Scuola Politecnica e delle Scienze di Base Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Elaborato finale in Misure per l’Automazione e la Produzione Industriale
La trasformata di Huang-Hilbert e sue ottimizzazioni
Anno Accademico 2014/2015 Candidato: Pasqua Piscopo matr. N46/1109
“Nella vita non bisogna mai rassegnarsi, arrendersi alla mediocrita, bensı
uscire da quella zona grigia in cui tutto e abitudine e rassegnazione
passiva, bisogna coltivare il coraggio di ribellarsi.”
Rita Levi Montalcini
Indice
Introduzione iii
1 La trasformata di Huang-Hilbert 1
1.1 La frequenza istantanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Intrinsic Mode Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Empirical Mode Decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Un’ ottimizzazione: l’ EEMD 12
2.1 Ensemble Empirical Mode Decomposition (EEMD) . . . . . 13
2.2 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Bibliografia 16
ii
Introduzione
Lo scopo di questo elaborato e di illustrare la trasformata di Huang-
Hilbert, strumento matematico che permette di analizzare segnali non
lineari e non stazionari.
Un segnale contiene informazioni riguardanti un determinato fenome-
no. Un segnale, quindi, descrive un fenomeno. Vi sono diverse tipologie di
segnale, la prima differenza da fare e tra segnali analogici e segnali digitali.
Si definisce analogico (Figura 1) un segnale che puo assumere infiniti
valori nel campo di variabilita del segnale stesso.
Un segnale analogico e un segnale tempo continuo ad ampiezze conti-
nue, ovvero e un segnale che puo assumere tutti i valori sull’asse del tempo
e che, in termini di ampiezza, puo assumere valori continui tra il suo valore
massimo ed il suo valore minimo.
Si definisce digitale (Figura 2), o numerico, un segnale che puo assu-
mere solo un numero limitato di valori; un caso particolare si ha quando i
valori possibili sono due: in tal caso si parla di segnale digitale binario.
Un segnale digitale e un segnale tempo discreto ad ampiezza discreta,
ovvero un segnale che puo assumere valori di tempo discreti e che i valori
assunti dall’ampiezza appartengono ad un insieme numerabile.
Un segnale si dice deterministico se e completamente descritto da un’e-
spressione matematica, da un grafico, da una tabella o da una regola.
iii
Introduzione
Figura 1: Segnale analogico
Figura 2: Segnale digitale
Un segnale si dice aleatorio se e una collezione di valori risultanti da un
esperimento casuale.
I segnali, inoltre, possono essere periodici o aperiodici. Un segnale pe-
riodico (Figura 3) e un segnale per cui risulta vera la seguente uguaglianza:
x(t) = x(t+ T )
iv
Introduzione
Figura 3: Segnale periodico
dove T e detto periodo del segnale, in pratica avremo una porzione di
segnale che si ripete ad intervalli fissi di tempo T. Per questa tipologia di
segnali puo essere definita la frequenza che e l’inverso del periodo, ovvero
il numero di ripetizioni del segnale nell’ intervallo di tempo:
f = 1/T
ne deriva che
T = 1/f
Un segnale aperiodico (Figura 4), invece, e un segnale che non si ripete nel
tempo.
Lo strumento piu usato per l’analisi dei segnali e l’analisi di Fourier.
Il concetto alla base di questa analisi e quello per cui qualsiasi segnale
periodico puo essere scomposto in una serie di Fourier, ovvero in una
somma di funzioni armoniche elementari quali seni e coseni. L’idea e quella
v
Introduzione
Figura 4: Segnale aperiodico
di scomporre un segnale nelle sue componenti elementari per poi giungere
a delineare le proprieta del segnale di partenza attraverso le proprieta delle
sue componenti elementari e le regole che le legano.
Dato un segnale periodico x(t) la sua trasformata di Fourier sara:
X (ω) =
∫ +∞
−∞x (t) e−jωtdt
dalla trasformata possiamo ricavare x(t) antitrasformando
x (t) =1
2π
∫ +∞
−∞X (ω) ejωtdω
per le proprieta di cui gode la trasformata di Fourier possiamo scrivere
x (t) =1
π
∫ +∞
0|X (ω)| cos (ωt+ argX (ω)) dω
si osserva che il segnale x(t) e espresso come somma integrale di un numero
infinito di componenti sinusoidali.
Nel caso avessimo un segnale discreto x = (x1, x2, ..., xn) allora si de-
vi
Introduzione
finisce la sua trasformata di Fourier discreta rappresentata dalla n-upla
X = (X1, X2, ..., Xn) tale che:
Xi =n∑
q=1
xke−j 2π
nkq
conq = 1, 2, ..., n
anche in questo caso abbiamo la formula di antitrasformazione
xk = 1/nn∑
q=1
Xqej 2πnkq
conk = 1, 2, ..., n
Seppure il metodo di Fourier sia il piu utilizzato da quando e stato
introdotto, esso ha delle limitazioni. Affinche un segnale possa essere ana-
lizzato con il metodo di Fourier questo deve essere prodotto da un sistema
lineare e deve avere la proprieta di periodicita o quella di stazionarieta.
Le limitazioni della trasformata di Fourier sono invece i punti di forza del-
la trasformata di Huang-Hilbert la quale e il metodo piu appropriato per
trattare segnali non-lineari e non-stazionari.
vii
Capitolo 1
La trasformata di
Huang-Hilbert
Questo metodo proposto da Norden E. Huang nel 1998 propone la
scomposizione del segnale non in componenti sinusoidali, ma in componenti
empiriche, in questo modo un segnale verra scomposto mediante una base
che non e stabilita a priori.
Confrontiamo le proprieta dell’analisi di Fourier e quella di Huang-
Hilbert:
FOURIER HILBERT
Base a priori adattativa
Presentazione Energia-Frequenza Energia-Tempo-Frequenza
Non-linearita No Sı
Non-stazionarieta No Sı
Base teorica Teoria Completa Empirica
Il concetto chiave di questo metodo e l’empirical mode decomposition
1
Capitolo 1. La trasformata di Huang-Hilbert
(EMD) grazie al quale qualsiasi set di dati puo essere scomposto in un
numero finito, e spesso piccolo, di intrinsic mode function (IMF) alle quali
e possibile applicare la trasformata di Hilbert.
Questo metodo di decomposizione e adattativo e molto efficiente e
poiche richiede il soddisfacimento di alcuni vincoli, e applicabile a processi
non lineari e a segnali non stazionari.
Il risultato finale e una distribuzione energia-tempo-frequenza detta
spettro di Hilbert.
L’innovazione portata dal metodo Huang-Hilbert sta proprio nell’intro-
duzione delle IMF, le quali si basano sulle proprieta locali del segnale in
modo da rendere significativo e sensato il concetto di frequenza istantanea
e inoltre rendono possibile l’eliminazione di forme armoniche spurie, che
vengono fuori quando si applica il metodo d’analisi di Fourier a segnali
non lineari e non stazionari.
Il metodo di Huang Hilbert in pratica prevede l’applicazione dell’ EMD
e dell’analisi spettrale di Hilbert a vari tipi di dati: dai risultati numerici
alle classiche equazioni non lineari che rappresentano fenomeni naturali.
1.1 La frequenza istantanea
La nozione di frequenza istantanea e alquanto controversa, infatti l’ac-
cettazione del concetto di frequenza istantanea e ostacolata da due pro-
blematiche:
- la prima problematica e il risultato della profonda influenza che il
metodo di Fourier ha nell’ analisi dei segnali da quando e stato
introdotto. Tale metodo definisce la frequenza per funzioni sinusoidali e
cosinusoidali ad ampiezza costante come l’inverso del periodo, e dunque
2
Capitolo 1. La trasformata di Huang-Hilbert
necessaria almeno un’oscillazione completa della forma d’onda per
definire la frequenza locale. Cosı facendo, pero, la frequenza che si va ad
estrapolare non riesce a seguire tutte le variazioni di frequenza che invece
sono caratteristiche di un segnale non stazionario, di conseguenza tale
definizione non avrebbe senso per segnali non stazionari per i quali la
frequenza cambia volta per volta.
- la seconda problematica e legata alla non univocita della definizione di
frequenza istantanea.
Quest’ultima problematica, tuttavia, puo essere tralasciata se si rende
analitico il segnale mediante la trasformata di Hilbert.
Per un’arbitraria X(t) e sempre possibile ottenere la sua trasformata
di Hilbert Y (t):
Y (t) =1
πP
∫ +∞
−∞
X (τ)
t− τdτ (1.1)
dove P e il valore principale dell’integrale di Cauchy. Questa trasformata
esiste per tutte le funzioni di classe LP .
Da questa definizione e ora possibile ricavare il segnale analitico Z(t)
definito in questo modo:
Z(t) = X(t) + jY (t) = a(t)ejϑ(t) (1.2)
dove
a(t) = [X2(t) + Y 2(t)]1/2
ϑ(t) = arctanY (t)
X (t)
L’equazione (1.1) definisce la trasformata di Hilbert come la convolu-
zione tra X(t) e 1t .
3
Capitolo 1. La trasformata di Huang-Hilbert
Anche con la trasformata di Hilbert e ancora controversa la definizione
di frequenza istantanea come:
ω =dθ (t)
dt(1.3)
Sono, infatti, necessarie alcune limitazioni. Per come e stata definita
sopra, ω e funzione del tempo cio vuol dire che ad ogni valore di t puo
essere associato un solo valore di frequenza, ovvero ω rappresenta una
singola componente; da qui il termine funzione monocomponente. Poiche
non e chiaro come discernere se un segnale e monocomponenete o no, si
da la limitazione di banda stretta.
Per illustrare questa limitazione facciamo uso di un semplice esempio.
Dato il seguente segnale:
x(t) = sin(t)
la sua trasformata di Hilbert sara
y(t) = cos(t)
Nel piano di Gauss la funzione analitica associata sara una circonferenza
di raggio unitario centrata nell’origine, quindi la sua fase una retta e,
per l’espressione (1.3), la frequenza istantanea una costante. Se invece
considerassimo:
x(t) = α+ sin(t)
la funzione analitica associta sara comunque una circonferenza di raggio
unitario, ma il centro variera a seconda di α; se α < 1 l’origine resta nella
circonfereznza, ma la fase e la frequenza istantanea sono molto differenti
4
Capitolo 1. La trasformata di Huang-Hilbert
dal caso precedente; se α > 1 l’origine e esterna alla circonferenza, il
vettore che descrive il segnale analitico cambia verso di rotazione con il
risultato che si hanno valori di frequenza negativi, risultato che non ha
senso fisico.
Figura 1.1: (a)funzione analitica al variare di α (b)fase al variare di α(c)frequenza istantanea al variare di α
Si deduce che per definire la frequenza istantanea di una funzione que-
sta deve essere simmetrica rispetto allo zero.
5
Capitolo 1. La trasformata di Huang-Hilbert
1.2 Intrinsic Mode Decomposition
Una IMF e una funzione che soddisfa due condizioni:
- nel set di dati il numero di massimi e minimi e il numero di
attraversamenti per lo zero devono essere coincidere o al piu differire di
uno;
- in ogni punto il valor medio dell’inviluppo superiore ed inferiore deve
essere zero.
La prima condizione ci assicura che il segnale sia monocomponen-
te. Dalla seconda deduciamo che la frequenza istantanea non deve avere
fluttuazioni indesiderate indotte da asimmetrie nella forma d’onda.
Poiche non puo esser definita la media locale per un segnale non sta-
zionario si usa sostituirla con la media locale degli inviluppi definiti dai
massimi locali e dai minimi locali.
Anche se gli effetti dovuti a forme d’onda non lineari introducono un
disturbo nella frequenza istantanea, gli effetti di disturbo dovuti alla non
stazionarieta sono piu consistenti. Con l’approccio fisico e le approssi-
mazioni fatte, il metodo non garantisce sempre una frequenza istantanea
perfetta sotto ogni condizione. Tuttavia anche sotto le peggiori condizioni
la frequenza istantanea cosı definita e ancora consistente con la fisica del
sistema studiato.
Queste componenti sono dette IMF in quanto rappresentano il modo
oscillatorio incorporato nei dati; con questa definizione si puo superare la
costrizione di banda stretta per un’ IMF, permettendo di modularla in
frequenza ed in ampiezza.
6
Capitolo 1. La trasformata di Huang-Hilbert
Definita la frequenza istantanea, si dimostra che la definizione (1.3)
rappresenta il modo migliore per esprimere la frequenza istantanea.
Figura 1.2: Esempio di IMF
Per usare la definizione (1.3) di frequenza istantanea e necessario scom-
porre il set di dati in componenti IMF dalle quali e poi possibile ricavare
le frequenze istantanee, in quanto per dati complessi si puo avere piu di
un valore di frequenza per volta.
Per determinare da un set di dati le componenti IMF si introduce la
tecnica EMD.
1.3 Empirical Mode Decomposition
Questo tipo di decomposizione e basato su alcune assunzioni:
- il segnale ha almeno un minimo e un massimo, se cosı non fosse sarebbe
impossibile estrapolare le IMF;
- il tempo scala caratteristico e definito dal tempo tra due estremi;
- se i dati sono privi di estremi, ma contengono punti di flesso, li si puo
differenziare una o piu volte per rivelarne gli estremi.
In virtu della definizione di IMF, il metodo di decomposizione puo
semplicemente usare l’inviluppo definito dai punti di massimo e quello
7
Capitolo 1. La trasformata di Huang-Hilbert
definito dai punti di minimo separatamente. Una volta individuati tutti
i massimi locali, questi vengono connessi mediante una spline cubica, in
questo modo danno forma all’ inviluppo speriore; viene fatto lo stesso
ragionamento, ma sui minimi, per quanto riguarda l’inviluppo inferiore. I
due inviluppi per come sono definiti contengono al loro interno tutti i dati.
Identificata con m1 la media dei due inviluppi, la differenza tra il
segnale e m1 e la prima componente h1;
h1 = X(t)−m1
Idealmente h1 dovrebbe essere una IMF, infatti per come e stata definita
sembra fatta proprio per soddisfare la definizione di IMF e quindi per avere
tutti i massimi positivi e tutti i minimi negativi. Il procedimento usato,
pero, non e matematicamente rigoroso quindi per arrivare ad avere una
IMF pura il procedimento, il processo di sifting, va iterato piu volte; in
seconda battuta avremo:
h1 −m11 = h11
e dopo k iterazioni:
h1(k−1) −m1k = h1k
Il risultato dell’ultima iterazione possiamo prenderlo come prima IMF
c1 = h1k
Il processo di sifting ha due scopi:
- eliminare le onde sovraimposte;
- rendere simmetrico il profilo d’onda.
8
Capitolo 1. La trasformata di Huang-Hilbert
Mentre la prima condizione e assolutamente necessaria affinche la fre-
quenza istantanea sia significativa, la seconda e necessaria quando le am-
piezze di onde vicine sono troppo diverse tra loro. Il secondo effetto puo
eliminare fluttuazioni di ampiezza fisicamente significativa.
Per garantire che le componenti IMF conservino significato fisico sia
per la modulazione di ampiezza che di frequenza, e necessario determinare
un criterio per stoppare il meccanismo di sifting. Cio puo esser fatto
limitando la grandezza della deviazione standard calcolata tra due risultati
consecutivi dello sifting
SD =
T∑t=0
[h1(k−1) (t)− h1(k) (t)
h21(k−1)(t)
]
un valore tipico e compreso tra 0.2 e 0.3.
Supponendo che il criterio sia stato soddisfatto e che quindi sia stata
trovata c1 la prima IMF, ovvero la modalita di oscillazione piu veloce
presente nei dati. A questo punto potremmo isolare c1 dal resto dei dati e
ottenere
r1 = x(t)− c1
r1 e trattato come nuovo segnale e ad esso e applicato il processo di sifting;
questa procedura puo essere ripetuta piu volte
r1 − c2 = r2, ..., rn−1 − cn = rn
Il processo di sifting puo essere fermato se si verifica una di queste condi-
zioni:
- la IMF cn (o il residuo rn) diventa piu piccola di un certo valore
prestabilito;
9
Capitolo 1. La trasformata di Huang-Hilbert
- rn diviene una funzione monotona da cui e impossibile estrarre una
IMF.
In definitiva possiamo esprimere x(t) in questo modo
x (t) =n∑
j=1
cj + rn
Quindi abbiamo ottenuto x(t) come somma di n IMF ed un residuo rn che
sara una funzione monotona o costante.
In FIgura (1.3) e possibile vedere il segnale e le sue IMF.
Figura 1.3
10
Capitolo 1. La trasformata di Huang-Hilbert
1.4 Conclusioni
L’associazione del metodo EMD e dell’ analisi basata sullo spettro di
Hilbert offre un metodo potente per l’analisi di dati non lineari e non
stazionari. Punto focale di questo metodo e l’estrazione di IMF da un set
di dati complesso, le quali permettono che lo studio di tali dati si riduca allo
studio di componenti per le quali puo esser definita la frequenza istantanea.
I vantaggi di questa analisi sono molteplici, ma l’innovazione piu si-
gnificativa che questo studio ha apportato e la definizione di frequenza
istantanea come qualcosa di fisicamente significativo e l’introduzione del-
le IMF. Con il supporto del concetto di frequenza istantanea e possibile
definire sia la modulazione in frequenza interwave che intrawave concetti
entrambi importanti per la interpretazione di fenomeni oscillatori. Con
l’introduzione della frequenza istantanea non sono piu necessarie armoni-
che di ordine superiore per rappresentare i disturbi dovuti a non linearita
e neanche armoniche spurie per rappresentare fenomeni non stazionari.
In definitiva questo nuovo metodo permette di avere una visione fisica
di fenomeni non lineari e non stazionari, vantaggio che il metodo di Fourier
non offre.
11
Capitolo 2
Un’ ottimizzazione: l’
EEMD
Abbiamo visto come l’ EMD sia un metodo d’analisi utile per estrarre
segnali da dati prodotti da sistemi non lineari. Per quanto pero questo
metodo sia utile, lascia ancora dei problemi irrisolti. Uno dei maggio-
ri inconvenienti e la continua presenza di modi sovrapposti che vengono
incorporati in una sola IMF, oppure che due segnali con scale simili finisca-
no in due IMF distinte. Come discusso da Huang l’intermittenza non solo
puo essere causa dell’aliasing in una distribuzione tempo-frequenza, ma
puo anche privare del significato fisico una IMF. Per eludere questo pro-
blema Huang et al. (1999) hanno proposto il test d’intermittenza, il quale
puo effettivamente portare a dei miglioramenti. Tuttavia questo approc-
cio da solo presenta dei problemi: in primo luogo, il test d’intermittenza e
basato su una scala selezionata soggettivamente, cio rende il metodo dell’
EMD non totalmente adattativo; in secondo luogo la selezione delle scale
funziona se nei dati ci sono time scales chiaramente separabili.
E’ necessario, dunque, ottimizzare il comportamento dell’ EMD.
12
Capitolo 2. Un’ ottimizzazione: l’ EEMD
2.1 Ensemble Empirical Mode Decomposition (EE-
MD)
Il principio dell’EEMD e semplice: l’aggiunta di rumore bianco fa in
modo che il problema dei modi sovrapposti che venivano associati ad una
stessa IMF scompaia. Mostreremo che l’EEMD utilizza il principio usato
dall’ EMD per la separazione delle scale, ma fa in modo che l’EMD si com-
porti come un vero banco di filtri diadico per qualsiasi dato. Pertanto l’EE-
MD rappresenta un importante miglioramento dell’ EMD. Ricapitoliamo
brevemente le proprieta dell’ EMD:
- l’ EMD e un metodo d’analisi adattativo basato sulle caratteristiche
locali dei dati;
- si comporta come un banco di filtri diadico per qalsiasi rumore bianco
serie;
- quando il dato e intermittente il comportamento dell’EMD non e
propriamente diadico.
Tenendo conto di quanto appena detto vediamo quali sono i passi di
cui si compone il metodo EEMD:
1. al dato viene aggiunto un rumore bianco serie
2. la somma del dato con il rumore bianco viene decomposta in IMF
3. i passi 1 e 2 vengono ripetuti piu volte ma il segnale viene sommato
con rumori bianchi diversi volta per volta
4. ricavare l’insieme delle IMF ottenute dalla decomposizione come
risultato finale
Questo tipo di analisi incrementa significativamente la capacita di
estrarre segnali dai dati.
Va sottolineato che l’effetto del rumore bianco deve diminuire seguendo
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Capitolo 2. Un’ ottimizzazione: l’ EEMD
una di queste due leggi:
εn =ε√N
lnεn +ε
2lnN = 0
dove N e il numero di elementi dell’ insieme, ε e l’ amplificazione del
rumore e εn e la deviazione standard finale dell’errore definita come la
differenza tra il segnale d’ingresso e la IMF corrispondente.
L’ampiezza del rumore va scelta opportunamente in quanto, se scelta
troppo piccola, potrebbe non introdurre cambiamenti in termini di massimi
e minimi, i quali sono fondamentali per l’analisi EMD.
2.2 Conclusioni
Il principio base dell’EEMD e semplice: puo separare segnali di scale
differenti senza l’inconveniente della sovrapposizione di modi. Il fatto che
l’EMD utilizzi tutte le caratteristiche del rumore aiuta a perturbare il
segnale opportunamente permettendo all’ EMD di lavorare in condizioni
migliori.
Tuttavia restano dei problemi irrisolti uno dei quali e dovuto al fatto
che l’EEMD non soddisfa del tutto la definizione di IMF, ma cio non
influisce notevolmente nel calcolo della frequenza istantanea che viene poi
usata per la trasformata di Hilbert. Una soluzione potrebbe essere quella
di applicare il sifting alle IMF prodotte dall’ EEMD.
L’ EEMD non risolve, pero, il problema dell’ end effect e non definisce
un criterio per stoppare il sifting.
In conclusione possiamo dire che l’ EEMD garantisce un vero meto-
do d’analisi adattativo portando l’EMD ad essere uno strumento migliore
14
Capitolo 2. Un’ ottimizzazione: l’ EEMD
per l’analisi in condizioni di non stazionarieta e non linearita anche se
permangono delle problematiche.
15
Bibliografia
[1] Norden E. Huang, Zheng Shen, Steven R. Long, ManliC. Wu, Hsing H. Shih, Quanan Zheng, Nai-Chyuan Yen,Chi Chao Tung, Henry H. Liu, “The empirical mode de-composition and the Hilbert spectrum for nonlinear andnon-stationary time series analysis”, 4 Novembre 1996.
[2] ZhaohuaWu, Norden E. Huang, “Ensemble Empirical ModeDecomposition: A Noise Assisted Data Analysis Method”,Agosto 2005.
[3] Leonardo Amico, “Trasformata di Hilbert-Huang per larilevazione di segnali non stazionari nel progetto SETI”,2008.
[4] Massimo Ferrari, “Confronto metodologico per l’estrazionedi indici da tracciati elettroencefalografici per la valutazionedell’ adattamento motorio”, 2010.
16