1
LA PARABOLA
cbxaxy 2
2
ARGOMENTI TRATTATI
1. L’equazione della parabola
2. Questioni basilari
3. Questioni relative alle rette tangenti
4. Curve deducibili dalla parabola
5. Discussione di sistemi di 2° grado con parametro
6. Il Segmento parabolico
7. Proprietà ottica della parabola
3
L’EQUAZIONE DELLA PARABOLA
Definizione Si dice parabola P il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da un punto F, detto fuoco, e da una retta d, detta direttrice.
Il punto medio del segmento, FK in figura, la cui misura è la distanza fuoco-direttrice, è il vertice V della parabola.
Dalla definizione data, ponendoci in un opportuno riferimento cartesiano, possiamo ricavare l’equazione della parabola con il vertce nell’origine.
Sia F (0 ; f ), con f R0 , il fuoco, d: y = -f la direttrice e P(x;y) un generico punto P della P.Tali punti devono soddisfare la condizione dettata dalla definizione, cioè:
axy
:originenell' cecon verti parabola della
equazionel' ottiene si , 0 fcon
, 4f
1 a ponendo ; x
4f
1y ; x4fy
; ffy2yffy2yx cioè
,PHPF :quadrato al elevando quindi,
fyPH
fyxPFcon , PHPF
2
22
22222
22
22
4
0; x:simmetria di assedell' equazione
;4a
1-y : direttrice della equazione
0;0V : verticedel coordinate
; 4a
10;F :fuoco del coordinate
:ax y equazione di parabola della ticicaratteris lementiE 2
Osservazioni sul coefficiente a
Dall’equazione y = ax2 si deduce che:
1. a > 0 y 0 , il grafico della P si trova nel semipiano positivo delle y, concavità verso l’alto;
a < 0 y 0 , il grafico della P si trova nel semipiano negativo delle y, concavità verso il basso;
Per a = 0 la parabola degenera nella retta y = 0 (asse delle ascisse).
5
2. All’aumentare del valore assoluto di a, diminuisce l’apertura della parabola e viceversa.
6
Equazione generale della parabola
con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate
Mediante una traslazione del sistema di riferimento della parabola di equazione y = ax2 , si ottiene
l’equazione generale della parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate:
y = ax2 + bx + c .
. cbxaxy equazionel' ottiene si
4a
4a
b-4ac quindi ,
a2
bcon , ac (*)
(*) 4a
a2
b
quindi e ac
2ab ponendo
, x2aaaxy , xay
ottiene si axy equazionenell' oSostituend
. cbxaxy axy :azione trasformla
ottenere di consente che , yy
xx one traslazila oeffettuiam
oneDimostrazi
n2nn
22
2
n22
nn2
nn
2vv
n2nn
2vv
nv
nv
.β ; αvnO β ; αV :oriferiment nuovo nel verticedel coordinate le sono e che Osserva
7
:segue quanto ottiene si ,
4a
a2
b
e yy
xx
relazioni dalle e figura Dalla
oneDimostrazi
;2a
b x:simmetria di assedell' equazione
;4a
1y : direttrice della equazione
; 4a
1;
2a
bF :fuoco del coordinate
4a
;2a
bV : verticedel coordinate
:cbx ax y equazione di parabola della ticicaratteris lementiE
nv
nv
2
fuoco). e eper vertic passa che osserva ( a2
b x:simmetria di assedell' Equazione
a4
1
a4
1
4ay ;
a4
1y ;
a4
1y
a4
1y :direttrice retta della Equazione
a4
1
4aa4
1 yy yy ;
a2
bx x: Fuoco del Coordinate
4ay ;
a2
b x:Vertice del Coordinate
nnnv
FvFnFnFvVertF
VertVert
8
Equazione generale della parabola
con asse di simmetria parallelo all’asse delle ascisse
c nbynayn x c T vbxvaxvy
:y)con x scambia (si xy
yx equazioni le
applicando ottiene si T azione trasformLa
22
nv
nv
Ogni parabola con asse parallelo all’asse x si può
ottenere mediante una trasformazione simmetrica T,
rispetto alla retta y = x, di una parabola con asse di
simmetria parallelo all’asse y.
2a
by :simmetria di assedell' equazione
4a
1 x: direttrice della equazione
2a
b ;
4a
1F :fuoco del coordinate
2a
b ;
4aV : verticedel coordinate
:cby ay x equazione di
parabola della ticicaratteris lementiE2
9
PARABOLE PARTICOLARI
Data l’equazione y = ax2 + bx + c :
• se b = 0 l’equazione diventa y = ax2 + c e il grafico della parabola è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate, infatti ax2 + c = a(-x)2 + c ;
• se c = 0 l’equazione diventa y = ax2 + bx e il grafico della parabola passa per l’origine del riferimento, infatti il punto O(0;0) soddisfa sempre l’equazione y = ax2 + bx .
Data l’equazione x = ay2 + by + c :
• se b = 0 l’equazione diventa x = ay2 + c e il grafico della parabola è simmetrico rispetto all’asse delle ascisse, infatti ay2 + c = a(-y)2 + c ;
• se c = 0 l’equazione diventa x = ay2 + by e il grafico della parabola passa per l’origine del riferimento, infatti il punto O(0;0) soddisfa sempre l’equazione x = ay2 + by .
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QUESTIONI BASILARI
1. Date le seguenti equazioni di parabole, traccia i grafici corrispondenti, dopo aver determinato gli elementi caratteristici (vertice, fuoco, asse di simmetria, direttrice) e le intersezioni con gli assi cartesiani.
x.assel'con neintersezio esistenon quindi
, 0-34
, 074x- x
74x-xy
0y : xassel'con neIntersezio
A(0;7) 74x-xy
0x :y assel'con neIntersezio
4
11y ;
4a
1y direttrice
2 x; a2
b xsimmetria di asse
; 4
13 ; 2F ;
4a
1 ;
a2
bF fuoco
; 3 ; 2V ; 4a
; a2
bV e vertic
; 01a perchè , altol' versoconcavitàcon
,y delle asseall' parallelo simmetria di assel' ha parabola La
7c ; 4b ; 1a ; 74x-xy 1a.
2
2
2
2
11
0;2C ; 3
20;-B 2y ;
3
2-y ;
3
42y ; 16
4 , 04-4y-y3
4-4y-y3x
0x :y assel'con neIntersezio 4;0) A(-
4-4y-y3x
0y : xassel'con neIntersezio
12
65 x;
4a
1 xdirettrice
3
2y ;
a2
by simmetria di asse
3
2 ;
4
21F ;
a2
b ;
4a
1F fuoco
3
2 ;
3
16V ;
a2
b ;
4aV e vertic
0;3a perchè destra, versoconcavitàcon , x delle asseall' parallelo simmetria di assel' ha parabola La
4c ; 4b ; 3a ; 4-4y-y3 x1b.
211,22
22
2
12
2. PROBLEMA RICORRENTE: determinare l’equazione di una parabola.
Facendo riferimento all’equazione y = ax2 + bx + c , determinare l’equazione di una parabola significa
determinare i tre coefficienti a, b, c. Pertanto il problema deve fornire tre condizioni tra loro indipendenti,
da cui ricavare tre equazioni indipendenti.
Alcune di tali condizioni sono le seguenti:
• le coordinate del vertice V(xV;yV), forniscono due fra le seguenti tre condizioni: condizione di
passaggio, xV = -b/2a , yV = -/4a ;
• le coordinate del fuoco F(xF;yF), forniscono due condizioni: xF = -b/2a, yF = (1-)/4a ;
• conosco l’equazione della direttrice: ydir = -(1+)/4a ;
• conosco l’equazione dell’asse di simmetria: xasse = -b/2a ;
• condizione di passaggio per un dato punto P(xp ; yp);
• tangenza ad una retta di nota equazione y = mx +q
Se si conoscono le coordinate del Fuoco e l’equazione della direttrice, basta applicare la definizione di
parabola come luogo geometrico (pag. 3) .
Si fanno considerazioni analoghe per la parabola di equazione x = ay2+ by + c.
13
2a. Determina l’equazione della parabola avente il fuoco e la direttrice indicati.
y. asseall' rispetto simmetrico è parabola della grafico il quindi
, 0)(b grado primi di termineil manca :neOsservazio
V(0;1) 1xy
0x ordinate asse neIntersezio
sol.; nessuna , 01 x 1xy
0y ascisse asse neIntersezio
; 0 xsimmetria di asse 0;1V :Vertice
0;1a perchè , altol' verso:Concavità
: trovaredevo grafico ilPer
1xy 4
3y
4
5-yx
cioè , 3) pag. (vedi PHPF :ha si
, geometrico luogo come , parabola di edefinizion laPer
. cbxaxy tipodel equazionecon cioè y, asseall' parallelo
simmetria di assel' ha parabola la che deduce si dati Dai
4
3y :d ;
4
50;F
2
22
222
2
2
14
. )5C(0;1 ; )5-B(0;1 2yy
2
1x
0x
ordinate asse neIntersezio
; A(2;0) 2yy
2
1x
0y ascisse asse neIntersezio
; 1 y simmetria di asse
; ;12
5V :Vertice
; 02
1a perchè , sinistra verso:Concavità
: trovaredevo grafico ilPer
2yy2
1x 3x1-y2-x
cioè , 3) pag. (vedi PHPF :ha si
, geometrico luogo come , parabola di edefinizion laPer
. cbyay x tipodel equazionecon cioè x,asseall' parallelo
simmetria di assel' ha parabola la che deduce si dati Dai
3 x:d ; 2;1F
2
2
2222
2
2b. Determina l’equazione della parabola avente il fuoco e la direttrice indicati.
15
2c. Determina l’ equazione della parabola avente il fuoco F(2 ; 3/2) e il vertice V(2;2).
. x2x2
1-y : è parabola della equazionel' ;
0c
2b2
1-a
;
a6ac4a161
24ac
-4ab
;
a6ac4a161
c8a4a2
-4ab
;
a6ac4b1
-4ab
c2b4a2
;
Fuoco del ordinata 2
3
4a
-1
Vertice e Fuoco di ascisse 22a
b-
V(2;2)per parabola della passaggio di condizione c2b4a2
:condizioni treoccorrono c, b, a, , ticoefficien trei edeterminarpoter per ; cbxaxy
tipodel equazione l' ha quindi y, asseall' parallelo simmetria di assel' ha parabola la che deduce si dati Dai
2
2
22
2
. O(0;0) , 0 x, ordinate asse neIntersezio
; 0) ; A(4 ; O(0;0) x2x
2
1-y
0y ascisse asse neIntersezio
0;1/2a perchè basso, il verso:Concavità
: trovaredevo grafico ilPer
2
16
2d. Determina l’ equazione della parabola avente il vertice V(0;1) e direttrice d: x = -1/4 .
. 1y2yx : è parabola della equazionel' ;
1c
2b
1a
;
aa4a41
-2ab
ac
;
aac4a41
-2ab
0ca2a
;
aac4b1
-2ab
0 cba
;
direttrice della equazione 4
1
4a
-1-
Vertice del ordinata 12a
b-
V(0;1)per parabola della passaggio di condizione cba0
:condizioni treoccorrono c, b, a, , ticoefficien trei edeterminarpoter per ; cbyay x
tipodel equazione l' ha quindi x,asseall' parallelo simmetria di assel' ha parabola la che deduce si dati Dai
2
22
22
2
. A(1;0) , 0y , ascisse asse neIntersezio
; 1) ; V(0 1y2yx
0x ordinate asse neIntersezio
;01a perchè , destra verso:Concavità
: trovaredevo grafico ilPer
2
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QUESTIONI RELATIVE ALLE RETTE TANGENTI
Analizziamo questi due problemi:
1. determinare le equazioni delle rette tangenti alla parabola, condotte da un punto di note coordinate;2. determinare l’equazione della parabola tangente ad una retta di nota equazione.
1. Rette tangenti alla parabola, condotte da un punto P
Questi problemi si possono trattare, come indicato nel capitolo 9 delle “coniche”, con il metodo del discriminante nullo, o con il metodo delle formule di sdoppiamento.
Di solito conviene applicare il metodo delle formule di sdoppiamento se il punto P appartiene alla parabola.
Esempi
a. Determina le equazioni delle rette tangenti alla parabola di equaz. y = x2 - 2 e passanti per P(1; -5) .
. 11x6y e 3x2y : Pin tangentiRette
6m
2m ; 012m4m ; 03mmx x...
)1x(m5y
2xy
nullo ntediscrimina del Metodo
2
1222
18
a. Determina l’equazione della retta tangente alla parabola di equaz. y = -x2 +3x , nel suo punto A di ascissa positiva e di ordinata -4.
. 16-5xy : tangentee polare ettar ; 2
4x34x -
2
4-y : tosdoppiamen di formule le applico
4 ;- 4A quindi ; 4x
1x ; x3-x4- :A di ascissal' Determino
to"sdoppiamen di formule" delle Metodo
2
12
19
2. Parabola tangente ad una retta di nota equazione
Esempio
. 4-xy : parabola equazione
4c
0b
1a
01a ; 01a2a 012ax13a-ax
6a2c
3a3b
tangenzadi condizione 0 05-y2x
cbxaxy
Bper passaggio cba3
Aper passaggio cb2a40
. 05-y2x : tretta alla
B(1;3)in tangentee A(2;0)per passante ,y asseall' parallelo
simmetria di assecon parabola della equazionel' aminDeter
2
222
2
. V(0;4) , 0 x, ordinate asse neIntersezio
C(-2;0) ; 0) ; A(2 4xy
0y ascisse asse neIntersezio
;01a perchè , basso il verso:Concavità
: trovaredevo grafico ilPer
2
20
CURVE DEDUCIBILI DALLA PARABOLA
. O(0;0) , 0 x: 0y , ascisse asse neIntersezio
; A(0;2) ; O(0;0) y2yx
0x ordinate asse neIntersezio
; 1y simmetria di asse ; V(-1;1) : Vertice
;01a perchè , destra verso:Concavità
; x asseall' parallelo simmetria di Asse
: y2y xparabola della grafico il Per
1y
1x
y2yx
;
01-y
01x
1x1y2y
1x 1-y ; 1x1y
: 1x1y funzione la tegraficamen aRappresent .1
2
2
22
1per x 2x -xy
1per x 24x-xy 11-x-3x-xy
: 11-x-3x-xy funzione la tegraficamen aRappresent .2
2
22
2
21
DISCUSSIONE DI SISTEMI DI 2° GRADO CON PARAMETRO
CASO PARABOLA – RETTA
y e/oper x ilimitazion eventuali
retta una di equazione
parabole di fascioun di equazione
(2) oppure
y e/oper x ilimitazion eventuali
rette di fascioun di equazione
parabola una di equazione
(1)
: casi seguenti i presentare possono Si
Il parametro del sistema è il parametro che caratterizza il fascio di rette o di parabole.
Discutere un sistema del tipo (1) o (2), significa determinare, compatibilmente alle eventuali limitazioni, per quali valori del parametro le rette intersecano la parabola nel caso (1), o la retta interseca le parabole nel caso (2).
In questo contesto ci occuperemo solo del caso (1).
Esempi
:grafico) (metodo grafico dal ediscussion la effettuare comodo molto E'
(1) tipodel sistema
3x0
kx2y
x2xy
:sistema seguente il Discuti 1.
2
22
. O(0;0) , 0y : 0 x, ordinate asse neIntersezio
; A(2;0) ; O(0;0) 2x-xy
0y ascisse asse neIntersezio
; V(1;-1) : Vertice
;01a perchè , altol' verso:Concavità
; 1 x:y asseall' parallelo simmetria di Asse
:2x -xy parabola della grafico il Per
2
2
Le limitazioni 0 x 3 individuano l’arco di par. utile per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni rette – parabola.
Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per una retta tangente e per le rette passanti per O(0;0) e per B(3;3).
• Retta per O: kO = 0 ; • Retta per B: kB= -3 ;
• Retta tangente: kT = - 4 , infatti:
; 4 -k ; 0k44
; 0kx4 x kx2y
x2xy 22
0.y e 0 x, limite sol. una , 0kPer . 3y e 3 x, limite soluzione una e
ordinaria soluzione una ha si 3- kper , icoincident sono soluzioni due le 4 kper eparticolarIn
. soluzione una ammette sistema il ;0 3kper ; soluzioni due ammette sistema il 3- ; 4-kper
:che deduce si grafico Dal iConclusion
23
. F(-2;2) centro , 0kper 2y
knessun per 2x igeneratric rettecon , proprio fascio 22y
1
22y
xy
1
022x :sistema seguente il Discuti 2.
2
2
kkx
x
kkxx
kkx
Le limitazioni x -1 individuano l’arco di par. utile per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni rette – parabola.Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per una retta tang. e per la retta passante per A(-1;1).• Retta per A: kA = 1 ; • Retta tangente: kT = 4 – 81/2 , infatti:
224k ; 08k8k 02k2kxx 1,222
. 1y e 1- x, limite soluzione una e
ordinaria soluzione una ha si 1 kper
, icoincident sono soluzioni due le 22-4kper eparticolarIn
. soluzioni due ammette sistema il 22-4k1per
; soluzione una ammette sistema il 1kper
:che deduce si grafico Dal iConclusion
24
IL SEGMENTO PARABOLICO
La regione finita S di piano delimitata dall’arco di parabola AVB e dal segmento AB, prende il nome di segmento parabolico.
Teorema di Archimede: L’area del segmento parabolico S equivale ai 2/3 dell’area del rettangolo AHKB ( HK è il segmento parallelo ad AB, che si trova sulla retta t, tangente alla parabola) .
25
Esempio: determina l’area del segmento parabolico S delimitato dalla parabola y = x2 - 2x e dalla retta y = - 2x + 4 .
. 3
32
5
454
3
2AHAB
3
2A
3
2A
. 5
4AH : O(0;0)per passa
"t " retta la che osservando ,HK e AB fra distanza la Trovo
.-2x y : t ; 0q quindi
, 0q x qx2y
x2xy : "t " retta la Trovo
. 54HKAB quindi
, B(2;0) e A(-2;8) 4x2y
x2xy: B eA di coordinate le Trovo
A3
2A
AHKBS
22
2
AHKBS
26
PROPRIETA’ OTTICA DELLA PARABOLA
Un raggio di luce proveniente dal fuoco si riflette sulla parabola in direzione parallela all’asse di simmetria e, viceversa, un raggio proveniente da una direzione parallela all’asse di simmetria viene riflesso nel fuoco.
Questa proprietà, che si può facilmente dimostrare per via analitica, trova importanti applicazioni tecniche, per esempio nella costruzione dei proiettori (luce dal fuoco) e degli specchi ustori (luce verso il fuoco).