Inflessione delle travi In precedenza si è esplicitato il legame sollecitazione-curvature-tensioni nelle travi, ma
non è ancora stato affrontato il problema del calcolo delle frecce di inflessione
Il calcolo delle frecce è importante per diverse ragioni;
Determinare rotazioni subite in corrispondenza degli appoggi (e.g. cuscinetti)
Verificare che gli spostamenti non siano tali da compromettere l’integrità di una
struttura (e.g. edifici) o addirittura l’aspetto
Calcolare lo stato di sollecitazione in strutture staticamente indeterminate
Verificare che l’ampiezza delle vibrazioni indotte sia compresa in limiti accettabili
Stimare le condizioni di carico di instabilità (o di punta) onde evitarne l’insorgere
Verificare il corretto accoppiamento tra organi in movimento (e.g. ingranaggi)
Associata ad una freccia
v(x) vi è anche una
rotazione ϑ(x)
Tra le due tangenti in m1
e m2 vi è un angolo di
rotazione aggiuntiva dϑ
Detto il raggio di
curvatura:
d ds e la curvatura: 1 d
ds
Notare che la curvatura è positiva se cresce l’angolo ϑ
Considerando una trave incastrata - libera,
l’applicazione di un carico P provoca una inflessione
v(x), nulla al vincolo e massima in corrispondenza di P
Si assume che xy sia piano di simmetria e che
tutti i carichi agiscano sul piano xy
Essendo ϑ definito come l’angolo che identifica la tangente tandv
dx
Assumendo che rotazioni e frecce siano piccole rispetto alle dimensioni geometriche
(teoria differenziale approssimata al I ordine)
ds dx1 d
dx
Confondendo anche la
tangente con l’angolo
2
2
1 d v
dx
Ricordando anche il legame già introdotto tra curvatura e momento, si
deduce l’equazione differenziale che governa la inflessione
1 M
EI
2
2
M xd v
dx EI
Adottando la convenzione dei segni riportata a lato,
e ricordando (dall’equilibrio del concio elementare) dV
q xdx
dM
V xdx
Si perviene ad altre 2 equazioni differenziali
2
2
d d v dMEI x V x
dx dx dx
2 2
2 2
d d v dVEI x q x
dx dx dx
Le equazioni si semplificano ulteriormente se I(x) risulta costante lungo x
2
2
d vEI M x
dx
3
3
d vEI V x
dx
4
4
d vEI q x
dx
1 2 3 4
0 0 0 0
x x x x q xv x dx C dx C dx C dx C
E I
3
13
0
xd v x q xdx C
dx E I
3
3
d v xV x E I
dx
2
1 22
0 0
x xd v x q xdx C dx C
dx E I
2
2
d v xM x E I
dx
1 2 3
0 0 0
x x xdv x q xdx C dx C dx C
dx E I
dv xx
dx
A seconda che si conosca: andamento del carico distribuito, taglio o momento applicati, il
problema si risolve integrando 2, 3 o 4 volte (con 2,3 o 4 condizioni al contorno)
4
4
d v x q x
dx E I
4
4
d v xq x E I
dx
libero
0 0V x M x
Le condizioni al contorno possono essere date su v , ϑ ma anche su taglio V e momento M
Incastro
0 0v x x
appoggio
0 0v x M x
Ogni elemento ha 4 costanti di integrazione. Nell’esempio sono 20
Tra un elemento e l’altro si
impone la congruenza (stessa
freccia e rotazione)
vincoli
carichi concentrati
x
y
A ogni connessione si hanno 2 eq. Congruenza e 2 eq. di equilibrio, totale 16
altre 2 eq. si hanno negli estremi liberi, totale 4
20 equazioni e 20 incognite
Nell’integrazione lungo x occorre integrare un elemento della trave alla volta, intendendo
per elemento un tratto ove non si abbiano all’interno variazioni vincolari, o applicazione dei
carichi concentrati
Il momento flettente in x è:
M x P x
2
2
d v x P x
dx E I
2 3
31 1 1
6 2 3
P P L P Lv x x x
E I E I E I
2
1
1
2
P LC
E I
3
2
1
3
P LC
E I
Le condizioni al contorno sono
2
1
1 0
2 x L
P Lx C
E I
3
1 2
1 0
6 x L
P Lv x C L C
E I
Nel punto di applicazione del carico (x=0) 3
03
P Lv
E I
2 0
2
P L
E I
2
1
2
dv x P xC
dx E I
3
1 2
6
P xv x C x C
E I
x
v
Esempio 1: Trave incastrata libera
Esempio 2: Carico distribuito v
4
4
d vE I w
dx
3
13
d vE I wx C
dx
2 2
1 22
2
d v xE I w C x C
dx
3 2
1 2 3 6 2
dv x xE I w C C x C
dx
4 3 2
1 2 3 4 24 6 2
x x xE I v w C C C x C
0 0v
2
2
0 0
d vE I
dx
Estremità sin Estremità dx
2
2 0
d v LE I
dx
0v L
4 0C
2 0C
3
3
1
24C wL
1
1
2C wL
4 3 312
24 v x x Lx L x
E I
Andamento della freccia
Valore massimo (al centro)
3
max
5
2 384
L w Lv
E I
Annullando la derivata prima
Esempio 3: Trave caricata oltre gli appoggi
La struttura in acciaio presenta un carico oltre
l’ultimo appoggio.
Calcolare l’equazione della freccia ed il valore
all’estremità caricata
Soluzione:
Data la presenza dell’appoggio in B, occorre risolvere
due elementi di trave separati
Non essendo presenti carichi distribuiti si può procedere a partire dal taglio, di conoscenza
immediata (dall’equilibrio dell’intera struttura)
02
PV x L
3
2V P L x L
2
12
2
d v PE I x C
dx
2
22
d vE I Px C
dx
Momento nullo in A e C 2
2
00
d v
dx
2
2
3 20
d v L
dx
1 0C 2
3
2C PL
Si deducono quindi le due equazioni che risolvono il momento flettente
02
PM x x L
3 2 3
2 2
P L xM L x L
La successiva integrazione fornisce l’andamento dell’angolo
2
3 4
dv PE I x C
dx
4
3
2
Px L xdvE I C
dx
La condizione di continuità dell’inclinazione ci dà una prima equazione
2 2
3 44
PL C PL C
L’ulteriore integrazione ci fornisce la freccia
3
3 5 12
PE I v x C x C
2
4 6
9 2
12
Px L xE I v C x C
2
4 3
3
4C C PL
Mentre per l’elemento BC si può applicare una sola c.c. 0v L
3
6
1
4C PL
Prendendo ora l’elemento AB abbiamo anche le c.c.
0 0 e 0v v L
5
2
3
0
12
C
PLC
2
4
5
6C PL
Ora che tutte le 6 costanti (siamo partiti da eq. diff. del III ordine) sono state determinate,
sostituendo si risolve il problema
2 2 012
Pxv x L x x L
EI
3 2 2 3 33 10 9 2
12 2
Pv x L L x Lx x L x L
EI
Infine, nel punto di applicazione del carico
33
2 8c
PLv L
EI
ESPRESSIONE ESATTA DELLA CURVATURA
Essa è da utilizzare quando la trave si infletta maggiormente e non potendo più confondere
ascissa curvilinea con quella cartesiana e angolo con la sua tangente,
arctan1 d dv dxd dx
ds dx ds
2 2ds dx dv Dal teorema di
Pitagora
12 2
1ds dv
dx dx
La derivata dell’arcotangente si risolve come derivata notevole
2 2
2
arctan
1
d dv dx d v dx
dx dv dx
Sostituendo nella prima le due equazioni trovate si ha
2 2
32 2
1
1
d d v dx
dsdv dx
Si vede che considerare la curvatura come legata solo alla derivata seconda equivale a
trascurare il quadrato della derivata prima rispetto all’unità
METODO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI
Le equazioni differenziali che sono state introdotte presentano tutte derivate elevate alla
potenza unitaria. Pertanto trattasi di equazioni differenziali lineari e gli effetti (deformazioni)
dipendono linearmente dalle cause (carichi)
Nell’esempio a fianco si può trovare la soluzione
sommando le deformate ottenute per effetto del carico
concentrato e di quello distribuito
3 45
48 384C C CP q
PL qL
EI EI
2 3
16 24A B A AP q
PL qL
EI EI
Nei manuali di meccanica strutturale si trovano le
soluzioni base di molte tipologie di travi che
consentono di ricavare soluzioni complesse
sovrapponendo gli effetti
Il principio di sovrapposizione degli effetti può essere applicato se:
il materiale è lineare elastico
spostamenti e deformazioni sono piccoli (lineari)
la deformata associata al carico non modifica le sollecitazioni presenti
… ESEMPIO:
In presenza di carichi distribuiti q(x) qualsivoglia, sfruttando la sovrapposizione è possibile
prima trovare la soluzione associata ad un elementino di carico e poi sommare (integrare)
tutti i contributi applicati a ciascun elementino caricato.
Introducendo l’equazione che fornisce
2
2 20 3 424qdx
q xv C L x dx
EIL
02x
q x qL
Che viene integrata secondo i carichi applicati
2 4
2 22 2 2 2 40 0 0
0 03 4 3 4
24 24 240
L Lq x q q Lv C L x dx L x x dx
EIL EIL EI
Si rimarca che l’integrale non rappresenta altro che la somma delle risposte ai carichi e
quindi va esteso solo alle zone effettivamente caricate
I carichi concentrati danno invece contributi unici, ossia non integrati sul dominio di estensione
Per un carico dP= qdx posto in
x lo spostamento al centro C:
2 23 448qdx
qdx xv C L x
EI 0 2x L
2 2 3 4
48qdx
dP xv C L x
EI
ENERGIA DI DEFORMAZIONE ASSOCIATA ALLA FLESSIONE
Il calcolo vale solo in piccoli spostamenti e per materiale lineare elastico
La relazione tra angolo e momento applicato vale
L ML
EI
Quindi tra momento applicato e
angolo di inflessione vi è una
relazione lineare del tipo:
Se il momento varia lungo l’asse, si può calcolare l’energia sommando i contributi
energetici di ciascun elementino dx e sommandoli (integrando)
2
2
d vd dx
dx
2
MddU
2
02 2
L M x dxMdU
EI
22
20 2
L EI d vU dx
dx
2 2
2 2 2
M M L EIU
EI L
L’energia esterna spesa quindi
è l’area sottesa, ossia
DEFORMATA DOVUTA AD UN SOLO CARICO
Se un solo carico agisce sulla struttura, la corrispondente
deformazione può essere correlata direttamente al carico
2U
P
2U
M
Se ad esempio sono presenti due carichi
generalizzati di estremità
0M x Px M
Dalla precedente definizione di energia immagazzinata
2 2 22 32 0 0
00 0
1
2 2 6 2 2
L LM x dx PM L M LP LU Px M dx
EI EI EI EI EI
Termine addizionale
Energia associata al
solo carico M0 Energia associata al
solo carico P
In termini energetici si avrebbe 2 22 3
0 0 0
2 2 6 2 2A A
M PM L M LP P L
EI EI EI
Sistema non risolvibile in quanto sono presenti 2 incognite in una unica equazione
In caso contrario il legame non è più lineare (compaiono termini misti di energia
TEOREMA DI CASTIGLIANO (Carlo Alberto Pio n. Milano 1847 m. Asti 1884)
Il teorema consente di determinare la deflessione di una struttura nota che sia la sua
energia di deformazione
2 3
6
P LU
EI Si può derivare la precedente rispetto a P
2 3
6
dU d P L
dP dP EI
3
3
dU PL
dP EI
31
3 A
P L
E I
La derivata dell’energia di deformazione fatta rispetto al carico applicato eguaglia la deformata
subita dal punto di applicazione del carico
Derivazione del teorema Si considera una struttura in cui sono presenti molteplici
carichi Pi cui si associano deformate δi
Si è nelle condizioni di poter applicare il principio di
sovrapposizione degli effetti
L’energia totale del sistema sarà funzione di tutti i
carichi agenti e vale 1 2, , , nU P P P
Supponendo ora di fornire ad uno dei carichi (i - generico)
un piccolo incremento dPi l’energia si incrementa di i
i
UdU dP
P
Per effetto della applicabilità del principio di sovrapposizione degli effetti, l’ordine di
applicazione dei carichi non modifica l’energia complessiva
Se si applica prima il carico piccolo 2
i idPddU
Mentre tutti i successivi
danno di nuovo 1 2, , , nU P P P
tot i
i
UU U dU U dP
P
In questa seconda applicazione vi è tuttavia un piccolo ulteriore contributo, legato al lavoro
compiuto da dPi per effetto dello spostamento δi conseguenza di tutti i P1,…, Pn
2
i itot i i
dPdU U dP
Trascurando il termine differenziale del II ordine ed uguagliando le energie totali
i
i
U
P
Il teorema, qui sviluppato per le travi inflesse, ha una validità
molto più generale e si applica anche ad ogni solido elastico,
considerando forze e spostamenti generalizzati
2P
2P
3M
iP
Vediamo come lo si utilizza nel caso dei due carichi
estremali già considerato
0M x Px M
2 22 3
0 0
6 2 2
PM L M LP LU
EI EI EI
23
0
3 2A
M LU PL
P EI EI
2
0
0 2A
M LU PL
M EI EI
Metodo del carico fittizio
Il teorema determina lo spostamento solo nel punto di applicazione di un carico. Tuttavia, se si
vuole un altro spostamento generalizzato si può applicare una forza fittizia generalizzata in esso,
calcolare l’energia totale, derivare rispetto al carico fittizio e annullare il carico fittizio stesso
Supponiamo di voler determinare lo spostamento in
mezzeria
1Q
0M x Px M
0 2 2M x Px M Q x L L x L
0 2x L
2 22 3
2 2 0 00
0
1
2 48 8 4
L
AC
PM L M LP LU Px M dx
EI EI EI EI
2
02
12
2
L
BCL
U Px M Qx Q L dEI
2 2 22 3 3 2 3
0 0 05
48 8 48 4 8 48
PM L M L M QLP L PQL Q L
EI EI EI EI EI EI
23 3
0
0
5
48 8 24
totC Q
U M LPL QL
Q EI EI EI
Ora si deriva rispetto al carico fittizio
tot AC CBU U U
Alla rimozione del quale si ottiene lo spostamento cercato
23
0
0
5
48 8C C Q
M LPL
EI EI
Il metodo proposto è del tutto universale, tuttavia la sua applicazione analitica può essere
molto rallentata dalla necessità di integrare delle funzioni al quadrato che producono molti
termini nell’integrando
Differenziazione all’interno dell’integrale
L’idea di base è di derivare (rispetto al carico Pi) direttamente all’interno dell’integrale
2
2
i
i i i
U M dx M Mdx
P P EI EI P
Questa ultima equazione viene indicata come il teorema di Castigliano modificato
Il vantaggio di questa II formulazione sta nel numero di termini da integrare che, in virtù del
prodotto con la derivata, è sicuramente minore
Riprendendo il precedente problema di spostamento in mezzeria:
0M x Px M
0 2M x Px M Q x L
0 2x L
2L x L
0
M x
Q
2
M x Lx
Q
2
0 00
0 2
1 0
2 2
L L
C Q
L
L LPx M dx Px M Q x x dx
EI
22
00
2
1
4
L
C Q
L
LPx M Qx Q QLx dx
EI
23
0
0
5
48 8C C Q
M LPL
EI EI
2
2
i
i i i
U M dx M Mdx
P P EI EI P
Questa derivata può avere anche una
interpretazione fisica interessante:
momento prodotto da un carico unitario Pi
Questa specificazione dà luogo al nome di metodo del carico unitario
In base alle forze si può determinare l’andamento dei momenti
2
1 11 1 1 1
2 2 2 2AB A
qx qxqL PM x R x x x 0 x L
2 2CBM x Px 20 2x L
differenziando 1
1
1
2
ABM xx
P
2
2
CBM xx
P
Esempio
Determinare lo spostamento e l’angolo di
rotazione in corrispondenza del punto C.
Soluzione:
In corrispondenza dei supporti si ha
2 2A
qL PR
3
2 2B
qL PR
[spostamento]
22
1 11 1 2 2
0 0
1 1
2 2 2 2
LL
C
qx xM M qL Pdx x x dx Px x dx
EI P EI EI
24 3 43 3 311 1 2
00
1 1
12 12 16 3 8 48
L L
C
qxqL P P PL qLx x x
EI EI EI EI
Il segno è indicativo, se positivo è diretto come
P, altrimenti in verso opposto
P
q
[ angolo di rotazione ]
Non è previsto un momento applicato, quindi
se ne aggiunge uno fittizio MC
2 2
CA
MqL PR
L
3
2 2
CB
MqL PR
L
L’andamento dei momenti si modifica nel modo seguente
2
1 11 1 1 1 1
2 2 2 2
CAB A
Mqx qxqL PM x R x x x x
L 10 x L
2 2CB CM x Px M 20 2x L
Differenziando ora rispetto
al carico fittizio MC
1 1AB
C
M x x
M L
21
CB
C
M x
M
22
1 11 1 1 2
0 0
1 11
2 2 2
LL
CC C
C
M qx xM M qL Pdx x x x dx Px M dx
EI M EI L L EI
Annullando ora il valore
del momento fittizio MC
22
1 11 1 2
0 0
1 11
2 2 2
LL
C
qx xqL Px x dx Px dx
EI L EI
24 2 33 3 211 1 2
00
1 1 7
6 6 8 2 24 24
L L
C
qxq P P PL qLx x x
EI EI EI EI
Eseguendo i calcoli si ricava infine
Se il segno è positivo la
rotazione ha lo stesso
verso ipotizzato al carico
fittizio MC
1 2
2m
T TT
Se l’appoggio è tale da non impedire l’allungamento medio
(da T0) o le rotazioni, la struttura non si tensionerà ma si
deformerà. Ciascuna fibra secondo la legge T L
Facendo riferimento alla figura a fianco
2 1hd T T dx
2
d
2 1T Td
dx h
22 1
2
T Td v
dx h
Se T2 > T1 allora la curvatura è positiva
Nel caso in cui la rotazione sia impedita il calcolo si può fare sovrapponendo
gli effetti: prima si lascia la trave libera di deformarsi in temperatura, poi, da
questa posizione essa viene caricata imponendo il rispetto dei vincoli –
questa ultima condizione comporta l’insorgere di tensioni
EFFETTI TERMICI
Nel caso della deflessione delle travi, ha
interesse trattare il caso di variazioni termiche
lungo lo spessore della trave
2 1 0T T T
Su di esso viene applicato un riferimento radiale-
circonferenziale e si supponga che lo spessore sia
piccolo al punto da non spostare significativamente il
raggio neutro da quello baricentrico
R
P
0Mr
O
s
Si suppone di poter trascurare la deformabilità dovuta a sforzo assiale e taglio
DEFORMAZIONE DI TRAVI CURVILINEE
Si considera il caso di una trave di curvatura iniziale costante (linea media = tratto circonferenza)
soggetta ad un carico radiale estremale composto da una forza P ed un momento M0
2
0 0
1
2
M Rd dMM Rd
P EI EI dP
0 sinM M PR
In una generica sezione identificata da ϑ 2
02
M Rd
P EI
0
0
1sin sinM PR R Rd
EI
Il modo più pratico di affrontare questo problema è
mediante l’utilizzo del Teorema di Castigliano
2
02
LM ds
UEI
U
LP
Spostamento radiale
Sviluppando l’integrale 2 3 2
0
0
1sin sinM R PR d
EI
Nel caso particolare di quarto di cerchio
2 3 320
0
1
2 4 4
M R PR PRM R
EI EI EI
2 3
0 00
1 1 cos 2cos
2M R PR d
EI
2 3
0 sin 21 cos
2 4
M R PR
EI EI
Nel caso particolare del semicerchio 2 3 3
200
12 2
2 2
M R PR PRM R
EI EI EI
… Volendo calcolare lo spostamento tangenziale si sarebbe potuto introdurre un carico
fittizio Q diretto come s….
TRAVI SU FONDAZIONE ELASTICA
Si ipotizzi ora che una trave sia supportata da una fondazione che reagisce elasticamente
In ogni punto di appoggio, la fondazione reagisce al cedimento con una reazione elastica k
Gli equilibri sul generico
elementino forniscono
dV
q kdx
V
V+dV
M M+dM
q
k
dMV
dx;
Dall’equazione linea elastica: (segno opposto)
2
2
dEJ M x
dx
4
4
dEJ q k
dx
È questo un caso particolarmente interessante allorché si studino travi orizzontali appoggiate
su terreno cedevole, oppure strutture a sviluppo assiale parzialmente sommerse (navi lunghe)
x
y
k
q(x)
η N.B. si utilizza η che ha
verso opposto a y
2 2 2 i ; 2 i
2 1 i i
2 1 i i
Della equazione differenziale del IV ordine vista, si limita lo studio al solo caso di carichi
concentrati (q=0)
4
40
dEJ k
dx
4 44 0
L’equazione caratteristica associata all’equazione differenziale è
La soluzione della omogenea assume così la forma:
1 2 3 4
1 1 1 1
i x i x i x i xx C e C e C e C e
1 3 4 2
x i x i x x i x i xx e C e C e e C e C e
Questo problema richiede l’utilizzo di 4 condizioni al contorno
cos sen cos senx x
x e A x B x e F x G x
44
44
d
dx
4
4
k
E J Riscritta come con
Si consideri ad esempio il caso di una trave infinitamente lunga con un carico concentrato
x
η k
P Si sceglie l’origine sul punto di applicazione del carico
cos sen cos senx x
x e A x B x e F x G x
cos senx
x e F x G x
È plausibile supporre che a distanza molto grande dall’origine la deformata svanisca
I primi due termini esponenziali debbono essere nulli 0A B
La prima condizione al contorno (simmetria) prevede l’annullarsi della derivata prima all’origine
0
cos sen sen cos 0x
xde F x G x F x G x
dx
F G
cos senx
x Fe x x
Per l’altra condizione al contorno, possiamo dire che il taglio (in una
direzione della trave) è uguale alla metà del carico applicato 0 2V P
Derivando tre volte
2 senxd
Fe xdx
cos senx
x Fe x x
2
2
22 sen cos
xdFe x x
dx
33
34 cos
xdFe x
dx
3
3
0 0
0 2 x x
dM dV P EI
dx dx
Tenendo conto delle precedenti derivate
342
PF
EI
38
PF
EI
La soluzione generale è allora
3cos sen
8
xPx e x x
EI
La legge di spostamento si annulla
rapidamente
31 1
8
P
EI
v x
x