Introduzione al

METODO DEGLI

ELEMENTI FINITI

Metodo degli elementi finiti 2

Le funzioni approssimanti devono:

• Soddisfare i requisiti di continuità

• Essere linearmente indipendenti e completi

• Soddisfare le condizioni al contorno (essenziali)

Difficoltà:

• Selezionare idonee funzioni approssimanti per domini complessi

• Definire una procedura sistematica per definire le funzioni approssimanti

Osservazioni sui metodi variazionali approssimati classici

Metodo degli elementi finiti 3

• Il metodo deve avere una base fisica ed un’impostazione matematica

• Il metodo non deve soffrire di limitazioni per problemi definiti su domini complessi

• La formulazione della procedura non deve dipendere dalla specifica forma geometrica del dominio

• Il metodo deve essere sufficientemente flessibile da poter incrementare l’accuratezza della soluzione cercata senza riformulare tutto il problema

• Il metodo deve poter essere implementato semplicemente ed in modo automatico in un codice di calcolo

Requisiti di una buona procedura computazionale

Metodo degli elementi finiti 4

fEA P

EA u’’ + f =0 equazione di campo

u(0) = 0 condizioni al contornoEA u’(L) = P

Problema 1D della barra

Metodo degli elementi finiti 5

Idea di base

Stazionarietà dell’energia potenziale totalei

1

( ) ( )N

j jj

u x U x

Energia potenziale totale

2

0 0

1 '2

L L

LEA u dx f u dx Pu

Metodo variazionale approssimato

1 1 1 10 0

1 ' ' ( )2

L LN N N N

i i j j i i i ii j i i

EA U U dx f U dx P U L

10 0

0 ' ' ( )L LN

i j j i iji

EA U dx f dx P LU

Si ottiene un sistema di N equazioni in N incognite, risolvibile se le funzioni approssimanti sono scelte in modo adeguato.

Metodo degli elementi finiti 6

1 2 3 4 5

U2 U3 U4 U5U1

1

( ) ( )N

j jj

u x U x

Metodo degli elementi finiti 7

1 2 3 4 5

U2 U3 U4 U5U1

U1 11

U2 21

U3 31

U4 41

U5 5 1

=

+

+

+

+

Metodo degli elementi finiti 8

Schema FEM

1. Discretizzazione del dominio in un insieme di elementi

2. Derivazione delle equazioni per ogni elemento della mesh

3. Assemblaggio di tutte le equazioni ottenute per i singoli

elementi per determinare le equazioni del sistema strutturale

completo

4. Imposizione delle condizioni al contorno

5. Soluzione del sistema di equazioni

6. Postprocessing della soluzione

Metodo degli elementi finiti 9

1. Discretizzazione del dominio in un insieme di elementi

• Definizione della mesh

• Numerazione dei nodi e degli elementi

• Assegnazione delle proprietà agli elementi

2. Derivazione delle equazioni per ogni elemento della mesh

• Formulazione variazionale

• Approssimazione

• Matrice di rigidezza, vettore delle forze

Schema FEM

Metodo degli elementi finiti 10

3. Assemblaggio di tutte le equazioni ottenute per i singoli elementi per determinare le equazioni del sistema strutturale completo

• Condizioni di continuità tra elementi contigui

• relazione di connettività elemento – nodi

• relazione tra i gradi di libertà globali del sistema ed i nodi

• Identificazione delle condizioni di equilibrio tra le variabili secondarie

• Assemblaggio delle equazioni di elemento nelle equazioni del sistema

Schema FEM

Metodo degli elementi finiti 11

4. Imposizione delle condizioni al contorno

• Identificazione dei gradi di libertà assegnati

• Identificazione delle variabili secondarie assegnate

5. Soluzione del sistema di equazioni

6. Postprocessing della soluzione

• Calcolo della derivata (deformazione) della soluzione

• Calcolo delle tensioni

• Rappresentazione grafica della soluzione: deformata, curve di livello delle tensioni, tensioni equivalenti

Schema FEM

Metodo degli elementi finiti 12

1. Discretizzazione del dominio

Problema fisico

Modello matematico

Discretizzazione agli elementi finiti

L

fO x

P

L

fO x

P= EA u’(L)

L

fO x

P= EA u’(L)

he

elementi nodi

Metodo degli elementi finiti 13

Discretizzazione del dominio

nodo

elemento

1 2 3 4 5

1 2 3 4

• Assegnazione delle proprietà agli elementi:

EA = (per ogni elemento)

Elemento Nodo 1 Nodo2

1 1 2

2 2 3

3 3 4

4 4 5

• Numerazione dei nodi e degli elementi

• Definizione della mesh

Metodo degli elementi finiti 14

2. Derivazione delle equazioni per ogni elemento

L’equazione differenziale EA u’’ = f deve essere soddisfatta in tutti i punti della trave. In particolare dovrà essere soddisfatta nell’elemento e=(xA,xB).

Energia potenzialeper l’elemento

c.c. essenziali

c.c. naturali

xA xB

e

u(xA)=u1(e) u(xB)=u2

(e)

-N(xA) = P(e)1 N(xB)=P(e)

2

2 ( ) ( )1 2

1( ) ' ( ) ( )2

B B

A A

x xe e

A Bx x

u EA u dx f u dx P u x P u x

Metodo degli elementi finiti 15

Derivazione delle equazioni

Approssimazione per il singolo elemento 2

( )

1

( )ee j j

j

u u x

2 2

( ) ( ) ( ) ( )

1 1

2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 21

2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1

1 '( ) '( )2

( ) ( ) ( )

12

B

A

B

A

xe e e e

i j j ii j x

xe e e e e e

i i A i B ii x

e e e e eij j i i i

i j i

EA x x dx u u

f x dx P x P x dx u

K u u F u

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2

'( ) '( )

( ) ( ) ( )

B

A

B

A

xe e e

ij i jx

xe e e e e e

i i i A i Bx

K EA x x dx

F x f dx P x P x

dove

Metodo degli elementi finiti 16

Stazionarietà dell’energia potenziale totale del singolo elemento

2( ) ( ) ( )

( )1

0 e e eij j ie

ji

K u Fu

2 equazioni di equilibrio (approssimato)

Metodo degli elementi finiti 17

Funzioni di approssimazione per l’elemento

nodo

elemento

A Be

1

1

e

1(e)

2(e)

e

( )1

( )2

e B

B A

e A

B A

x xx xx xx x

A Bx x x

Funzioni di interpolazione di Lagrange

u1(e) spostamento per x = xA

u2(e) spostamento per x = xB

i(e)(xj) = 0 se i # j

i(e)(xj) = 1 se i = j

1(e)(x) + 2

(e)(x) = 1

Derivazione delle equazioni

e B Ah x x dimensione dell’elemento

Metodo degli elementi finiti 18

Matrice di rigidezza, vettore delle forze

( ) ( ) ( )11 1 1

( ) ( ) ( )12 1 2

( ) ( ) ( )21 2 1

( ) ( ) ( )22 2 2

1 1' '

1 1' '

1 1' '

1 1' '

B B

A A

B B

A A

B B

A A

B B

A A

x xe e e

e e ex x

x xe e e

e e ex x

x ze e e

e e ex z

x xe e e

e e ex x

EAK EA dx EA dxh h h

EAK EA dx EA dxh h h

EAK EA dx EA dxh h h

EAK EA dx EA dxh h h

( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2

1 1' , 'e e e eB A

e e e e

x x x xh h h h

Derivazione delle equazioni

matrice di rigidezza

Metodo degli elementi finiti 19

Derivazione delle equazioni

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

1( )2

1( )2

B B

A A

B B

A A

x xe e e e eB

eex x

x xe e e e eA

eex x

x xF x f dx P f dx P f h Ph

x xF x f dx P f dx P f h Ph

( )

( ) ( ) 1( )

2

1 1 111 1 12

ee e

e ee

PEA f hh P

K F

In definitiva, la matrice di rigidezza ed il vettore delle forze valgono:

vettore delle forze

Equilibrio( ) ( )1 1( ) ( )2 2

1 1 111 1 12

e e

ee ee

u PEA f hh u P

Metodo degli elementi finiti 20

3. Assemblaggio 1 2 3 4 5

U2 U3 U4 U5U11 2

u1(1) = U1 u2

(1) = U2 2 3

u1(2) = U2 u2

(2) = U3 3 4

u1(3) = U3 u2

(3) = U44 5

u1(4) = U4 u2

(4) = U5

u1(1) = U1 u2

(1) = U2 = u1(2) u2

(2) = U3 = u1(3) u2

(3) = U4 = u1(4) u2

(4) = U5

Parametri locali

–

Parametri globali

Metodo degli elementi finiti 21

AssemblaggioMatrice Booleana di connettività:

54433221

Belemento

Nod

o 1

Nod

o 2

Esempio

L’elemento 3 ha nodi 3 e 4.

K11(3) si va sommare al termine K33 della matrice globale della struttura

K12(3) si va sommare al termine K34 della matrice globale della struttura

Metodo degli elementi finiti 22

(1)1 1

(1)2 2

3 11

4

5

1 1 0 0 0 11 1 0 0 0 1

10 0 0 0 0 0 02

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

U PU P

EA U f hh

UU

Elemento 1

1(2)

2 1(2)

3 2 22

4

5

0 0 0 0 0 0 00 1 1 0 0 1

10 1 1 0 0 12

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

UU P

EA U f h Ph

UU

Assemblaggio

Elemento 2

Metodo degli elementi finiti 23

1

2(3)

3 3 13 (3)

4 2

5

0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0

10 0 1 1 0 12

0 0 1 1 0 10 0 0 0 0 0 0

UU

EA U f h Ph

U PU

Elemento 3

1

2

3 44 (4)

4 1(4)

5 2

00 0 0 0 0 000 0 0 0 0 0

1 00 0 0 0 0 02

0 0 0 1 1 10 0 0 1 1 1

UU

EA U f hh

U PU P

Assemblaggio

Elemento 4

Metodo degli elementi finiti 24

Assemblaggio

Sommando le equazioni ottenute per i singoli elementi si ottiene:

(1)11 1

1 1

2 1 21 1 2 2

3 2 32 2 3 3

4 3 43 3 4 4

5 44 4

1 1 0 0 0

1 1 1 1 0 0

1 1 1 10 02

1 1 1 10 0

1 10 0 0

PU hh h

U h hh h h h

fU h hEAh h h h

U h hh h h h

U hh h

(1) (2)2 1

(2) (3)2 1

(3) (4)2 1

(4)2

P P

P P

P P

P

Metodo degli elementi finiti 25

4. Condizioni al contorno

eP1

(e) P2(e)

e+1P1

(e+1) P2(e+1)

P2(e) + P1

(e+1) = 0Non sono presenti forze applicate nei nodi interni

Metodo degli elementi finiti 26

Condizioni al contorno

1P1

(1) P2(2)

4P1

(4) P2(4)

P2(4) = P

Forza assegnata per x = L

U1 = 0

Spostamento nullo per x = 0

Metodo degli elementi finiti 27

Condizioni al contornoIn definitiva

2

3

4

5

0

U

U

U

U

(1)1 1

1 2

2 3

3 4

4

0

02

0

h P

h h

f h h

h h

h P

Vettore degli spostamenti Vettore delle forze

Metodo degli elementi finiti 28

(1)1 1

1 1

2 1 21 1 2 2

3 2 32 2 3 3

4 3 43 3 4 4

5 44 4

1 1 00 0 0

1 1 1 1 0 0 0

1 1 1 10 02

1 1 1 10 0

1 10 0 0

h Ph h

U h hh h h h

fU h hEAh h h h

U h hh h h h

U hh h

0

0

P

5. Soluzione del sistema di equazioni

Metodo degli elementi finiti 29

Sistema di equazioni

(1)12 1

1 1

1 221 2 2

3 2 32 2 3 3

4 3 43 3 4 4

5 44 4

1 102

1 1 1 00 0

1 1 1 1 0 0

1 1 1 1 20 0

1 10 0

f hEA U Ph h

hU hh h h

U h hh h h h fEA

U h hh h h h

PU hh h

a)

b)

Metodo degli elementi finiti 30

Sistema di equazioni

Si risolve il sistema b).

Noti gli spostamenti nodali U2, U3, U4 e U5, si sostituiscono nel sistema a) e si ricava P1

(1) che rappresenta la reazione del vincolo.

Metodo degli elementi finiti 31

6. Postprocessing della soluzione

Calcolo delle tensioni interne

Interpretazione della soluzione

Rappresentazione grafica dei risultati