
αsc1(ν, n)c2(ν, n)
(
s
s0
)αsχ0(ν,n)
ln
(
s
s0
)
[χ1(ν, n)
+β0
4Nχ0(ν, n) ln(µ2
R)
]
+αs
2
∫ +∞
−∞dν
′
+∞∑
n′=−∞
∫ δ+i∞
δ−i∞
dω
2πi
×(
s
s0
)ωβ0
4Ni
[
∂
∂ν ′
(
c1(ν, n)c2(ν′
, n′)χ0(ν′
, n′)δ(ν′ − n)δn′,n
)
∂
∂ν
(
c1(ν′
, n′)c2(ν, n)χ0(ν, n)δ(ν′ − n)δn′,n
)
]
× 1
ω − αsχ0(ν, n)
1
ω − αsχ0(ν′, n′)
}
.
Facendo ora uso delle due seguenti proprieta
∂
∂νδ(ν − ν
′
) = − ∂
∂ν ′δ(ν − ν
′
) (C.41)
64
∫
dν′ ∂
∂ν ′δ(ν
′ − ν)f(ν′
) = −f ′(ν′
)
∣
∣
∣
∣
∣
ν ′=ν
(C.42)
si ha
d2σ
dJ1dJ2
=s
(2π)2
∫ +∞
−∞dν
+∞∑
n=−∞
(
s
s0
)αsχ0(ν,n)
{c1(ν, n)c2(ν, n) (C.43)
×[
1 + α2s ln
(
s
s0
)
(χ1(ν, n)
+β0
4Nln(µ2
R)χ0(ν, n) − iβ0
8Nχ′
0(ν, n)
)]
+iα2
s
2ln
(
s
s0
)
β0
4Nχ0(ν, n) [c′1(ν, n)c2(ν, n) − c1(ν, n)c′2(ν, n)]
}
.
E ora possibile scrivere
c′1(ν, n)c2(ν, n) − c1(ν, n)c′2(ν, n) = c1(ν, n)c2(ν, n)d
dν
(
c1(ν, n)
c2(ν, n)
)
, (C.44)
ottenendo
d2σ
dJ1dJ2=
s
(2π)2
∫ +∞
−∞dν
+∞∑
n=−∞
(
s
s0
)αsχ0(ν,n)
c1(ν, n)c2(ν, n) (C.45)
×{
1 + α2s ln
(
s
s0
)
[χ1(ν, n)
+β0
4Nln(µ2
R)χ0(ν, n) − iβ0
8Nχ′
0(ν, n)
+i
2
β0
4Nχ0(ν, n)
d
dν
(
c1(ν, n)
c2(ν, n)
)]}
.
65
Bibliografia
[1] J. Bartels, D. Colferai, G.P. Vacca, Eur. Phys. J. C24 (2002), 83.
[2] F. Mandl & G. Shaw, Quantum Field Theory, J. Wiley & Sons (1984).
[3] J.R. Forshaw, D. A. Ross, Quantum Chromodynamics and the Pomeron,
Cambridge University Press (1997).
[4] T. Muta, Foundations of Quantum Chromodynamics, World Scientific
(1987).
[5] R.G. Roberts, The structure of the proton, Cambridge (1993).
[6] M. Gell-Mann, M.L. Goldberger, F.E. Low, E. Marx, F. Zachariasen,
Phys. Rev. B133 (1964), 145.
[7] J.C. Polkinghorne, J. Math. Phys. 5 (1964), 1491.
[8] S. Mandelstam, Phys. Rev. B137 (1964), 949.
[9] G. V. Frolov, V.N. Gribov, L.N. Lipatov, Phys. Lett. B31 (1970), 34.
[10] V.N. Gribov, L.N. Lipatov, Sov. J. Nucl. Phys. 12 (1971), 543.
[11] B.M. McCoy & T.T. Wu, Phys. Rev. 13 (1976), 368; 13 (1976), 379; 13
(1976), 395; 13 (1976), 424; 13 (1976), 484; 13 (1976), 508.
[12] A.L. Mason, Nucl. Phys. B104 (1976), 141; B117 (1976), 493.
[13] R.K. Ellis, W.J. Stirling and B.R. Webber Collider Physics, Cambridge
(1996).
66
[14] V.S. Fadin, E.A. Kuraev, L.N. Lipatov, Phys. Lett. B60 (1975), 50;
E.A. Kuraev, L.N. Lipatov, V.S. Fadin, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 71 (1976),
840 [Sov. Phys. JETP 44 (1976), 443]; 72 (1977), 377 [45 (1977), 199];
Ya.Ya. Balitskii, L.N. Lipatov, Sov. J. Nucl. Phys. 28 (1978), 822.
[15] V. S. Fadin, “BFKL news”, Budkerinp/98-55, hep-ph/9807528v1.
[16] Ya.Ya. Balitskii, L.N. Lipatov and V.S. Fadin, in Proceedings of Lenin-
grand Winter School on Physics of Elementary Particles, Leningrad, p.
109 (1979).
[17] V.S.Fadin, talk given at “LISHEP98”, LAFEX school on high energy
physics, February 14-21, Rio de Janeiro, Brazil, 1998.
[18] L.N. Lipatov, V.S. Fadin, Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma 49 (1989), 311
[JETP Lett. 49 (1989), 352]; L.N. Lipatov, V.S. Fadin, Yad. Fiz, 50
(1989), 1141.
[19] L.N. Lipatov, V.S. Fadin, Sov. Nucl. Phys. 50 (1989), 712.
[20] V.S. Fadin, Zh. Eksp. Teor. Fiz. Pis’ma 61 (1995), 342.
[21] V.S. Fadin, R. Fiore, A. Quartarolo, Phys. Rev. D53 (1996), 2729.
[22] V.S. Fadin, M.I. Kotsky, Yad. Fiz. 59 (6) (1996), 1.
[23] V.S. Fadin, R. Fiore, M.I. Kotsky, Phys. Lett. B359 (1995), 181; Phys.
Lett. B387 (1996), 593.
[24] V.S. Fadin, L.N. Lipatov, Nucl. Phys. B406 (1993), 259.
[25] V.S. Fadin, R. Fiore, Phys. Lett. B294 (1992), 286.
[26] V.S. Fadin, R. Fiore, A. Quartarolo, Phys. Rev. D50 (1994), 2265.
[27] V.S. Fadin, L.N. Lipatov, in Deep Inelastic Scattering, Proceding of the
Zeuthen Workshop on Elementary Particle theory, Teupitz/Bradenburg,
Germany, 1992, edited by J. Blumlein and T. Rienmann [Nucl. Phys.
B(Proc. Suppl.) A29 (1992), 93].
67
[28] V.S. Fadin, R. Fiore, A. Quartarolo, Phys. Rev. D50 (1994), 5893.
[29] V.S. Fadin, R. Fiore, M.I. Kotsky, Phys. Lett. B389 (1996), 737.
[30] V.S. Fadin, R. Fiore, A. Papa, Phys. Rev. D63 (2001), 034001.
[31] V.S. Fadin & L.N. Lipatov, Nucl. Phys. B477 (1996), 767.
[32] V.S. Fadin, D.A. Gorbachev, JETP Letters 71 (2000), 222; Pis’ma v
ZhETF 71 (2000), 322; Yad. Fiz. 63 (12) (2000), 1-17.
[33] V.S. Fadin, R. Fiore, A. Flachi, M.I. Kotsky, Phys. Lett. B422 (1998),
287.
[34] S. Catani, M. Ciafaloni, F. Hautmann, Phys. Lett. B242 (1990), 97;
Nucl. Phys. B366 (1991), 135.
[35] G. Camici & M. Ciafaloni, Phys. Lett. B386 (1996), 341; Nucl. Phys.
B496 (1997), 305.
[36] V.S. Fadin, R. Fiore, A. Papa, Phys. Rev. D60 (1999), 07025.
[37] S. Catani, M. Ciafaloni, F. Hautmann, Nucl. Phys. B366 (1991), 135.
[38] V.S. Fadin, M.I. Kotsky, L.N. Lipatov, Phys. Lett B415 (1997), 97.
[39] V.S. Fadin, M.I. Kotsky, L.N. Lipatov, Yad. Fiz. 61 (6) (1998), 716.
[40] V.S. Fadin, R. Fiore, M.I. Kotsky, Phys. Lett. B494 (2000), 100.
[41] V.S. Fadin, R. Fiore, M.I. Kotsky, A. Papa, Phys. Lett. D61 (2000),
094005.
[42] V.S. Fadin, R. Fiore, M.I. Kotsky, A. Papa, Phys. Lett. D61 (2000),
094006.
[43] V.S. Fadin, R. Fiore, Phys. Lett. B610 (2005), 61 hep-ph/0502045.
68
[44] J. Bartels, S. Gieseke, C.F. Qiao, Phys. Rev. D63 (2001), 056014
[Erratum-ibid. D65 (2002), 079902]; J. Bartels, S. Gieseke, A. Kyrie-
leis, Phys. Rev. D65 (2002), 014006; J. Bartels, D. Colferai, S. Gieseke,
A. Kyrieleis, Phys. Rev. D66 (2002), 094017; J. Bartels, Nucl. Phys.
(Proc. Suppl.) (2003), 116; J. Bartels, A. Kyrieleis, Phys. Rev. D70
(2004), 114003; V.S. Fadin, D.Yu. Ivanov, M.I. Kotsky, Phys. Atom.
Nucl. 65 (2002), 1513 [Yad. Fiz. 65 (2002) 1551]; Nucl. Phys. B658
(2003), 156.
[45] D.Yu. Ivanov, M.I. Kotsky, A. Papa, Eur. Phys. J. C38 (2004), 195;
Nucl. Phys. (Proc. Suppl.) 146 (2005) 117.
[46] Yu.L. Dokshitzer, V.A. Khoze, A.H. Mueller and S.I. Troyan, Basics of
perturbative QCD, Editions Frontieres (1991).
[47] M. Ciafaloni, D. Colferai, Nucl. Phys. B538 (1999), 187-214.
[48] J. Bartels, D. Colferai, G.P. Vacca, Eur. Phys. J. C29 (2003), 235-249.
[49] A. Sabio Vera, Nucl. Phys. B746 (2006), 1-14.
[50] D.Yu. Ivanov, A. Papa Nucl. Phys. B732 (2008), 183-199.
[51] L. Gatteschi, Funzioni speciali, Utet (1973).
[52] R. D. Field, Applications of perturbative QCD, Addison-Wesley
Publishing Company (1989).
69
Ringraziamenti
A conclusione di questo lavoro di tesi desidero ringraziare coloro che han-
no reso possibile la sua realizzazione e primi fra tutti il mio relatore Prof.
Alessandro Papa per la sua pazienza, disponibilita e prontezza per qualsiasi
chiarimento o consiglio, il Dott. Francesco Caporale che con amicizia mi ha
aiutata e consigliata per tutto lo svolgimento della tesi.
Inoltre e per me doveroso ringraziare coloro che, oltre ad avermi sempre “sup-
portata”, mi hanno soprattutto “sopportata” ed in particolare:
Grazie mamma, papa e Coky, senza di voi non avrei mai raggiunto questa
meta, perche con il vostro sostegno e con il vostro affetto mi avete incorag-
giata a non mollare mai. Grazie per aver creduto in me! Vi voglio bene!!!
Grazie Michele, che con estrema pazienza hai sopportato i miei sbalzi di umo-
re e le mie paranoie quando, sotto stress, mi sfogavo in modo particolare con
te. Grazie, inoltre, per avermi fatto sempre sorridere!
Grazie Denise per aver condiviso con me non solo la maggior parte degli
studi ma anche gioie, dolori ansie e paure. Sei stata come una sorella per
me. Un grazie particolare e naturalmente rivolto a tuo papa e a tua mamma
perche mi hanno sempre accolta come una figlia ed e per questo che non li
dimentichero mai!
Grazie Cinzia, Mariaelena e Rocco per essermi stati vicini e per i bei mo-
menti passati insieme. Grazie per essere cresciuti con me!
Grazie Gianfranco per i consigli che mi hai dato e per avermi sempre capita.
Grazie Valentina semplicemente per esserci sempre!
Grazie Giuseppe e Francesco per l’aiuto e la compagnia ogni volta che ne ho
avuto bisogno!
70