L’INSIEME Q+
Conoscenze
1. Completa le seguenti affermazioni:
a. Una frazione rappresenta il .......................................................... della .................................
tra ..................................... e ................................... Esempio: 5 : 7 = ...........
b. L’insieme N è ....................... rispetto all’operazione di divisione, perché in esso la .................
non è ................................................
c. Si chiama numero ...................... assoluto ogni classe di ....................................................
d. Ogni numero razionale assoluto è rappresentato dalla ...................................................... della
sua .................... di ................................
e. Tutti i numeri razionali formano l’insieme ............................................................ che si indica
con .......... In esso è .......................................... l’operazione di ..............................................
2. Quale delle seguenti classi di equivalenza è rappresentata in modo corretto dalla frazione 5
3 ?
{ ..........;40
24;
35
21;
30
18;
20
15;
25
12;
15
9;
10
6;
5
3}
{ ..........;40
24;
35
21;
30
18;
25
15;
20
12;
15
9;
10
6;
5
3}
{ ..........;45
24;
35
21;
30
16;
25
15;
20
12;
15
9;
10
6;
5
3}
3. Collega in modo corretto:
Si riducono le frazioni al minimo comune
denominatore e poi si determina la frazione che ha
come numeratore la somma o la differenza dei
numeratori e come denominatore il m.c.d. trovato
Sommare o
sottrarre due
frazioni
Si determina la frazione che ha per numeratore il
prodotto dei numeratori e per denominatore il
prodotto dei denominatori
Moltiplicare due
frazioni
Dividere due
frazioni
Si determina la frazione ottenuta moltiplicando la
prima per l’inversa della seconda.
4. Vero o falso?
55
0 ....... 1
3
3 ........ 0
0
0 ........
0
4 indeterminato .........
5. Nella seguente rappresentazione dei numeri sulla retta orientata sono stati commessi due errori.
Individuali e correggili:
6. Completa:
a. Due frazioni si dicono reciproche se ................................................................
b. Il quoziente di due frazioni equivalenti è uguale a ........
c. La potenza n – esima di una frazione è una frazione che ha per numeratore ...................
................................ e per denominatore ..........................................................................
d. La frazione complementare di una frazione propria si ottiene sottraendo ........................
....................................................................
7. Segna la risposta esatta:
7
2
7
3
7
1
14
5
7
5
15
4
15
8
15
12
15
4
0
4
4
3
2
1
6
4
4
4
4
5
2
1
3
4
6
3
6
5
1
3
3
2
8
3
11
6
8
1
4
1
2
7:
7
3
49
6
2
3
6
49
3
5
2
10
9
10
6
25
9
7
9
0
1 0
9
7
8. Segna il completamento esatto:
1 + 2
3=
2
4
2
6
2
5
I 155
3di = 25 9 6
Il numero i cui 3
7 sono 21 = 49 6 9
3/2 8/24/4 6/21/2
u
11/4
u
Abilità
1. Esprimi sotto forma di frazione il quoziente delle seguenti divisioni:
3 : 8 = ..... 6 : 2 = ..... 5 : 11 = ...... 0 : 5 = .......
2. Quali delle seguenti frazioni possono essere rappresentate dal numero razionale 6
7?
12
7
36
42
66
77
18
14
12
21
30
35
3
14
18
21
48
63
30
70
3. Scrivi la classe di equivalenza delle seguenti frazioni:
3
5 = {.............................................................}
8
9 = {.............................................................}
4. Rappresenta sulla semiretta orientata le seguenti frazioni:
4
3
2
5
4
7
3
11
5. Esegui le seguenti operazioni:
15
2
10
3
6
5
8
9
12
5
4
3
3
2
3
7
5
2
33
20
15
11
10
33:
5
11 12:
3
8
7
449
12
3
3
2
0
5
7
6. Esegui le seguenti operazioni applicando le proprietà delle potenze:
32
2
3
2
3
47
4
5:
4
5
22
18
21
3
4
55
35
18:
25
12
3
2
5
4
3
0
9
13
7. Trasforma le seguenti frazioni improprie in numeri misti e viceversa:
6
13 ….. + ….. ..........
5
23 .........
2
15
8. Calcola il valore della seguente espressione:
10
16:
3
2
5
2
5
8
4
3
2
1
9. Calcola il valore della seguente espressione:
4
31:
4
5
2
3
2
3
5
1
2
1:
5
3
4
32
3
1
10. Risolvi i seguenti problemi:
a. Carla ha completato di scrivere al computer gli 8/13 degli inviti per la festa del suo
compleanno. Se vuole invitare 26 amici, quanti biglietti deve ancora scrivere?
b. Filippo ha percorso in motorino 800 m, che sono i 2/3 del tragitto che deve fare per
andare a studiare a casa di un suo amico. Quanti chilometri dista la casa di Filippo da
quella dell’amico?
c. Per la gita scolastica di fine anno gli alunni delle prime classi di una scuola media
vengono divisi in due gruppi, uno i 9/11 dell’altro, in modo che nel primo gruppo ci
siano 12 alunni in meno rispetto a quelli del secondo. Determina quanti alunni
partecipano alla gita e da quanti alunni è formato ciascun gruppo.
Altri esercizi di consolidamento
1.
Calcola il valore della seguente espressione a termini frazionari.
Soluzione:
2.
Calcola il valore della seguente espressione a termini frazionari.
Soluzione:
3.
Calcola il valore della seguente espressione a termini frazionari.
Soluzione:
4.
Calcola il valore della seguente espressione a termini frazionari.
Soluzione:
5.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
6.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
7.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
8.
Esegui i calcoli indicati applicando le opportune proprietà delle potenze.
Soluzione:
9.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
10.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
11.
Calcola il valore delle seguenti espressioni.
Soluzione:
12.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
13.
Calcola il valore della seguente espressione a termini frazionari.
Soluzione:
14.
Esegui i calcoli indicati applicando le opportune proprietà delle potenze.
Soluzione:
15.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
16.
Esegui i calcoli indicati applicando le opportune proprietà delle potenze.
Soluzione:
17.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
18.
Calcola il valore della seguente espressione a termini frazionari.
Soluzione:
19.
Calcola il valore della seguente espressione a termini frazionari.
Soluzione:
20.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
21.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
22.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
23.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
24.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
25.
Calcola il valore della seguente espressione a termini frazionari.
Soluzione:
26.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
27.
Esegui i calcoli indicati applicando le opportune proprietà delle potenze.
Soluzione:
28.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
29.
Calcola il valore della seguente espressione a termini frazionari.
Soluzione:
30.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
31.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
32.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
33.
Esegui i calcoli indicati applicando le opportune proprietà delle potenze.
Soluzione:
34.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
35.
Calcola il valore della seguente espressione a termini frazionari.
Soluzione:
36.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
PER IL RECUPERO
1. Osserva gli esempi e poi esegui le addizioni e le sottrazioni assegnate:
Ricorda: “Per addizionare e sottrarre frazioni devi calcolare il m.c.m. tra i denominatori
delle frazioni assegnate!”
Esempi:6
19
6
109
6
53:632:6
3
5
2
3
;
24
5
24
914
24
38:24712:24
8
3
12
7
a. 3
1
5
4
4
3
8
9
2
7
10
3
5
6
b. 3
1
7
4
3
2
6
7
12
7
2
3
4
1
6
11
2. Osserva gli esempi e poi esegui le moltiplicazioni assegnate:
: 1 2
Esempi: 15
8
53
24
5
2
3
4
9
8
4
3 3
2 semplificazione “a croce”
1 3
a. 5
2
5
6
2
7
4
3
b. 81
30
10
9
7
2
30
21
24
15
3. Osserva gli esempi e poi esegui le divisioni assegnate:
Ricorda: “Per dividere due frazioni assegnate basta moltiplicare la prima frazione per
l’inversa della seconda! Poi si procede come per le moltiplicazioni......”
Esempi: 27
20
3
5
9
4
5
3:
9
4 ;
2
155
2
3
5
1:
2
3 ;
88
15
11
3
4
5
2
1
3
11:
5
4:
2
1
a. 2
3:
5
6
11
4:
33
20
b. 4:5
8
9
1:
6
7
15
4:
9
30:
27
12
4. Osserva l’esempio e poi esegui le potenze assegnate:
Ricorda: “Per eseguire l’operazione di elevamento a potenza di una frazione basta elevare
all’esponente indicato sia il numeratore che il denominatore”
Esempio: 49
9
7
3
7
32
22
3
2
3
2
5
4
0
4
3
4
2
1
5. Osserva gli esempi e poi esegui le seguenti operazioni con le proprietà delle potenze:
Esempi:
532
3
2
3
2
3
2
;
246
2
7
2
7:
2
7
;
63
2
3
4
3
4
;
3333
15
16
5
2
3
8
5
2
3
8
;
2222
18
5
3
5
6
1
5
3:
6
1
34
2
1
2
1
58
3
5:
3
5
2
4
3
2
44
3
2
4
7
33
5
8:
5
12
6. Calcola:
a. il numero che è i 5/7 di 21 ........................................
b. il numero i cui 4/9 sono 20 .......................................
7. Risolvi i seguenti problemi:
a. Il prezzo di una felpa è di 120 euro. Nel periodo dei saldi ricevo uno sconto pari ad 1/3 del
suo costo. Quanto pago?
b. Se dopo 255 Km si sono percorsi i 3/5 di un tragitto, quanti Km è lungo l'intero tragitto?
Quanti Km restano ancora da percorrere?
c. Mario e Carlo hanno insieme 88 figurine. Calcola il numero di figurine che possiede ciascun
amico, sapendo che quelle di Mario sono i 3/8 di quelle di Carlo.
d. Nella classifica del campionato studentesco due squadre hanno 12 punti di differenza.
Sapendo che una squadra ha i 2/5 dei punti dell’altra, calcola i punti realizzati da ciascuna
squadra.
8. Risolvi la seguente espressione:
4
3:
4
31:
4
1
3
1
20
311:
8
1
5
7
3
41
7
4
4
3
Altri esercizi di recupero
1.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
2.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
3.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
4.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
5.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
6.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
7.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
8.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
9.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
10.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
11.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
12.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
13.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
14.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
15.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
16.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
17.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
18.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
19.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
20.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
21.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
22.
Calcola il valore della seguente espressione.
Soluzione:
PER IL POTENZIAMENTO
1. Rifletti e rispondi, giustificando la tua risposta (si, perché .......; no, perché .......)
a. Aumentando il numeratore di una frazione, il valore della frazione aumenta? ..........
perché ........................................................................................................................................
b. Aumentando il denominatore di una frazione, il valore della frazione aumenta? .........
perché ........................................................................................................................................
c. Se il numeratore e il denominatore di una frazione vengono aumentati di uno stesso valore si
ottiene una frazione equivalente a quella data? .........
perché ........................................................................................................................................
d. Se il numeratore di una frazione si annulla, la frazione perde di significato? .......
perché ........................................................................................................................................
2. Completa le seguenti uguaglianze in modo che risultino vere:
5
2 + ....... =
15
7
7
9– ...... =
14
3 ...... –
4
1=
2
5
4
3 ...... =
8
15
5
3 : .... =
2
1 ........ :
9
8=
2
3
5
3 : .... = 1
4
7 ...... = 1 1 : ...... =
9
5
....
25
4
....2
27
....
....
23
1
4
5...
3. Rendi vere le seguenti uguaglianze utilizzando le proprietà delle potenze:
7...4
2
3
2
3
...
3
23...
...
5
4
...:
4
5
6...
2
...
...
5
4
......22
...
...
18
...
...
2
....
21
3
2
......55
....
....
....
35....
25
12
35
18:
....
....
4. Traduci in espressioni le seguenti istruzioni:
a. Sottrai 2
1 dal quoziente di
8
5 e
16
15 e moltiplica il risultato per la somma di
4
5 e
6
7.
b. Sottrai da 2
5 la somma di
7
3 e
21
5 e dividi il risultato per
3
11.
c. Dividi il quadrato della somma di 4
3e
2
1 per il quadrato della somma di
3
1e
2
1e moltiplica
il risultato per 9
4.
5. Completa, sapendo che a e b sono due numeri diversi da zero:
a. Se b = 9
7di a a – b =
....
....di a
b. Se b = 8
3di a a + b =
....
....di a
c. Se b = 7
5di a e a – b = 20 a = ......... b = ........
d. Se b = 11
3di a e a + b = 28 a = ......... b = ........
6. Risolvi la seguente espressione a termini frazionari:
6
5
9
1
4
1:2
3
4
2
5
8
1
8
5
2
1
2
1
3
2
9
4:
8
14:
8
7
45
8
4
15
22
33
7. Risolvi i seguenti problemi:
a. Per la sua festa di compleanno Luca riceve dal nonno 120 euro. Spende i 3/5 di questa somma
per l’acquisto di alcuni cd e i 2/3 di quanto gli rimane per comprare una maglietta. Potrà
acquistare anche un videogioco da 34 euro? Se no, quanti euro dovrà risparmiare dalla sua
paghetta settimanale?
b. Giuseppe ha letto i 5/7 delle pagine di un libro in una settimana e la metà delle pagine rimanenti
nei due giorni successivi. Se gli restano da leggere ancora 30 pagine, quante sono le pagine del
libro?
c. Un libraio ha sistemato 140 libri su due scaffali. Se sul primo scaffale ce ne sono 2/9 in più
rispetto al secondo, quanti libri deve spostare dal primo al secondo scaffale affinché su ciascuno
di essi ce ne sia la stessa quantità?
d. Ho acquistato un lettore di cd e ho versato 80 euro di anticipo, che corrispondono ai 4/11 del
suo intero costo. Dopo due mesi verso i 1/4 della rimanenza e il resto lo pago in 5 rate.
Quanto verserò per ogni rata?
Altri problemi con le frazioni
1.
Un ragazzo ha letto
3
4 di un romanzo. Poiché il libro è di 184 pagine, quante pagine deve ancora
leggere?
--------------------
2.
Da una botte piena di vino sono stati tolti
2
5 del contenuto, e cioè 78 litri. Qual è la capacità della
botte?
--------------------
3.
In una scuola media di 440 alunni,
2
5 frequentano la classe prima e
3
8 frequentano la classe
seconda. Quanti sono gli alunni iscritti alla classe terza? Quale frazione rappresentano?
--------------------
4.
Di un debito sono stati pagati una prima volta i
7
12 , una seconda volta i
2
5 del rimanente e
rimangono da pagare € 150. A quanto ammontava il debito? Quale frazione del debito rimane
ancora da pagare?
--------------------
5. Quattro persone si sono divise una somma. La prima e la seconda persona hanno avuto
rispettivamente
3
8 e
2
5 dell'intera somma; la terza persona ha avuto
2
3 della somma rimasta e la
quarta persona ha avuto L 120.000. A quanto ammontava l'intera somma? Quanto hanno ricevuto la
prima, la seconda e la terza persona?