L13 Il processo
di modellizzazioneRodolfo Soncini Sessa
MODSSCopyright 2004 © Rodolfo Soncini Sessa.
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 2
Il processo di modellizzazione
Scopo
Concettualizzazione
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 3
La concettualizzazione
Scopo
Concettualizzazione
E’ la fase che abbiamo esposto finora :
individuazione delle variabili rilevanti
riconoscimento delle relazioni causa-effetto tra le variabili e costruzione della rete causale
rappresentazione quantitativa di tali relazioni
A seconda delle informazioni disponibili l’ultimo passo si effettua con:
E’ la fase che abbiamo esposto finora :
individuazione delle variabili rilevanti
riconoscimento delle relazioni causa-effetto tra le variabili e costruzione della rete causale
rappresentazione quantitativa di tali relazioni
A seconda delle informazioni disponibili l’ultimo passo si effettua con:
solo osservazioni statistiche BBN
teorie e informazioni modello meccanicistico
numerose osservazioni e l’alternativa non modifica il componente
mod. empirici o DBM
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 4
La concettualizzazione
Scopo
Concettualizzazione
Esempio: Modello meccanicistico di un lago regolato
s
t+1=s
t+w
t+ε
t+1−r
t+1
ht=h(st)
rt+1=
N(st) se st >sN(st) se ut>N(st) ut altrimenti
⎧⎨⎪
⎩⎪ altrimenti
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
N(s
t)=α s
tβ
s
t
N(g)
r
t+1
u
t
s
Il modello è definito a meno del valore dei parametri:
dunque non è un modello ma un meta-modello
parametri
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 5
La concettualizzazione
dt+1 =Kddt +(1−Kd)qt+1s
Il Terreno
St + qt+1n
1− St ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥ SM
γ
− evapt+1 St+1 = −max 0, St+1
∗ −SM{ }
rt+1 =
+St
SM
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
γ
qt+1n
rt ( 1- ) Kr −min K prt,RM{ } + scorr.supt+1
q
t+1s =Krrt + K f ft
Esempio: Modello meccanicistico di un bacino imbrifero
min{ , } ht+1 = ht + Pt+1
R β st+1 + M Tt+1, ht, st( )
qt+1n =
- β st max{ 0 , } ht + Pt+1
R + M Tt+1, ht, st( )
st st+1 = + Pt+1S -
M T
t+1, ht, st( )
M
Tt+1
α st
-ht
Il manto nevoso
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 6
Il processo di modellizzazione
Scopo
Concettualizzazione
Taratura
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 7
La taratura
Scopo
Concettualizzazione
Taratura
E’ la fase in cui si determina il valore dei parametri che compaiono nel meta-modello (si istanzia il meta-modello).
Due procedure alternative a seconda che il sistema esista o meno:
• il sistema non esiste: il valore dei parametri viene assegnato sulla base del progetto, ipotizzando che esso sarà realizzato esattamente;
MODELLO A PRIORI
• il sistema esiste: il valore dei parametri viene stimato tramite serie di dati già raccolti o raccolti ad hoc.
MODELLO A POSTERIORI
E’ la fase in cui si determina il valore dei parametri che compaiono nel meta-modello (si istanzia il meta-modello).
Due procedure alternative a seconda che il sistema esista o meno:
• il sistema non esiste: il valore dei parametri viene assegnato sulla base del progetto, ipotizzando che esso sarà realizzato esattamente;
MODELLO A PRIORI
• il sistema esiste: il valore dei parametri viene stimato tramite serie di dati già raccolti o raccolti ad hoc.
MODELLO A POSTERIORI
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 8
La taratura
sistema reale
modello
ingressimisurati
uscitamisurata
uscitacalcolata
residuo+
-
STIMATORE(algoritmo)
parametri
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 9
La concettualizzazione
dt+1 =Kddt +(1−Kd)qt+1s
Il Terreno
St + qt+1n
1− St ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎡
⎣
⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥ SM
γ
− evapt+1 St+1 = −max 0, St+1
∗ −SM{ }
rt+1 =
+St
SM
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
γ
qt+1n
rt ( 1- ) Kr −min K prt,RM{ } + scorr.supt+1
q
t+1s =Krrt + K f ft
Esempio: Modello meccanicistico di un bacino imbrifero
min{ , } ht+1 = ht + Pt+1
R β st+1 + M Tt+1, ht, st( )
qt+1n =
- β st max{ 0 , } ht + Pt+1
R + M Tt+1, ht, st( )
st st+1 = + Pt+1S -
M T
t+1, ht, st( )
M
Tt+1
α st
-ht
Il manto nevoso
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 10
Stima dei parametri
Parametri (modello proprio): θ =[ α β γ SM RM Ke Kr K p K f Kd]
Variabili di stato: z = [ s h S r f d q ]
z
t+1 = f zt,Tt+1,Pt+1,θ ( ) con z0 =z0
d
t=g zt( )
1tI
θ I1t
q0t
q0t =M( I1
t,θ)
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 11
spazio dei dati
q2
q1
spazio dei parametri
θ2
θ1
Stima dei parametri
0tqθ̂
serie rilevata
In generale non esiste un valore di per cui .θ 1 0( , )t tM I qθ
1ˆ( , )tM I θ
1( , )tM I θ
Si sceglie allora così che abbia distanza minima da (minimi quadrati).
θ̂0tq
1( , )ˆtM I θ
θ 0tq
0ˆtq
serie rilevate
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 12
Procedura operativa
a) si fissa un valore al parametro ; θ
c) si calcola l’errore q
0t calc
−q0t
b) si utilizza il modello per calcolare dato
(e.g. via simulazione); I1
t
q0 calct
t
q0t calc
q0t
0tq
d) si itera il procedimento finché non si determina il valore a cui corrisponde il minimo valore dell’errore.
θ̂
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 13
Spazio dei parametri θ1
θ2
Stima dei parametrialgoritmo Powell-search
1,2
3
4
I
II
Linee a errore costante non note all’inizio.
1) Dato un punto corrente:
θ̂
3) si individua il minimo lungo la semiretta;
4) Si torna al punto 1 (assumendo il minimo come nuovo punto corrente) fino a quando non è più possibile ridurre l’errore.
III
2) si determina il gradiente, che è sempre perpendicolare alle linee di livello;
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 14
frontiera
spazio dei parametri
θ2
θ1
Stima dei parametri in presenza di vincoli
Se si incontra un vincolo si proietta il gradiente sulla frontiera. θ̂
1
2
3
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 15
Il processo di modellizzazione
scopo
concettualizzazione
taratura
identificazione
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 16
Il processo di modellizzazione
Scopo
Concettualizzazione
Taratura
Validazione
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 17
La validazione
Scopo
Concettualizzazione
Taratura
Validazione
E’ la fase in cui si testa il modello per accertarsi che esso sia in grado di riprodurre dati non utilizzati in taratura.
Le osservazioni utilizzate per tarare e validare il modello devono rappresentare tutte le condizioni in cui il sistema si troverà ad operare.
in tal caso il modello opera come interpolatore
in caso contrario il modello opera come estrapolatore, le stime fornite vanno usate con grande prudenza.
E’ la fase in cui si testa il modello per accertarsi che esso sia in grado di riprodurre dati non utilizzati in taratura.
Le osservazioni utilizzate per tarare e validare il modello devono rappresentare tutte le condizioni in cui il sistema si troverà ad operare.
in tal caso il modello opera come interpolatore
in caso contrario il modello opera come estrapolatore, le stime fornite vanno usate con grande prudenza.
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 18
Il processo di modellizzazione
Scopo
Concettualizzazione
Taratura
Validazione
sì
USO
no
Raccolta dati
no
19
Paradigma:stazionario o non-stazionario?
Per tarare un modello si utilizzano le osservazioni fatte nel passato sul sistema.
Il modello descrive quindi il futuro assumendo implicitamente che esso non cambi rispetto al passato.
SISTEMA (+disturbi) STAZIONARIO
I parametri devono essere tempo-invarianti.
È una restrizione davvero necessaria?
NO, è sufficiente che il sistema sia periodico, di periodo T !
In tal caso i parametri sono funzioni periodiche di periodo T.
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 20
Periodicità (Ciclostazionarietà)
Un sistema periodico appare come un sistema stazionario ad un osservatore che lo campioni con passo T.
T
Un sistema periodico può essere pensato come l’insieme di T sistemi stazionari, ognuno dei quali opera all’istante tmodT .
Un sistema periodico gode di tutte le proprietà di un sistema stazionario (oltre ad altre).
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 21
Ergodicità
In realtà la condizione di stazionarietà (o ciclostazionarietà) non è sufficiente perchè il sistema possa essere correttamente tarato.
È necessario che tutte le statistiche siano calcolabili a partire dalla serie storica.
SISTEMA ERGODICO o CICLO-ERGODICO
“Fortunatamente” i sistemi naturali sono quasi sempre ergodici
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 22
Stazionario o non-stazionario?
Il sistema idrologico a scala planetaria non appare stazionario
quindi i disturbi non sono stazionari
CHE FARE?
per fenomeni che variano con un periodo T sufficientemente breve basta assumere T quale periodo del sistema
(ad esempio El Niño ha un periodo approssimativo di quattro anni)
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 23
Stazionario o non-stazionario?
Per fenomeni che variano con un periodo T troppo lungo, o sono del tutto non-stazionari (o di cui non sappiamo nulla), si può procedere così:
1. si identifica il miglior modello possibile sotto l’ipotesi che esso sia stazionario (o ciclostazionario di breve periodo, e.g. un anno);
2. si progetta la politica (o le norme) adottando tale modello;
3. si utilizza la politica (o le norme) ottenute sino a quando si constata che il processo che genera il disturbo è cambiato;
4. si torna al punto 1.
La difficoltà resta però irrisolta per le decisioni strutturali.
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 24
Alcune osservazioni sul progetto della politica
La soluzione razionale al problema gestionale è la definzione di una politica di regolazione, ossia una successione di funzioni (leggi di controllo) il cui argomento è lo stato.
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 25
st+1
wt+1
It
bacino
serbatoio
+ utenti
at+1
utmt(st,wt)mt(st,wt)
Politica di gestione p= {mt(•) t = 0,1,…,h}
ritardo
ritardo
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 26
Alcune osservazioni sul progetto della politica
Per progettare e utilizzare una politica è necessario che:
1. lo stato sia misurabile;
2. tutti i modelli dei componenti siano espressi in forma interna.
Non sempre queste due condizioni sono verificate.
La soluzione razionale al problema gestionale è la definzione di una politica p di regolazione,o ssia una successione di funzioni (leggi di controllo) il cui argomento è lo stato.
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 27
Stima dello stato
La soluzione razionale al problema gestionale è la definzione di una politica di regolazione, ossia una successione di funzioni (leggi di controllo) il cui argomento è lo stato
Per progettare e utilizzare una politica è necessario che:
1. Lo stato sia misurabile
2. Tutti i modelli dei componenti siano espressi in forma interna
Non sempre queste due condizioni sono verificate
Nel caso del lago lo stato (invaso) non è misurabile, lo è invece l’uscita (livello).
Posso avere una stima dello stato invertendo l’equazione di trasformazione di uscita ht=ht(st).
In generale
Se dispongo di misure ingresso/uscita posso usare uno stimatore dello stato per ricostruire il valore dello stato da utilizzare nella politica.
Così facendo sotto ipotesi abbastanza larghe le prestazioni della politica non peggiorano, rispetto al caso in cui lo stato sia misurabile.
Nel caso del lago lo stato (invaso) non è misurabile, lo è invece l’uscita (livello).
Posso avere una stima dello stato invertendo l’equazione di trasformazione di uscita ht=ht(st).
In generale
Se dispongo di misure ingresso/uscita posso usare uno stimatore dello stato per ricostruire il valore dello stato da utilizzare nella politica.
Così facendo sotto ipotesi abbastanza larghe le prestazioni della politica non peggiorano, rispetto al caso in cui lo stato sia misurabile.
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 28
Alcune osservazioni sul progetto della politica
La soluzione razionale al problema gestionale è la definzione di una politica di regolazione, ossia una successione di funzioni (leggi di controllo) il cui argomento è lo stato
Per progettare e utilizzare una politica è necessario che:
1. Lo stato sia misurabile
2. Tutti i modelli dei componenti siano espressi in forma interna
Non sempre queste due condizioni sono verificate
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 29
La soluzione razionale al problema gestionale è la definzione di una politica di regolazione, ossia una successione di funzioni (leggi di controllo) il cui argomento è lo stato
Per progettare e utilizzare una politica è necessario che:
1. Lo stato sia misurabile
2. Tutti i modelli dei componenti siano espressi in forma interna
Non sempre queste due condizioni sono verificate
Realizzazione
I modelli meccanicistici sono già espressi in forma interna.
È possibile esprimere in forma interna una BBN.
E per i modelli empirici?
Si sostituisce il modello empirico con un modello in forma interna che gli sia equivalente.
I modelli meccanicistici sono già espressi in forma interna.
È possibile esprimere in forma interna una BBN.
E per i modelli empirici?
Si sostituisce il modello empirico con un modello in forma interna che gli sia equivalente.
Quando i due modelli sono alimentati da traiettorie di ingresso uguali esiste sempre un opportuno stato iniziale del secondo
modello che produce una traiettoria di uscita uguale a quella del primo.
Quando i due modelli sono alimentati da traiettorie di ingresso uguali esiste sempre un opportuno stato iniziale del secondo
modello che produce una traiettoria di uscita uguale a quella del primo.
Un modello con queste caratteristiche è detto realizzazione e il
problema di identificarlo è detto problema di realizzazione.
Un modello con queste caratteristiche è detto realizzazione e il
problema di identificarlo è detto problema di realizzazione.
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 30
Realizzazione
La soluzione razionale al problema gestionale è la definzione di una politica di regolazione, ossia una successione di funzioni (leggi di controllo) il cui argomento è lo stato
Per progettare e utilizzare una politica è necessario che:
1. Lo stato sia misurabile
2. Tutti i modelli dei componenti siano espressi in forma interna
Non sempre queste due condizioni sono verificate
I modelli meccanicistici sono già espressi in forma interna
È possibile esprimere in forma interna una BBN
E per i modelli empirici?
Si sostituisce il modello empirico con un modello in forma interna che gli sia equivalente
I modelli meccanicistici sono già espressi in forma interna
È possibile esprimere in forma interna una BBN
E per i modelli empirici?
Si sostituisce il modello empirico con un modello in forma interna che gli sia equivalente
Quando i due modelli sono alimentati da traiettorie di ingresso uguali esiste sempre un opportuno stato iniziale del secondo
modello che produce una traiettoria di uscita uguale a quella del primo.
Quando i due modelli sono alimentati da traiettorie di ingresso uguali esiste sempre un opportuno stato iniziale del secondo
modello che produce una traiettoria di uscita uguale a quella del primo.
Per uno stesso modello empirico esistono più realizzazioni, quale scegliere?
Poiché i tempi di calcolo della politica crescono esponenzialmente con le dimensioni dello stato conviene scegliere quella cui corrisponde lo stato più piccolo.
REALIZZAZIONE MINIMA
Per uno stesso modello empirico esistono più realizzazioni, quale scegliere?
Poiché i tempi di calcolo della politica crescono esponenzialmente con le dimensioni dello stato conviene scegliere quella cui corrisponde lo stato più piccolo.
REALIZZAZIONE MINIMA
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 31
Rappresentazione interna
dove: xt1 =yt; xt
2 =yt−1; xt3 =εt; xt
4 =εt−1;
Relazione I/U:
Esempio di realizzazione “ingenua”(forma di simulazione)
0 01 11 1 1 1t t t t t ty a y a y b bε ε ε
1 100 1 11
2 21
13 31
4 41
1
01 0 0 010 0 0 000 0 1 0
t t
t tt
t t
t t
x xa a b b
x x
x x
x x
ε
1 0 0 0t ty x
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 32
1 1 11 0t t ty x ε
1 10 001
2 2 1 111
1
0
t tt
t t
ax x a b
x x a baε
Pago la riduzione di dimensione del vettore dello stato con la perdita del suo significato fisico
Realizzazione minima
lo stato xt non è più “misurabile” ma solo stimabile.lo stato xt non è più “misurabile” ma solo stimabile.
Lo stesso sistema è descritto anche dalle seguenti equazioni in forma interna
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 33
Ricapitolando
Per progettare e utilizzare una politica di gestione dobbiamo essere in grado di:
1. date le traiettorie ingresso/uscita di un modello, stimare il valore assunto dal suo stato quando questo non è misurabile;
problema di stima dello stato
2. dato un modello in forma esterna, come un modello empirico, trovare un modello equivalente in forma interna che abbia il minimo numero possibile di variabili di stato.
problema di realizzazione minima
R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 34
Leggere
MODSS Parr. 4.9, 4.11, 4.12