matematica per economisti Beatrice Venturi
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Facoltà di Economia
Equazioni differenziali Lineari
ed Applicazioni Economiche
LEZIONE 2prof. Beatrice Venturi
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2
EQUAZIONI DIFFERENZIALI EQUAZIONI DIFFERENZIALI
LINEARILINEARI
APPLICAZIONI ECONOMICHEAPPLICAZIONI ECONOMICHE
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI
Questo tipo di equazioni si presenta nella seguente forma:
)()(' xgyxfy La formula che consente di determinare la soluzione generale è la seguente :
cdxxgeey
dxxfdxxf)(
)()(
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI
)(xxydx
dy
xdxxy
dy
)(
2
2
)(x
cexy
Esempi
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI
y′-xy=0
y(0)=1
Consideriamo il seguente problema a valori iniziali:
2
2
)(x
exy
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI
[Plot]
52.50-2.5-5
2.5e+5
2e+5
1.5e+5
1e+5
5e+4
0
x
y
x
y
2
2
)(x
exy
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Diapositiva sommario
ESEMPIO ECONOMICO
)(1
)(
1ts
Idt
dII
tsdt
dI
Modello di crescita di Domar
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Diapositiva sommario
dove la propensione al risparmio s(t) è ipotizzata variabile nel tempo
0)( Itsdt
dI
dttsCetI )()(
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI
Equazioni differenziali lineari: omogenee a coefficienti non costanti
Esempio
0)()()1( 1 xyxadx
dy
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI
)()(1 xyxadx
dy
dxxaxy
dy)(
)( 1
dxxaxy )()(ln 1
dxxaCexy )(1)(
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI
Abbiamo ottenuto l’integrale generale associato
all’equazione omogenea (1).
kdxxaety )(1)(
dxxaCety )(1)(
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI
Equazioni differenziali lineari: non omogenee
a coefficienti non costanti
)()()()2( 01 xaxyxadx
dy
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI
dxxae )(1
)(
)()(
0
)(
1
)()(
1
11
xae
xyxaedx
dye
dxxa
dxxadxxa
Moltiplichiamo entrambi i termini per:
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI
)())(( 0
)()( 11 xaexyeDdxxadxxa
dxxaedxxyeDdxxadxxa
)())(( 0
)()( 11
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE LINEARI
INTEGRALE GENERALEDELLA (2)
])([)( 0
)()( 11 cdxxaeexydxxadxxa
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IL PROBLEMA DI CAUCHY
Data un'equazione differenziale di ordine n, la richiesta di determinare l'integrale particolare
xy
che soddisfi n equazioni iniziali del tipo :
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,,........,,,
:
...........
,'
,
10000
100
1
00
00
00
0
nx
nn
yyxyyx
dove
yxy
yxy
yxy
yxy
sono valori assegnati, viene denominato problema di Cauchy.
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
Questo tipo di equazioni possono essere classificate in:
• omogenee;
• lineari non omogenee (1° e 2° caso);
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
)()(122
2
tftxadt
dxa
dt
xd
Equazioni differenziali lineari: non omogenee a coefficienti costanti
l’equazione omogenea ad essa associata è
0)(122
2
txadt
dxa
dt
xd
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
Ipotizziamo la soluzione di questa del tipo
tetx )(
tt edt
xdee
dt
dx 22
2
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
sostituendo
0)( 122 aae t
l’espressione in parentesi prende il nome di polinomio caratteristico
0122 aa
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
Caso a)se le radici
21 esono distinte
l’integrale generale della equazione omogeneaha la seguente forma
tt ecectx 2121)(
dove Rcec 21
sono due costanti arbitrarie.
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
Caso b)se le radici
21
sono coincidentil’integrale generale della equazione omogenea
ha la seguente formatt tecectx
21)( dove 21 cec
sono due costanti arbitrarie
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Caso c)se le radici
i1
, i2
sono complesse coniugatel’integrale generale della equazione omogenea
ha la seguente forma
tektektx tt sincos)( 21
dove la forma reale si ricava utilizzando il teorema di Eulero
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
Esempi
tttxdt
dx
dt
xd3)(32 3
2
2
0322
311)
2(
22
2/1 a
acbb
3,1 21
Integrale generale della omogenea
tttt eetxeetx 321
21 )(,)(
tt ecectx 321)(
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
dctbtattx 23)(
cbtattx 23)(' 2
battx 26)(''
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
ttdctbtat
cbtatbat
3)(3
)23(226323
2
0322
03346
036
013
dcb
cba
ba
a
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
Da cui l’integrale particolare
27
22
9
5
3
2
3
1)( 23 ttttx
)()( 321 txtecectx tt
e quello generale
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
Problema di Cauchy
1)0( x
0)0( x
tttxdt
dx
dt
xd3)(32 3
2
2
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
23t2 5
9t 1
3t3 e t 5
27e3t 22
27x(t)=
52.50-2.5-5
5e+5
3.75e+5
2.5e+5
1.25e+5
0
x
y
x
y
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
21
tt tecectx 21)(
0)(91242
2
txdt
dx
dt
xd
2
3
4
36)6(6 2
2/1
09124 2
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
0)(522
2
txdt
dx
dt
xd
i211 i212
)2sin2(cos)(1 titetx t
)2sin2(cos)(2 titetx t
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EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE DEL SECONDO ORDINE
tetxtx
t t 2cos2
)()()( 21
1
tei
txtxt t 2sin
2
)()()( 21
2
tektektx tt 2sin2cos)( 21
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BIBLIOGRAFIA
M. KLINE : “Storia del pensiero matematico”.
DIRKSJ.STRUIK : “Matematica : un profilo storico”.
COURANT/ROBBINS : “Che cos’è la matematica”.
BENCINI/GERONIMO : “Il pensiero matematico”.
DODERO/BARONCINI : “Itinerari di matematica”.
Volumi annuali dell'Enciclopedia Britannica.