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K. Law
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xford Univ. P
ress, 2008
Bio
meccan
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ella
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za e
della
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a ritm
ica
Palm
isciano Vincenzo, A
Guida ed. (2004)
Giovanni F
ilocamo , La fisica in ballo, S
TU
DIO
64 srl Edizioni G
enova (2005)
L’eq
uilib
rioC
ome fa una ballerina a stare in
equilibrio, ad esempio sulla punta di un
piede?
La posizione del centro di massa (c.m
.) deve restare sopra alla base d’appoggio
questo significa che il corpo deve assum
ere una posizione opportuna (diversa per ogni persona) affinché il c.m
. resti sopra alla base di appoggio
se la ballerina sta su un piede (en pointe) è cruciale anche un piccolo spostam
ento, fatto che rende difficile questa posizione.
Stabilità ed equilibrio sono correlati alla
posizione caratteristica delle gambe e dei
piedi che è così importante nel balletto
classico.
Supponiam
o che una ballerina sia nella prim
a posizione, con il calcagno del piede contro il calcagno dell’altro.
Non è m
olto difficile far sì che il c.m. si trovi
sopra la base d’appoggio se si considera uno spostam
ento laterale, quindi la stabilità per spostam
ento laterale è facile.
Ma quella avanti indietro è più precaria,
perché si ha solo la larghezza di un piede su cui spostare il c.m
. per stare in equilibrio.
Nella quinta posizione (un piede davanti all’altro con calcagno che tocca il dito e
dito che tocca il calcagno non è stabile come la prim
a posizione per spostamento
laterale, ma è più stabile per spostam
ento avanti-indietro
La quarta posizione (come la quinta, m
a con i piedi separati) è più stabile della quinta ed è più sem
plice da assumere in preparazione di una pirouette.
Piede sx P
iede dx
Possibile spostam
ento laterale del C
M Possibile spost.
Avanti-indietro del C
M
Il c.m. non si può spostare senza che
una risultante di forze agisca sul corpo.
Quindi, anche se si m
uove un braccio, non c’è spostam
ento del c.m. se non c’è
una forza netta dall’esterno
La gravità e la reazione verticale agiscono verticalmente e si
equilibrano.
Sul ghiaccio si sta in equilibrio se il c.m
. non si muove.
Una ballerina en punte sta in equilibrio in un’arabesque. m
a se inizialm
ente si muoveva orizzontalm
ente continua a muoversi
e si sposta dall’equilibrio
θ
θ
Se
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o fo
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:
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1,8
m, g
=9
,81
m s
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ω∼
(3,3
) θ°t
θlineare (°) = θ° radq(2g/L) *t
t (s)θ
lineare (°)θ
linerae (°)θ
linerae (°)θ
linerae (°)θ
linerae (°)θ
linerae (°)
0,00,00
0,51,0
1,52,0
4,0
0,50,00
0,81,7
2,53,3
6,6
1,00,00
1,73,3
5,06,6
13,3
1,50,00
2,55,0
7,510,0
19,9
2,00,00
3,36,6
10,013,3
26,6
θnonlin (°) = ( θ°/2) (exp (radq(2g/L) *t +exp -(radq(2g/L) *t)
t (s)θ
nonlin (°)θ
nonlin (°)θ
nonlin (°)θ
nonlin (°)θ
nonlin (°)θ
nonlin (°)
0,00,000
0,501
1,52
4
0,50,00
1,362,72
4,095,45
10,90
1,00,00
6,9213,85
20,7727,70
55,39
1,50,00
36,3772,74
109,11145,48
290,97
2,00,00
191,28382,56
573,83765,11
1530,23
θ
Da
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(°)
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,00
00
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0,0
00
,00
10
,01
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20
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50
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20
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0,1
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0,2
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0
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0,2
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4,3
8
θn
on
lin (°) = (θ
°/2) (e
xp
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q(3
g/2
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ex
p -(ra
dq
(3g
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t (s)θ
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nlin (°)
θn
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lin (°)θ
no
nlin (°)
θn
on
lin (°)θ
no
nlin (°)
θn
on
lin (°)
0,0
00
,00
0,5
01
,00
1,5
02
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4,0
0
0,5
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,00
1,1
12
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3,3
44
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0
1,0
00
,00
4,4
58
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13
,34
17
,79
35
,57
1,5
00
,00
18
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37
,33
56
,00
74
,66
14
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3
2,0
00
,00
78
,58
15
7,1
62
35
,75
31
4,3
36
28
,66
L’aumento angolare è circa 8 volte l’angolo iniziale dopo il prim
o secondo:
se l’angolo iniziale è 1°allora dopo 1s è 8°, se l’angolo iniziale è 4°
dopo 1s è circa 32°. Questo angolo diventa considerevole e richiede
una correzione
(mom
ento torcente della f peso =I per accelerazione angolare quadro).
Altezza cm
: 0,9 m, un iniziale spostam
ento di 5 cm �
θ=3°
Dopo 1 s �
θ=25°
: è uno spostamento angolare che richiede una
correzione
Rig
uad
ag
nare
la p
osiz
ion
e d
i eq
uilib
rio.
Com
e fa una ballerina a riguadagnare la posizione di equilibrio se sta per cadere?
2 meccanism
i: a)
l’area di supporto sul pavimento deve essere riposizionata in m
odo che cada direttam
ente sotto il c.m.
b)il c.m
. deve essere spostato in modo che sia sopra l’area di supporto sul
pavimento.
Ma un più sottile aggiustam
ento è possibile. Il centro di forza può essere definito com
e quel punto dove si può considerare che agisca la risultante di una forza distribuita o di un insiem
e di molte forze.
La ballerina può saltare spostando la posizione orizzontale del piede d’appoggio.
Può spostare il c.m
. con l’azione di una forza esterno (Non basta
spostare una parte massiva del corpo)
Ballerina ferm
a su un piede con il tallone giù e voglia andare sulla punta. D
ato che il piede di appoggio non deve muoversi, l’area di supporto al
pavimento deve seguire l’area di contatto.
Se inizialm
ente il c.m, è sopra al retro del piede, deve spostarsi davanti.
Se è già davanti il m
ovimento è m
inimo ed è più facile.
L’asimm
etria è ferma rispetto all’osservatore, è
in moto rispetto alla ballerina
Eq
uilib
rio m
en
tre c
’è ro
tazio
ne
Quando una ballerina fa una pirouette fuori equilibrio deve rendere
asimm
etrico il corpo e mantere ferm
a nello spazio l’asimm
etria, facendola m
uovere invece rispetto al suo corpo:
L’asimm
etria è ferma rispetto all’osservatore, è
in moto rispetto alla ballerina
Eq
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ne
Quando una ballerina fa una pirouette fuori equilibrio deve rendere
asimm
etrico il corpo e mantere ferm
a nello spazio l’asimm
etria, facendola m
uovere invece rispetto al suo corpo:
MO
TO
su traiettoria rettilinea
Com
e fa un ballerino a cominciare a
muoversi?
Deve accelerare, quindi deve essere
soggetto a forza esterna.
La sola forza che può agire dall’esterno deve esser esercitata dal pavim
ento.
Prim
o meccanism
o: spostare il centro di forza tra i piedi sul pavim
ento.
Con un piede più avanti dell’altro, da un
appoggio su 2 piedi, si passa ad appoggio sul piede posteriore, poi per la spinta (C
amm
inata)
A piedi uniti: cado in avanti: più il baricentro
è avanti e più riesco a spingere (vedi sprinter)
Secondo m
eccanismo:
Slancio in avanti di una parte del corpo, com
e in un movim
ento di degagè spesso visto. Lo slancio della gam
ba produce una contro reazione dell’altra gamba (che
tenderebbe a ruotare all’indietro): questo provoca una spinta sul pavimento e il
pavimento spinge avanti il corpo. M
eccanismo di breve durata.
Ferm
ata
P
uò avvenire solo con il contatto del pavimento e in seguito all’azione di
una forza dal pavimento sul ballerino in direzione orizzontale
Mo
to s
u c
am
min
o c
urv
oA
ccelerazione: correlato al cambiam
ento del vettore velocità nel tempo –
rapidità con cui cambia il vettore velocità.
Cam
bio di modulo, cam
bio di direzione. Necessita di un’azione dall’esterno sul
ballerino.
Nelle curve: forza centripeta. N
el caso di un ballerino: la forza deve essere esercitata dal pavim
ento.
Il moto rotatorio si ha solo a terra: in aria il m
oto del centro di massa avviene
sempre sul piano definito dalla verticale e dalla direzione della velocità al
mom
ento dello stacco.
L’angolo di inclinazione del ballerino è indipendente dal ballerino stesso: alla v di 5 m
/s (metà della v di uno sprinter) su un circolo di raggio 5 m
deve inclinarsi di 26,6°
rispetto alla verticale.
P
Fp
Il mo
to su
traie
ttoria
curva
Se
con
do
prin
cipio
de
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mica
:
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Fp
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x
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P
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z
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px =
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on
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r = 5
m
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= a
c/g
= 5
/9,8
1 �
θ=
27°
Salto verticale.
È uguale al rim
balzo di una pallina sul pavimento.
La spinta Fs deve essere m
aggiore del peso: Fs =
R * P
(R
=F
s/P >
1 -se P
=1 il ballerino sta ferm
o)
Il salto vericale
Durante questa fase il lavoro delle forze agenti è: W
= F
s d -P
d Il teorem
a dell’energia cinetica fornisce l’energia cinetica allo stacco: Fs d -
P d =
½M
vo 2
Nella fase di volo (il centro di m
assa sale da h2 ad h3, ovvero di H =
h3-h2) agisce solo la forza peso. La variazione di energia cinetica al m
omento dello stacco deve uguagliare
il lavoro fatto dalla forza peso nella salita fino al culmine (in h3) quando ricom
incia la discesa, ovvero deve esser uguale a m
eno la variazione di energia potenziale:0-½
M v
o2=
-P H
(**)
Uguagliando le due relazioni si ha: F
s d -P
d = P
H �
R P
d –P
d = P
H �
(R-1) d =
Hossia H
= d ( R
-1)l’altezza del salto (H
ossia la differenza tra l’altezza del baricentro al culmine del salto e
quella al mom
ento del distacco) è uguale all’altezza di slancio per il fattore R-1, il
rapporto tra spinta e peso meno 1.
Salto verticale.
Fs =
R * P
(R=
Fs/P
>1 -
se P
=1 il ballerino sta ferm
o)
La spinta FS
agisce da quando il ballerino abbassa il baricentro (altezza h1) a quando stacca i piedi (h2) [d=
h2-h1]
h1 h2 h3
dH
Durante questa fase il lavoro delle forze agenti è: W
= F
s d -P
d Il teorem
a dell’energia cinetica fornisce l’energia cinetica allo stacco: Fs d -
P d =
½M
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Nella fase di volo (il centro di m
assa sale da h2 ad h3, ovvero di H =
h3-h2) agisce solo la forza peso. La variazione di energia cinetica al m
omento dello stacco deve uguagliare
il lavoro fatto dalla forza peso nella salita fino al culmine (in h3) quando ricom
incia la discesa, ovvero deve esser uguale a m
eno la variazione di energia potenziale:0-½
M v
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-P H
(**)
Uguagliando le due relazioni si ha: F
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d = P
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R P
d –P
d = P
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(R-1) d =
Hossia H
= d ( R
-1)l’altezza del salto (H
ossia la differenza tra l’altezza del baricentro al culmine del salto e
quella al mom
ento del distacco) è uguale all’altezza di slancio per il fattore R-1, il
rapporto tra spinta e peso meno 1.
Salto verticale.
Fs =
R * P
(R=
Fs/P
>1 -
se P
=1 il ballerino sta ferm
o)
La spinta FS
agisce da quando il ballerino abbassa il baricentro (altezza h1) a quando stacca i piedi (h2) [d=
h2-h1]
h1 h2 h3
dH
Fare film
ato: misurare e
vedere se tornanoF
are misura sia delle
altezze sia della spinta
Se R
=1 �
H=
0
Se R
=1,5 (la spinta è 1,5 della forza peso) H
=d * 0,5 (m
età dell’altezza di spinta)
Se R
=2 (la spinta è pari al peso) H
= d
Un salto di 1 m
con un piegamento di 0,5 m
richiede una spinta pari a:
R=
H/d+
1 = 1/0,5 +
1 =3 �
Fs=
3P!
Tempo di volo: è indipendente dalla m
assa e dalla tipologia del ballerino. D
ipende solo dall’altezza del salo (H):
y (t) = -½
g t 2+
vo
t (g=9,81 m
s-2)
v(t) = -gt +
vo
per y=H
v=0 �
t = v
o /g da (**) si ha vo =
(2gH) 0,5
e quindi �t=
(2H/g) 0,5
Tempo di volo: è indipendente dalla m
assa e dalla tipologia del ballerino. D
ipende solo dall’altezza del salo (H):
y (t) = -½
g t 2+
vo
t (g=9,81 m
s-2)
v(t) = -gt +
vo
per y=H
v=0 �
t = v
o /g da (**) si ha vo =
(2gH) 0,5
e quindi �t=
(2H/g) 0,5
Dato che il tem
po di volo è quello che si ha in salita e in discesa il tempo
totale di volo è:T
volo = 2 t =
2 (2H/g) 0,5
Tvolo (s)
Se il tem
po dimezza: il salto deve essere 4 volte più alto
Se il tem
po varia di DT
�D
T/T
= 0,5 D
H/H
�una aum
ento del tempo nella
esecuzione della musica del 10%
richiede un salto 20% più alto!
H (m
)T
(S)
0,2
0,4
0
0,4
0,5
7
0,6
0,7
0
0,8
0,8
1
10
,90
1,2
0,9
9
Com
e saltare più in alto?
Si salta più in alto slanciando le braccia verso l’alto perché le braccia
acquistano quantità di moto nella fase di slancio (ovviam
ente se fatta quando ancora i piedi sono a contatto con il pavim
ento).
Analogam
ente se si raccolgono le gambe
in volo, il centro di massa sale della stessa
quantità, ma il distacco dei piedi da terra
sarà maggiore.
Il Grand jeté: salto in avanti con le gam
be divaricate. La traiettoria del centro di m
assa è determinata al m
omento dello stacco. L’effetto in volo: dipende da
cosa si fail salto la ballerina fluttua nell’aria –
il baricentro descrive una parabola, il busto descrive una traiettoria praticam
ente rettilineaD
ue effetti contrastanti: la rotazione del corpo –l’am
piezza e l’altezza del salto. N
el primo caso la spinta è con la punta all’esterno e il piede spinge
poco, nel secondo caso la punta è verso l’interno e spinge di più, ma in
questo caso è la rotazione che è meno efficace.
Il Grand jeté: salto in avanti con le gam
be divaricate. La traiettoria del centro di m
assa è determinata al m
omento dello stacco. L’effetto in volo: dipende da
cosa si fail salto la ballerina fluttua nell’aria –
il baricentro descrive una parabola, il busto descrive una traiettoria praticam
ente rettilineaD
ue effetti contrastanti: la rotazione del corpo –l’am
piezza e l’altezza del salto. N
el primo caso la spinta è con la punta all’esterno e il piede spinge poco, nel
secondo caso la punta è verso l’interno e spinge di più, ma in questo caso è la
rotazione che è meno efficace.
Piro
ue
ttes
Affinché un corpo, inizialm
ente fermo, com
inci a muoversi in un
qualche modo ci deve essere una interazione con l’am
biente esterno. P
erché un corpo cominci a ruotare deve essere
soggetto a un mom
ento di forze. Un m
omento è generato da
una coppia di forze (forze parallele agenti su rette diverse e versi opposti.
Piro
ue
ttes
Una ballerina parte dalla quarta posizione (piedi uno di fronte all’altro
punta tacco punta tacco vediIl ballerino spinge con le punte il terreno, il terreno spinge la ballerina.
Piro
ue
ttes
Più è largo l’appoggio e m
aggiore è il m
omento applicato a parità di
forza, ovvero bisogna applicare m
eno forza per applicare lo stesso m
omento di forze (la stessa coppia
torcente).
Se i piedi sono vicini (com
e nella quinta posizione) ovvero si è in appoggio su un solo piede in cui la punta spinge in un senso e il tallone nel senso opposto.
Il mom
ento angolare di un corpo può cam
biare solo in seguito all’azione di un m
omento esterno.
Con l’uso delle braccia opportuno (anticipo
la rotazione quando applico mom
ento sul pavim
ento) posso migliorare la rotazione.
Piro
uette
s e
n D
oh
ors
(giro
in s
en
so
ora
rio)
Rotazione sul supporto di un solo piede. P
uò avvenire in più rivoluzioni.
Dipende da: m
ovimento delle braccia, posizionam
ento dei piedi sul pavimento,
timing dell’elevazione dei piedi nel levarsi dal pavim
ento, e timing
dell’innalzamento del piede di supporto.
Consideriam
o le due linee nel grafico che rappresenta la posizione angolare del corpo in funzione del tem
po.
La rotazione in volo
Il mom
ento d’inerzia del corpo um
ano
I=1/2 M
R2
M=
70 kgR
= 0,2 m
I = 1,4 kg m
2
m=
1kg
L =0,7 m
I’=Io +
IM=
2,8 kg m2