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Università degli Studi di Palermo
Facoltà di Scienze della Formazione
Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria
La simmetria come closure semiotica
Concezioni spontanee nella scuola
elementare
Tesi di laurea di:
Annalisa Salemi
Relatori:
Prof.ssa Alessandra La Marca
Prof.re Filippo Spagnolo
Anno Accademico 2002/2003
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Indice
Indice 1
Introduzione 3
Capitolo 1. Un quadro generale sulla simmetria
- 1. Simmetria e matematica 5
- 2. Simmetria nella natura e nell’arte 17
- 3. Simmetria e percezione 20
- 3.1 I principi della Gestalt sull’organizzazione percettiva 20
- 4. Simmetria: closure semiotica o ordine innato? 23
Capitolo 2. Prima fase sperimentale
- 1. Presentazione del lavoro sperimentale 29
- 2. Obiettivo generale 30
- 3. La sperimentazione 31
- 3.1 Il campione 32
- 3.2 Il metodo 33
- 4. Analisi a priori dei comportamenti attesi 34
- 5. Analisi dei dati sperimentali 37
- 5.1 Analisi descrittiva 37
- 5.2 Analisi delle similarità 41
- 6. Analisi qualitativa 45
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Capitolo 3. Seconda fase sperimentale
- 1. Presentazione del lavoro sperimentale 54
- 2. Ipotesi di ricerca 55
- 3. La sperimentazione 55
- 3.1 Il campione 57
- 3.2 Il metodo 58
- 4. Analisi qualitativa 59
Conclusioni 67
Appendice 69
Bibliografia consultata 96
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Introduzione
Questo lavoro nasce dall’esigenza di mettere in gioco le
conoscenze e l’esperienza di questi anni accademici, per tentare di
proporre un modo “alternativo” di fare matematica a scuola; un nuovo
modo che, rifiutando il carattere a-critico dell’insegnamento, vuole
invece proporre un “fare” matematico che si proponga come
“apprendimento per scoperta” e che dia al bambino la possibilità di
operare praticamente e concretamente con i concetti matematici.
Indossando le vesti del ricercatore, ho potuto cogliere cosa c’è
dietro al procedimento matematico dei bambini, quali processi e
ragionamenti li portano a dare delle risposte errate e in che modo le
conoscenze pregresse li aiutano ad affrontare e risolvere le situazioni -
problema poste in essere dalla matematica.
L’indagine sperimentale da me condotta si poneva come primo
fine quello di scoprire le concezioni spontanee dei bambini di quinta
elementare in merito al concetto di simmetria, come secondo fine
quello di verificare se e in che modo la simmetria può consentire di
operare una “closure semiotica”, ossia un riconoscimento e
completamento di un intero dalla percezione di una parte di esso.
Alla ricerca si è voluto introdurre un primo capitolo che offre un
quadro generale sulla simmetria, affrontando il discorso da diversi
punti di vista: matematica, natura, arte, percezione.
Il secondo ed il terzo capitolo costituiscono, invece, la
descrizione dell’esperienza di ricerca nelle sue due fasi sperimentali.
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Capitolo 1
Un quadro generale sulla simmetria
Il concetto di simmetria è per l’uomo istintivo e connaturato al
fatto che il suo stesso corpo si sviluppa nello spazio simmetricamente,
secondo un asse principale (asse di simmetria). È un concetto
familiare, intuitivo, insito anche nei più piccoli particolari della
natura; lo cogliamo quando guardiamo un paesaggio riflesso sulle
acque di un lago, i disegni sulle ali delle farfalle, un fiore, ecc.,
quando cioè percepiamo a livello inconscio la presenza di schemi
ripetitivi.
Ciò che i nostri occhi percepiscono non sono modelli geometrici,
ma formali: noi non vediamo la simmetria di un fiore, ma la intuiamo
cogliendone la sua regolarità. Ma che cos’è allora la simmetria?
Il termine deriva dal greco symmetros, che significa ben
commisurato, ben proporzionato e che anticamente veniva usato sia in
senso morale che in senso geometrico e spaziale. Euclide, infatti, lo
usava in relazione ai segmenti commensurabili; Aristotele, invece, con
questo termine si riferisce al giusto mezzo a cui dovrebbero tendere
gli uomini virtuosi nelle loro azioni; questo significato venne ripreso
anche da Galeno nel suo “De temperamentis”, dove definì la
simmetria lo stato d’animo che ugualmente dista dai due estremi.
Nel linguaggio moderno il termine ha perso i suoi connotati
morali, ma ne ha mantenuto quelli estetici, con significato
corrispondente all’eleganza delle proporzioni, all’armonia e alla
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gradevolezza, e quelli puramente scientifici della geometria e della
matematica, per le quali il discorso sulla simmetria si fa più rigido e
rigoroso.
1.1 Simmetria e matematica
Spesso non ci rendiamo conto che la simmetria esterna delle
decorazioni, dell’architettura, dei motivi ornamentali prodotti
dall’uomo, è indizio di una simmetria strutturale ben più profonda, che
è possibile cogliere soltanto dal punto di vista della matematica, che
ne è la radice. Quest’ultima, infatti, può offrirci una larghezza di
sguardo sufficiente a trovare il ritmo nascosto in forme all’apparenza
tanto diverse e aiutarci a scoprire una chiave di lettura significativa.
L’idea di simmetria e il tentativo di penetrare il suo significato
più profondo hanno stimolato da sempre la ricerca e lo studio dei
matematici. Nell’ultima parte del XVIII secolo la scoperta di una
nuova “aritmetica delle trasformazioni” aprì la porta a nuovi risultati,
che continuano ad influenzare non solo la matematica stessa, ma
anche le altre scienze (fisica, chimica, cristallografia, medicina,
ingegneria, ecc.).
Ma come si pone la matematica di fronte al problema della
simmetria?
Allo scopo di definire esattamente l’essenza della simmetria, i
matematici si interessano non tanto alla forma degli oggetti
simmetrici, quanto alle trasformazioni che si possono far loro subire.
Nel linguaggio matematico, infatti, la parola simmetria si riferisce alla
proprietà di un oggetto di rimanere invariato e indistinguibile nello
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spazio e nel tempo qualora sia sottoposto ad una serie di operazioni,
dette appunto di simmetria, che consistono in movimenti rigidi che
spostano e ripetono la figura senza alterare le sue dimensioni. La
simmetria di una figura, pertanto, è una trasformazione che la lascia
sostanzialmente invariata e che ha anche a che vedere con il ritmo,
con le strutture, con qualcosa che si ripete e che può ripetersi in modi
molto diversi. Il compito della matematica è, pertanto, quello di capire
come sono fatti questi diversi possibili modi: ossia analizzare con
attenzione le modalità con cui è possibile combinare le trasformazioni
generandone di nuove, determinare le strutture fondamentali, contarle,
confrontarle e classificarle.
Un importante contributo allo studio delle fondamentali strutture
simmetriche delle figure e della loro classificazione lo troviamo ne Il
ritmo delle forme di P. Bellingeri, M. Dedò, S. Di Sieno, C. Turrini,
edizione Mimesi 2001, al quale ho fatto riferimento per ciò che
riguarda lo studio della matematica sulla simmetria.
Tutte le figure che al nostro occhio appaiono simmetriche hanno
una caratteristica in comune: sono costituite dalla ripetizione di un
“modulo” (una piccola parte della figura) secondo certe regole, che in
generale sono diverse da figura a figura. Queste regole sono, appunto,
le operazioni di simmetria.
Per quanto riguarda il piano, le possibili operazioni di simmetria,
che consentono di modificare la posizione di un oggetto rispetto ad un
sistema di riferimento sono: la rotazione, la riflessione e la traslazione.
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Se consideriamo la rotazione, ad esempio, la figura 1 può aiutarci
a capire meglio quanto detto. In essa troviamo due immagini
simmetriche, i cui moduli sono rappresentati in alto, per le quali la
regola di costruzione dell’intera
figura è la stessa: ruotare il modulo
di 60° intorno al punto O per ben
sei volte. In tal modo, infatti, si
ottengono due figure simmetriche
composte da sei copie del modulo
di partenza, ognuna delle quali
differisce dalla precedente per una
rotazione di 60°. Figura 1
Le due immagini sono diverse perché il modulo di partenza è
diverso, ma risultano uguali nella struttura.
Per quanto riguarda la seconda operazione di simmetria, la
riflessione, considereremo la figura 2, per costruire la quale questa
volta occorre riflettere il modulo (figura 3) rispetto alle rette r ed s,
quindi riflettere i moduli così ottenuti rispetto alle rette k e h, e così
via fino ad ottenere la figura completa.
Figura 2 Figura 3
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Questi primi due casi ci mostrano esempi di figure con strutture
limitate, in cui le regole prevedono un numero finito di operazioni.
L’esperienza, però, ci porta a dire che ci sono anche figure per le quali
quello che vediamo sulla carta è soltanto un pezzo, che ci suggerisce,
peraltro, la maniera stessa in cui la figura potrebbe continuare.
Immagini di questo tipo sono quelle le cui regole di costruzione
coinvolgono l’operazione di traslazione (figura 4).
Per ottenere queste immagini, infatti, è stato necessario spostare il
modulo (costituito da un poligono blu ed uno rosso, per quanto
riguarda la prima immagine, e da un poligono verde, per la seconda) a
destra e a sinistra, per quante volte lo si desidera, o fin quando non si
arriva al bordo del foglio.
Figura 4
Anche in questo caso, come nei precedenti, l’operazione di
simmetria rappresenta per la figura completa la trasformazione che,
pur spostando i vari punti, fissa la figura nel suo complesso.
Naturalmente, oltre alle operazioni di rotazione, riflessione e
traslazione, è possibile costruire un’immagine simmetrica anche
utilizzando contemporaneamente due di queste operazioni. Ad
esempio la figura 5 è ottenuta dalla combinazione di riflessione e
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traslazione. Le regole per costruire la figura sono infatti: riflettere il
modulo rispetto alla retta che in figura è indicata con s, poi prendere i
due moduli così ottenuti e spostarli a destra e a sinistra per quante
volte si vuole.
Figura 5
Anche questi ultimi disegni, però, sono diversi da alcune
immagini simmetriche che spesso abbiamo visto in qualche
decorazione, nella fantasia di un tessuto o in alcune pavimentazioni.
Nelle immagini delle figure 4 e 5, infatti, c’è una sola direzione
(quella orizzontale) lungo la quale il disegno si sviluppa, mentre più
volte ci è capitato di cogliere strutture simmetriche anche in disegni
che ripetono il modulo in più direzioni e per un numero infinito di
volte.
È il caso delle figure 6 e 7, dove non
solo il modulo si sviluppa in più
direzioni, ma ci da anche l’idea di una
struttura illimitata, una struttura, cioè,
che può svilupparsi all’infinito in tutte le
direzioni.
Figura 6
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Se consideriamo, ad esempio, la figura 7 notiamo che il modulo è il
quadrilatero verde rappresentato a sinistra e le regole per costruire
l’immagine possono essere: riflettere il modulo rispetto alle quattro
rette r, s, t, u; poi ancora rispetto alle rette h, k, p, q; e così via.
Figura 7
Ma anche per studiare la simmetria di un disegno che si ripete in
più direzioni e per un numero indefinito di volte è necessario
individuare il modulo e le specifiche regole che ci consentono di
ricostruire l’intero disegno.
L’insieme di tutte le regole, o modalità con cui è possibile
ricostruire una figura simmetrica a partire dal modulo, costituiscono
una struttura matematica ben precisa chiamata gruppo di simmetria, in
base alla quale si possono classificare le figure rispetto alla loro
simmetria. Il gruppo di simmetria di una figura è, cioè, l’insieme di
tutte le trasformazioni che la lasciano invariata.
Queste trasformazioni devono soddisfare tre regole fondamentali:
- l’esistenza dell’elemento neutro, che lascia invariata qualsiasi
figura;
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- l’esistenza e l’unicità dell’inverso (se un gruppo comprende una
trasformazione, comprende anche la sua unica inversa, che è
quella che riporta la figura alla posizione di partenza);
- la proprietà associativa (se un gruppo comprende due
trasformazioni, allora comprende anche la trasformazione che si
ottiene dalle due eseguendo prima l’una e poi l’altra).
Di fronte alla grande varietà di esempi di simmetria che ci
circondano, la matematica si è chiesta se fosse possibile classificare i
gruppi discreti di una figura, ossia le trasformazioni che, applicate ad
un qualunque punto P della figura, originano altri punti “abbastanza
lontani” dal punto P.
Non rientrano nei gruppi discreti il gruppo di simmetria di una
circonferenza e il gruppo di simmetria di una retta. Nella
circonferenza, infatti, se prendiamo un qualunque punto P di essa
(diverso dal centro O), i punti che si ottengono applicandogli le
trasformazioni del gruppo sono tutti punti della circonferenza stessa, e
quindi fra di essi ci sono punti vicinissimi a P. Il gruppo di simmetria
di una retta è anch’esso non discreto perché contiene, fra le
traslazioni, tutte quelle parallele alla retta; possiamo quindi trovare in
esso anche traslazioni che spostano P in punti a lui abbastanza vicini.
La classificazione dei gruppi discreti di simmetria, per quanto
riguarda il piano, comprende tre categorie:
1. gruppi dei rosoni, che non contengono traslazioni;
2. gruppi dei fregi, che contengono traslazioni in una sola
direzione;
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3. gruppi dei mosaici, che contengono traslazioni in direzioni
diverse.
La categoria dei rosoni, a sua volta, si divide in due sottoinsiemi:
i gruppi ciclici, che contengono solo rotazioni di centro O e di angoli
sottomultipli dell’angolo giro; i gruppi diedrali, che contengono tante
rotazioni di centro O quante riflessioni in rette passanti per O (vedi
figure 8 e 9).
Figura 8 Figura 9
Leonardo Da Vinci ha dimostrato che i gruppi ciclici e quelli
diedrali costituiscono i soli insiemi di simmetrie possibili per la
categoria dei rosoni, ossia per quelle figure che comprendono solo i
gruppi finiti: quelli che ammettono un numero finito di simmetrie ed
un centro (ossia un punto che non viene mosso da nessuna di queste
simmetrie). Questo risultato dimostra che, se costruiamo una figura
utilizzando le operazioni di rotazione e riflessione, può cambiare il
modulo e il numero delle rotazioni e delle riflessioni (quindi ci sono
infiniti gruppi ciclici e diedrali, uno per ciascun intero positivo), ma
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dal punto di vista della simmetria il gruppo sarà sempre uno di questi
due tipi.
Fra questi due tipi rientra anche il gruppo di simmetria di una
figura completamente asimmetrica, per la quale l’unica trasformazione
possibile è la rotazione di 360°.
Per quanto riguarda la categoria dei fregi, come già detto, questa
comprende i gruppi di simmetria che ammettono come operazioni,
oltre a rotazioni e riflessioni, anche traslazioni in una sola direzione.
Proprio per questo motivo, la categoria dei fregi non può comprendere
gruppi finiti: si tratta, infatti, di figure, come le greche o i fregi usati
per le decorazioni dei muri, costituite da una parte finita che si ripete e
si prolunga all’infinito lungo la stessa direzione.
In teoria dovrebbero essere 16 i tipi di fregi, perché altrettante
sono le possibili combinazioni delle operazioni di simmetria. In
pratica, però, alcuni tipi sono impossibili. Esistono, infatti, solo 7
diversi tipi di fregi, che possiamo esemplificare mediante l’utilizzo di
alcune lettere dell’alfabeto come “modulo”:
1) FFFFFFFFFF
2) ZZZZZZZZZZ
3) bpbpbpbpbpbp
4) TTTTTTTTTT
5) EEEEEEEEE
6) bdpqbdpqbdpq
7) HHHHHHHHH
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La prima riga (F) è lasciata invariata solo da un’infinità di
traslazioni, la seconda riga (Z) da traslazioni e rotazioni, la terza (bp)
da traslazioni e
glissoriflessioni, la quarta
(T) da traslazioni e
riflessioni, la quinta (E) da
traslazioni e riflessioni
orizzontali, la sesta (bd) da
traslazioni, riflessioni
verticali e rotazioni, la
settima (H) da traslazioni e
riflessioni orizzontali e verticali. Figura 10
Nella figura 10 sono schematizzati, nello stesso ordine (ovvero
con le stesse regole), i sette casi possibili di simmetria per la categoria
dei fregi, realizzati con il modulo già utilizzato nella prima immagine
della figura 1.
Infine, la categoria dei mosaici comprende tutte le operazioni di
simmetria: rotazione, riflessione e traslazione in direzioni diverse. I
gruppi appartenenti a questa categoria sono infiniti, come quelli dei
fregi, ma a differenza di questi ultimi qui il modulo si ripete in più
direzioni. Ritroviamo queste configurazioni nelle decorazioni a
mosaico greco-romane, nelle pavimentazioni, nelle tappezzerie, in
certe stoffe, ecc., dove cioè è possibile individuare un “motivo”
(modulo) che si ripete periodicamente.
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Figura 11 Decorazioni dell’Alhambra, Granada
Anche per questa categoria di gruppi di simmetria è stata fatta
una classificazione di tutti i possibili tipi di simmetrie, una
classificazione ancor più complicata della precedente, che è il risultato
di tutte le possibili combinazioni delle operazioni di simmetria. I
possibili gruppi di simmetria sono 17. La dimostrazione di ciò è stata
ottenuta da E. S. Fedorov, un cristallografo russo, alla fine del 1800, e
ritrovata poi da G. Polya e P. Niggli nella prima metà del 1900. La
cosa che più ci colpisce è che fin dall’antichità artisti di diverse
culture (dagli egizi agli arabi) hanno realizzato esempi di opere
artistiche per ognuno di questi diciassette casi diversi; tutto ciò molti
secoli prima del risultato matematico concernente la classificazione di
questi gruppi.
Per questi gruppi diventa ancor più complicato elencare le regole
con cui dal modulo si ricostruisce l’intera figura; tuttavia si può
semplificare questo lavoro se immaginiamo una quadrettatura, o
reticolo, sottostante il disegno. In questo modo, infatti, è sufficiente
che le regole dicano come dal modulo si possa riempire il singolo
quadretto, perché gli altri si ottengono da questo per traslazione. Se la
figura non consente di far riferimento ad una quadrettatura, basta
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riferirsi ad un reticolo obliquo (ad esempio una griglia di
parallelogrammi).
A tale proposito facciamo
riferimento alla figura 12, per la
quale è necessario individuare
una griglia di parallelogrammi
come reticolo. Le regole con
cui dal modulo si costruisce
l’intera figura dovranno, in questo caso, stabilire come riempire il
parallelogramma con un certo numero di copie del modulo e poi
basterà compiere delle traslazioni del parallelogramma stesso (vedi
figura 13).
Figura 13
Il reticolo sottostante il disegno può essere: quadrato,
rettangolare, obliquo o esagonale. Ecco uno schema riassuntivo dei 17
gruppi di simmetria nel piano1:
1 Per ulteriori approfondimenti consultare le Tavole Internazionali di Cristallografia.
18
2. Simmetria nella natura e nell’arte
La natura presenta molte regolarità profonde, basate sulla
simmetria, e la comprensione di queste regolarità ha rappresentato un
mezzo fondamentale per l’avanzamento della scienza ed il
raggiungimento delle conoscenze attuali. Anche l’uomo sembra
favorire istintivamente la regolarità ed il ripetersi periodico delle
forme, come ha dimostrato nel secolare sviluppo delle sue espressioni
artistiche.
Alcune delle simmetrie più sorprendenti della natura
appartengono al mondo microscopico: basti pensare alla forma
altamente simmetrica dei virus, delle gocce di pioggia, e di quella
infinita moltitudine di esseri che costituiscono il plankton.
Nel secolo scorso l’artista-naturalista Ernst Häckel, con una minuziosa
esplorazione al microscopio di questi mondi invisibili all’occhio
umano, portò alla luce la sorprendente e splendida simmetria di questi
minuscoli esseri. Negli anni ’30 dello scorso
secolo fu invece un americano, Wilson A..
Bentley che con enorme pazienza ed abilità
tecnica riuscì a fotografare al microscopio oltre
2000 fiocchi di neve, ognuno diverso dall’altro,
ma tutti dotati di una splendida simmetria
esagonale. Figura 14
La più comune forma di composizione simmetrica presente in
natura è certamente quella assiale in cui, con effetto di riflessione, gli
elementi sono collocati in forma speculare rispetto ad un immaginario
asse centrale detto asse di simmetria. La simmetria assiale o bilaterale
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la troviamo in molti organismi vegetali, animali e minerali. La
struttura di molte foglie, i petali di alcuni fiori
(le orchidee sono quelle che maggiormente
rispettano la simmetria bilaterale), il corpo di
molti animali (pressoché la totalità degli
insetti e dei vertebrati) sono caratterizzati
dalla simmetria bilaterale. Figura 15
Gli animali, oltre ad avere una forma simmetrica, spesso sono
simmetrici anche nei loro colori: le ali di una farfalla o il mantello di
una zebra hanno le loro macchie disposte simmetricamente.
Altro tipo di simmetria presente in natura è quella centrale o
radiale, in cui gli elementi sono simmetrici rispetto ad un punto, per il
quale passano più assi di simmetria. Un esempio di simmetria
rotazionale nel piano è il nido delle api, nel quale troviamo sei assi di
simmetria in ciascuna celletta (simmetria esagonale). La simmetria
pentagonale è, invece, particolarmente amata
dalle corolle dei fiori, di cui troviamo
innumerevoli esempi, dalle primule alle
pervinche, nonché da alcuni echinodermi che
strisciano sui fondali, quali le stelle marine.
Figura 16
Infine esiste una simmetria traslazionale in moltissimi esseri
viventi in cui un segmento del corpo viene ripetuto in modo periodico
e regolare lungo una retta, come nel corpo dei millepiedi.
La presenza di simmetria e di equilibrio proporzionale nelle più
alte espressioni creative dell’uomo testimonia, fin dall’antichità, lo
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stretto rapporto che tali concetti realizzano tra scienza, estetica e arte.
L’esigenza di individuare nell’arte un linguaggio decifrabile di forme
ha sempre indotto gli artisti ad utilizzare i canoni geometrici, a volte
anche intuitivamente, anticipando in alcune conclusioni i matematici
stessi.
Fin dall’antichità la simmetria ha caratterizzato le immagini e gli
oggetti prodotti dall’uomo. Troviamo composizioni rigidamente
simmetriche in gioielli di epoca precolombiana e micenea, in rilievi di
epoca romana, paleocristiana e
barbarica, nella struttura e nella
decorazione di portali e finestre,
nei dipinti rinascimentali, nelle
cupole di chiese e cattedrali
cristiane, nell’arte giapponese e in
quella indiana.
Figura 17. Arte indiana (Taj-Mahal)
In tutte le civiltà la simmetria è stata usata come visualizzazione
dell’ordine, dell’equilibrio e dell’armonia. Strutture simmetriche ne
ritroviamo anche nelle costruzioni architettoniche, nelle facciate dei
templi greci e romani, nelle piramidi egizie, nelle antiche cattedrali
cristiane e negli edifici rinascimentali, in cui gli ideali di armonia,
ordine, proporzione ed equilibrio erano resi concreti e visibili anche
dalla struttura rigorosamente speculare delle costruzioni.
A volte la simmetria può costituire anche la struttura su cui sono
organizzati alcuni spazi urbani, come piazza San Pietro a Roma.
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3. Simmetria e percezione
Percepire un’immagine non significa registrare meccanicamente
tutti gli elementi che la compongono, ma coglierne alcune strutture
significative che emergono alla visione come un insieme coerente che
assume così un significato. Una forma si impone alla nostra
attenzione, ci appare un insieme coerente e organizzato, costituisce un
fenomeno visivo in cui le qualità del tutto predominano su quelle delle
singole parti da cui esso è costituito.
La percezione delle immagini e la loro “lettura” costituiscono un
processo complesso in cui intervengono numerosi fattori. Ciò che
“vediamo” è determinato in parte dalle condizioni insite nella struttura
stessa dell’immagine e dal suo rapporto con il contesto in cui è
inserita. A questi elementi si aggiunge l’esperienza personale
dell’osservatore, con la sua situazione affettiva, sociale, culturale,
fattori che influenzano la sua attenzione e la sua percezione,
facendogli operare nel campo visivo, in modo più o meno
consapevole, selezioni e combinazioni di forme che costituiscono la
sua interpretazione del mondo.
3.1 I principi della Gestalt sull’organizzazione percettiva
La psicologia della percezione, la Gestalt, ci fornisce una serie di
strumenti per “decodificare” e “ridecodificare” le immagini, al di là
dell’esperienza e della cultura che, comunque, condizionano sempre il
nostro modo di leggere la realtà.
22
Secondo tale scuola di pensiero, che sorse in Germania agli inizi
del XX secolo, la percezione consiste nella risposta immediata a
schemi complessi colti nel loro insieme. La concezione della Gestalt si
può sintetizzare nell’asserzione: l’intero è differente dalla somma
delle sue parti, poiché è la risultante del modo in cui le varie parti
sono reciprocamente organizzate.
Nella teoria formulata dalla Gestalt, il sistema nervoso è
predisposto ad accorpare, mediante meccanismi innati, gli elementi
costitutivi degli stimoli sensoriali sulla base di alcune regole
fondamentali, definite principi dell’organizzazione percettiva. Alcuni
di questi principi sono:
- Vicinanza: in uno stimolo visivo tendiamo a vedere gli elementi
tra loro vicini come parti dello stesso oggetto e quelli distanti
come parti di oggetti differenti.
- Somiglianza: tendiamo a vedere gli elementi fisicamente simili
come parti dello stesso oggetto, e gli elementi diversi come parti
di oggetti diversi.
- Chiusura: tendiamo a vedere le forme come delimitate da un
margine continuo e ad ignorare le eventuali interruzioni di tale
continuità. Questo ci aiuta a percepire le forme come complete
anche quando sono parzialmente nascoste da altri oggetti.
- Continuità: quando varie linee si intersecano, noi tendiamo a
riunire i segmenti in modo da formare linee il più possibile
continue.
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- Movimento comune: quando gli elementi dello stimolo si
muovono nella stessa direzione e alla stessa velocità, tendiamo a
vederli come parti di uno stesso oggetto.
- Armonia di forma: il nostro sistema percettivo tende ad
elaborare produzioni percettive il più possibile eleganti: semplici,
ordinate, simmetriche e regolari. In pratica questo principio, oltre
a racchiudere in sé quelli precedenti, comprende anche regole più
complesse, in base alle quali il nostro sistema percettivo
organizza gli stimoli nella forma più armoniosa possibile.
In sostanza la teoria della percezione visiva sostiene che si
percepisce un’immagine, composta da singoli segni come i punti, le
linee, i colori, le ombreggiature, ecc.., come delle unità compiute
definite solo quando questi segni sono vicini tra loro, organizzati e
raggruppati in modo ordinato. In un testo visivo i singoli segni si
possono leggere anche isolatamente, ma questi passano in secondo
piano a favore della visione d’insieme dell’immagine data dalla
somma dei singoli segni visivi.
Oltre a formulare i sei principi dell’organizzazione percettiva, la
Gestalt richiama l’attenzione sulla tendenza automatica a distinguere
in qualsiasi scena la figura dallo sfondo. Quando osserviamo una foto,
un quadro o una scena mettiamo in risalto da prima un oggetto rispetto
all’ambiente circostante, allo sfondo. Questa operazione che dura
qualche frazione di secondo determina la differenza tra la figura e lo
sfondo, ma dipende da certe peculiarità dello stimolo visivo.
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In merito alla percezione, un altro elemento che va tenuto
presente e particolarmente studiato da Koffka è quello relativo alla
legge della pregnanza. Koffka sostiene che l’organismo tende a
determinare componenti pregnanti e preminenti nella percezione, nei
movimenti e nelle azioni; questi elementi stanno alla base della legge
della pregnanza.
L’organizzazione percettiva, il grado di lettura dei segni, è
determinato da proprietà come la regolarità, la simmetria, la coesione,
l’equilibrio, l’omogeneità e la massima semplicità.
4. Simmetria: closure semiotica o ordine innato?
Come dimostrano gli studi della Gestalt, il fenomeno percettivo
non consiste nel semplice riconoscimento di forme già esistenti,
oggettive, reali, ma vi possono essere delle grosse differenze tra il
mondo della realtà fisica e ciò che un osservatore percepisce. E’
provato che alcuni dati possono essere visti senza che obiettivamente
esistano; altri possono esistere nella realtà e non essere afferrati
visivamente; altri elementi, infine, possono essere percepiti in maniera
alterata o distorta.
Si tratta di illusioni percettive che derivano dal contesto in cui
compaiono gli elementi illusori e possono essere spiegate con
l’intervento di processi dall’alto al basso. Particolarmente interessanti
sono quelle illusioni in cui il contesto non solo influenza le
caratteristiche dell’oggetto che vengono percepite (ad esempio, la sua
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grandezza), ma porta anche a vedere o a sentire qualcosa che nello
stimolo non è affatto presente.
Benché il dibattito intorno agli esatti meccanismi che causano
l’illusione ottica sia ancora del tutto aperto, la maggioranza dei
ricercatori è concorde nel ritenere che l’effetto derivi dallo sforzo,
operato dal sistema percettivo, di interpretare la figura in senso
globale.
Gli esempi che seguono sono una dimostrazione di questi
fenomeni.
Figure 18 e 19
In risposta a questi stimoli2 il sistema percettivo crea due
interpretazioni che ammettono un triangolo, che nella figura 18 è
bianco e nella 19 è nero, posato sopra una cornice triangolare e sopra
tre dischi (neri nella fig. 18 e bianchi nella fig. 19). I triangoli che
vediamo al centro delle due figure si impongono visivamente alla
nostra attenzione anche se non sono mai stati disegnati, essi ci
appaiono addirittura prima ancora dello sfondo: nella figura 18, infatti,
2 Si tratta del “triangolo di Kanizsa”, una famosissima immagine dello psicologo italiano Gaetano Kanizsa, esponente della tradizione gestaltista.
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il triangolo sembra più luminoso dello sfondo, mentre nella 19, il
triangolo nero ci appare più scuro.
Questo fenomeno delle illusioni percettive è stato studiato dallo
psicologo italiano Gaetano Kanisza, il quale con interessanti
esperimenti ha dimostrato come la percezione visiva compia processi
di categorizzazione alla stregua della memoria. Dagli studi di Kanizsa
emerge in particolar modo che la percezione visiva ci porta a vedere
“al di là” di quanto appare, ossia compie automaticamente una
“closure semiotica”, completando le parti mancanti o coperte di figure
e suggerendo in tal modo l’interezza.
Il termine inglese closure, che tradotto letteralmente significa
“chiusura”, ha però in sé un significato più complesso. Tale termine è
utilizzato, infatti, per spiegare una capacità peculiare del nostro
cervello, che consiste nel compiere un completamento per inferenza,
per deduzione che, secondo alcuni si acquisisce nei primi anni di vita,
ed è dunque frutto dell’esperienza e della memoria, secondo altri, si
tratta invece di un qualcosa di innato.
Questa capacità o funzione della percezione è di fondamentale
importanza perché il suo utilizzo influenza notevolmente tutte le
esperienze conoscitive e percettive dell’uomo. Pensiamo, ad esempio,
all’operazione che compiamo durante la lettura: quando leggiamo un
testo non ci soffermiamo sui singoli grafemi, ma li riconosciamo come
un tutt’uno nelle parole e nelle frasi, riuscendo quasi a “prevedere”
quelli che verranno dopo.
Questa operazione di completamento per inferenza la compiamo
anche quando, ad esempio, riconosciamo le cose o le persone solo da
27
una parte di esse. Un esempio che potrebbe risultare banale, ma che è
anch’esso riferito all’operazione di closure, è quello che compiamo a
tavola quando, sebbene si veda solo il tronco e la testa dei nostri
commensali, non li percepiamo senza gambe.
Per quanto riguarda il concetto di simmetria, secondo alcuni
psicologi della percezione, tra cui lo stesso Kanisza, esso consente di
operare questa closure nella percezione e nella ricostruzione di oggetti
o figure incomplete. Durante tali operazioni, che contrariamente a
quanto si può pensare sono numerosissime, facciamo quindi
riferimento alla simmetria come sinonimo di ordine e regolarità.
Per altri studiosi, i fenomeni di ritmo e di simmetria non
appaiono, quindi, limitati alle caratteristiche strutturali degli oggetti
naturali, ma esistono anche nel nostro pensiero, come istanze di
carattere psicologico.
L’uomo non potrebbe “funzionare” se non fosse già predisposto a
certe regolarità, a quel “senso dell’ordine” di cui parla Ernst H.
Gombrich, senza il quale non avremmo mai potuto far tesoro di alcuna
esperienza al mondo; è questo senso dell’ordine, secondo l’autore, che
ci consente di categorizzare ciò che ci circonda secondo i gradi di
regolarità e del suo opposto.
Ma da dove abbiamo tratto quest’ordine? Ernst H. Gombrich
afferma: «Probabilmente dobbiamo aver veduto o sperimentato
l’eguaglianza matematica prima che la nostra anima sia mai entrata
nel corpo, ed è questa memoria a offrirci il metro col quale giudicare
le cose di questo mondo».
28
Sin dall’antichità, gli studi filosofici di Socrate e Platone si sono
interessati a questa questione. Nell’epoca moderna, come abbiamo
visto nel paragrafo precedente, una ricerca a proposito di questa
risposta all’ordine è stato l’impegno principale della Gestalt. Ma una
soluzione alla questione del senso dell’ordine innato prova a darla
Popper, il quale ha sottolineato gli stretti legami tra i metodi scientifici
e le attività della mente percepiente. Sia le ipotesi scientifiche che
quelle percettive possono essere formulate, secondo Popper, come
tentativi di elaborare principi di esclusione, di eliminare certe
possibilità, le più semplici.
Si è infatti d’accordo oggi che senza un qualche principio
selettivo, senza una qualche maniera di classificare gli stimoli in
arrivo secondo una gerarchia di importanza, l’organismo sarebbe
inondato da una massa incontrollabile di informazioni e di percezioni.
Certe configurazioni sono pre-codificate nel sistema nervoso centrale
e scatenano una catena di reazioni quando le si incontra in natura.
Queste disposizioni biologiche vanno inserite nella struttura dei
meccanismi che consentono all’organismo di orientarsi nello spazio e
nel tempo, meccanismi che devono necessariamente avere relazione
con i rapporti geometrici generali.
Alcuni esperimenti sul sistema visivo di certi animali hanno
dimostrato come certe forme geometriche semplici guidano
l’orientamento degli insetti migratori e come i gatti, invece,
rispondano a particolari disposizioni quali linee orizzontali e verticali.
Questi esperimenti dimostrano, quindi, che lo schema
29
geometricamente semplice viene codificato e ricordato più facilmente
della configurazione più complessa o casuale.
Se anche l’uomo sia o meno così predisposto ad una simile
codificazione della realtà è tuttora materia di dibattito. Sappiamo però,
come dimostra la teoria della Gestalt, che per prima si è opposta alla
cosiddetta “teoria del recipiente” (secondo cui gli individui compiono
una registrazione passiva degli stimoli) che esiste una preferenza
osservabile, una selezione automatica nel nostro percepire che
privilegia le configurazioni regolari e semplici, le linee rette, i cerchi e
altri ordini semplici.
Se questa preferenza per la regolarità simmetrica sia innata o sia
conseguenza di una closure semiotica non sta a me deciderlo, certo è
però che le due posizioni non sono così lontane fra loro e che l’ipotesi
di regolarità da sempre guida l’uomo per verificare sia il mondo reale
che le sue rappresentazioni.
Come affermava Popper: «senza un qualche sistema iniziale,
senza una prima ipotesi a cui possiamo riferirci finché non venga
falsificata, non potremmo trarre alcun senso dai miliardi di stimoli
ambigui che ci raggiungono dall’ambiente».
30
Capitolo 2
Prima fase sperimentale
1. Presentazione del lavoro sperimentale
In questo capitolo viene presentata e descritta, momento per
momento, la prima fase del lavoro sperimentale.
L’idea di una tale ricerca è nata dall’esperienza di tirocinio,
durante la quale ho potuto constatare che spesso dietro ad alcune
risposte dei bambini, che rischiano di sembrarci banali o non
pertinenti, ci sono invece delle concezioni spontanee frutto di un
ragionamento, non altrettanto banale, che risulta a volte corretto ed
altre volte errato.
Ho voluto, pertanto, grazie all’utilizzo di un questionario, far
emergere le concezioni spontanee dei bambini in merito al concetto
geometrico di simmetria e capire il perché di tali risposte.
Nella prima fase della ricerca ho costruito un questionario con 4
domande a risposta aperta che richiedevano, inoltre, la motivazione
della risposta. Facendo riferimento a tali domande ho poi elaborato
l’analisi a priori dei comportamenti attesi dai bambini per ciascuna di
esse, ossia le possibili risposte (corrette ed errate) per ciascuna
domanda del questionario.
Successivamente ho svolto la sperimentazione somministrando il
questionario ai bambini di quattro classi quinte di scuola elementare
31
ed infine ho inserito i risultati di tale sperimentazione in una tabella
Excel, registrando la presenza o l’assenza dei comportamenti attesi.
Fase certamente centrale della ricerca sperimentale è stata quella
relativa all’analisi quantitativa e qualitativa dei dati. I risultati ottenuti
sul campione scelto, infatti, sono stati sottoposti: dapprima ad
un’analisi statistica con l’utilizzo del programma Chic, che permette
di fare l’analisi delle similarità e quella delle implicazioni;
successivamente ad un’analisi personale e qualitativa delle risposte,
che ha tenuto conto delle motivazioni più significative date dai
bambini alle domande del questionario e delle rappresentazioni
grafiche apportate sul foglio.
2. Obiettivo generale della ricerca
La prima sperimentazione ha come obiettivo quello di
classificare le concezioni spontanee sulla simmetria dei bambini di
quinta elementare.
L’interesse è, innanzitutto, quello di sapere e capire cosa pensano
i bambini della simmetria, di individuare quali sono le loro visioni
ricorrenti e gli stereotipi riguardanti la simmetria; in secondo luogo,
determinare quali sono gli schemi di ragionamento messi in atto dai
bambini.
32
3. La sperimentazione
La mia ricerca sperimentale ha avuto inizio con la costruzione
dello strumento: il questionario. La scelta del questionario come
strumento di sperimentazione è stata guidata dall’idea che esso ci
consente realmente di raccogliere informazioni, poiché interroga i
soggetti su specifici nodi dell’argomento che ci interessa verificare e
ci fornisce le loro risposte in forma scritta.
Il questionario, però, è funzionale alla ricerca sperimentale se
risponde agli obiettivi che ci siamo prefissati o, comunque, ci fornisce
informazioni tali da confermare o smentire l’ipotesi di partenza.
L’affidabilità di tali informazioni, però dipende unicamente dalla
chiarezza delle domande del questionario. Se esso è ben costruito,
pertanto, ci consente di raccogliere una quantità considerevole di dati
con garanzia di validità e fedeltà.
Il questionario da me costruito è coerente con il livello scolastico
dei bambini delle classi quinte di scuola elementare e si compone di
quattro item a risposta aperta, con richiesta di motivazione. Ogni item
è costituito dalla domanda scritta e da una figura di riferimento, sulla
quale i bambini hanno potuto “operare” con la matita per tracciare assi
di simmetria eventualmente richiesti o, comunque, per fare delle prove
o tracciare dei segni che vanno ad integrare la risposta scritta. Inoltre,
quasi tutte le figure sulle quali i bambini sono stati invitati a riflettere
non sono le “classiche” figure geometriche che si studiano a scuola,
ma figure “nuove”, non propriamente geometriche, con le quali non
hanno mai lavorato prima, figure costruite appositamente per
stimolare il ragionamento del bambino.
33
Tale impostazione degli item mi ha permesso di registrare le
risposte dei bambini e, grazie all’esplicitazione della motivazione
della risposta, di individuare le procedure ed i ragionamenti che vi
stanno dietro.
Nella prima domanda, date due figure irregolari uguali ma
disposte sul foglio in posizioni diverse, i bambini sono invitati a
stabilire se le due figure in questione sono simmetriche. In tal modo,
quindi, i bambini sono portati inconsapevolmente a ricercare una
possibile definizione di simmetria.
Nella seconda e nella terza domanda, date due figure non
geometriche, viene chiesto ai bambini di individuare e disegnare nelle
figure tutti i possibili assi di simmetria e di spiegare il perché della
scelta fatta.
Nella quarta domanda, infine, viene chiesto ai bambini di
riflettere su una figura che loro conoscono già: il parallelogramma.
Anche questa volta bisogna individuare i possibili assi di simmetria.
Quest’ultima domanda, che potrebbe sembrare la più facile, in realtà si
pone come la più impegnativa perché si scontra con la convinzione di
molti bambini di considerare assi di simmetria i segmenti verticali e
orizzontali, o comunque quelli che dividono la figura in due parti (nel
caso del parallelogramma anche le diagonali).
3.1 Il campione
L’indagine è stata rivolta a 97 alunni di 4 classi quinte, di cui due
appartenenti all’Istituto Comprensivo “Vincenzo Guarnaccia” di
34
Pietraperzia (Enna) e le altre due appartenenti al Circolo Didattico
“Emilio Salgari” di Palermo.
Il lavoro si è svolto alla fine dell’anno scolastico, nei mesi
maggio – giugno 2003. Le classi interessate alla sperimentazione non
sono state “preparate” alla somministrazione del questionario con dei
momenti di ripasso teorico sull’argomento simmetria, né da parte delle
insegnanti, né da parte mia. Questo accorgimento è stato volutamente
preso soprattutto per evitare che gli alunni, durante la formulazione
delle risposte, si lasciassero condizionare da definizioni o concetti
teorici appresi, anziché fare emergere le proprie concezioni spontanee.
3.2 Il metodo
Prima della somministrazione del questionario nelle varie classi,
mi sono presentata ai bambini come studentessa universitaria ed ho
spiegato il perché della mia presenza in classe, facendo riferimento al
lavoro di tesi. Successivamente ho chiesto loro se erano disponibili ad
offrirmi la loro collaborazione per la mia ricerca, spiegando che il fine
della somministrazione non era quello di dare una valutazione ai loro
elaborati, che tra le altre cose sarebbero rimasti anonimi, ma quello di
raccogliere informazioni che poi si sarebbero sommate a quelle di
altre classi quinte.
Ottenuta la disponibilità a collaborare ho distribuito a ciascun
bambino una copia del questionario, quindi ho chiesto di lavorare
individualmente, senza lasciarsi condizionare dai compagni.
35
4. Analisi a priori dei comportamenti attesi da parte degli allievi
L’analisi a priori comprende l’insieme di tutti quei
comportamenti ipotizzabili dagli allievi nei confronti della
“situazione-problema”, ossia tutte le possibili strategie risolutive
corrette e non.
La costruzione dell’analisi a priori è avvenuta in due fasi:
- durante la costruzione del questionario;
- dopo la somministrazione del questionario al campione.
Questa modalità è stata utilizzata al fine di integrare le risposte
ipotizzate con tutte quelle date dagli allievi e non previste.
L’analisi a-priori è, inoltre, uno strumento necessario per la
didattica disciplinare dell’insegnante, poiché gli permette di
considerare gli schemi risolutivi ai fini di poter gestire la negoziazione
delle risoluzioni degli allievi in funzione dell’attività didattica. Essa,
infatti, mettendo in luce lo spazio degli eventi, ossia l’insieme delle
possibili risposte ipotizzate per il contesto di azione, permette di
individuare il buon problema, ossia quello che permette la migliore
formulazione, e le variabili didattiche, che permettono di favorire un
cambiamento del comportamento degli alunni.
Di seguito viene presentato, per ciascun quesito, l’elenco delle
strategie e/o risposte effettivamente adoperate dagli alunni che hanno
partecipato alla sperimentazione e che sono state considerate nella
tabulazione dei dati.
36
Domanda A: Le due figure sono simmetriche? Perché?
A1. Le due figure sono simmetriche perché sono uguali.
A2. Le due figure sono simmetriche perché non sono uguali.
A3. Le due figure non sono simmetriche perché non sono uguali.
A4. Le due figure sono simmetriche perché ruotandone una esse
coincidono.
A5. Le due figure non sono simmetriche perché non c’è l’asse di
simmetria.
A6. Le due figure non sono simmetriche perché non sono divisibili in
parti uguali.
A7. Le due figure sono simmetriche perché si possono dividere in
parti uguali.
A8. Le due figure non sono simmetriche perché se le dividiamo a
metà non otteniamo due parti uguali.
A9. Le due figure non sono simmetriche perché non hanno una forma
esatta.
Domanda B: Quanti assi di simmetria può avere la seguente
figura? Dopo averli individuati, tracciali e spiega il perché.
B1. Individua e traccia correttamente i 4 assi di simmetria: verticale,
orizzontale e i 2 obliqui.
B2. Individua e traccia solo l’asse verticale.
B3. Individua e traccia solo l’asse verticale e quello orizzontale.
B4. Individua e traccia solo gli assi obliqui.
B5. Individua e traccia 5 segmenti verticali, uno dentro ogni quadrato
che compone la figura.
37
B6. Individua e traccia 3 assi: 1 verticale e 2 obliqui.
B7. Individua e traccia 3 assi: 1 orizzontale e 2 obliqui.
B8. Individua e traccia 4 assi dentro ciascun quadrato della figura.
B9. Non individua nessun asse di simmetria.
Domanda C: Quanti assi di simmetria si possono tracciare
nella figura seguente? Motiva la tua risposta.
C1. Traccia solo i 3 assi interni alla figura.
C2. Traccia 4 assi: 1 verticale e i 3 interni.
C3. Traccia 6 assi: 3 interni e 3 esterni alla figura.
C4. Traccia solo i 3 assi esterni alla figura.
C5. Traccia solo l’asse verticale.
C6. Non traccia nessun asse.
C7. Disegna 2 assi, perpendicolari tra loro, dentro ad ogni “petalo”
che compone la figura.
Domanda D: Quanti assi di simmetria ha questo
parallelogramma? Perché?
D1. Indica e taccia come assi di simmetria le 2 diagonali.
D2. Indica e traccia le diagonali ed un segmento verticale.
D3. Indica e taccia le due diagonali, un segmento verticale ed uno
orizzontale.
D4. Non traccia nessun asse di simmetria.
D5. Indica e traccia dentro la figura un segmento parallelo ai lati
minori.
38
D6. Indica e traccia come asse di simmetria un segmento verticale ed
uno orizzontale.
D7. Indica e traccia due altezze del parallelogramma.
D8. Indica come assi di simmetria i lati della figura.
5. Analisi dei dati sperimentali
Per l’analisi dei dati sperimentali si è fatto riferimento alla
statistica descrittiva che, utilizzando la tabulazione dei dati con il
programma Excel, ci consente di stabilire come gli alunni hanno
adottato le diverse strategie per rispondere al questionario. Mi sono,
inoltre, servita del programma Chic per costruire il grafico delle
similarità di Lerman, che permette di mettere in luce quali tra le
risposte e/o strategie utilizzate per rispondere al questionario si
somigliano maggiormente.
5.1 Analisi descrittiva
I dati emersi dalla somministrazione del questionario sono stati
tabulati, sulla base dell’analisi a-priori, in 4 tabelle a doppia entrata
“alunni/strategie” 3, una per ogni domanda del questionario, dove per
ogni alunno si indica con il valore 1 la strategia che esso ha utilizzato,
con il valore 0 le strategie che non ha utilizzato.
All’interno delle tabelle sono stati indicati i seguenti elementi:
3 Le tabelle con la tabulazione dei dati della prima sperimentazione si trovano nell’Appendice, Allegato 3.
39
- A , B, C, D, accanto a V, indicano la classe di appartenenza
(quinta A, quinta B, ecc.);
- Pa e Pi, indicano rispettivamente Palermo e Pietraperzia, ossia
la realtà socio-culturale di appartenenza delle classi coinvolte
nella sperimentazione;
- il numero che segue Pa e Pi indica il singolo bambino;
- A1, A2, A3… indicano le possibili strategie risolutive;
- il numero 1 indica la presenza della strategia, ossia quella di
cui l’alunno si è servito;
- il numero 0 indica l’assenza della strategia, ossia quella di cui
l’alunno non si è servito.
Le frequenze delle risposte ottenute per ogni domanda del
questionario sono state rappresentate attraverso dei grafici “a torta”,
che rendono più evidenti le caratteristiche distribuzionali delle
modalità di risposta del campione preso in esame.
In merito alla domanda A i dati relativi alle risposte degli allievi
sono i seguenti:
domanda A
33%
5%
4%23%
7%
12%5% 5% 5%
A1A2A3A4A5A6A7A8A9
40
Significativo è il fatto che ben il 33% del campione ha dato la
risposta A1, ritenendo che è l’uguaglianza a rendere simmetriche le
due figure relative alla domanda A. Interessante è inoltre anche il dato
23% relativo alla risposta A4 (le due figure coincidono se ne ruotiamo
una).Questi dati sono comunque confortanti, poiché individuano le
risposte corrette, pari al 56% del campione.
Dal grafico, infine, emerge che ben il 12% dei bambini associa la
simmetria di una figura alla possibilità di dividerla in parti uguali
(A6).
In merito alla domanda B, i dati relativi alle risposte degli allievi
sono:
domanda B
29%
6%12%12%
15%
8%
3%
6%7%
B1B2B3B4B5B6B7B8B9
Da quanto rilevato, emerge che solo il 29% del campione ha
risposto correttamente (B1). Curioso è però il risultato della risposta
B5 (individua 5 assi verticali) che ha registrato una frequenza del
15%. Tale risultato ci dimostra come spesso le conoscenze di bambini
siano legate e quasi “vincolate”ai concetti teorici appresi. La maggior
parte dei bambini, infatti, si è trovata in difficoltà di fronte ad una
figura simmetrica ma non “geometrica”.
41
In merito alla domanda C, i dati relativi alle risposte degli allievi
sono:
domanda C
49%
9%6%8%
6%
12%8%
C1C2C3C4C5C6C7
Si riscontra che quasi la metà dei bambini individua come assi di
simmetria quelli che attraversano tutta la figura (C1), mentre solo il
6% di essi individua correttamente tutti gli assi (C3). Interessante è
inoltre che per il 12% del campione la figura in esame non ha assi di
simmetria (C6), perché ancora una volta non la riconosce come figura
“geometrica”.
In merito alla domanda D, i dati relativi alle risposte degli allievi
sono:
domanda D
16%5%
38%9%
11%
2%
6% 11%D1D2D3D4D5D6D7D8
42
Particolarmente interessante è il dato di frequenza 38% relativo
alla risposta D3 (individua 4 assi). In questo caso, infatti, trattandosi di
una figura geometrica, i bambini hanno erroneamente individuato
quanti più assi possibili. Solo il 9% del campione ha risposto
correttamente, ritenendo che nella figura non è possibile tracciare assi
(D4).
5.2 Analisi delle similarità
L’analisi delle similarità è stata svolta mediante l’utilizzo del
programma Chic, che consente di costruire il grafico delle similarità di
Lerman, configurando in tal modo le variabili simili ed il loro grado di
similarità. Tale analisi è stata applicata alle strategie risolutive
utilizzate dal campione per rispondere alle domande del questionario.
Albero delle similarità delle strategie risolutive della domanda A
A1
A5
A6
A2
A3
A4
A7
A8
A9
Arbre de similarité : C:\chic\tesi_salemi\TESI simmetria\starteg_A_2.csv
43
Notiamo che si delineano sostanzialmente tre gruppi ed
emergono le seguenti informazioni:
- Il primo gruppo (A1, A5, A6) mostra una scarsa similarità tra
le strategie A5 e A6, che presentano poi similarità ancora
inferiore con A1;
- Il secondo gruppo (A2, A3, A4) presenta, invece, una un buon
grado di similarità tra A2 e A3, queste presentano una
similarità minore con A4;
- Il terzo gruppo (A7, A9) mostra un elevata similarità tra le due
strategie.
Albero delle similarità delle strategie risolutive della domanda B
Il grafico delinea quattro gruppi di similarità e ci fornisce le
seguenti informazioni:
- nel primo gruppo (B1, B2, B7) notiamo un’alta similarità tra
le strategie B2 e B7, che si correlano in modo trascurabile con
la strategia B1;
B1
B2
B7
B4
B5
B3
B6
B8
B9
Arbre de similarité : C:\chic\tesi_salemi\TESI simmetria\starteg_B_2.csv
44
- nel secondo gruppo (B4, B5) troviamo invece una scarsa
similarità tra le due strategie;
- nel terzo gruppo (B3, B6) la similarità fra le strategie è
discreta;
- nel quarto gruppo (B8, B9) si riscontra una buona similarità
delle strategie.
Albero delle similarità delle strategie risolutive della domanda C
Il grafico presenta tre gruppi così composti:
- il primo gruppo (C1, C2, C6) mostra una scarsa similarità tra
le strategie C2 e C6 ed una ancora inferiore tra queste due e la
C1;
- il secondo gruppo (C3, C5) delinea invece una similarità
molto alta tra le strategie in questione;
- il terzo gruppo (C4, C7) mostra infine una buona similarità.
C1
C2
C6
C3
C5
C4
C7
Arbre de similarité : C:\chic\tesi_salemi\TESI simmetria\starteg_C_2.csv
45
Albero delle similarità delle strategie risolutive della domanda D
Infine, l’ultimo grafico delinea sostanzialmente tre gruppi:
- il primo gruppo (D1, D2, D6) presenta un’elevata similarità
tra le strategie D2 e D6, che si correlano poi con la strategia
D1;
- il secondo gruppo (D4, D7) mostra invece una buona
similarità;
- il terzo gruppo (D5, D8) riscontra una scarsa similarità tra le
due strategie;
- la strategia D3, infine, si correla solo in modo trascurabile al
primo gruppo.
D1
D2
D6
D3
D4
D7
D5
D8
Arbre de similarité : C:\chic\tesi_salemi\TESI simmetria\strateg_D_2.csv
46
6. Analisi qualitativa
L’analisi qualitativa fa riferimento alla “qualità” delle risposte
date dagli alunni agli item del questionario, con particolare riferimento
alle motivazioni delle risposte ed alle rappresentazioni grafiche che
nella maggior parte dei protocolli integrano le risposte. Tale analisi
comprende, cioè, tutte le considerazioni personali che sono emerse
durante la lettura e la tabulazione delle risposte degli allievi.
Alcune risposte e produzioni dei bambini testimoniano una
buona concettualizzazione della simmetria; altre, invece, documentano
difficoltà di vario genere, che erano state previste e volutamente
provocate dalla scelta di costruire le figure in un determinato modo.
Verranno presentati di seguito, per ciascun item, le risposte e i
protocolli più significativi e rappresentativi del campione di indagine,
con le relative considerazioni.
A) Le due figure sono simmetriche? Perché?
Per quanto riguarda questa prima domanda, da molte risposte dei
bambini ho potuto constatare come l’idea simmetria è spesso
influenzata, e quasi vincolata, dai concetti teorici appresi.
In particolar modo ho notato come il concetto di simmetria sia
particolarmente legato a quello di asse di simmetria , come se parlare
del primo comportasse un necessario riferimento al secondo concetto:
47
(VA.Pa.18) “le due figure non sono simmetriche perché l’asse di simmetria non corrisponde con l’altra figura”.
(VC.Pi.66) “le due figure non sono simmetriche perché non c’è nessuna linea che li divide”.
(VD.Pi.93) “ …perché l’asse di simmetria è dritta, mentre queste figure sono state divise con una linea storta”.
Questo tipo di ragionamento, che ho riscontrato nella maggior
parte dei bambini, è probabilmente dovuto al fatto che spesso a scuola,
quando si studia la simmetria, si fa riferimento esclusivamente a
quella assiale.
Interessante è, inoltre, l’intuizione quasi inconsapevole di alcuni
bambini, i quali riconoscono che non si tratta di una simmetria assiale
ma di una simmetria di rotazione. Infatti, anche se la parola
“rotazione” non è presente nelle risposte formulate dai bambini, la si
evince dai loro ragionamenti:
(VB.Pa.37) “le due dimenenzioni sono simmetriche perche hanno i lati uguali, però la prima è giusto e il seconto e sottosopra”.
(VC.Pi.75) “le due figure messe al contrario risultano uguali…”.
(VC.Pi.60) “…si, perché se li mettiamo insieme e li attacchiamo coincidono”.
(VD.Pi.87) “ruotando una delle due figure diventano simmetriche”.
48
Significativo è anche l’emergere, nella maggior parte dei
protocolli, di affermazioni che evidenziano un legame tra simmetria e
forma della figura. Opinione comune dei bambini sembra essere l’idea
che due figure, per essere simmetriche, devono essere perfettamente
uguali. Idea che viene spesso indicata quasi come condizione
indispensabile. Il punto, però, è stabilire cosa si intende per “uguali”:
(VB.Pa.43) “… sono uguali perché hanno tutte e due una linea curva e sei linee rette”.
Considerazioni interessanti sono, poi, quelle che “contestano” il
fatto che non si tratti di una figura con una forma “esatta”, ossia di una
figura geometrica:
(VC.Pi.74) “…perché non ha una forma esatta e secondo me non si può dividere facilmente”.
(VA.Pa.16) “… non è una figura perché non si può dividere in parti uguali… se la dividiamo a metà non sono uguali”.
Opinione comune dei bambini, infatti, è che la geometria riguardi
esclusivamente le figure geometriche regolari, quali quadrati,
rettangoli, triangoli, ecc., che rispondono a certi criteri
Alla base di tale opinione vi è secondo me l’abitudine dei
bambini a lavorare con queste figure e la poca esperienza dei fatti
geometrici su figure e forme della realtà che li circonda. Per tale
motivo essi si convincono che certe “regole” geometriche, o i concetti
teorici appresi, valgono solo ed esclusivamente per le figure
“propriamente” geometriche.
49
B) Quanti assi di simmetria può avere la seguente figura? Dopo
averli individuati, tracciali e spiega il perché.
Dalle risposte dei bambini a questo item, ho constatato come
spesso la più comune accezione di asse di simmetria di una figura sia
quella di una retta verticale, rispetto alla quale la figura viene divisa in
due parti. Tale accezione, però, se applicata indifferentemente a tutte
le figure e a tutti i casi di simmetria, ci porta a commettere degli
errori, come è successo ad una buona parte del nostro campione. I
protocolli riportati di seguito ci mostrano come tale concetto venga
espresso graficamente dai bambini, per i quali, dunque, è asse di
simmetria quel segmento che divide verticalmente a metà una figura.
Di
Protocollo 26
50
Protocollo 13
particolare interesse è il protocollo 13, nel quale tale segmento
verticale viene rappresentato più volte nella figura, precisamente 5
volte, tante quanti sono i quadrati che la compongono.
Questo tipo di
rappresentazione ci
permette di leggere
una difficoltà
incontrata dai
bambini: quella di
considerare la figura
nel suo aspetto globale, anziché vederla come insieme di più parti (in
questo caso come insieme di più quadrati). La figura presente nella
domanda, infatti, può mettere in difficoltà il bambino che, dovendo
“operare” con essa, non sa se considerare solo i quadrati esterni della
figura, solo quello interno oppure considerarli tutti (separatamente o
non).
Un altro
protocollo ci mostra
nuovamente questa
difficoltà: questa
volta il bambino,
pur avendo individuato tutti gli assi di simmetria della figura, e non
solo quello verticale come è avvenuto nei primi due esempi, ha
considerato la figura non nella sua globalità. In tutti i cinque quadrati
che compongono la figura sono stati tracciati gli assi e nella risposta
scritta viene dichiarato che la figura ha ben 20 assi di simmetria.
Protocollo 4
51
Protocollo 15
C) Quanti assi di simmetria si possono tracciare nella figura?
Motiva la tua risposta.
Alcune delle difficoltà esaminate per i primi due item si sono
verificate anche per la soluzione del terzo.
Si è riproposta, per esempio, la difficoltà di svincolarsi dall’idea
che i fatti geometrici possono essere osservati solo su figure
geometriche:
(VC.Pi.63) “Non si possono tracciare assi di simmetria perché non è una figura”.
(VD.Pi.80) “Questa figura è una forma di fiore e non ha assi simmetrici”.
(VC.Pi.64) “…forse gli assi sono i petali del fiore perché ogni vertice è collegato ad un altro vertice”.
Ho potuto constatare
che la maggior parte dei
bambini (ben 48 su un
totale di 97), ha risposto a
questa domanda con la
strategia C1, ossia ha
52
individuato come assi di simmetria della figura solo quelli “interni”,
quelli cioè che la dividono attraversandola (vedi protocollo qui a
fianco).
Questo dato, che non avevo assolutamente previsto, mi ha colpito
e mi ha fatto riflettere fino a giungere alla considerazione che l’aver
risposto in questo modo può voler significare che forse i bambini
hanno la concezione che l’asse di simmetria deve dividere la figura
attraversandola. Infatti, i potenziali assi di simmetria “esterni”, che
non sono stati individuati dalla maggior parte dei bambini, dividono la
figura attraversando solo il cento di quest’ultima.
Particolarmente interessante mi è sembrata inoltre la soluzione
riscontrata in alcuni protocolli, nei quali gli assi di simmetria sono
stati tracciati perpendicolari fra loro. Per maggiore chiarezza rispetto a
quanto detto occorre fare riferimento al protocollo 83.
Notiamo che per
assi di simmetria della
figura qui si intendono i
segmenti perpendicolari
disegnati dentro a
quelle parti che qualche
bambino ha chiamato
“petali del fiore”.
Anche in questo caso, dunque, notiamo come l’aver generalizzato
definizioni e concetti teorici, validi per determinati contesti,
precedentemente appresi, ha portano gli allievi a sviluppare
concezioni errate.
Protocollo 83
53
D) Quanti assi di simmetria ha questo parallelogramma? Perché?
Quest’ultimo item, che a prima vista potrebbe sembrare il più
semplice, è stato quello in cui il numero di risposte corrette (solo 9) si
è rivelato il più basso fra tutti gli item del questionario.
Molti errori sono stati commessi poiché nel rispondere si è fatto
riferimento alle domande precedenti (in particolare alla seconda). Gli
allievi hanno, infatti, risposto quasi intuitivamente, senza riflettere
sulle caratteristiche della figura.
L’errore più comune è stato quello di ritenere che il
parallelogramma ha
quattro assi di
simmetria, gli stessi che
erano stati individuati
nella seconda domanda
per il quadrato.
Questa risposta viene per lo più motivata con le seguenti
affermazioni: “può essere diviso in parti uguali”, o ancora, “…perché
4 sono i lati della figura” (vedi protocollo 7).
Torna nuovamente la comune accezione di asse di simmetria
come retta verticale: buona parte del campione traccia infatti
esclusivamente un segmento verticale (protocollo 26).
In relazione a ciò, si potrebbe ipotizzare che tali difficoltà siano
legate alla concezione che gli alunni hanno in merito all’asse di
Protocollo 7
54
Protocollo 26
simmetria come di un
segmento verticale. La
figura, infatti, avrebbe
potuto suggerire di
tracciare un segmento
parallelo ai due lati
obliqui del
parallelogramma (che sarebbe stato comunque sbagliato).
L’errore commesso dai bambini in questo item, dunque, mostra
anche la loro poca attenzione per le caratteristiche della figura.
Sembra quasi che la risposta sia frutto di una veloce deduzione
piuttosto che di un’attenta riflessione.
Dai risultati complessivi della sperimentazione ho constatato
come classi diverse hanno dato risultati diversi: bambini appartenenti
alla stessa classe hanno spesso utilizzato le stesse strategie risolutive
dei compagni, giungendo alla medesima risposta. Sembrerebbe che i
processi che li portano alla soluzione siano gli stessi.
55
Capitolo 3
Seconda fase sperimentale
1. Presentazione del lavoro sperimentale
La seconda fase sperimentale è nata con l’intento di verificare se
il principio di simmetria guida le nostre percezioni, ma soprattutto se e
in che modo tale principio, o predisposizione innata (come qualcuno
l’ha definita) ci consente di ricostruire immagini e oggetti incompleti
o danneggiati.
Molti studi sulla percezione, come si è già affermato nel primo
capitolo di questo lavoro, dimostrano che l’uomo reagisce
positivamente alla sensazione/percezione di simmetria, che coglie nei
numerosissimi stimoli dell’ambiente, poiché essa risponde ai criteri di
semplicità, ordine, regolarità e armonia che permettono una più
semplice ed immediata percezione di oggetti e figure.
È inoltre dimostrato che il principio di simmetria, proprio perché
sinonimo di ordine e semplicità, è da sempre utilizzato dall’uomo,
anche se inconsapevolmente, nella selezione e nella scelta degli
elementi della sua percezione tra i milioni di stimoli ambientali.
Questa ricerca sperimentale, pertanto, è stata pensata con
l’intento di verificare in piccolo, ossia nel contesto scolastico, se il
concetto di simmetria viene utilizzato per fare previsioni sulla
ricostruzione di immagini incomplete.
56
A tale scopo, la sperimentazione è consistita nella
somministrazione a tre coppie di bambini di una scheda-lavoro che
presentava una situazione problema; quest’ultima richiedeva la
ricostruzione di una figura incompleta, raffigurante un antico mosaico.
Un primo momento della ricerca sperimentale è consistito nella
costruzione dello strumento: una scheda di lavoro che presentava una
situazione-problema relativa ad una figura da completare.
Successivamente ho svolto la somministrazione delle schede a tre
coppie di bambini di quinta elementare. Di fondamentale importanza
in questa fase è stato l’utilizzo del registratore che mi ha permesso di
registrare le argomentazioni fatte dai bambini durante la prova.
Infine, ho svolto l’analisi qualitativa dei risultati che ha tenuto
conto: della ricostruzione grafica effettuata dai bambini, della risposta
scritta sulla scheda e delle argomentazioni registrate.
2. Ipotesi di ricerca
Se gli allievi possiedono gli strumenti conoscitivi della
simmetria possono fare previsioni sulla ricostruzione degli oggetti.
3. La sperimentazione
In questa seconda fase sperimentale, svoltasi nel mese di
novembre del 2003, ho utilizzato come strumenti di indagine la scheda
strutturata ed il registratore.
57
Il primo momento della ricerca è stato quello relativo alla
costruzione della scheda strutturata, che è stata organizzata nel
seguente modo:
- il testo di un problema, che richiedeva la ricostruzione di un
antico pavimento in mosaico, ritrovato solo in parte da un
archeologo;
- il disegno del mosaico, riportato su un foglio a quadretti, che i
bambini dovevano completare disegnando le parti mancanti;
- una domanda relativa alle strategie utilizzate per risolvere il
problema, alla quale i bambini dovevano rispondere per iscritto.
Per quanto riguarda il disegno del mosaico, esso è stato riportato
sul foglio a quadretti per consentire ai bambini di ricostruirla con più
facilità. In questo modo, infatti, tenendo conto del numero dei
quadretti, che quantificano le dimensioni dei vari elementi presenti
nella figura rettangolare, e delle distanze (quantificate sempre in
quadretti) tra gli elementi stessi, i bambini potevano prevedere gli
elementi da inserire e tentare, così, di completare la figura.
Di seguito riporto la figura che i bambini dovevano ricostruire.
58
Di fondamentale importanza è stato l’utilizzo del registratore, che
mi ha permesso di “documentare” per intero la sperimentazione,
fissando le argomentazioni ed i ragionamenti che portavano i bambini
alla soluzione e quelli che, invece, li deviavano da questa.
Per quanto riguarda i tempi della somministrazione, inizialmente
mi ero proposta di fissare un tempo limite di 15-20 minuti per la
soluzione del problema da parte dei bambini; durante la
somministrazione, però, mi sono accorta che essi non riuscivano a
completare il lavoro e, dal momento che la finalità non era quella di
verificare se i bambini riuscivano o meno a risolvere il problema, ma
quella di capire quali processi e ragionamenti li guidavano in tale
lavoro, ho deciso di non fissare un limite di tempo ma di lasciare
lavorare i bambini liberamente.
3.1 Il campione
La seconda sperimentazione non ha interessato classi intere, ma
solo tre coppie di bambini di quinta elementare, appartenenti a tre
diverse classi del Circolo Didattico “Emilio Salgari” di Palermo.
Le coppie sono state formate non a caso, ma scegliendo due
bambini con capacità diverse. Per quanto riguarda le capacità, si è
fatto riferimento in particolar modo alla predisposizione per la
matematica e/o la geometria e a quella per il disegno.
59
3.2 Il metodo
La metodologia utilizzata in questa seconda fase sperimentale
non ha seguito lo stessa schema della prima fase, questo perché la
prova era sostanzialmente diversa dalla prima, così pure le finalità.
A differenza della prima sperimentazione, questa, coinvolgendo
soltanto una coppia di bambini per volta, non è stata svolta in classe
ma in un’altra aula della scuola, che al momento risultava disponibile.
I bambini, inoltre, non hanno lavorato individualmente, ma in
coppia, per tale motivo è stata distribuita loro una sola scheda
strutturata con la seguente consegna:
«Risolvete il problema insieme, disegnando le parti mancanti e
mettendo per iscritto la risposta solo dopo esservi messi d’accordo».
Il lavoro individuale, contrariamente a quello di coppia, non fa
emergere le riflessioni ed i ragionamenti fatti dal bambino per
giungere alla soluzione del problema. Un compito da svolgere insieme
ad un compagno, invece, con unico foglio su cui lavorare ed un’ unica
risposta da dare, spinge i bambini a comunicarsi a vicenda le
riflessioni e a ragionare ad alta voce per concordare insieme la
risposta.
Inoltre, con la consegna di mettere per iscritto la risposta solo
dopo essersi messi d’accordo, i bambini sono spinti maggiormente ad
esprimere e sostenere la propria tesi risolutiva e a convincere il
compagno con più argomentazioni, nel caso in cui questo non la
pensasse allo stesso modo.
60
4. Analisi qualitativa
L’analisi qualitativa dei dati è stata svolta tenendo conto:
- delle produzioni grafiche dei bambini;
- delle risposte scritte sulla scheda;
- delle registrazioni effettuate.
Per quanto riguarda le produzioni grafiche, tutte le coppie, pur
utilizzando tempi e modalità diverse, sono riuscite a risolvere il
problema e dunque a ricostruire l’intero mosaico, completando la
figura riportata sulla scheda strutturata.
Riporto di seguito il protocollo 1, che mostra la ricostruzione
grafica ad opera della coppia 1.
Protocollo 1
È utile, a questo punto, vedere in che modo le tre coppie hanno
risposto alla domanda presente sulla scheda, dopo aver ricostruito la
figura. La domanda è la seguente:
61
«Siete riusciti a ricostruire l’antico mosaico? Spiegate quali
strategie avete utilizzato per la soluzione del problema e, se non ci
siete riusciti, spiegate il perché.»
Così risponde la coppia 1:
“Abbiamo ricostruito l’antico mosaico, aiutandoci con le forme che erano presenti nel foglio, seguendo l’ordine.”
La risposta fa chiaramente capire che i bambini della coppia 1
hanno intuito una certa regolarità della figura, un certo “ordine” al suo
interno, determinato dalla posizione di quelle che loro chiamano
“forme”, ossia degli elementi grafici che erano presenti sul foglio.
Coppia 2:
“Siamo riusciti a ricostruire l’antico mosaico. La strategia che abbiamo utilizzato è quella di ridisegnare
le figure che erano già sul foglio.”
I bambini hanno dunque pensato che l’intera figura era il
risultato dell’assemblaggio di elementi che si ripetono più volte. Essi
infatti sostengono di aver ridisegnato le figure che erano già sul foglio
e non di averne create di nuove.
Infine, la risposta della coppia 3 ci fornisce un altro nuovo
elemento:
“E’ stato l’alternarsi delle figure che ci ha permesso di ricostruire il mosaico.”
62
Si fa infatti riferimento all’alternarsi delle figure, al modo cioè
in cui esse si ripetono nel foglio. Ma la parola alternanza ci fa pensare
non ad una ripetizione casuale, bensì ad una regolarità, ad un ritmo
ben preciso.
Regolarità, ritmo, ordine, alternanza sono concetti emersi dalle
risposte dei bambini, ma sono anche caratteristiche e sinonimi del
concetto di simmetria, che è appunto argomento della ricerca.
Qualche informazione in più la troviamo certamente nelle
registrazioni effettuate durante la sperimentazione. Queste, infatti,
evidenziano che la fase iniziale della risoluzione del problema è stata
caratterizzata, in tutte e tre le coppie, da una sorta di blocco iniziale
dei bambini, i quali di fronte alla figura da ricostruire non sapevano da
dove iniziare:
(Coppia 1)
V: “…quindi: si tratta di un pavimento … ma da dove dobbiamo
partire?”
O: “Allora… iniziamo da qualcosa di semplice …”
V: “Secondo me non si può fare! …ma siamo sicuri che questa cosa si
può fare?”
O: “Mi sembra un po’ difficiletto questo pavimento!”
Dopo questo primo momento di confusione i bambini,
osservando la figura, hanno provato a fare delle considerazioni in
merito alle sue caratteristiche:
63
(Coppia 3)
“Allora …vediamo un po’… questa figura ha più angoli…
…cioè ha più linee”.
(Coppia 2)
“In pratica noi dobbiamo collegare tutte cose, tutte le cose che ci sono…
… alla fine deve venire tutto pieno!”
Si tratta di considerazioni e ragionamenti relativi alle operazioni
da fare e agli elementi da utilizzare per giungere alla soluzione del
problema. I bambini, in questo modo, sembrano quasi rielaborare il
problema con parole loro, per chiarire a se stessi e al compagno come
procedere.
Il procedimento utilizzato da qualcuno è stato quello di cercare
di riempire gli spazi vuoti con degli elementi già presenti nella figura:
“Guarda questo spazio … vediamo cosa ci può andare!”
“Sto cercando un pezzo da incastrare qua…”
Curioso è stato inoltre il fatto che alcuni elementi della figura
incompleta (vedi figure 20 e 21), dal momento che per le loro
caratteristiche richiamano forme familiari ai bambini, quali la casa e la
barca, sono stati individuati e denominati dai bambini proprio con tali
nomi:
64
“Questa sembra una barchetta!… e qua ce n’è un’altra…
… però è girata”.
“Dobbiamo cercare di formare altre casette come questa… …dobbiamo cominciare cercando i tetti!”
Fig.20 Fig.21
Le parti evidenziate in giallo indicano proprio i due elementi
indicati dai bambini con il nome di “barchetta” e “casetta”.
Man mano, però, i ragionamenti si sono fatti più interessanti ed
articolati: i bambini, infatti, hanno notato certe caratteristiche degli
elementi e della loro posizione all’interno della figura:
“Ci sono forme che si ripetono …guarda queste due: sono più o meno uguali!”
“Guarda questo triangolino! …dov’è che l’abbiamo già visto?”
“Se questo pezzo lo mettiamo qua, in questa maniera… … tipo facendo così: ce lo disegniamo vicino,
ma girato da questa parte …sembrano uguali vero?
65
Emerge, quindi, che gli allievi riconoscendo uguaglianze tra gli
elementi appartenenti alla figura, hanno cominciato a ricostruirla
procedendo “per tentativi ed errori”, compiendo cioè una sorta di
“apprendimento per scoperta” che li ha portati ad avanzare ipotesi
risolutive e a verificare da sé l’esattezza di queste:
“Può essere che questo pezzo continuava così: con un trapezio?”
“…ma qui ci manca un’altra parte! …hai ragione: forse è sbagliato. Abbiamo bisogno di altri pezzi”
Particolarmente interessante è, inoltre, la scoperta da parte dei
bambini di una certa struttura ritmica all’interno della figura, che
prevede una combinazione regolare degli elementi. Alcune
argomentazioni che ci fanno pensare a questa deduzione dei bambini
sono le seguenti:
“Allora: c’è un trapezio e uno spazio, poi un trapezio e un rombo, poi di nuovo un trapezio e poi un quadrato…
Ho capito! …nello spazio c’è pure la stessa cosa: il quadrato!”
Questo ragionamento fa riferimento alla sequenza ritmica delle
forme geometriche evidenziate in giallo nella figura 22.
Fig.22
66
Un’altra argomentazione che fa riferimento alla sequenza
ritmica delle forme è la seguente:
“Guarda cosa ho scoperto: accanto al trapezio ci va sempre il rombo piccolo, poi di nuovo il trapezio e poi il rombo piccolo…
…gira e rigira è sempre la stessa cosa!!”
Nella figura 23 viene riportata la sequenza ritmica individuata:
le parti evidenziate in giallo sono proprio quelle prese in
considerazione dal bambino.
Fig.23
Infine, significativo al fine della ricerca è il dato che ci fornisce
questa affermazione:
“…sembrano dei palloni che si ripetono più volte…”
Per capire l’affermazione
facciamo riferimento alla figura
24, che ci mostra l’insieme di
elementi percepiti dal bambino
come forma circolare, simile a
quella di un pallone.
Figura 24
67
Ciò che di interessante emerge da questa riflessione è l’aver
individuato una specie di “modulo” all’interno della figura, un modulo
che ripetendosi più volte (per traslazione) dovrebbe originare la figura
stessa. Si tratta di un’intuizione spontanea del bambino che però trova
senso nel discorso sulla simmetria.
Dalle argomentazioni emerge, infatti, che i bambini, pur non
facendo esplicito riferimento al concetto di simmetria, sono comunque
risaliti alle caratteristiche e alle peculiarità strutturali di questa.
68
Conclusioni
L’aspetto più importante della ricerca, al di là delle
informazioni ricavate dalla sperimentazione, è senz’altro quello di
aver avuto l’opportunità di lavorare con l’atteggiamento critico che è
proprio della ricerca e che permette di avvicinarsi al sapere,
problematizzando la realtà al fine di comprenderla.
Con questa esperienza di ricerca ho potuto riflettere sulla
metodologia dell’insegnamento, maturando la convinzione che un
insegnante può assumere la consapevolezza dell’educazione e della
formazione dei suoi allievi solo se si pone all’interno della realtà
scolastica con l’atteggiamento del ricercatore. In tal modo, infatti, egli
ha la possibilità di conoscere meglio le conoscenze e abilità possedute
dai suoi allievi, ma soprattutto ha la possibilità di approcciarsi ai
problemi dell’apprendimento con un’ottica diversa, che gli permette di
trovare soluzioni pedagogiche e didattiche alle problematiche
emergenti.
Questa ricerca sperimentale in ambito matematico, e più
specificatamente geometrico, mi ha permesso inoltre di prendere
consapevolezza di una verità che spesso gli insegnanti perdono di
vista: i concetti non si insegnano, tutto quello che si può fare è creare
e presentare le situazioni e le esperienze che aiuteranno gli allievi a
formarli.
Dai risultati della prima sperimentazione emerge, infatti, che
molti errori, commessi dai bambini nell’individuazione degli assi di
simmetria nelle figure date, dipendono unicamente dal continuo
69
ricorso ai concetti ed alle definizioni teoriche apprese, ed in
particolare all’assolutizzazione di tali concetti per tutte le situazioni.
Occorre perciò, a mio avviso, fornire al bambino una maggiore
varietà di esperienze visive, altri modelli complementari, che
mitighino l’attivazione automatica dei precedenti in ogni situazione.
In particolare, questa esperienza mi ha fatto guardare la
matematica e la geometria come uno spazio da esplorare, uno spazio
che però deve comprendere, oltre alla realtà “esterna”, fisica, anche
quel sistema di organizzazione dell’esperienza che è lo spazio
rappresentativo. In esso vi sono le immagini mentali prive di “materia
sensibile”, ma dotate di materia intellegibile: si tratta di quelle
immagini che si formano osservando lo spazio esterno, gli oggetti
concreti, e che ci permettono poi di “operare” una closure semiotica in
termini di previsione e anticipazione. L’operazione di closure, oltre ad
intervenire nella percezione consentendoci di ricostruire mentalmente
figure ed oggetti incompleti, come ha dimostrato la seconda fase
sperimentale di questa ricerca, caratterizza tutte le esperienze
conoscitive dell’uomo. Essa, infatti, gli consente di fare delle
anticipazioni a lungo termine che sono indispensabili ai fini del suo
adattamento all’ambiente.
A conclusione della mia ricerca, ritengo indispensabile mettere
in luce una questione aperta che può fungere da punto di partenza per
successive indagini sperimentali e che può fornire in tal senso ulteriori
contributi alla ricerca in campo didattico: in che modo la closure è
legata ai meccanismi di apprendimento e di transfert?
70
Appendice
71
Allegato n. 1
Questionario utilizzato per la prima sperimentazione
A) Le due figure sono simmetriche? Perché?
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
B) Quanti assi di simmetria può avere la seguente figura? Dopo
averli individuati, tracciali e spiega il perché.
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
72
C) Quanti assi di simmetria si possono tracciare nella figura
seguente? Motiva la tua risposta.
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
D) Quanti assi di simmetria ha questo parallelogramma? Perché?
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
73
Allegato n. 2
Scheda utilizzata per la seconda sperimentazione
PROBLEMA
Un archeologo, durante alcuni scavi, ha rinvenuto frammenti di un
antico pavimento in mosaico bizantino e li ha riprodotti su un foglio a
quadretti. Vorrebbe ricostruire l’intero mosaico. Potete dargli una
mano?
Provate, insieme, a completare il mosaico disegnando le parti
mancanti.
Siete riusciti a ricostruire l’antico mosaico? Spiegate quali strategie
avete utilizzato per la soluzione del problema e, se non ci siete
riusciti, spiegate il perché.
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
________________________________________________________
74
Allegato n. 3
Dati statistici della prima sperimentazione
STRATEGIE BAMBINI A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9
VA.Pa.1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 VA.Pa.4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 VA.Pa.8 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.9 0 0 0 0 0 1 0 0 0
VA.Pa.10 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.11 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VA.Pa.12 0 0 0 0 0 0 1 0 0 VA.Pa.13 0 0 0 0 0 0 1 0 0 VA.Pa.14 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VA.Pa.15 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.16 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.17 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.18 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.19 0 0 0 0 0 0 0 0 1 VA.Pa.20 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.21 0 0 0 0 0 0 1 0 0 VA.Pa.22 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VA.Pa.23 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.24 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.25 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.26 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.27 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.28 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.29 0 0 0 0 0 0 0 1 0 VB.Pa.30 0 0 0 0 0 1 0 0 0
75
VB.Pa.31 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VB.Pa.32 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.33 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.34 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.35 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.36 0 0 0 0 0 0 0 1 0 VB.Pa.37 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.38 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.39 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.40 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.41 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.42 0 0 0 0 0 0 0 1 0 VB.Pa.43 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.44 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.45 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.46 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VB.Pa.47 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VB.Pa.48 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.49 0 0 0 0 0 0 0 1 0 VB.Pa.50 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.51 0 0 0 0 0 0 0 0 1 VB.Pa.52 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.53 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.54 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.55 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.56 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.57 0 0 0 0 0 0 0 0 1 VC.Pi.58 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.59 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.60 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.61 0 1 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.62 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.63 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.64 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.65 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.66 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VC.Pi.67 1 0 0 0 0 0 0 0 0
76
VC.Pi.68 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.69 0 1 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.70 0 1 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.71 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.72 0 1 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.73 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.74 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VC.Pi.75 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.76 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.77 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.78 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.79 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.80 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.81 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.82 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.83 0 0 0 0 0 0 1 0 0 VD.Pi.84 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.85 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VD.Pi.86 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.87 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VD.Pi.88 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.89 0 0 0 0 0 0 0 1 0 VD.Pi.90 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.91 0 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.92 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.93 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VD.Pi.94 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VD.Pi.95 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.96 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VD.Pi.97 1 0 0 0 0 0 0 0 0
STRATEGIE BAMBINI B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 B9
VA.Pa.1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.2 0 0 0 1 0 0 0 0 0
77
VA.Pa.3 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.4 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.7 0 0 0 0 0 0 1 0 0 VA.Pa.8 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.9 0 0 0 0 0 1 0 0 0
VA.Pa.10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.11 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.12 0 0 0 0 0 0 0 0 1 VA.Pa.13 0 0 0 0 0 0 1 0 0 VA.Pa.14 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.15 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.16 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.17 0 0 0 0 0 0 1 0 0 VA.Pa.18 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.19 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.20 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.21 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.22 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.23 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.24 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.25 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.26 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VB.Pa.27 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.28 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.29 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.30 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.31 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VB.Pa.32 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.33 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.34 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.35 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.36 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.37 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.38 0 1 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.39 0 1 0 0 0 0 0 0 0
78
VB.Pa.40 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.41 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.42 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.43 0 1 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.44 0 1 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.45 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VB.Pa.46 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.47 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VB.Pa.48 0 1 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.49 0 0 0 0 0 1 0 0 0 VB.Pa.50 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VB.Pa.51 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.52 0 1 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.53 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.54 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VB.Pa.55 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.56 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.57 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.58 0 0 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.59 0 0 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.60 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.61 0 0 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.62 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.63 0 0 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.64 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.65 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.66 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.67 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VC.Pi.68 0 0 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.69 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.70 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.71 0 0 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.72 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.73 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.74 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.75 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.76 0 0 0 0 0 0 0 0 1
79
VC.Pi.77 0 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.78 0 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.79 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.80 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.81 0 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.82 0 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.83 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.84 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.85 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.86 0 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.87 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VD.Pi.88 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VD.Pi.89 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.90 0 0 0 0 1 0 0 0 0 VD.Pi.91 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.92 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.93 0 0 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.94 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VD.Pi.95 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.96 1 0 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.97 0 0 0 1 0 0 0 0 0
STRATEGIE BAMBINI C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7
VA.Pa.1 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.2 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.3 0 0 0 0 1 0 0 VA.Pa.4 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.5 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.6 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.7 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.8 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.9 1 0 0 0 0 0 0
VA.Pa.10 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.11 1 0 0 0 0 0 0
80
VA.Pa.12 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.13 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.14 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.15 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.16 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.17 0 0 0 0 0 0 1 VA.Pa.18 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.19 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.20 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.21 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.22 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.23 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.24 0 1 0 0 0 0 0 VA.Pa.25 1 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.26 1 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.27 1 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.28 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.29 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.30 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.31 1 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.32 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.33 0 0 1 0 0 0 0 VB.Pa.34 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.35 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.36 1 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.37 0 0 0 0 0 0 1 VB.Pa.38 1 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.39 1 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.40 0 0 0 1 0 0 0 VB.Pa.41 0 0 0 1 0 0 0 VB.Pa.42 0 0 1 0 0 0 0 VB.Pa.43 1 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.44 0 0 0 0 1 0 0 VB.Pa.45 0 0 0 0 1 0 0 VB.Pa.46 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.47 0 0 1 0 0 0 0 VB.Pa.48 0 0 0 0 1 0 0
81
VB.Pa.49 0 0 0 1 0 0 0 VB.Pa.50 1 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.51 1 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.52 0 0 0 1 0 0 0 VB.Pa.53 0 0 0 1 0 0 0 VB.Pa.54 1 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.55 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.56 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.57 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.58 0 0 0 0 0 0 1 VC.Pi.59 0 0 0 0 0 0 1 VC.Pi.60 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.61 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.62 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.63 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.64 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.65 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.66 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.67 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.68 0 0 0 0 0 0 1 VC.Pi.69 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.70 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.71 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.72 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.73 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.74 0 0 0 0 1 0 0 VC.Pi.75 0 0 0 0 0 0 1 VC.Pi.76 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.77 0 0 0 0 0 1 0 VD.Pi.78 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.79 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.80 0 0 0 0 1 0 0 VD.Pi.81 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.82 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.83 0 0 0 1 0 0 0 VD.Pi.84 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.85 1 0 0 0 0 0 0
82
VD.Pi.86 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.87 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.88 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.89 0 0 0 0 0 1 0 VD.Pi.90 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.91 0 0 0 0 0 1 0 VD.Pi.92 0 0 0 1 0 0 0 VD.Pi.93 0 0 0 0 0 1 0 VD.Pi.94 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.95 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.96 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.97 1 0 0 0 0 0 0
STRATEGIE BAMBINI D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8
VA.Pa.1 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.2 0 0 0 0 0 0 0 1 VA.Pa.3 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.4 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.5 0 0 0 1 0 0 0 0 VA.Pa.6 0 0 1 0 0 0 0 0 VA.Pa.7 0 0 1 0 0 0 0 0 VA.Pa.8 0 0 1 0 0 0 0 0 VA.Pa.9 0 0 0 0 0 0 1 0
VA.Pa.10 0 0 1 0 0 0 0 0 VA.Pa.11 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.12 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.13 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.14 0 0 1 0 0 0 0 0 VA.Pa.15 0 0 0 0 0 0 1 0 VA.Pa.16 0 0 0 0 0 0 1 0 VA.Pa.17 0 0 0 0 0 1 0 0 VA.Pa.18 0 0 0 1 0 0 0 0
83
VA.Pa.19 0 0 1 0 0 0 0 0 VA.Pa.20 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.21 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.22 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.23 1 0 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.24 1 0 0 0 0 0 0 0 VA.Pa.25 0 0 0 0 1 0 0 0 VA.Pa.26 0 0 0 0 1 0 0 0 VB.Pa.27 1 0 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.28 0 1 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.29 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.30 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.31 0 1 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.32 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.33 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.34 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.35 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.36 0 1 0 0 0 0 0 0 VB.Pa.37 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.38 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.39 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.40 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.41 0 0 0 1 0 0 0 0 VB.Pa.42 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.43 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.44 0 0 0 1 0 0 0 0 VB.Pa.45 0 0 0 1 0 0 0 0 VB.Pa.46 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.47 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.48 0 0 0 0 0 0 1 0 VB.Pa.49 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.50 0 0 0 0 0 0 1 0 VB.Pa.51 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.52 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.53 0 0 1 0 0 0 0 0 VB.Pa.54 0 0 0 1 0 0 0 0 VB.Pa.55 0 0 1 0 0 0 0 0
84
VC.Pi.56 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.57 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.58 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.59 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.60 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.61 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.62 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.63 1 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.64 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.65 0 0 0 0 0 0 1 0 VC.Pi.66 0 0 0 1 0 0 0 0 VC.Pi.67 1 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.68 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.69 1 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.70 1 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.71 0 0 0 0 0 1 0 0 VC.Pi.72 1 0 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.73 0 1 0 0 0 0 0 0 VC.Pi.74 0 0 0 0 0 0 0 1 VC.Pi.75 0 0 1 0 0 0 0 0 VC.Pi.76 0 0 0 0 1 0 0 0 VC.Pi.77 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.78 1 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.79 0 0 1 0 0 0 0 0 VD.Pi.80 1 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.81 1 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.82 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.83 1 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.84 1 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.85 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.86 1 0 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.87 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.88 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.89 0 0 0 1 0 0 0 0 VD.Pi.90 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.91 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.92 1 0 0 0 0 0 0 0
85
VD.Pi.93 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.94 0 1 0 0 0 0 0 0 VD.Pi.95 0 0 1 0 0 0 0 0 VD.Pi.96 0 0 0 0 0 0 0 1 VD.Pi.97 1 0 0 0 0 0 0 0
86
Allegato n. 4
SITUAZIONE a-DIDATTICA: LA SIMMETRIA
Premessa
Il gioco è il mezzo più naturale e proficuo per l’apprendimento ed è
ormai abbastanza diffuso, soprattutto per quanto riguarda i concetti
fondamentali della matematica e della geometria. E’ necessario, a
questo scopo, scegliere i giochi o le attività che permettano di
sviluppare capacità e acquisire competenze.
Le attività che proponiamo di seguito, sono finalizzate
all’acquisizione del concetto di simmetria .
CLASSE: III elementare
PREREQUISITI:
- Conoscere i concetti di uguaglianza, equivalenza;
- Padroneggiare i concetti topologici di destra, sinistra, sopra, sotto,
davanti, dietro;
- Classificare gli oggetti in base ad una determinata proprietà.
OBIETTIVO GENERALE:
Padroneggiare il concetto geometrico della simmetria.
87
OBIETTIVI SPECIFICI:
- Cogliere la simmetria in oggetti, figure, ritmi, piante, fiori, disegni
presenti nell’ambiente circostante;
- Cogliere la simmetria in parole, lettere e numeri;mediante
piegature,ritagli, disegni ecc.;
- Rappresentare graficamente simmetrie
- Scoprire la simmetria nel corpo umano;
- Scoprire la simmetria nei diversi poligoni;
- Individuare gli assi di simmetria.
METODOLOGIE E STRATEGIE:
- Apprendimento per scoperta;
- Sperimentazione corporea.
STRUMENTI:
Oggetti dell’ambiente circostante;
Materiale didattico di vario genere.
LUOGHI:
Aula;
Palestra.
TEMPI: 2h
88
SPERIMENTIAMO LA SIMMETRIA!!!
PRE –ATTIVITA’
Prima di sperimentare l’attività corporea, abbiamo ipotizzato un
momento preliminare, in palestra, durante il quale ogni bambino potrà
sperimentare la “posizione a specchio” .
Chiederemo ad ogni bambino di mettersi davanti allo specchio e
alzare il braccio destro. Successivamente, faremo disporre i bambini a
coppia, uno di fronte all’altro, e diremo loro di alzare nuovamente il
braccio destro. A questo punto saranno fatte osservare le differenze
rispetto alla situazione precedente.
89
1ª ATTIVITA’
L’attività consiste nel far sperimentare con il proprio corpo la
simmetria, assumendo posizioni diverse rispetto ad un asse di
simmetria dato, in modo speculare al compagno di coppia.
Consegna:
Assumere la posizione del compagno, di coppia, a specchio.
Ruolo dell’insegnante
Preparazione dello spazio fisico destinato allo svolgimento
dell’attività; spiegazione di questa agli alunni, prestando attenzione
che i bambini rispettino le indicazioni date e i ruoli assegnati.
Fase di azione (Durata 30’)
In palestra dopo aver
incollato una striscia di nastro
adesivo, che rappresenti l’asse di
simmetria, inviteremo gli alunni a
disporsi a coppie, uno di fronte
all’altro, ad uguale distanza dalla
striscia. Il bambino posto a destra
della striscia assumerà una
posizione a piacere e il suo
compagno, posto a sinistra della
striscia, prenderà la stessa
posizione a “specchio”.
90
Fase di formulazione (Durata 30’)
Dopo essere rientrati in classe, proponiamo ai bambini
un’esperienza simile a quella fatta in palestra. Questa volta i bambini
dovranno colorare “a specchio” , ossia simmetricamente, delle figure
nelle quali la linea rossa (asse di simmetria) verrà paragonata alla
striscia di nastro adesivo che, durante il precedente esercizio, avevamo
incollato sul pavimento della palestra.
ESERCIZIO: colora in modo simmetrico
91
Successivamente diremo ai bambini di prendere un foglio di carta
quadrettata, piegarla a metà e di disegnare sulla prima facciata una
barchetta con la vela. Ogni bambino andrà alla finestra e, appoggiando
il foglio sul vetro, ricalcherà il disegno sull’altra facciata. Otterranno
in tal modo due figure simmetriche. La piegatura del foglio
rappresenta l’asse di simmetria, faremo osservare ai bambini che i due
disegni si distanziano dall’asse di simmetria di un uguale numero di
quadretti.
Faremo notare ai bambini che le figure simmetriche sono figure che
non cambiano nella forma e nell’estensione ma solo nella posizione
(destra-sinistra, sopra-sotto).
92
Fase di validazione (Durata 1h)
Scopriremo insieme ai bambini che molte figure geometriche,
tutti i poligoni regolari, sono dotate di uno o più assi di simmetria ,
che dividono la figura in parti uguali o simmetriche.
Il triangolo isoscele e il trapezio isoscele hanno un solo asse di
simmetria; il rettangolo e il rombo ne hanno due; il triangolo
equilatero ne ha tre; il quadrato ne ha quattro; il pentagono, cinque;
l’esagono, sei; ecc.
93
Gradualmente guideremo gli alunni a scoprire la simmetria in
figure non geometriche, nelle lettere, nei numeri e nelle parole.
Presenteremo ai bambini dei cartoncini che riproducono delle figure
non geometriche, in modo da favorire la manipolazione e individuare,
piegando di volta in volta il cartoncino in modo diverso, gli assi di
simmetria presenti nella figura.
Le possibili figure da proporre in classe sono:
94
Un’altra attività può essere quella di fare costruire ai bambini
delle figure simmetriche utilizzando diverse strategie:
- piegare il foglio a metà, disegnare metà figura e ritagliarla
ottenendo così la figura simmetrica;
- realizzare delle “catene” di figure simmetriche piegando più volte
il foglio o cartoncino ( origami).
Successivamente faremo osservare che è possibile individuare gli assi
di simmetria anche in alcune lettere dell’alfabeto e in alcuni numeri.
Utilizzando dei cartoncini raffiguranti le lettere dell’alfabeto e alcuni
numeri, precedentemente preparati, faremo scoprire ai bambini,
sempre mediante la manipolazione e la piegatura di essi, che lettere e
numeri possono avere uno o più assi di simmetria, o non averne
nessuno.
ESERCIZIO:
A B H
O 8 3
95
A questo punto faremo notare ai bambini che è possibile
individuare la simmetria anche nelle parole. Proporremo i seguenti
esempi:
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Infine, per quanto possa sembrare un allontanamento
dall’argomento, che è specificamente geometrico, poiché l’idea di
simmetria va anche oltre l’esperienza visiva, è possibile allargarla ad
esperienze sonore.
Un’attività alternativa può essere dunque quella di far realizzare ai
bambini dei suoni simmetrici con il battito delle mani e dei piedi,
battendo sul banco le penne, imitando il suono di un tamburo o
riproducendo il suono di un fischietto.
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Bibliografia di riferimento
v Filippo Spagnolo, Insegnare le Matematiche nella scuola
secondaria, La Nuova Italia, 1998.
v Maria Cutrera – Daniela Lo Verde, Aritmrntica. Manuale di
didattica , Sigma Edizioni, Palermo.
v F. Speranza – D. Medici Caffarra – P. Quattrocchi, Insegnare
la matematica nella scuola elementare, Zanichelli, Bologna,
1986.
v Peter Gray, Psicologia, Zanichelli, Bologna, 1990.
v Z. P. Dienes – M. A. Jeeves, Pensiero in strutture, Edizioni OS
Firenze, 1970.
v Z. P. Dienes – E. W. Golding, Esplorazione dello spazio e
pratica della misura vol III, Edizioni OS Firenze, 1970.
v Z. P. Dienes, Uno studio sperimentale sull’apprendimento della
matematica, Feltrinelli, Milano, 1968.
v Lucia Grugnetti, Dallo spazio del bambino agli spazi della
geometria, Centro Grafico dell’Università di Parma, 1997.
98
v P. Bellingeri – M. Dedò, Il ritmo delle forme. Itinerario
matematico (e non) nel modno della simmetria, Mimesis,
Milano, 2001.
v W. Moro, Didattica della comunicazione visiva, La Nuova
Italia, Firenze, 1992.
v Lucia Lazzotti, Perazione e visiva e linguaggio, Editore
Bulgarini, Firenze, 1984.
v Ernst H. Gombrich, Il senso dell’ordine, Leonardo Arte,
Milano, 2000.