Rivelatori di Particelle 1
Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
Un apparato che mi permette una misura di tracce ( insieme di camere MWPC o a deriva o silici) posto in un campo magnetico (possibilmente uniforme) mi fornisce una misura dell’impulso delle particelle ( misura di dalla misura del raggio di curvatura).
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Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
Magneti per esperimenti a targhetta fissaMagneti per esperimenti a targhetta fissa
il più comune magnete usato in esperimenti a targhetta fissa è il magnete bipolare.
All’uscita della targhetta i prodotti della reazione sono concentrati in un cono attorno alla direzione della particella incidente, a causa del pT limitato ( ~350 MeV ) e del boost di Lorentz lungo la direzione del fascio.
L’apertura del cono è approssimativamente dato dal rapporto pT/pL (con pT impulso trasverso e pL impulso longitudinale rispetto alla direzione della particella incidente) non serve un magnete con una grande apertura.
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Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
fascio
targhetta
Camere per trovare le tracce
x
y
z
Rappresentazione schematica di uno spettrometro magnetico
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Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
La forza di Lorentz è :
Con |p| costante.
La forma di questa equazione cioè dp/dt ortogonale a p ed a B implica moto circolare.
Bpm
q
dt
pd
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Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
Per ricavare il raggio di curvatura conviene utilizzare un sistema di coordinate curvilineo:
In questo sistema di riferimento l’equazione di Lorentz diventa:
ŷx
ŝ
xqvBdt
sdps
dt
dpBvq
dt
pdy ˆ
ˆˆ
con x, y ed s sistema destrorso.
raggio di curvatura
s coordinata curvilinea
B diretto lungo l’asse y (By)
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Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
L’equazione di Lorentz :
può essere semplificata osservando che |p| = costante e
xqvBdt
sdps
dt
dp
dt
pdy ˆ
ˆˆ
xqvBxv
p ˆˆ
= (p/qBy)
xv
xdt
ds
ds
dx
dt
d
dt
sdˆˆˆ
ˆ
v= velocità
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Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
La deflessione nel piano xs si vede dalla figura:.
yqBp
LL
xIl raggio di curvatura della traiettoria è molto maggiore della lunghezza del magnete L l’angolo di deflessione q può essere approssimato a :
A causa della deflessione dovuta al campo magnetico la particella acquista un impulso trasverso addizionale:
px=2psin~p=LqBy
2sin(/2)=L/L
B
s
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Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
Se il campo magnetico non è uniforme, ma varia lungo L(z) allora:
dlBqpL
yx 0
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Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
La precisione della misura dell’impulso è influenzata da :
Precisione dell’apparato tracciantePrecisione dell’apparato tracciante
Scattering multiploScattering multiplo
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Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
Consideriamo una configurazione con B diretto lungo l’asse y, il fascio incidente sulla targhetta diretto lungo z dato il pT limitato le particelle prodotte nella reazione sono dirette quasi lungo z. Le traiettorie delle particelle secondarie entranti nello spettrometro sono misurate prima e dopo il magnete. Consideriamo per semplicità una particella che entra nel magnete diretta lungo z.
Poiché il campo magnetico è diretto lungo y la deflessione delle particelle è nel piano xz.
x
z
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Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
Precisione dell’apparato tracciante.Precisione dell’apparato tracciante.
Le particelle prima di entrare nel magnete e dopo essere uscite sono rettilinee misura di
Per determinare devo avere almeno 4 punti ( 2 prima e 2 dopo il magnete), perché mi servono 2 direzioni.
Misure di posizione
x
p
pd
p
dp
pLqB
d
dp
LqBp
y
y
2
1
1
da
h
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Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
Se ogni punto ha lo stesso errore (x) la varianza dell’angolo di deflessione sarà:
Siccome =x/h essendo h il braccio di leva per la misura angolare prima e dopo il magnete
E ricordando che:
(p) e’ dunque proporzionale a p2.
x
xxi
i
2 cioe'
4 24
1
22
()=2(x)/h
xy p
p
h
xp
LqB
hx
p
p
p
p
2/2
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Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
A seconda della qualità dell’apparato si possono ottenere risoluzioni :
Se definiamo impulso massimo misurabile quello per cui:
Si ha che uno spettrometro magnetico con risoluzione data dalla (1) può misurare impulsi fino a :
cGeVpp
p/1010 43
1max
max pp
cTevp /101max
(1)
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Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
L’impulso di una o più particelle secondarie è, di norma, misurato in un magnete con la gap in aria l’effetto dello scattering multiplo è di regola piccolo se paragonato all’errore dovuto alla misura di nel tracciatore.
Se però vogliamo misurare l’impulso di , i quali non interagiscono forte ed, ad energie inferiori alle centinaia di GeV, non fanno Bremsstrahlung, spesso si usa un magnete di ferro magnetizzato pieno alto scattering multiplo.
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Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
Un che attraversa un magnete di ferro pieno di spessore L acquisterà un impulso trasverso pT
ms, dovuto allo scattering multiplo
pTms = psinrms~ prms ovvero pT
ms ~ 19.2(L/X0)½ [MeV/c] ( = 1)
campo magnetico non uniforme:
pTms
ferro
p
L
x
z
Siccome la deflessione dovuta al campo magnetico è nella direzione x (particella lungo z e B lungo y, solo la componente x è quella che ci interessa px
ms = 13.6(L/X0)½. La risoluzione in impulso, a causa dello scattering multiplo, diventa, nel caso di
L
y
magnx
msx
ms
dllBq
XL
p
p
p
p
0
06.13
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Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
Sia l’angolo di deflessionedovuto al campo magnetico, che l’angolo di scattering multiplo sono inversamente proporzionali all’impulso p la risoluzione (relativa) in impulso non dipende dall’ impulso della particella incidente.
Per spettrometri di ferro pieno (X0= 1.76 cm) si considerano valori tipici di B = 1.8 T (saturazione del ferro)
Lp
pms
119.0
L in metri
Se L = 3 m %11
ms
p
p
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Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
Sommando l’ errore dovuto all’incertezza della misura di posizione
Per un magnete in aria (X0=304m) l’errore dovuto allo scattering multiplo è molto piu’ piccolo. per un magnete sempre di 1.8 T e lungo 3 metri(p)/p|ms = 0.08 %
errore totale(p)/p|traccia
(p)/p|ms
(p)/p %
p [Gev/c]
10
20
30
100 200 300
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Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
Un altro metodo utilizzato per determinare l’impulso (per un magnete in aria è la misura della sagitta (s).
L
s
B
y
x
La sagitta s è connessa al raggio di curvatura ed all’angolo di deflessione tramite :
4sin22
cos1 2
s
p
qBL
p
qBLs
888
22
2
p
BLs
8
3.0 2
Poiché per particelle relativistiche è piccolo
Se B è in [T] L in [m] e p in [GeV/c]
Rivelatori di Particelle 19
Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
Per determinare la sagitta servono almeno 3 misure di posizione. Questo si può ottenere con una camera all’ingresso (x1), una al centro (x2) ed una all’uscita (x3) del magnete. Poiché:
Assumendo risoluzioni (x) uguali per le 3 camere Per cui la risoluzione in impulso diventa:
Se la traccia è misurata in N punti equispaziati lungo la lunghezza del magnete L, si può dimostrare che la risoluzione in impulso dovuta all’errore della misura della traccia è:
2
312
xxxs
xs 2
3
23.0
82/3
BL
px
s
s
p
p
p
NBL
x
p
ptr
4
720
3.0 2
cGeVpp
ptr
/ 10 3
pBL
p
p 12
5
Per B=1.8 T, L=3 m, N=4 e (x)=0.5 mm
Se le N>>4 misure sono distribuite su L a k intervalli (L=kN)
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Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
Magneti per esperimenti ad un Collider.Magneti per esperimenti ad un Collider.
A seconda del tipo di anello di accumulazione possono essere usati diversi tipi di magneti.
Per protone-protone o antiprotone-protone possiamo usare un magnete bipolare, ma attenzione vengono deflessi anche i fasci incidenti servono dei magneti di compensazione, ma con gradiente di campo opposto:
0)( ldlB
Fascio 1
Fascio 2Punto d’interazione
Magneti di compensazione
Magnete bipolare
B
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Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
Un magnete bipolare può autocompensarsi se si usa la configurazione split-field. In questo caso nella zona di giunzione dei dipoli il campo è tutt’altro che omogeneo impossibile misure d’impulso per particelle prodotte ad angolo polare ~ 90o.
B
B
Punto d’interazione
Fascio 1
Fascio 2
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Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
Il magnete toroidale non disturba i fasci del collider, in quanto il campo è nullo nella zona dei fasci. Fra i 2 cilindri B è circolare e di intensità ~ 1/r.
Lo svantaggio maggiore in un toro è lo scattering multiplo nel cilindro interno del toro e nei suoi avvolgimenti. risoluzione della misura d’impulso dominata dallo scattering multiplo.
B
I
Punto di interazioneCilindro interno del toroide
Cilindro esterno del toroide
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Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
I magneti più comunemente usati in un collider sono quelli solenoidali. In questo caso I fasci viaggiano paralleli al campo magnetico quindi non sono disturbati dal magnete ( a parte effetti di bordo ).
Sia toroidi che solenoidi non causano radiazione di sincrotrone Vanno bene sia per anelli di collisione di protoni che di elettroni.
Punto d’interazione
Giogo cilindrico
B
I
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Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
In un solenoide i tracciatori sono installati all’interno del solenoide stesso e sono cilindrici.
Il campo magnetico (solenoidale quindi // ai fasci) agisce solo sulla componente trasversa dell’ impulso delle particelle
Dove(x) è la risoluzione per la coordinata nel piano ortogonale all’asse dei fasci.
Per determinare l’impulso devo misurare anche pL (componente longitudinale dell’impulso)
T
trac
T
T pNBL
x
p
p
4
720
3.0 2
Rivelatori di Particelle 25
Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
Utile usare coordinate cilindriche. In questo caso le coordinate sono e z
Considerando un generico punto P e la sua proiezione Q sul piano xy, la coordinata z indica la distanza PQ. Con si denota la distanza dall’origine del punto Q, mentre individua l’angolo che si forma fra il vettore e l’asse x.
x
y
z
P
Q
Per passare dal sistema cilindrico a quello cartesiano avremo:x=cosy=sinz=z
e per passare dal sistema cartesiano a quello cilindrico:=(x2+y2)=arctan (y/x)z=z
Rivelatori di Particelle 26
Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
Utile usare coordinate cilindriche
punto d’interazione+
-
r
z+
-
proiezione r proiezione rz
Rivelatori di Particelle 27
Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
Se misuriamo N punti lungo una traccia di lunghezza totale L (m) con un’accuratezza r (m) in un campo magnetico B (T), la risoluzione nell’impulso trasverso e’:
Oltre all’errore sulla traccia dobbiamo considerare anche lo scattering multiplo:
cGeVpNBLp
pT
r
T
T /4
720
3.0 2
mXLXBp
pms
T
T in 045.0
0
0
Rivelatori di Particelle 28
Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
L’impulso totale della particella è ottenuto da pT e dall’angolo polare :
Come nel caso del piano r (trasverso) anche la misura dell’angolo polare ha un errore, sia dovuto alla risoluzione del tracciatore, sia allo scattering multiplo.
A questa dobbiamo sommare in quadratura l’errore dovuto allo scattering multiplo
sinTpp
)1(
)1(12
NN
N
z
ztr
0
1
3
0136.0
X
l
pms
z
pT
r
Nel caso di una misura di 2 sole z
Se la traccia è misurata in N punti equidistanti si avrà:
2
z
z
dove p è in GeV/c, l è la lunghezza di traccia in unità X0 e =1. A parte il (3)-1/2 è la formula usuale dello scattering multiplo.
Rivelatori di Particelle 29
Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
spiegazione di 1/(3)spiegazione di 1/(3)1/21/2…..
L’angolo di scattering multiplo <> che ci interessa per la misura dell’angolo polare deve essere inteso come il rapporto dello spostamento della traccia r ( a causa dello scattering multiplo ) diviso per la lunghezza di traccia l.
Nei solenoidi si usano normalmente camere a bassa massa come tracciatori possiamo ignorare lo scattering multiplo.
l
r
piano
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Lezione 10Lezione 10Misure d’impulsoMisure d’impulso
Concludendo:Concludendo:
dalla dalla
notiamo che la precisione migliora aumentandonotiamo che la precisione migliora aumentando BL BL22. Migliora solo . Migliora solo come come (N)(N)1/21/2 aumentando aumentando N N, dove N , dove N è il numero di misure il numero di misure
cGeVpNBLp
pT
r
T
T /4
720
3.0 2