by ITALIANO MANUELby ITALIANO MANUEL
A3 GEOMETRI DIURNOA3 GEOMETRI DIURNO
A.S. 2000/2001A.S. 2000/2001
• Circonferenza goniometrica
• Seno di un angolo
• Coseno di un angolo
• Tangente di un angolo
• Cotangente di un angolo
• Segno delle funzioni goniometriche
• Relazioni fondamentali
Circonferenza con centro nell’origine e avente per raggio il segmento di misura 1; la sua equazione è:
x2 + y2 = 1.
Sia dato un angolo orientato (in senso antiorario) , chiameremo il punto B punto associato all’angolo sulla circonferenza goniometrica.
Si dice seno di un angolo l’ordinata del punto associato ad nella circonferenza goniometrica.
Quindi:
sen = yB = BH.
Al variare dell’angolo il seno assume valori appartenenti all’intervallo [-1; 1].
Il grafico della funzione y=senx si chiama
sinusoide.
Il seno è una funzione periodica con periodo
uguale a 360°, cioè:
sen( + k360°) = sen (k Z).
Si dice coseno di un angolo l’ascissa del punto associato ad nella circonferenza goniometrica. Quindi:
cos = xB = OH.
Al variare dell’angolo il coseno assume valori appartenenti all’intervallo [-1; 1].
Il grafico della funzione y=cos x si chiama cosinusoide.
Il coseno è una funzione periodica con periodo 360°, cioè:
cos( + k360°) = cos (k Z)
Si definisce tangente dell’angolo l’ordinata del punto T d’intersezione tra il secondo lato dell’angolo e la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto A :
tg = yT = AT.
I triangoli OTA e OBH sono simili, quindi: AT : OA = HB : OH, Ma OA = 1, AT = tg , HB = sen e OH = cos ; perciò:
cos
sentg
Se cos = 0, quindi se = 90° + k180° (k Z) la tangente non esiste.
La tangente è una funzione periodica con periodo 180°, cioè:tg ( + k180°) = tg (k Z).
Si definisce cotangente dell’angolo l’ascissa del punto S d’intersezione tra il secondo lato dell’angolo e la retta tangente alla circonferenza goniometrica nel punto C :
cotg = xS = CSPoiché i triangoli OCS e OBH sono simili, risulterà che
sen
coscotg
Se sen = 0, quindi per = k180° (k Z), la cotangente
non esiste.
La funzione cotangente è periodica di periodo 180°, cioè:
cotg = cotg( + k180°) con k Z.
sen 45° = yB = HB e cos 45° = xB = OH; OA = OB = 1. Essendo OHB un triangolo rettangolo isoscele, è HB = OH.Per il teorema di Pitagora, applicato al triangolo OHB, si ha:
2
2HB
2
1HB
12HBOBOHHB
2
2222
1cos45
sen45tg45avràsiInfine
2
2cos45e
2
2sen45quindihaSi
0
00
00
sen cos tgBquad. + + +
Bquad. + - -Bquad. - - +Bquad. - + -
Consideriamo una circonferenza ed un angolo orientato (vedi D4). Sia B il punto ad esso associato. Poiché il punto B appartiene alla circonferenza di equazione x2 + y2 = 1, le sue coordinate devono soddisfare a tale equazione. Si avrà dunque, qualunque sia l’angolo , (sen )2 + (cos )2 = 1, cioè: sen2 + cos2 = 1.
1) La somma dei quadrati del seno e del coseno di uno stesso angolo è uguale all’unità.
2) Il rapporto tra seno e coseno di uno stesso angolo è uguale alla tangente dell’angolo stesso.
• Angoli opposti
• Angoli supplementari
• Angoli che differiscono di 180°
• Angoli esplementari
• Angoli complementari
Due angoli sono opposti quando la loro somma è zero.cos(-x) = cos xsen(-x) = -sen xtg(-x) = -tg xcotg(-x) = -cotg xAngoli opposti hanno coseno uguale, seno, tangente e cotangente opposti.
Due angoli si dicono supplementari quando la somma delle loro misure è uguale a 180°.Le loro funzioni saranno pertanto:cos (180°- ) = -cos ,sen (180°- ) = sen ,tg (180°- ) = -tg ,cotg (180°- ) = -cotg .Angoli supplementari hanno seno uguale e coseno, tangente e cotangente opposti.
• sen (180° + ) = -sen • cos (180° + ) = -cos
• tg (180° + ) = tg
• sen (360° - ) = -sen
• cos (360° - ) = cos
• tg (360° - ) = -tg
Due angoli si dicono complementari quando la somma delle loro misure è uguale a 90°.sen (90° - x) = cos xcos (90° - x) = sen x tg (90° - x) = cotg xcotg (90° - x) = tg xIl coseno, il seno, la tangente e la cotangente di un angolo sono rispettivamente uguali al seno, coseno, cotangente e tangente del suo complementare.
gradi radianti seno coseno tg cotg0 0 0 1 0 non esiste
30 0,523598776 0,5 0,866025404 0,577350269 1,73205080845 0,785398163 0,707106781 0,707106781 1 160 1,047197551 0,866025404 0,5 1,732050808 0,57735026990 1,570796327 1 0 non esiste 0180 3,141592654 0 -1 0 non esiste270 4,71238898 -1 0 non esiste 0360 6,283185307 0 1 0 non esiste
• sen150° = sen (180°- 30°) = sen30° = 0,5
• cos120° = cos (180°- 60°) = - cos60° = - 0,5
• tg135° = tg (180°- 45°) = - tg45° = -1
• cos300° = cos (360°- 60°) = cos60° = 0,5
• cos1260° = cos (3 * 360°+ 180°) = cos180° = -1