FIORE ROSALBAEDITORIA & INFORMATICA
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Torino 16 Maggio 2010 Dott. Antonio Rita
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L’Ultimo Teorema La “Meravigliosa Dimostrazione” Le altre principali congetture di Fermat Fermat e Galileo Fermat e Cartesio Fermat e Mersenne Fermat e Tartaglia Considerazioni sulla dimostrazione di Andrew Wiles Il lemma del 2 Il teorema delle coppie dispari ad esponenti pari Il lemma della parità semplice Il lemma del cateto pari Sintesi delle proprietà fondamentali di una terna pitagorica Il lemma del 3 Il teorema della somma delle potenze pari Il teorema della differenza delle potenze n-1 La Funzione dei Numeri Primi Il “Segreto” di Fermat La dimostrazione per n=4
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Il teorema può essere sintetizzato in modo semplice:
per un qualsiasi numero intero n>2 non esiste alcuna terna di numeri interi positivi che
soddisfa l’equazione
xn+yn=znn
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"Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina“
(x+y)n=xn+yn+C(x+y)n
(x+y)n=(x+h+t)n+C[(x+h+t)+(x-t)]n+(x-t)n
xn=nyn-1t+………+nytn-1+tn
yn=nxn-1(h+t)+………+nx(h+t)n-1+(h+t)n
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Il “piccolo teorema” di Fermat
an-a=a(an-1-1)
I numeri primi di Fermat
2p+1 con p=2n
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Q2=1, 4, 9, 16, 25, 36, ………
Galileo Galilei è stato il primo a intuire l’esistenzadi una applicazione biunivoca tra l’insieme deiquadrati dei numeri interi positivi e l’insieme N
f:Q2→N
Se x>1 è un numero intero qualsiasi mai multiplo di 3, la differenza x2-1 è sempre multipla di 3; mentre la somma x2+1 non è mai multipla di 3
(x2-1), x2, (x2+1)
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Tutti i numeri interi positivi sono equidistanti da almeno due numeri primi
p1+p2=2a
a=p1+h
a=p2-h
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I numeri primi di Mersenne
2n-1
L’ultimo numero primo di Mersenne conosciuto
243112609-1
I numeri perfetti costruiti dai numeri primi di Mersenne
(2n-1)(2n-1)
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Nicolò Fontana detto Tartaglia ha ideato un sistema geniale per ricavare i coefficienti binomiali: il Triangolo di Tartaglia.
La somma dei coefficienti di un binomioelevato alla ennesima potenza è pari a 2n.
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Egli ha utilizzato sofisticati strumenti della geometria algebrica (curve ellittiche e forme modulari, ovvero la congettura dei giapponesi Taniyama-Schimura: ”ogni equazione ellittica è correlata ad una forma modulare”), concetti della teoria di Galois e dell’algebra di Hecke.
Le sue costruzioni matematiche sono ineguagliabili e meravigliose; suscitano ammirazione anche negli esperti.
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Se a,b è una qualsiasi coppia di numeri interi positivi linearmente indipendenti con a>b, la somma a+b=sϵN e la differenza a-b=dϵN sono numeri interi positivi che non hanno fattori primi comuni ad eccezione di 2.
Il fattore 2, comunque, risulta comune solo nel caso che a e b siano entrambi dispari.
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Se (x,y)єΝ2 è una coppia di numeri positivi dispari con y>x, la relazione di Fermat non ammette soluzioni intere per qualsiasi nєΝ pari.
znn=xn+yn=2xn+nxn-1h+………+nxhn-1+hn
In sintesi, non esistono soluzioni intere per la equazione zn
n = x2p+y2p con x e y dispari e con esponente n=2pϵN, numero pari qualsiasi.
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Se x,y è una qualsiasi coppia di interi positivi dispari ed n un numero pari qualsiasi, la somma delle loro potenze ennesime xn+yn è un numero pari con “parità semplice”.
Il fattore primo 2 in detta somma ha sempre e solo esponente 1.
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Se (a,b,c)ϵN3 è una terna pitagorica qualsiasi, abbiamo che i tre lati, interi e senza
fattori comuni, del triangolo rettangolo legati dalla relazione a2+b2=c2, godono delle seguenti proprietà:
1. l’ipotenusa c non risulta mai multipla di 3;
2. l’ipotenusa c non risulta mai pari;
3. i cateti a e b sono sempre uno pari e l’altro dispari;
4. uno tra i due cateti (a oppure b) è sempre multiplo di 3;
5. il cateto pari risulta sempre con “parità multipla”;
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6. i numeri pari con “parità semplice” (2,6,10,14,…) non
appartengono a nessuna terna pitagorica;
7. i due “parametri di Pitagora” che sono le differenze c-a=t
e c-b=h+t (ovvero c-a=h+t e c-b=t) risultano uno pari e
l’altro dispari. Considerando la scomposizione degli
stessi in fattori primi, si evidenzia quanto segue: il
parametro pari ha il fattore 2 solo con esponenti dispari
(2i, con i≥1 dispari) e gli altri fattori primi con esponenti
pari. Nel parametro dispari troviamo solo e sempre
esponenti pari;
8. tutti i numeri dispari maggiori di 1 appartengono ad
almeno una terna pitagorica.
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Se (a,b) è una qualsiasi coppia di numeri interipositivi con a>b e con la ulteriore ipotesi chenessuno dei due è multiplo di 3, risulta multiplodi 3 la somma (a+b) o in alternativa ladifferenza (a-b).
Con queste condizioni il risultato del prodottonotevole a²-b² è sempre multiplo di 3.
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Sia 2mϵN un qualsiasi numero pari positivo e siano a≥b due numeri interi positivi non multipli di 3, la somma ottenuta con la relazione a2m+b2m=sϵN non risulta mai multipla di 3.
La differenza a2m-b2m=dϵN0 , invece, risulta sempre multipla di 3 a meno che non sia multiplo di 3 a oppure b.
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Sia nϵN un numero primo maggiore di 2 ed (a,b)ϵN2 una coppia di numeri interi con a e
b che non siano entrambi multipli di n, la somma ottenuta con la relazione
an-1+bn-1=sϵN
non risulta mai multipla di n.
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Sia n>2 un qualsiasi numero primo appartenente ad N, il rapporto (2n-2)/n è sempre un numero intero.
In generale, per ogni aϵN si ha che il rapporto(an-a)/n=q è intero quando n>2 è primo.
y=(2x-1-1)/x 2x-1-1=2x-2+2x-3+……+23+22+2+1 y=(2x-1-1)/x =(2(x-1)/2-1)(2(x-1)/2+1)/x
I falsi primi sono eliminabili.
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Il“Segreto di Fermat” consiste in operazioni elementari che interessano di norma gli elementi degli insiemi Qn-1.
Inedite applicazioni hanno permesso al genio francese di ricavare da polinomi o parti di essi la messa in evidenza di numeri primi oppure di accertare che lo stesso polinomio o una sua parte non fosse divisibile per un fissato numero primo.
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Se (a,b)ϵN2 è una coppia qualsiasi di numeri interi positivi linearmente indipendenti, non è possibile ottenere una potenza quarta dalla seguente relazione con c intero
a4+b4=c4
Abbiamo che a e b non possono essere entrambi dispari ed inoltre i due gruppi di fattori del prodotto notevole sono primi tra loro
a4=c4-b4=(c2-b2)(c2+b2) b4=c4-a4=(c2-a2)(c2+a2)