LadistribuzionebinomialeodiBernoulli
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Questoargomentoètra/atonelCap.12diG.Ciullo“Introduzioneallaboratoriodifisica”
Ladistribuzionediprobabilitàbinomiale,de/acosìperchérichiamalapotenzan-esimadiunbinomio,riguardaloschemasuccesso-insuccesso
HadiverseapplicazionipraHche,peresempiostudiare:laprobabilitàcheipetardiprodoJdaunafabbricadifuochiarHficialiesplodano(successo)oppureno(insuccesso);laprobabilitàcheunmozzoregga(successo)allafaHca,oppureno(insuccesso);cheunHpodipropagandapoliHcaabbiaprodo/omaggioriconsensi(successo)oppureno(insuccesso);cheunHpodifarmacosiapiùefficace(successo)diunaltro(insuccesso).
LoschemadibaseèsemplicedalpuntodivistaprobabilisHcouneventoosiavvera(successo)oppureno(insuccesso)equisiesauriscelospaziodeglievenH,datochecisonoduepossibilievenHlavariabilecasualeassociatahasoloduepossibilitàperquestovieneanchechiamatabinaria,oBernoulliana(perchéintrodo/adaBernoulli).
AglievenHpossiamoassociarelafunzioneprobabilità,chedevesoddisfareanchelacondizionecheleprobabilitàdisuccessoediinsuccessononcambinonelcorsodelleprove.
Even7binarieprobabilità
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LospaziodeglievenHècosHtuitodaEeilsuocomplementareEc
P(S) = P(E)+P(E) =1
Indico p la probabilità di successo (s), e q la probabilità di insuccesso (s ).
p+ q =1AlcuniesempidievenHbinarierispeJveprobabilità:
Nellanciodeidadisesiconsideracomesuccessoo/enereil“sei”,insuccesso“non sei”
p =1/ 6 q =1− p = 5 / 6
Nellanciodiunamonetaineurosesiconsideracomesuccessoo/enerelafacciaincuicomparel’Europa“E”(laexcroce?)olafacciaoppostacheèdiversapervariemoneteenazioni(laextesta?)“non E”,inalcunitaglienazionicompareancoralatesta.
p = P(E) =1/ 2 q = P(E) =1/ 2
Questo è un caso particolare in q=p =1/ 2
Nelcasodinprovequan7ν(s) ?
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Ladomandachediponiamoèlaseguente:nelcasodi n prove,n lancioillanciodin dadi,quanHsuccessicipossiamoaspe/are?
ParHamodaunesempiosemplicedellancioditredadiotrelancidellostessodado,consideriamosuccesso,quandolafacciasuperioredeldadodàcomerisultatosei“s”(scegliamoappositamenteil“sei”cheeHcheJamo“s”,conlastessainizialedisuccesso)
GlievenHpossibilisonounsuccesso1“s”,duesuccessio2“s”, tresuccessio3“s” .
Seinnlanciabbiamo ν successi,avremoquindin-νinsuccessi.
Approcciofrequen7sta,lanciamo3dadiunnumerosufficientementeelevatodivolteeregistriamolefrequenzeconcuicompaiono1“s”, 2“s” e 3“s”.
Èunesperimentosemplicecheunopuòcondurreacasa,lanciandotredadi,osequenzeditrelancidellostessodado.
Probabilitàfrequen7staF .PerlaleggedeigrandinumeriinoltresihacheperN,numerodiripe.zionidellenprove,tendenteadinfinitosiavràche F →P.
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Costruiscol’istogrammadelleoccorrenze
rispe/oalnumerodi“successi”
“sei” osservaHovvero0,1,2,3
Nèilnumerodivoltechehoripetutolen prove(quin=3)
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Lavariabileν,numerodisuccessi(s),chedescriviamoanchecomenumerodirisultaHdel“sei”sullanciodindadi,èunavariabilecasualediscretaepuòassumereinquestocasoivaloriinteri:0,1,2o3.
0
10
20
30
40
50
60
0 1 2 3
Occoo
rren
ze
ν"successi"ovvero ν di"sei"
lancioditredadi
lancioditredadi
InquestocasovistochelavariabileassumevaloridiscreHildiagrammadovrebbeesserefa/oconlinee,glidiamounpo’dispessoreperrenderlevisibili,masitra/adivaloripuntuali,ChequindiandrebberoindicaHconunalinea(---),cherisulterebbepocovisibile.
Probabilitàapriorinprovequan7ν(s) ?
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Laprobabilitàdio/enere3sei(3successi),preme/endolaequiprobabilitàdiognisingoloeventoperognidado,inunaprovaperitredadi,datochetalievenHsonostocasHcamenteindipendenH:doveNmodisonoimodiincuicompareunacombinazione(comb),eP(comb) èlaPdellasingolacombinazione:
Ptotaledio/enere2“sei”:
Pn (ν su n) = NmodiP(comb),
P(s, s, s ) = P(s, s, s) = P(s, s, s) = 1 6( ) 1 6( ) 5 6( )
Nmodi=3 (s, s, s ), (s, s, s), (s, s, s)
(s, s, s ), (s, s, s), (s, s, s )
P(s, s, s ) = P(s, s, s) = P(s, s, s ) = 1 6( ) 5 6( ) 5 6( )
P(s, s, s) = 1 6( ) 1 6( ) 1 6( )
Nmodi=3 :
P(s, s, s ) = 5 6( ) 5 6( ) 5 6( )(s, s, s )Nmodi=1 :
Nmodi=1Ptotaledio/enere3“sei”:
Ptotaledio/enere1“sei”:
Ptotaledio/enere0“sei”:
(s, s, s)
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Sovrapposizionedegliistogrammi:Sovrapponiamoallefrequenzeosservate(approcciofrequenHsta)leprobabilitàcalcolate.
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 1 2 3
Freq
uenzeeProb
abiltàapriori
ν"successi"ovvero ν di"sei"
FkPk
ConexcelpotreiripetereconN maggiorieriportaresuistogrammalerispeJvefrequenzedaconfrontareconlaprobabilità“a/esa”apriori.
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Estensioneasequenzepiùlungheconnproveeνsuccessi:
datochenonsiamointeressaHall’ordinedellasequenza,masoloallacomparsadiunnumerodiν successi su n proveequindi(n-ν) insuccessi, abbiamovistochegraziealcalcolocombinatoriopossiamocalcolareilnumerodimodiovverodicombinazioni,chesonotu/elesequenzeconlostessonumerodiν successisu n perlequalinonimportal’ordinedicomparsa.ÈequivalenteadisporreνoggeJindisHnguibilisuncollocazioniincuinonèimportanteneanchel’ordinedicollocazione(combinazioni):
Nmodi=Combinazioni=(12.3)inG.Ciullo
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Nmod
Pn (ν su n) = NmodiP(comb),
P ( _)= pνqn-ν
Chiamiamodistribuzione(diProbabilità)binomialeodiBernoulliladistribuzionediprobabilitàdio/enereνsuccessipernvariabilibinarieobernoulliane,cheabbianolecorrispondenHprobabilitàdisuccessop einsuccessoq,doveovviamentep+q=1,inoltretaliprobabilitàrimangonoimmutatenelcorsodelleripeHzione(Nnumerodivolte)dellenprove.
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Proprietàdelladistribuzionebinomiale:1)Normalizzazionedelladistribuzione
2)SperanzamatemaHca=np3)Varianza=npq
1)
2)= np
3)
{Dimostrazionialla
della1)edella2)
PervirtuosimatemaHciindicazionisulladimostrazionedel3probl.12.5
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TendenzadellabinomialeallaGaussiana:Siosservachepernsufficientementegrandeunabinomialetendeadunagaussiana.Questatendenzahaancheun’applicazionepraHca,perchéall’aumentaredinilcalcolodellabinomialeètedioso.Lecorrispondenzetraaspe/aHveevarianzetragaussianaebinomialesono:
E[x]= X ≡ E[ν ]=ν = np V[x]=σ 2 ≡V[σ ]= npq
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Verificadelchi-quadroperlabinomiale:Laverificapuòesserevistarispe/oall’assunzionecheovviamenteidadinonsianotruccaH.Senonlosono,devonoseguireladistribuzionebinomiale.Quindisidevonoconfrontareleoccorrenze(Ok)conleaspe/aHvededo/edallabinomialedallePk.
Supponiamo di ripetere N = 400 volte il lancio di 5 (n) dadi, e consideriamo come successo ottenere un “due”, dato che usiamo ν,cheindicailnumerodisuccessi(di“due”),usiamo Oν per indicare le occorrenze del rispettivo numero di successi.
Ipotizziamo che sia la distribuzione binomiale Bn,p(v) binomiale appropriata per le proven=5 dadi, con probabilità di successo p=1/6 di ottenere “due” eq=5/6 di non ottenerelo.