Cause dei cedimenti
1. Deformazioni per effetto di carichi applicatidirettamente alla fondazione o nelle vicinanze
2. Variazioni del regime idrico nel sottosuolo
3. Vibrazioni indotte da scosse sismiche, infis-sione di pali, macchinari pesanti (sabbie)
4. Saturazione di terreni metastabili (loess,pozzolane); rigonfiamento di argille espansive
5. Altre cause: scavi a cielo aperto o in sotter-raneo; erosione interna, ……
Nei casi 1, 2 e (in parte) 5, sono possibili previ-sioni quantitative.
Negli altri casi possibile previsione qualitativa e prevenzione con opportuni provvedimenti di progetto (irrigidimento; giunti; trattamento deiterreni di fondazione; opportuna modifica deltipo di fondazione)
Interazione terreno-struttura
• tre componenti: sovrastruttura,fondazione e terreno
• incognite iperstatiche sia le azionitrasmesse dalla fondazione al terreno,sia le azioni trasmesse dalla sovrastruttura alla fondazione
Diversi livelli di semplificazioneper diverse finalità dell’analisi
Progetto della struttura di fondazione
Studio dell’interazione a tre componenti
• si trascura la struttura di fondazione• si assumono note le azioni agenti sulterreno (quasi sempre, carichi uniformemente distribuiti con intensitàcostante)
• si trascura la sovrastruttura
• si trascura la sovrastruttura e quindi siassumono note le azioni sulla fondazione
• si studia l’interazione tra fondazione e terreno e si determinano le
caratteristiche della sollecitazione
• per valutare gli effetti delle deformazionisulla sovrastruttura
Calcolo del cedimento
• si tiene conto dell’influenza della struttura con metodi approssimati
Fasi del calcolo1. Calcolo degli incrementi di tensione nel sottosuolo
2. Determinazione sperimentale delle caratte-ristiche tensioni-deformazioni-tempo dei ter-reni e scelta dei valori rappresentativi (mezzonon lineare e non elastico; necessità di tenereconto del livello tensionale e della storia delletensioni)
3. Calcolo delle deformazioni unitarie e loro integrazione
4. Calcolo del decorso nel tempo
Il calcolo presenta aspetti alquanto diversi aseconda che si abbia a che fare con terreni agrana fina (limi, argille) o a grana grossa (sabbie, ghiaie)
Nei terreni a grana fina, che esaminiamo per primi, la fase 2 può essere svolta agevolmente con provedi laboratorio su campioni indisturbati. La fase 4 ha notevole rilievo pratico
Soluzione di Boussinesq (1885)
Coordinate cilindriche r, z, θCondizioni di simmetria: uθ= τrθ = τzθ= 0
Condizioni di contorno
r > 0, z = 0 ⇒ σz = 0; τrz= 0
r = 0; z = 0 ⇒ lo stato tensionale fa equilibrio alla forza P
z → ∞, r → ∞ ⇒ σij = 0
R2 = r2 + z2
·cosψ
·senψ
E’ facile verificare che per R → ∞ tuttele componenti di tensione e di spostamentotendono a zero
Per z = 0, R ≠ 0 ⇒ σz = τrz = 0
Resta da verificare che lo stato tensionale nell’origine eguagli la forza P
Per i punti sulla semisfera:
R = az = a·cosψr = a·senψ
( ) ψπ
ψψψπ
22
4222
cos2
3coscos
2
3
a
Psen
a
PTz =+=
Tza·senψ
Risultante delle azioni verticali su una striscia:
ψψψψπψ dPsensenadaTz ⋅⋅=⋅⋅⋅ 2cos32
Risultante delle azioni verticali sulla semisfera:
=
=ψ
ψ
στσ
τσ
θθ
cos
0
0
00
0
T
sen
T
T
T
zrz
rzr
z
r
=
+
=z
rI
z
P
zr
z
Pz σπ
σ252
2
1
1
2
3
Tensione normale verticaleindipendente da E, ν
Lungo una retta uscente dall’originela tensione diminuisce al crescere di z
PdPsen =⋅⋅∫ ψψψπ
2
0
2cos3
Le soluzioni proposte del problema di Boussinesq soddisfano l’equilibrio !
Distribuzione nel sottosuolo delletensioni al di sotto di un’area circolaresoggetta ad un carico uniformementedistribuito con intensità costante q
Diffusione delle tensioni nel sottosuolo
• le tensioni si riducono allontanan-dosi dal punto di applicazione del carico
• gli incrementi di tensione interes-sano anche zone al di fuori dellaimpronta in pianta del carico
• vi sono quindi cedimenti anche al di fuori della impronta in pianta del carico
• a parità di carico unitario, il cedi-mento dipende dalle dimensioni in pianta del carico
H
B
∆H = w
H1=Vs(1+e1) H2=Vs(1+e2)
∆p
11
21 1H
e
eHHw
+∆=−=
∆H = VS(e1-e2)
VS=H1/(1+e1)
Condizioni edometriche(B >> H)
21
11ee
e
w
HE zz
z
zed −
+=== σσεσ
Metodo Edometrico(Terzaghi, 1924)
IPOTESI
dzE
w
EH
ed
zed
ed
zz
yx
∫=
=≠
==
0
0
;0
σ
σε
εε
H
B
Per B >> H, wf = wed
Negli altri casi, wf ≈ wed
Metodo Edometrico(Terzaghi, 1924)
( )[ ]
( )
2
2
x
21
1
121
121
1 0
1
ννν
εσ
νννσσ
νννσε
σν
νσσεε
σσνσε
−−−==
−−−=
−−=
−==⇒==
+−=
EE
EE
con
E
z
zed
zzzz
zyxy
yxzz
∞=⇒==⇒=
ed
ed
Eper
EEper
0,5
0
νν
Mezzo elastico lineare omogeneo ed isotropo
Metodo di Skempton e Bjerrum(Skempton, Bjerrum, 1957)
• il cedimento di consolidazione èprovocato dalla dissipazione di uo, e
non da σz; esso viene calcolato con il metodo edometrico;
Ipotesi:
•il cedimento istantaneo o non drenato wo viene calcolato in termini di tensioni totali
con ν = 0,5 ed E = Eu
Cedimento immediato(non drenato, distorsionale)
( )[ ]
B
dz
qqE
qB
dzE
dzw
yxz
u
yxzu
z
∫
∫∫
∞
∞∞
+−=
=+−==
0
00
5,0
5,01
σσσ
σσσε
wu
o IE
qBw =
OCR Eu/cuIp < 0,3 Ip=0,3 ÷
0,5Ip > 0,5
< 3 800 400 200
3 ÷ 5 500 300 150
> 5 300 200 100
Valori tipici del rapportoEu/cu
Cedimento di consolidazione
( )dz
E
Adz
E
uw
H
ed
H
edc ∫
∆−∆+∆=∫=0
313
0
0 σσσ
In asse alla fondazione si ha:
dzE
wH
eded ∫
∆=0
1σ
da cui, assumendo Eed = cost.; A = cost.
( )
∫∆
∫∆=
−+==
H
H
edc
dz
dz
AA
ww
01
03
1
σ
σα
αββ
Rapporto fra cedimento immediatoe cedimento finale
Argille sovraconsolidate
Teoria elastica: wo/wf = 0,25 ÷ 0,70
Simons & Soms, 1970 (12 edifici)wo/wf = 0.32 ÷ 0,84 (media 0,6)
Morton & Au, 1974 (8 edifici su L.C.)
wo/wf = 0,4 ÷ 0,8 (media 0,6)
Argille normalmente consolidate
Teoria elastica: wo/wf ≈ 0,1Simons & Soms, 1970 (9 edifici)wo/wf = 0.08 ÷ 0,21 (media 0,16)
Decorso nel tempo rapido; importanza (e possibilità)di una corretta valutazione di wo
Decorso nel tempo lento; difficoltà (e scarsa importanza) di una corretta valutazione di wo
Indicazioni empiriche(Padfield & Sharrock, 1983)
Da un ampio riesame della evidenzasperimentale, eseguito per conto
di CIRIA, Padfield e Sharrock traggonole seguenti indicazioni:
Metodo di Skempton & Bjerrum
Argille molli (N.C. o lievemente O.C.)
wo = 0,1 wed
wc = wed
wf = 1,1 wed
Argille fortemente O.C.
wo = 0,5 ÷ 0,6 wf
wc = 0,4 ÷ 0,5 wf
wf ≈ wed
Argille sensibili β = 1,0 ÷ 1,2
Argille N.C. β = 0,7 ÷ 1,0
Argille O.C. β = 0,5 ÷ 0,7
Arg. fortemente O.C. β = 0,2 ÷ 0,5
Decorso dei cedimenti nel tempo
Relazione di continuità della fase fluida:
( )zyxtdivV εεε ++
∂∂=
→
Per un mezzo elastico ed isotropo di costantielastiche E e ν si ha:
( ) ( )
( )
∂∂−
∂∂−=−++
∂∂−=
=++∂∂−=++
∂∂
t
u
t
T
Eu
tE
tEt
zyx
zyxzyx
321
321
'''21
νσσσν
σσσνεεε
yyx σσσ ++=Tcon
D’altro canto si ha:
uk
z
h
y
h
x
hk
z
V
y
V
x
VVdiv
w
zyx
22
2
2
2
2
2∇−=
∂∂+
∂∂+
∂∂−=
=∂
∂+∂
∂+
∂∂=
→
γ
( ) t
T
t
uucu
kEv
w ∂∂−
∂∂=∆=∆
− 31
2132
32
νγequazione della teoria della consolidazionetridimensionale “accoppiata” di Biot – Mandel
In regime piano nel piano x,z:
( )
( )( )ννγ
σσ
2112
:con
21
2
2
2
2
2
2
−+=
+∂∂−
∂∂=
∂∂+
∂∂
wv
zxv
kEc
tt
u
z
u
x
uc
In regime unidimensionale secondo l’asse z:
( )( )( ) w
ed
wv
zv
kEkEc
tt
u
z
uc
γννγν
σ
=−+
−=
∂∂−
∂∂=
∂∂
2111
:con
1
2
2
1
Teoria unidimensionale di Terzaghi
tt
u
z
uc zv ∂
∂−∂∂=
∂∂ σ
2
2
Per l’equilibrio, il secondo termine a secondomembro può essere diverso da zero solo sevaria il carico che genera lo stato tensionale nel tempo. La soluzione si esprime:
tH
cTT
H
zf
u v2
:con , =
=σ
Grado di consolidazione in termini di w:
( ) ( )of
o
ww
wTwTU
−−=
E, con wo= 0 (schema edometrico):
( )cw
TwU =
Grado di consolidazione in termini di u
( )∫
∫ ⋅−=
H
o
H
dzu
dzu
TU
0
01
Per un mezzo lineare, le due espressionidel grado di consolidazione coincidono
Teoria unidimensionale di Terzaghi
de = 0,91 s per maglia triangolarede = 1,13 s per maglia quadrata
U = 1- (1-Uv)(1 – Uh)Carrillo (1942)
2e
hh
d
tcT =
Metodi basati sul CPT
Metodo di De Beer
E = kqc
Eed = (1,2 ÷ 1,5)E
Tipo di terreno k
Sabbia limosa 1,5
Sabbia mediamente addensata
2
Sabbia densa 3
Sabbia e ghiaia 5
Metodo di Schmertmann
1,0)(
lg2,01
5,0'
5,01
I
q
:
2
,1
z
1
,21
annitC
qC
esimoo iello stratspessore dz
esimostrato i
dello ormabilitàulo di defmodE
zionedi deformafattore
tocarico net
qualenella
zE
IqCCw
ov
i
i
i
n
i
iz
+=
≥
−=
−=∆−
==
=
∆⋅= ∑
σ
Ei = 2,5 qc per fondazione circolareo quadrata (L/B=1)
Ei = 3,5 qc per fondazione a strisciaindefinita (L/B > 10)
L’abaco fornisce il valore di q (carico totale) che, applicato ad una fondazione di larghezza B,provoca un cedimento di 2,5 cm
N è il valore medio del numero di colpi SPTfra le profondità D e D+B
In presenza di sabbie fini sotto falda, siassumerà un numero di colpi correttoN’ = 15 +0,5(N – 15); la correzione si applicasolo per N > 15
L’abaco è valido per Dw > (D + B). Se Dw = D, il valore di q deve essere dimezzato per D = 0 e ridotto del 25% per D = B. Nei casi in cuiD < Dw < (D+B) si interpola linearmente
Il cedimento sotto un carico qualsiasi si ottieneistituendo una proporzionalità diretta tracarichi e cedimenti
Il metodo conduce in genere ad una sensibilesopravvalutazione del cedimento
Metodo di Burland e Burbidge
−= cv IBqCCCw 7,00,321 '
32σ
nella quale:q = carico totaleσ’vo = pressione effettiva litostatica alla
profondità DB = larghezza della fondazioneIc = indice di compressibilitàC1 = coefficiente di formaC2 = coefficiente di spessore dello
strato deformabileC3 = coefficiente di tempo
La formula è valida per q > σ’v,o
4,1706,1
avc
NI =
Nav= valor medio di N nella profondità diinfluenza Z
Se N decresce con la profondità, Z = 2BSe N è costante o crescente con la profondità, Z è fornito dalla tabella
B (m) Z (m)
2 1,63
3 2,19
5 3,24
10 5,56
30 13,00
50 19,86
100 34,00
• Per sabbie fini sotto falda, si applicaad N la correzione di Terzaghi e Peck
3)(
lg1
2
25,0
25,1
33
2
2
1
annitRRC
Z
H
Z
HC
BL
BL
C
t++=
−=
+=
R3 = 0,3 per carichi fissiR3 = 0,7 per carichi ciclici o dinamici
Rt = 0,2 per carichi fissiRt = 0,8 per carichi ciclici o dinamici
σ
ε
Sabbia sciolta
Sabbia densa
E dipende da DR, dalla storia delle solleci-tazioni e dalla tensione effettiva in sito
qc e NSPT dipendono da DR e dalla tensio-ne effettiva in sito
(mm/kPa)
• cedimenti in generale di entità ridotta
• cedimenti differenziali proporzional-mente elevati
• decorso nel tempo rapido (vantaggi e inconvenienti)
Jeyapalan and Boehm (1986) analizzarono 71 casehistories e confrontarono l’accuratezza di novemetodi per il calcolo dei cedimenti. Il metodo diSchultze & Sherif (1973) e quello di Schmertmann(1978) risultarono i più accurati ed affidabili.
Tan and Duncan (1991) controllarono l’affidabilità e l’accuratezza di 12 metodi per la stima dei cedimenti delle fondazioni su sabbie basandosi su 76 case histories.