1 / 52
Numeri Naturali
Numeri Interi senza segno
0 1 2 3 4 5 6 7
10 111 21 37 14 58 602 7047
182997 9999997
102357 98732149997
2 / 52
Operazioni binarie
L’ OPERAZIONE in un insiemeè una legge che ad ogni coppia di elementi dell’insieme
ne associa un altro
+3
58operandi risultato
Se il risultato appartiene allo stesso insieme degli operandi,si dice
che l’ insieme è CHIUSO rispetto all’ operazione
a,b A c= a*b : c A
3 / 52
Operazioni binarie
Se il risultato appartiene allo stesso insieme degli operandi,si dice
che l’ insieme è CHIUSO rispetto all’ operazione
a,b A c = a*b : c A
I numeri Naturali è un insieme chiuso rispetto all’ addizione ?
SI ! perché sommando qualsiasi coppia di numeri naturali, si ottiene un numero naturale
I numeri Naturali è un insieme chiuso rispetto alla moltiplicazione ?
SI ! perché moltiplicando qualsiasi coppia di numeri naturali, si ottiene un numero naturale
I numeri Naturali è un insieme chiuso rispetto alla sottrazione ?
NO !perché esistono coppie di numeri la cui differenza NON è un numero naturale: 3 – 5 = -2 N
4 / 52
ProprietàCommutativa
5 / 52
Operazioni – Proprietà COMMUTATIVA
Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme Aè COMMUTATIVA se
a,b A si ha a * b = b * a
+3
58
+5
38
6 / 52
Operazioni – Proprietà COMMUTATIVA
Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme Aè COMMUTATIVA se
a,b A si ha a * b = b * a
5
3
La moltiplicazione è Commutativa ?
SI ! Perché a,bN : a b = b a• 15
3
5• 15
5
3
La sottrazione è Commutativa ?
NO ! Perché a,bN : a b b a
- 2
3
5- - 2
7 / 52
Operazioni – Proprietà COMMUTATIVA
Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme Aè COMMUTATIVA se
a,b A si ha a * b = b * a
L’ Unione tra Insiemi è Commutativa ?
SI ! Perché A B B A
01
ba cA
23
B
A B { a, b, c, 0, 1, 2, 3 }
01
ba cA
23
B
B A { a, b, c, 0, 1, 2, 3 }
8 / 52
Operazioni – Proprietà COMMUTATIVA
Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme Aè COMMUTATIVA se
a,b A si ha a * b = b * a
L’ Intersezione tra Insiemi è Commutativa ?
SI ! Perché A B B A
41 3A
02
B
85
6A B { 0, 2, 4 }
B A { 0, 2, 4 }A
B
41 3 02
85
6
9 / 52
Operazioni – Proprietà COMMUTATIVA
Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme Aè COMMUTATIVA se
a,b A si ha a * b = b * a
La Differenza Insiemistica è Commutativa ?
NO ! Perché A \ B B \ A
41 3A
02
B
85
6A \ B { 1, 3, 5 }
B \ A { 6, 8 }A
B
41 3 02
85
6
10 / 52
Operazioni – Proprietà COMMUTATIVA
Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme Aè COMMUTATIVA se
a,b A si ha a * b = b * a
Il Prodotto Cartesiano è Commutativo ?
NO ! Perché A B B A
A { , , }
B { ,}A BB
A
BAA
B
11 / 52
ProprietàAssociativa
12 / 52
Operazioni – Proprietà ASSOCIATIVA
Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme Aè ASSOCIATIVA se
a,b,c A si ha (a*b)*c = a*(b*c)
+3
58 +
2
10
+5
27
+310
13 / 52
5
3
La moltiplicazione è associativa ?
SI ! Perché a,b,cN (a · b) · c = a · (b · c)
•15
2• 30
Operazioni – Proprietà ASSOCIATIVA
Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme Aè ASSOCIATIVA se
a,b,c A si ha (a*b)*c = a*(b*c)
3
2•
6
5• 30
14 / 52
5
3
La sottrazione è associativa ?
NO !Perché a,b,cN : (a - b) - c a - (b - c)
-2
2- 0
Operazioni – Proprietà ASSOCIATIVA
Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme Aè ASSOCIATIVA se
a,b,c A si ha (a*b)*c = a*(b*c)
3
2-
1
5- 4
15 / 52
Operazioni – Proprietà ASSOCIATIVA
Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme Aè ASSOCIATIVA se
a,b,c A si ha (a*b)*c = a*(b*c)
L’ Unione tra Insiemi è Associativa ?
1
3
BA2
06
4
9C
(A B) { 0, 1, 2, 3, 4, 6 }(A B) C { 0, 1, 2, 3, 4, 6, 9 }
1
3
BA2
06
4
9C
(B C) { 0, 1, 2, 3, 9 }(A B) C { 0, 1, 2, 3, 4, 6, 9 }
SI ! Perché (A B) C A (B C)
16 / 52
Operazioni – Proprietà ASSOCIATIVA
Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme Aè ASSOCIATIVA se
a,b,c A si ha (a*b)*c = a*(b*c)
L’ Intersezione tra Insiemi è Associativa ?
1
3
B
9C
(A B) { 0, 2 }(A B) C { 0 }
1
3
BA2
06
4
9C
(B C) { 0, 3 }A ( B C ) { 0 }
SI ! Perché (A B) C A (B C)
A2
06
4
17 / 52
Operazioni – Proprietà ASSOCIATIVA
Un’ OPERAZIONE ( * ) definita in un insieme Aè ASSOCIATIVA se
a,b,c A si ha (a*b)*c = a*(b*c)
La Differenza Insiemistica è Associativa ?
9C
(A \ B) { 4, 6 }(A \ B) \ C { 4 }
(B \ C) { 1, 2 }A \ ( B \ C ) { 0, 4, 6 }
NO ! Perché (A \ B) \ C A \ (B \ C)
A2
06
4 1
3
B
1
3
B
9C
A2
06
4
18 / 52
ProprietàDistributiva
19 / 52
Operazioni – Proprietà DISTRIBUTIVA
In un insieme A in cui siano definite due OPERAZIONI ( * e # ),vale la proprietà DISTRIBUTIVA di * rispetto # se
a,b,c A si ha a * (b # c) = (a * b) # (a * c)
3
5
2
+ •
2
5
2
3 +•
•
8
10
6
16
16
Proprietà distributivadella moltiplicazionerispetto all’addizione
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Operazioni – Proprietà DISTRIBUTIVA
In un insieme A in cui siano definite due OPERAZIONI ( * e # ),vale la proprietà DISTRIBUTIVA di * rispetto # se
a,b,c A si ha a * (b # c) = (a * b) # (a * c)
3
5
2
• +
2
5
2
3 •+
+
15
7
5
17
35
L’ addizione è distributiva rispetto alla moltiplicazione ?
NO !Perché a,b,cN : a • (b + c) (a • b) + (a • c)
21 / 52
Operazioni – Proprietà DISTRIBUTIVA
In un insieme A in cui siano definite due OPERAZIONI ( * e # ),vale la proprietà DISTRIBUTIVA di * rispetto # se
a,b,c A si ha a * (b # c) = (a * b) # (a * c)
L’ intersezione è distributiva rispetto all’ unione?
SI ! Perché A (B C) (A B) (A C)
(B C) { 0, 1, 2, 3, 6, 9 }
A2
06
4 1
3
B
A (B C) { 0, 2, 6 }
9C
9C
1
3
B
(A B) { 0, 2 }(A C) { 0, 6 }(A B) (A C) { 0, 2, 6 }
A2
06
4
22 / 52
ElementiParticolari:
Neutro - Opposto
23 / 52
Elemento NEUTRO
Esiste un numero che sommato con un QUALSIASI numeroNON ne modifica il valore ?
+?
55
+0
55
SI ! lo 0
Esiste un numero che moltiplicato con un QUALSIASI numeroNON ne modifica il valore?
•?
55
•1
55
SI ! l’ 1
Si dice che u è l’ Elemento NEUTRO dell’insieme Arispetto all’operazione *, in esso definita, se
a A si ha u * a = a * u = a
24 / 52
Elemento NEUTRO
Esiste l’ elemento neutro per la sottrazione ?
Si dice che u è l’ Elemento NEUTRO dell’insieme Arispetto all’operazione *, in esso definita, se
a A si ha u * a = a * u = a
NO !Perché la sottrazione non è commutativa
25 / 52
OPPOSTO
L’ OPPOSTO di un numero èil numero stesso cambiato di segno
Opposto di a = -a
In N esiste l’ opposto ?
NO !Perché N è l’insieme degli interi senza segno
ECCEZIONEIl numero 0 (che è opposto di se stesso)
26 / 52
Esiste un insieme in cui tutti i suoi elementi ammettono l’ opposto ?
SI ! Dobbiamo considerare un insieme numerico in cui a ogni numero è associato il segno
INSIEMI NUMERICI
27 / 52
Numeri Relativi
Numeri Interi con il segno
± 0 +1 -1 ± 3 ± 4 ± 5 ± 6 ± 7
±10 ± 111 ± 21 ± 37 ± 14 ± 58 ± 602 ± 7047
-182997 ± 9999997
± 102357 ± 98732149997
ZN
28 / 52
RECIPROCO
Il RECIPROCO di un numero è1 diviso il numero stesso
Reciproco di a = 1/a
In N o in Z esiste il reciproco ?
NO !Perché sia N che Z sono insiemi di numeri interi
ECCEZIONEIl numero 1 e -1
(che sono reciproci di loro stessi)
29 / 52
Esiste un insieme in cui tutti i suoi elementi ammettono il reciproco ?
SI ! Dobbiamo considerare un insieme numerico in cui i numeri possano ammettere cifre decimali.Quindi un insieme che contenga numeri decimali, periodici e periodici misti ossia
un insieme che contenga frazioni
INSIEMI NUMERICI
30 / 52
Numeri Razionali
Numeri esprimibili in forma di frazioni
Z NQ
± 0 +1 -1/3 ± 3/2 ± 4 ± 5/2 6/19 - 7
±10 ± 111/21 ± 37/14 ± 58/5347 7047
-182/997 999999/7
± 10/2357 ± 98/732149997
31 / 52
Elemento INVERSO
Esistono numeri che sommatia un numero
danno come risultato l’elemento neutro dell’addizione ?
+?
numero0
+-5
50
SI ! L’ opposto
Esistono numeri che moltiplicaticon un numero
danno come risultato l’elemento neutro della
moltiplicazione?•?
numero1
•1/5
51
SI ! Il reciproco
Si dice che i A è INVERSO di a A rispetto all’operazione *,
se il risultato dell’operazione a * b è l’elemento neutroi * a = a * i = u
32 / 52
Elemento INVERSOSi dice che i A è INVERSO di a A
rispetto all’operazione *, se il risultato dell’operazione a * b è l’elemento neutro
i * a = a * i = u
i = inv*(a)
•
Q tutti
+
OPPOSTO RECIPROCO
Z tutti
N 0
Q tutti
Z -1
N 1
33 / 52
Radice Quadrata
-25 = perché non esiste un numero che moltiplicato per se stesso dia un numero negativo
La Radice quadrata ( ) di un numero èquel valore che moltiplicato per se stesso
dà il numero :
a = b b b = a
25 = 5 perché (5) (5) = 25
3 = 1.73205080757…
3 N perché non è un numero intero
Z perché non è un numero intero
Q perché non è un numero esprimibile con una frazione
R numeri reali34 / 52
Numeri Reali
tutti i Numeri che fino ad ora hai utilizzato
± 0 +1 -1/3 ± 3/2 ±4 ± 5/2 6/19 - 7
±10 ± 111/21 ± 37/14 ± 58/5347 7047
-182/997 999999/7
± 10/2357 ± 98/732149997
Z NQR
35 / 52
Tabelle riassuntive - CHIUSURA
Chiusura N Z Q R
+
-
/
36 / 52
Commutativa N Z Q R
+
-
/
Associativa
N Z Q R
+
-
/
Tabelle riassuntive – PROPRIETA’
Distributiva N Z Q R
+
a (b+c) =ab + ac
37 / 52
El. NEUTRO N Z Q R
+
0 0 0 0
1 1 1 1
El. INVERSO N Z Q R
+
0
1 ±1
Tabelle riassuntive – ELEMENTO Neutro e Inverso
38 / 52
Potenzee
Proprietà39 / 52
Potenza - Definizione
L’operazioneb e
si legge: b elevato a eindica: l’operazione di elevazione a potenza
il numero b è detto baseil numero e è detto esponenteil risultato dell’operazione è detto potenza
L’operazioneb e
si calcola: moltiplicando b e volte per se stesso
b e = b b . . . b
e volte
4 5 = 4 4 4 4 4 = 1024
5 volte40 / 52
Prodotto di Potenze con la STESSA BASE
Prodotto di due potenze con BASE UGUALE
b n b m = ( b b . . . b ) ( b b . . . b ) =
n volte m volte
= b b b . . . b
n + m volte
= b n + m
4 3 4 5 = 4 3+5 = 4 8 = 65536
b n b m = b n + m
41 / 52
Potenze con ESPONENTE 1
La regola può anche essere utilizzata al contrario :
48 = 42+6 = 42 46
b n b m = b n + m
Possiamo scrivere :
64 = 43 = 42+1 = 42 41 = 42 41 = 16 41
41 = 64 / 16 = 4
b 1 = b
42 / 52
Potenze con ESPONENTE 0
La regola può anche essere utilizzata al contrario :
48 = 42+6 = 42 46
b n b m = b n + m
Possiamo scrivere :
64 = 43 = 43+0 = 43 40 = 43 40 = 64 40
40 = 64 / 64 = 1
b 0 = 1
43 / 52
Potenze un Caso TERRRRIFICANNNNTE
Sappiamo che
0 0
00 : INDETERMINATA
0 n = 0
b 0 = 100 =
0
1 ?
44 / 52
Potenze
Risolvere le seguenti operazioni applicando le proprietà viste
34 = 3 3 3 3 = 81
3-2 =1 / 32 = 1 / 9
26 = 2 2 2 2 2 2 = 64
5-3 = 1 / 53 = 1 / 125
012 = 0 00 = Indeterminata NON HA RISULTATO
211 = 21 23 24 = 27 = 2 2 2 2 2 2 2 = 128
210 = 1 37 1/34 =37 3-4 = 33 = 3 3 3 = 27
32 3-2 = 32-2 = 30 = 1 27 24 1/26 52 =27+4-6 52 = 25 52 = 32 25 = 800
45 / 52
Elevazione a Potenza di una a Potenza
Potenza di Potenza
( bn )m = bn bn . . . bn =
m volte
= b . . . b . . . b . . . b . . . b . . .
n volte n volte n volte n volte n volte
m volte
= b b . . . b
n m volte
= b n m
( 23 )4 = 2 34 = 212 = 4096
( bn )m = b n m
46 / 52
Potenze
Risolvere le seguenti operazioni applicando le proprietà viste
( 32)3 = 323 = 36 = 729 ( 22)4 = 224 = 28 = 256
( 1/32)3 = 1/(3)23 = 1/(3)6 = 1/729 ( (3/2)2)4 = (3/2)24 = (3/2)8 = 38/28 = 6561 / 256
( 4 )5 = ( 22 )5 = 210 = 1024 ( (3/2)2)-4 = (3/2)2(-4) = (3/2)-8 = (2/3)8 = 256 / 6561
47 / 52
Prodotto di Potenze con lo STESSO ESPONENTE
Prodotto di due potenze con ESPONENTE UGUALE
a n b n = a a . . . a b b . . . b =
n volte n volte
= a b a b a b . . . a b
n volte
= (a b)n
3 4 2 4 = (3 2)4 = 6 4 = 1296
a n b n = (a b)n
48 / 52
Potenze
Risolvere le seguenti operazioni applicando le proprietà viste
32 42 = (34)2 = 122 = 144
( 43 (1/2)3) =(4/2)3 = 23 = 8
3-2 5-2 = (3 5)-2 = 15-2 = 1/225
42 (1/2)-2 =4222 = 82 = 64
42 : 82 = 42 (1/8)2 = (4/8)2 = (1/2)2 = 1/4
32 52 = (3 5)2 = 152 = 225
49 / 52
Potenze
Risolvere le seguenti operazioni dopo averle inserite nella giusta categoria
bn bm = b n + m an bn = (a b)n
32 5232 52 = ( 3 5 )2 = 152 = 225
23 2523 25= 23+5 = 28 = 256
27 3727 37 = ( 2 3 )7 = 67 = 279936
26 2626 26 = ( 2 2 )6 = 46 = 409626 26= 26+6 = 212 = 4096
= 33+2 = 35 = 243 33 3233 32
26 3426 34 = 64 81 = 5184 50 / 52
Potenze di 0
00
INDETERMINATA
0numero negativo
IMPOSSIBILE
0numero positivo
= 0
51 / 52
Divertiti ?
52 / 52