8/7/2019 Metodi Matematici Fisica Esercizi
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Raccolta di esercizi del corso di
Metodi matematici della fisica
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0. Esistenza integrali
0.1 Discutere lesistenza dellintegrale
G(z) =
+0
dx ex xz1 ,
al variare di z nel piano complesso.
0.2 Discutere lesistenza dellintegrale
I() =
+0
dx|x 1|1 + x2
log |x 1| ,
al variare di sullasse reale. al variare di z nel piano complesso.
0.3 Si consideri la seguente rappresentazione integrale per la di Eulero:
log (z) =
0
dt
te
zt et
1 et
+ (z
1)et .
Si valuti la sua esistenza e si deduca la relazione (z + 1) = z(z) .
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1. Analiticita
1.1 Trovare la funzione g(x, y) tale che F(z) = f(x, y) + ig(x, y) sia analitica inun certo dominio D, dove
f(x, y) =x(1 + x2 + y2)
x2 + y2.
Specificare il dominio D.
1.2 Considerate la funzione di variabile complessa definita sul semipiano su-periore Im z 0 in maniera tale che:
f(z) e analitica su I mz > 0 e continua su Im z 0f(z) reale, se z e reale|f(z)| = o(1) per |z| + , Im z 0Dimostrare che f(z) e identicamente nulla.
1.3 Sia C1(2) il cerchio unitario centrato in z = 2.Confrontare e spiegare il risultato degli integrali
C1(2)
dz 1z
,C1(2)
dz 1z
.
1.4 Data la funzione (z) di Eulero, calcolare (7/2) e dimostrare la suaindipendenza dal grado di continuazione analitica considerato.
1.5 Mostrare come la funzione
w = f(z) = i z + 1z
1
,
trasformi la circonferenza C1(0) centrata nell origine e di raggio 1, nellasse reale e linternodel cerchio nel semipiano superiore.
Dato il numero complesso w nel piano della variabile w che e simmetrico rispetto allasse reale del numero complesso w, trovare il numero complesso z che gli corrisponde nelpiano della variabile z ed analizzarne la relazione con z.
1.6 Giustificare integrando esplicitamente la seguente eguaglianza:
1+i/2
1
dz log(z) = (1 + i/2) log(1 + i/2)
i(2k + 1/2) ,
con k intero.Ottenere il risultato precedente dopo aver convenientemente sviluppato la funzione
integranda in serie di Taylor.
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1.7 Quando il parametro p lo consente, esprimere tramite la funzione (z) diEulero e le relazioni da essa soddisfatte il seguente integrale:
10
dttp1(1 t)p.
Avendone giustificato l uso, utilizzare il risultato precedente per valutare (1/2).
1.9 Si consideri la funzione di variabile complessa
f(z) = sin z .
Si determinino il minimo ed il massimo della sua parte reale in
Q = {x + iy : 0 x , 0 y } .
1.10 Si consideri la funzione polidroma
f(z) =
z
2
1 .Si espanda una diramazione della f(z) in serie di potenze nell intorno dell origine,scegliendo una diramazione tale che il suo massimo disco di analiticita con centro l origineabbia raggio 12 e tale che f(1/4) stia sull asse immaginario positivo.
1.11 Sia data la seguente serie di potenze
f(z) =k=0
akzk
il cui raggio di convergenza si supponga essere inifinito. Si dimostri che, se f(z) soddisfala relazione
|f(z)| a|z|c
per tutti gli z tali che|z| > b ,
dove a, b, c sono tre costanti reali non negative, allora f(z) e un polinomio di grado c.
1.12 Sia B(p,q) la funzione Beta di Eulero. Si dimostri, senza fare uso dellafunzione Gamma di Eulero, la relazione seguente
B(p,n + 1) =n!
p(p + 1) . . . (p + n),
dove n e un intero positivo e Re(p) > 0.
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1.13 Data la funzione di variabile complessa
f(z) =(z) (z)
z3
se ne studino le proprieta di analiticita e se ne calcolino i residui.
1.14 Si studino le proprieta di analiticita nel piano complesso della funzione
f(z) = z 1z 1 . (1)
1.15 Sia f(z) analitica e non costante allinterno del disco unitario C0(1),centrato nellorigine, e continua in C0(1) C0(1), ma costante in modulo sulla suacirconferenza. Si dimostri che f(z) deve avere almeno uno zero in C0(1). (Suggerimento:si consideri 1/f).
1.16 Sia data la funzione
f(z) =4
z4 + 4 .
Si descriva una sua generica diramazione che risulti analitica nel dominio(Re(z) > 1)
(Re(z) < 1)
(Im(z) > 1)
(Im(z) < 1)
(1 < Re(z) < 1)
(1
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1.18 Si esprima sotto forma di sviluppo in serie di potenze la soluzione dellequazione differenziale
df(z)
dz=
2z
z2 1soddisfacente la condizione f(0) = 0. Si trovi il disco di convergenza di tale serie e siverifichi che entro tale dominio essa soddisfa l equazione e la condizione date. Si continuianaliticamente la soluzione lungo la circonferenza C1(1) di centro il punto 1 e raggiounitario, percorsa in senso positivo e si trovi il valore di f(0) dopo un giro di 2 attorno
al punto 1.1.19 Si trovino i punti di massimo e di minimo della parte reale e della parte
immaginaria della funzione f(z) = z2 nel disco D : 0 |z| 1, e si determini il valoredella f(z) in tali punti.
1.20 Si calcoli il seguente integrale
1+i0
dz ez
lungo i tre seguenti percorsi:1 : da 0 ad 1 lungo l asse reale e da 1 ad 1 + i lungo una parallela all asse
immaginario;2 : da 0 ad 1 + i lungo la bisettrice del primo quadrante;3 : da 0 ad i lungo l asse immaginario e da i ad 1 + i lungo una parallela all asse
reale;e si mostri come il risultato non dipenda dal particolare cammino scelto.
1.21 Si descriva una diramazione della funzione
f(z) = (z2 + 1) 13 (z 1) 13
tale da essere analitica per |z| > 1 e si trovi il suo residuo all infinito.
1.22 Si consideri la seguente funzione
f(z) = log
z 1
z
e si trovino i suoi punti di polidromia. Si verifichi se il punto all infinito sia polidromo. Sidescrivano tutte le possibili diramazioni aventi il taglio sull asse reale, selezionando quellein cui il punto all infinito sia punto di analiticita; si scriva esplicitamente per questediramazioni lo sviluppo in serie di Taylor nell intorno del punto all infinito e si mostri comeil residuo all infinito valga 1 , indipendentemente dalla particolare diramazione scelta.
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1.23 Si consideri la seguente equazione differenziale
4z2y(z) + y(z) = 0
e si cerchi una sua soluzione del tipo
y(z) = z12 S(z) ,
con S(z) serie di potenze in (z
1), soluzione che sia analitica in z = 1 e soddisfacente
le condizioni iniziali y(1) = 1 = y(1) . Per z 12 si prenda la diramazione principale,analitica entro il disco di convergenza D1 di S(z). Preso un generico punto z D1, siconsideri la funzione y+(z), ottenuta prolungando analiticamente y(z) lungo un percorsosemplice chiuso orientato positivamente attorno all origine z = 0. Si trovino l equazionedifferenziale e le condizioni iniziali soddisfatte da y+(z).
1.24 Si esprima sotto forma di sviluppo in serie di potenze la soluzione dellequazione differenziale
df(z)
dz=
1
1 + 2z+
1
1 2zsoddisfacente la condizione f(1) = 12 log 3. Si trovi il disco di convergenza di tale serie e siverifichi che entro tale dominio essa soddisfa l equazione e la condizione data. Si continuianaliticamente la soluzione lungo la circonferenza C1(0) di centro l origine e raggio 1,percorsa in senso positivo una sola volta e si trovi il valore che si ottiene a partire daf(1) = 12 log 3 dopo un giro di 2 .
1.25 Sia data la funzione f(z) analitica nel disco D di centro l origine e raggiounitario; in D essa sia definita dalla serie
n=0
zn .
Si descriva esplicitamente il prolungamento analitico alla Weierstrass di f(z) lungo lacurva data dalla bisettrice del secondo quadrante, in modo da poter trovare il valore ditale prolungamento nel punto z 3(i 1) .
1.26 Si valuti il dominio di convergenza della serie
n=2
(n 1)B(n + 13 ,
23 n)
zn
n!,
dove e B sono le note funzioni di Eulero, e si trovi la funzione f(z) tale che la sommadella serie sia una sua diramazione. Di quanto s incrementa la funzione f(z) prolungataanaliticamente lungo una circonferenza di raggio unitario e centro in 1, percorsa una solavolta in senso positivo ?
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1.27 Si esprima sotto forma di sviluppo in serie di potenze la soluzione dellequazione differenziale
df(z)
dz=
1
z2 1soddisfacente la condizione f(0) = 0. Si trovi il disco di convergenza di tale serie e siverifichi che entro tale dominio essa soddisfa l equazione e la condizione date. Si continuianaliticamente la soluzione lungo il percorso ad otto dato dalla circonferenza C1(1)di centro il punto 1 e raggio unitario, percorsa una sola volta in senso positivo e dallacirconferenza C1(1) di centro il punto 1 e raggio unitario percorsa una sola volta in sensonegativo e si trovi la variazione di f(z) dopo tale prolungamento.
1.28 Si consideri la funzione zeta di Riemann, definita per z > 1 dallo sviluppoin serie
(z) =+n=1
nz .
Si continui analiticamente tale funzione tramite la rappresentazione integrale
(z) =1
2
+1
z 1+ 2
+
0
dt(1 + t2)z
2 sin(z arctan t)(e2t
1)1 ,
valida in tutto il piano complesso, tranne z = 1 .Si valuti (1) .( Nel computo puo essere d aiuto l identita di Parseval relativa alla funzione F(t) = t ,
definita per < t < . )
1.29 Si trovi una soluzione dell equazione
z(1 z) d2f(z)
dz2+
df(z)
dz+ 12f(z) = 0
che sia analitica in z = 1. Si prolunghi analiticamente tale soluzione e la si esprima comesviluppo in serie di potenze nell intorno di z = 0.
1.30 Si consideri la seguente equazione differenziale
d2f(z)
dz2 2z df(z)
dz+ 8 f(z) = 0 .
Si trovi una sua soluzione, espressa come sviluppo in serie di potenze, che soddisfi lecondizioni
f(0) = 1 , f(0) = 0 .
Si prolunghi analiticamente tale soluzione e si trovi il suo valore nel punto z=3.
1.31 Si consideri il piu generale polinomio armonico in due variabili in cui tuttigli addendi abbiano grado 3 e si trovi la funzione analitica la cui parte reale ( o immaginaria) coincida con tale polinomio.
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1.32 Si consideri la seguente rappresentazione integrale:
f(z) =
10
dt
log1
t
z
e si trovi per quali valori della variabile complessa z essa sia definita. Si prolunghi analiti-camente tale rappresentazione a tutto il piano complesso, trovando gli eventuali punti dipolidromia e le eventuali singolarita al finito, e si scriva l andamento asintotico di f(z) pergrandi z, con
z > 0.
1.33 Si esprima sotto forma di sviluppo in serie di potenze la soluzione dellequazione differenziale
(1 + z2)d2f(z)
dz2+ 2z
df(z)
dz= 0
soddisfacente le condizioni f(0) = 0, f(0) = 1 . Si trovi il disco di convergenza di taleserie e si verifichi che entro tale dominio essa soddisfa l equazione e le condizioni date.Si continui analiticamente la soluzione a tutto il piano complesso. Di quanto essa variacontinuandola analiticamente lungo la circonferenza C2(0) di centro l origine e raggio 2,percorsa una sola volta in senso positivo ?
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2. Sviluppi in serie
2.1 Sviluppare nellintorno dellinfinito la funzione
f(z) =z2
(z 1)(z2 2) ,
e calcolarne il residuo in quel punto.
2.2 Discutere lo sviluppo della seguente funzione
f(z) =(z z1)(z z2) ,
in un intorno dellorigine, con 0 < |z1| < |z2| e , numeri complessi generici.
2.4 Giustificare la seguente espansione in serie di Laurent
f() = e
z/2(
1/)
=
+
n=Jn(z)
n
,
con z un parametro complesso fissato e dimostrare che i coefficienti dellespansione sonodati da
Jn(z) =1
0
d cos(n z sin ) .
Nellintegrale di Cauchy che determina la Jn(z) si sostituisca la variabile d inte-grazione u con la nuova variabile w = z2u. Si usi quindi il noto sviluppo in serie degliesponenziali per scrivere, giustificando i vari passaggi, le funzioni di Bessel Jn(z), con nintero positivo, come serie di potenze di
z.
2.5 Si calcoli esplicitamente la funzione g(z) sommando la seguente serie
g(z) =n=0
n2
n + 1zn ,
discutendo l apparente polidromia di g(z) e la sua apparente divergenza nell origine.
2.6 Mostrare che quando z assume il valore reale, positivo, semi-intero piu piccoloper cui la serie
n=0
n2 + 1
zn
converge, la somma della serie vale 33.
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2.7 Si trovi, laddove esista, la somma della seguente serie
n=0
z2n1
2n + 1.
Una volta trovata la funzione somma, la si sviluppi in serie opportunamente per ritrovarela serie di potenze, giustificando i vari passaggi
2.8 Si trovi nel dominio di convergenza la somma della serie
n=2
n + 5
3
1zn .
Una volta trovata la funzione somma, la si sviluppi in serie opportunamente per ritrovarela serie di partenza, giustificando i vari passaggi.
2.9 Si consideri la funzione f(z) rappresentata in un intorno dellorigine dallosviluppo in serie di potenze
f(z) = n=0
anzn ,
dovea0 = a1 = 1
an = an1 + an2 , n 2 ,e si trovi il suo raggio di convergenza.
Considerato il prolungamento analitico della f(z) fuori da tale cerchio si valuti lapolidromia della f(z) nel piano complesso e si trovino gli eventuali punti singolari.
2.10 Dimostrare che0
dxxs
1 + ex=
1 2s
(s + 1)(s + 1) , Re(s) > 0
dove () e la funzione Zeta di Riemann, definita dalla serie
() n=1
n .
2.11 Si consideri la seguente funzione di due variabili
f(z, t) = exp
z
2
t 1
t
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e la si sviluppi in serie di potenze in t (quale serie ?) nellintorno di un suo punto dinon analiticita in t. Si dimostri come i coefficienti di tale sviluppo siano delle funzioniintere della variabile z e come essi siano riconducibili a funzioni ben note (usando una lororappresentazione come sviluppi in serie di potenze di z ).
2.12 Si consideri la seguente funzione di due variabili complesse x e z sviluppatain serie di Taylor intorno a z = 0
z e
x z
ez 1 =n=0
Bn(x) z
n
n! .
I coefficienti Bn(x) sono conosciuti come polinomi di Bernoulli ed i valori Bn := Bn(0)come numeri di Bernoulli.
a) Discutere il raggio di convergenza uniforme della serie.b) Provare esplicitamente che Bn(x) e un polinomio di ordine n in x.Si consideri la serie di cui sopra con x = 0 e si usi il teorema di Cauchy per dedurre
il valore di B0 e B1.
2.13 Si consideri la funzione polidroma
f(z) = (z4 1)1/4
e si scelga una sua diramazione tale che la f(z) sia analitica nel dominio C \ D dove De il disco con centro nellorigine e raggio unitario. Si sviluppi tale diramazione in serie diLaurent nelintorno dellinfinito e si calcoli il suo residuo allinfinito. Si valuti inoltre ilvalore della funzione f(z) nel punto z = 1 + 2i.
2.14 Si discuta il dominio di definizione D della seguente rappresentazione dellafunzione di variabile complessa f(z):
f(z) = 1 +1
z
n=1
(1)n (z 1)n+1
n
n=1
zn
n(n + 1). (1)
a) Si dimostri, sommando esplicitamente le serie, che
f(z) = Az 1
z+
z 1z
logz 1
z, (2)
dove A e una costante dipendente dalla scelta della diramazione per la funzione loga-ritmica.
b) Si studi la funzione (2) in relazione all equazione differenziale
z(z 1) f(z) + ( 2z 3) f(z) + f(z)z(z 1) = 0 .
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2.15 Si determini il raggio di convergenza della serie
+n=0
n2
zn, ()
e la si sommi esplicitamente. Si prolunghi analiticamente il risultato a tutto il pianocomplesso, se ne discutano zeri e singolarita e si confronti lo sviluppo in serie di Laurentintorno allorigine con lespressione (*).
2.16 Si consideri la seguente serie di potenze
n=1
zn znn2n
e si trovi il suo dominio di convergenza e la sua somma esplicita in tale dominio. Si sviluppiquindi in serie di potenze tale somma per ritrovare lespressione di partenza.
2.17 Si trovi il dominio di convergenza della seguente serie di potenze
I(; z) =n=0
(n )n + 2
zn
n!, ()
dove e un qualsiasi numero complesso, e si trovi lespressione esplicita della funzioneI(; z).
2.18 Si consideri il seguente sviluppo in serie di Taylor
n=0
1/3
n
(z 1)n ,
e si trovi il disco D entro il quale esso converge e vi rappresenta una funzione analiticaf(z).Si trovi il valore del prolungamento analitico alla Weierstrass della f(z) nel punto 1 2ieseguito lungo il percorso orientato dato dalla successione dei quattro segmenti orientati{1, 2, 3, 4}, i cui estremi sono
1 : (1, 1 + 2i)2 : (1 + 2i, 1 + 2i)3 : (1 + 2i, 1 2i)4 : (1 2i, 1 2i) .
Si calcoli inoltre lintegrale 12i1
f(z) dz
eseguito lungo il percorso formato dai segmenti orientati {1, 2, 3}.
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2.19 Si consideri il seguente sviluppo in serie di potenze:
=0
1
(4/3 2)( + 1/2)!z
2
2.
Si trovi il suo dominio di convergenza e lespressione esplicita della funzione analitica il cuisviluppo in serie di Taylor nellintorno dellorigine coincida con lo sviluppo sopra indicato.(Suggerimento: si faccia uso della relazione (1/2)(2 1)!! = 2( + 1/2).)
2.20 Si sommi la seguente serie, dopo avere trovato il suo dominio di convergenza,
f(z) =n=1
2n + n3z2n
n(2z)n.
Si prolunghi analiticamente tale somma al di fuori del dominio citato e se ne descrivano leprincipali caratteristiche.
2.21 Si consideri la seguente serie di potenze
n=0
(a)n(b)n
(a 1)nn! zn
,
dove a , b sono numeri complessi generici, si trovi il suo disco di convergenza e la funzioneanalitica f(z) ivi rappresentata da tale somma. Si valuti f(z) in z = 12 e la si prolunghianaliticamente lungo un percorso chiuso ad 8 che parta da z = 12 , giri in senso antiorariosolo attorno a z = 0 e poi in senso orario solo attorno a z = 1 fino a ritornare al puntoz = 12 . Come sara variata f(z) alla fine di tale prolungamento analitico ?
2.22 Si consideri una generica diramazione della funzione
f(z) =
log z
z 1avente il taglio sul semiasse reale negativo, si scriva il suo sviluppo in serie di Laurent nellintorno del punto z = 1 e si discuta sul tipo di singolarita presente in tal punto.
2.23 Si consideri la seguente funzione
f(z) =
z 1e si scriva lo sviluppo in serie di potenze di (z z0), con z0 = 1, di una sua diramazione. Simostri esplicitamente come il raggio massimo di convergenza di tale serie sia pari a |z01|.
2.24 Si trovi il cerchio di convergenza della serie di potenzen=0
n(n 2) zn
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e si scriva la funzione somma di tale serie entro il cerchio.
2.25 Si trovi il cerchio di convergenza della serie di potenze
n=0
1
(n + 1)(n + 2)zn
e si scriva la funzione somma di tale serie entro il cerchio.
2.26 Si calcoli lo sviluppo in serie di potenze nell intorno di z = 0 della funzione
f(z) =1
1 z z2e si trovi il suo raggio di convergenza.
2.27 Si trovi, laddove esista, la somma della seguente serie:
S =n=1
(1 + nz)2zn
n(n + 1).
2.28 Data la seguente funzione:
f(z) = (2 z) 12 (3 z) 12 ,si consideri una sua diramazione tale da essere sviluppabile in serie di Taylor nel discocentro origine e raggio 2 e sviluppabile in serie di Laurent attorno all origine ed attornoall infinito per |z| > 3. Si trovino esplicitamente tali sviluppi, giustificando il motivo percui il secondo sviluppo e del tipo di Laurent sia attorno all origine che attorno all infinito,tenendo conto opportunamente delle fasi. ( N.B. E sufficiente indicare i coefficienti deivari sviluppi come singole sommatorie finite. )
2.29 Si consideri la seguente serie
n=0
()nn!
z2n + (ab)n
znbn,
dove e un numero complesso generico ed a e b sono numeri reali positivi. Si trovi qualecondizione debbano soddisfare a e b affinche la serie converga ed in quale dominio del pianocomplesso z. Si calcoli esplicitamente la somma di tale serie, evidenziandone l analiticitanel dominio di convergenza.
2.30 Si trovi la funzione f(z) tale che la somma della seguente serie di potenze
n=1
zn
n(n + 2)(n + 4),
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sia una sua diramazione.
2.31 Per ogni numero intero n si definisca come q-numero [n] la seguentequantita:
[n] := qn1 + qn3 + qn5 + + qn+3 + qn+1,dove q e un generico numero complesso differente da 1.
Si mostri comem=0[n + 2] = [m + 1][n + m] .
2.32 Si consideri la seguente serie
k=0
kw2
w1
kcos k ,
dove w1, w2 sono numeri complessi e e reale, con 0 < 2 . Si definisca il dominio diconvergenza della serie e si trovi la forma esplicita della funzione somma ivi definita.
2.33 Si esprima sotto forma di sviluppo in serie di potenze la soluzione dellequazione differenziale
df(z)
dz=
1
1 + z2
soddisfacente la condizione f(0) = 0. Si trovi il disco di convergenza di tale serie e siverifichi che entro tale dominio essa soddisfa l equazione e la condizione data. Si continuianaliticamente la soluzione lungo la circonferenza C2(2i) di centro il punto 2i e raggio 2,percorsa in senso positivo una sola volta e si trovi il valore che si ottiene a partire daf(0) = 0 dopo un giro di 2 .
2.34 Si valuti il dominio di convergenza della seguente serie
n=0
(12 + n)(12 n)
(n + 3)n! zn
e si trovi la funzione f(z) tale che la somma della serie sia una sua diramazione.
2.35 Si trovi una soluzione della seguente equazione differenziale tramite sviluppoin serie di potenze attorno all origine:
z2f(z) + zf(z) + (z2 1)f(z) = 0.
A partire da f(0) si trovi il valore assunto da f(z) prolungata analiticamente lungo ilseguente percorso chiuso, orientato := {1, 2, 3} , dove 1 e il segmento orientato dall
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origine al punto 2 , 2 e la circonferenza centro origine e raggio 2, orientata positivamentee 3 e il segmento orientato dal punto 2 all origine.
2.36 Si trovi il dominio di convergenza della serie di potenze
n=3
n + 6
3
n + 6
3
1zn ,
e si calcoli la funzione S(z) somma della serie in tale dominio. Si prolunghi analiticamentela funzione S(z) a tutto il piano complesso e se ne descriva le singolarita.
2.37Si consideri la funzione f(z) rappresentata in un intorno dell origine dallo sviluppo in
serie di potenze
f(z) =n=0
anzn ,
dovea0 = a1 = 1, an = an
2 + an
1 + 1, n
2 ,
e si trovi il suo raggio di convergenza. Considerato il prolungamento analitico della f(z)fuori dal disco di convergenza, si valuti la polidromia della f(z) nel piano complesso e sitrovino gli eventuali punti singolari.
2.38 Si valuti il dominio di convergenza della seguente serie
n=0
B( 12 + n,12
n)( n) n! z
n ,
con generico numero complesso, e si trovi la funzione f(z) tale che la serie sia lo sviluppoin serie di una sua diramazione.
2.39 Si consideri la seguente serie:
+n=0
einz .
Si trovi il dominio in cui essa converge e si descriva la sua continuazione analitica a tuttoil piano complesso esteso tramite la funzione cotangente.
2.40 Si consideri la seguente serie ( divergente )
n=1
n .
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Si calcoli il suo valore regolarizzato come
lim0+
n=1
nen ,
cui venga sottratto il termine divergente polare.
2.41 Si trovi la funzione somma delle due serie seguenti
+m,n=0
zm+n
m + n + 2+
+m, n = 0
m = n
zm+n
n m ,
per |z| < 1.(N.B. Si intende valida l uniforme convergenza laddove risulti necessaria. )
2.42 Si consideri la seguente serie di potenze
k=1
zk kn=1
1n
.
Si determini il suo dominio di convergenza e si trovi la funzione il cui sviluppo in serie diTaylor nell intorno dell origine coincida con la serie data.
2.43 Si determini il dominio di convergenza della serie
n=0
n4
zn
ed ivi la si sommi esplicitamente. Si denoti con f(z) il prolungamento analitico a tutto ilpiano complesso di tale somma. Si trovino i punti singolari di f(z) e si scriva esplicitamentelo sviluppo in serie di Laurent di f(z) nell intorno ( punturato ) di tali punti. Si scriva,infine, esplicitamente lo sviluppo in serie di Taylor di f(z) in un opportuno intorno dellorigine.
2.44 Si sommi la seguente serie
+
m, n = 0m n = 1
zm+n
n m + 1 ,
nel disco |z| < 1.( N.B. Si intende valida l uniforme convergenza laddove risulti necessaria. )
18
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19/49
2.45 Si trovi la funzione somma della seguente serie:
+n=1
3n2 + 6n + 2
n3 + 3n2 + 2nzn ,
laddove essa converga uniformemente.
2.46 Si individui il dominio di convergenza della serie
n=0
zz4 1
n[(z + 1)n + (z 1)n](z2 + 1)n + [(z i)n + (z + i)n](z2 1)n
ed ivi si trovi l espressione esplicita della sua somma.
2.47 Si consideri il seguente sviluppo in serie di potenze
n=1
zn
n
n1
k=0
bkn ak1 ,
con 0 < a < b. Si valuti il dominio di convergenza di tale serie e si trovi la funzione taleche una sua opportuna diramazione possieda il suddetto sviluppo in serie nel dominio diconvergenza.
2.48 Si considerino le due seguenti funzioni definite tramite sviluppi in serie dipotenze:
3F2[a, b, c; d, e; z] :=n=0
(a)n(b)n(c)n(d)n(e)n
zn
n!
ed
2F1[a, b; c; z] :=
n=0
(a)n(b)n(c)n
zn
n!,
dove a, b, c, d, e, a, b, csono numeri complessi generici. Si trovino i domini di conver-genza delle due serie. Supponendo che sia ben definito il limite delle due funzioni perz 1, si calcoli
3F2[a, b, 1; d, 2; 1] ,
tenendo conto della relazione
2F1[a, b; c; 1] = (c
) (c a b)(c a) (c a)
valida per Re(c a b) > 0 .
19
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20/49
2.49 Si trovi il dominio di convergenza della seguente serie di potenze:
k=0
1
(3/2 k) k! (ikz2k+1 + 22k+1z2k) ,
ed ivi si calcoli la sua somma esplicitamente, specificando eventuali diramazioni.
2.50 Si consideri la seguente serie
1
2
z +
1
z
+
n=1
z 1
z
11 + zn
11 + zn1
,
e se ne determini la somma come funzione della variabile z in tutti i domini in cui converga.
2.51 Si determini il dominio di convergenza della serie
n=03
k=0nk
zn
ed ivi la si sommi esplicitamente. Si denoti con F(z) il prolungamento analitico a tutto ilpiano complesso di tale somma. Si trovino i punti singolari di F(z) e si scriva esplicitamentelo sviluppo in serie di Laurent di F(z) nell intorno ( punturato ) di tali punti.
2.52 Si consideri la funzione analitica f(z) soluzione dell equazione
f(z) = 1 + zf(z) + z2f(z) .
Si trovi l espressione esplicita dei coefficienti del suo sviluppo in serie di Taylor in unintorno di z = 0 , ed il raggio di convergenza di tale serie. Si mostri, alla fine, come talicoefficienti soddisfino le relazioni
a0 = 1 = a1 , an = an1 + an2 , n 2 .
2.53 Si valuti il dominio di convergenza della seguente serie:
n=0
n3( 2nzn + zn )
e si trovi la funzione f(z), prolungamento analitico della somma della serie a tutto il pianocomplesso.
20
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3 . Integrali
3.1 Sia C2(0) il cerchio di raggio r = 2 e centro z = 0. Calcolare lintegrale
I =
C2(0)
dzcos(z2)
(z + 1 i)3 .
3.2 Calcolare il seguente integrale in funzione del parametro reale a, discutendone
anche lesistenza a priori:
I(a) =
+
dxx sin(a x)
x2 + 2 x + 2.
3.3 Si consideri il percorso N = 1N 2N 3N 4N, orientato positiviamente,
dove
1N ={z = (N +1
2) + iy , (N + 1
2) y (N + 1
2)}
2
N ={z = x + i(N +1
2 ) , (N +1
2 ) x (N +1
2 )}3N ={z = (N +
1
2) + iy , (N + 1
2) y (N + 1
2)}
4N ={z = x i(N +1
2) , (N + 1
2) x (N + 1
2)}
Sia N un intero positivo e si studi il limite
limN+
N
dz1
z2 sin z.
In seguito, usando il teorema dei residui, dimostrare che
+n=1
(1)n+1n2
=2
12.
3.4 Calcolare con i metodi complessi il seguente integrale:
I(a) =
10
dx
1 x2
x2 a2 ,
con a > 1 ed accennare alle differenze nei casi a = 0 e 0 < a 1.
3.5 Calcolare con i metodi complessi il seguente integrale:
I =
+0
dxlog x
x2 1 ,
21
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scegliendo la diramazione 3/2 < arg(z) < 7/2.
3.6 Calcolare con i metodi dellanalisi complessa il seguente integrale, dopo avernediscusso lesistenza:
I =
10
dxx2/3 (1 x)1/3
1 + x.
3.7 Dopo averne discusso lesistenza, calcolare il seguente integrale con i metodi
dellanalisi complessaI(a) =
0
dx
(x2 + a2)(ln2 x + 2)
con a reale, positivo.
3.8 Calcolare il seguente integrale
J =
1+i1
dz
z2 + 1
3.9 SianoA = a + i =
a2 + 2ei, B = b + i
due parametri complessi. Discutere l esistenza del seguente integrale nel caso particolarein cui a = 0 e calcolarlo nel caso generale con i metodi dell analisi complessa:
I =
+
dxeAx2+2Bx.
3.10 Siano p e q reali > 0 con p + q = n intero > 1.
Calcolare con i metodi dell analisi complessa il seguente integrale:
Ip,q =
10
dttp1(1 t)q1 .
Verificare la simmetria del risultato sotto loscambio di p con q e confrontarlo conalcuni risultati che si possono ottenere con altri metodi per alcuni valori specifici di p e q.
3.11 Dopo averne discusso l esistenza, calcolare, con i metodi dell analisi com-plessa, e per una generica diramazione con taglio sull asse reale negativo, il
seguente integrale:I =
+0
dxlog x
x(1 + x).
Giustificare con i mezzi dell analisi reale il risultato.
22
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3.12 Dopo averne discusso lesistenza, si calcoli il seguente integrale
I =
10
dx xk lnn x .
con k reale ed n intero, n 1.
3.13 Calcolare il seguente integrale nel piano complesso, utilizzando le tecniche
dellanalisi complessa presentate durante il corso
I =
i0
dzz
z2 1 .
3.14 Dopo averne discusso lesistenza, si calcoli il seguente integrale
I =
0
dxsin2x
x2.
3.15 Dopo averne discusso lesistenza, si calcoli il seguente integrale nel pianocomplesso, utilizzando le tecniche dellanalisi complessa
I(a) =
11
dx
(x a)1 x2 , a R , 1 < a < 1 .
Mostrare, inoltre, come il risultato sia in accordo con le proprieta di simmetria del suddettointegrale.
3.16 Calcolare con i metodi dellanalisi complessa il seguente integrale, discuten-done previamente lesistenza:
I =
0
dxln2 x
(x + 1)3.
Suggerimento:1
(x + 1)3= 1
2
b
1
(x + b)2
b=1
.
3.17 Calcolare con i metodi dellanalisi complessa il seguente integrale, discuten-
done previamente lesistenza:I =
dxex
(1 + ex)
dove, e un parametro reale.
23
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3.18 Calcolare con i metodi dellanalisi complessa il seguente integrale, discuten-done previamente lesistenza:
I =
dxln |x|
x2 + 4.
3.19 Calcolare con i metodi dellanalisi complessa il seguente integrale, discuten-done previamente lesistenza:
I =0
dx ln x(x2 + a2)2
x
,
con a reale positivo.
3.20 Discutere lesistenza, e calcolare il seguente integrale:
I =
0
dxx1 sin x ,
con reale.
3.21 Calcolare con i metodi dellanalisi complessa il seguente integrale, discuten-done previamente lesistenza:
I =
10
dxx1/3(1 x2)1/3 .
3.22 Discuterne lesistenza, e calcolare il seguente integrale:
I =0 dx
(log x)2
x2 + 1 .
Provare che il valore di I non dipende dalla diramazione scelta.
3.23 Si valuti lesistenza e si calcoli il seguente integrale, esprimendolo come unafunzione del parametro reale y:
I(y) =
+
dx eixysin2 x
x2.
3.24 Si consideri lintegrale
I =
+0
dxxp1
1 + x,
24
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con p parametro complesso.(a) Si calcoli I riconducendolo ad una beta di Eulero ed usando le relazioni tra beta e
gamma di Eulero.(b) Si calcoli I con i metodi dellanalisi complessa, usando una diramazione generica.
3.25 Si calcoli con i metodi dellanalisi complessa il seguente integrale
I = +
0
dxlog x
(x2
+ 1)2
. (2)
Il valore dellintegrale (2) dipende dal foglio della superficie di Riemann su cui lo si calcola?
3.26 Si discuta lesistenza dellintegrale
I() =
+0
dxx
x2 1 , R . ()
Si calcoli (*) con i metodi dellanalisi complessa, tagliando il piano complesso lungo lassedelle ordinate ed usando il taglio come componente di un opportuno percorso chiuso.
3.27 Si discutano le condizioni di esistenza dellintegrale
I(, ) :=
+0
dx x ex , (2)
al variare di nel piano complesso con reale. Si fissi arg() < e si esprimaI(, ) in termini della di Eulero. (suggerimento: si consideri reale e si operi unprolungamento analitico). Si usi questa espressione per calcolare lintegrale
I :=+0
dx sin xx
.
3.28 Si calcoli il seguente integrale:
I(a) =
+0
dxlog x
(x2 + a2)(log2 x + 2/4),
dove a e una costante reale positiva.
3.29 Dopo aver verificato lesistenza del seguente integrale:
I = i
+0
dx1
x(1 + x)(log x + 2 i), (2)
25
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26/49
si mostri con le tecniche del campo complesso che I = 2 2
.
3.30 Si calcoli, con i metodi dell integrazione complessa, il seguente integrale
I =
10
dt1
3
x(1 x2) ,
confrontando il risultato con quello ottenuto tramite l uso della funzione beta di Eulero.
3.31 Dopo averne discusso lesistenza, si calcoli, con i metodi dellanalisi comp-lessa, il seguente integrale
I =
+
dtsin t
tei p t ,
studiando i vari casi al variare di p, parametro reale.
3.32 Calcolare con i metodi dellanalisi complessa il seguente integrale
I = +
0
dxx2
1 + x4
.
3.33 Si calcoli il seguente integrale:
I =
+1
dxx1/3(x 1)1/3
x + 1.
3.34 Si calcoli il seguente integrale:
I =+0
dxx3 + 1
.
3.35 Si consideri il seguente integrale:
I(a, b; z) :=
10
tb1(1 t)ab2(1 tz)adt ,
e si trovi per quali valori dei parametri complessi generici a,b esso esista, quando |arg(1 z)
|< . Si mostri come, a meno di un fattore moltiplicativo costante ( da calcolare ), esso
rappresenti una continuazione analitica della serie
n=0
(a)n(b)n(a 1)nn! z
n .
26
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Si valuti infine tale integrale con i metodi dell integrazione complessa nel punto z = 12quando a = 2 e si confronti, per tali valori, con il risultato ottenuto nell esercizio (2.21).
3.36 Si mostri come+
dx ex2
x2n =
22n(2n)!
n!,
dove n e un intero positivo.
3.37 Si calcoli con i metodi dell analisi complessa il seguente integrale:
I(p) =
20
d
1 2p cos +p2 ,
dove p e un generico parametro complesso.
3.38 Si calcoli con i metodi dell analisi complessa il seguente integrale:
I =0
dx x2
(x2 + 1)(x2 + 4).
3.39 Si calcoli con i metodi dell analisi complessa il seguente integrale:
I =
0
dxcos3x
x2 + 4.
3.40 Si calcoli con i metodi dell analisi complessa il seguente integrale:
I =
0
dxx sin x
1 + x2.
3.41 Si calcoli con i metodi dell analisi complessa il seguente integrale:
I =
+
dx
1 + x2n.
3.42 Si calcoli con i metodi dell analisi complessa il seguente integrale:
I() =
20
de(cos +i sin )in .
27
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28/49
3.43 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli il seguente integrale con i metodidell analisi complessa:
I =
0
dxsin x
x.
3.44 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli il seguente integrale con i metodidell analisi complessa:
I =
0
dxlog x
1 + x2
.
3.45 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli il seguente integrale con i metodidell analisi complessa:
I(a, b) =
ba
dx
(x a)(b x) .
3.46 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli il seguente integrale con i metodidell analisi complessa:
I = 1
0
dxx2/3(1 x)1/3
1 + x
.
3.47 Si calcoli il seguente integrale
I =
+0
dxx12 (log x)2
x2 + 1,
tenendo conto che +0
dxx12
x2 + 1=
2
2.
3.48 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli il seguente integrale con i metodidell analisi complessa:
I =
21
dx(x 1) 13 (2 x) 13
x(x + 1).
3.49 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli il seguente integrale con i metodidell analisi complessa:
I =
+0
dx
x log x
(x2 + 1)(log2 x + 2).
3.50 Dopo averne valutato l esistenza, si calcoli il seguente integrale:
I(, ; a) =
10
dx x1(1 x)1(1 + ax) ,
28
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29/49
per a > 1 .
3.51 Dopo averne valutato l esistenza, si calcoli il seguente integrale in funzionedel parametro complesso :
I() =
22
dx(2 x)(2 + x)1
3 + x.
3.52 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli il seguente integrale con i metodidell analisi complessa:
I =
+0
dxlog x 22
(x2 + 1)(log2 x + 2).
3.53 Dopo averne discusso l esistenza, si calcolino i due seguenti integrali con imetodi dell analisi complessa
I1 =+0
dx(log2 x + 2)(1 + x)
, I2 =+0
dx log x[log2 x + 2]2(1 + x)
,
sfruttando il fatto che essi vengono generati da un unica integrazione nel campo complesso.
3.54 Si calcoli il seguente integrale
I =
dz
1 + 4z2
lungo due percorsi distinti e , dove e il percorso chiuso individuato dalla successione
di segmenti orientati {1 , 2 , 3 , 4} con 1 = (1 i , 1 + i), 2 = (1 + i , 1 + i), 3 =(1 + i , 1 i), 4 = (1 i , 1 i), e e il percorso chiuso individuato dalla successionedi segmenti orientati {1 , 2 , 3 , 4} con 1 = (1 i , 1 + i), 3 = (1 + i , 1 i) .
3.55 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli il seguente integrale con i metodidell analisi complessa:
I =
+0
dxx14 log x
1 + x2.
(R: I = 2
4 (32 2
2 +
2) )
3.56 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli il seguente integrale con i metodidell analisi complessa:
I =
10
dx
x14
(1 x2) 141 + x2
,
29
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30/49
e si mostri come I = 2
2 1 .
3.57 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli con i metodi dell analisi com-plessa il seguente integrale
I =
+0
dxx13 log x
x6 1 .
(R. I = 2
361
sin229
)
3.58Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli il seguente integrale con i metodi dell
analisi complessa:
I =
10
dx x12+i(1 x) 12i(1 + x)3 .
Si ritrovi il medesimo risultato facendo uso delle funzioni di Eulero.(R: I = 58 cosh 2
32i )
3.59 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli il seguente integrale con i metodidell analisi complessa:
I(a) =11
dx x2
1 + x1 x
a .
Considerando I(a) funzione della variabile complessa a , si consideri la sua continuazioneanalitica a tutto il piano complesso esteso e se ne descrivano le proprieta di analiticita.
3.60 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli il seguente integrale con i metodidell analisi complessa:
I =
10
dx x log x
1 + x2
2.
3.61 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli con i metodi dell analisi com-plessa il seguente integrale
I =
10
dxx13 (1 x2) 13(x2 4)2 .
3.62 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli il seguente integrale con i metodidell analisi complessa:
I =
+0
dxx log x + 2
(x2 + 1)2(log2 x + 2).
3.63 Si calcoli il seguente integrale
I(a) =
10
dxxa(1 x)12a
(1 + x)(1 + x2)
30
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dopo aver valutato la sua esistenza in funzione del parametro reale a. Una volta ottenutoil risultato, lo si applichi al caso a = 0 .
3.64 Facendo uso della rappresentazione integrale della funzione di Eulero edi un opportuno cambiamento di variabile, si provi la seguente relazione:
10
dx
xx=
+n=1
1
nn.
3.65 Si calcoli il seguente integrale
dzi
z 11
z log(z) 1 ,
dove e il percorso definito dai tre segmenti orientati consecutivi 1, 2, 3 con estremi(2 2i, 2 2i), (2 2i, 2 + 2i), (2 + 2i, 2 + 2i) rispettivamente.
3.66 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli il seguente integrale con i metodidell analisi complessa:
I =
1
1dx
(1 x2) 12x2 + 5x + 6
log1 x
1 + x
.
3.67 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli il seguente integrale con i metodidell analisi complessa:
I =
+0
dx
(x2 + 1)(log2 x + 42).
3.68 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli il seguente integrale con i metodi
dell analisi complessa:I() =
+
dx (x i)(x + i) ,
con generico numero complesso.
3.69 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli con i metodi dell analisi com-plessa il seguente integrale:
I =
+0
dx1
x(1 + x)(log x 2i) .
3.70 Si calcoli con i metodi dell analisi complessa il seguente integrale:
I(n) =
+0
dx
1 + x2n+1,
31
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32/49
con n 1 , intero.
3.71 Dopo averne valutato esplicitamente l esistenza, si calcoli il seguente inte-grale:
I =
+
dx(sin x)3
x,
tenendo presente quanto appreso durante il corso.
3.72 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli il seguente integrale con i metodidell analisi complessa:
I =
11
dxi x arctan(ix)
(1 x2) 12 .
3.73 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli il seguente integrale con i metodidell analisi complessa:
I =
+33
dx(x + 3)
32 (3 x) 12
x2 + 9.
3.74 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli il seguente integrale con i metodidell analisi complessa:
I =
10
dx x2(log x)2
1 + x6.
.( R : I = 3
432 ).
3.75 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli con i metodi dell analisi com-plessa il seguente integrale:
I() =33 dx
(3
x) (3 + x)1
(4 + x)2 ,
dove e un parametro reale.
3.76 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli con i metodi dell analisi com-plessa il seguente integrale:
I =
+22
dx(x + 2)
32 (2 x) 12
(x2 + 4)2.
3.77 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli il seguente integrale:
I(a , b) :=
10
dx xa (1 x)b (1 + x)ab2 ,
32
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33/49
dove a e b sono parametri complessi.
3.78 Si consideri la seguente rappresentazione integrale:10
dt tb1 (1 t)cb1 (1 zt)n ,dove b, c C ed n N e si trovi per quali valori dei parametri b e c essa sia definita.Tramite continuazione analitica si mostri come essa, considerata come funzione della vari-abile complessa z, sia una funzione intera e si trovi la sua forma esplicita.
3.79 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli il seguente integrale:21
dx1
(x2 + 1)
(x 1)(2 x) .
3.80 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli con i metodi dell analisi com-plessa il seguente integrale:
I =
2
2
d
1 + sin4 .
(R. I = 2
2 + 1 . )
3.81 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli il seguente integrale con i metodidell analisi complessa:
I :=
32
dx
(3 x)5
(1 + x2)
x 2 .
(R: I = 132 2
252
7310
)
3.82 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli il seguente integrale con i metodidell analisi complessa:
I := 2
1
dx (2 x)3
(1 + x2
)x 1.
(R: I =
1 12
10
52 13
)
3.83 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli il seguente integrale con i metodidell analisi complessa:
I :=
21
dx
(x 1)(2 x)
1 + x2.
(R: I =
1012 1
)
3.84 Dopo averne discusso l esistenza, si calcoli il seguente integrale con i metodidell analisi complessa:
I :=
20
dx1
(x + i)(x i)
(x + 2)(2 x) .
33
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34/49
4. Equazioni differenziali e funzioni speciali
4.1 Si consideri la seguente equazione differenziale:
9z2u(z) + 9z(1 3z)u(z) + (18z2 1)u(z) = 0 .
Dalla trattazione generale si osserva come la sua soluzione dipenda dai due possibili valoridegli esponenti relativi all origine e dalle due possibili soluzioni dell equazione caratteris-
tica relativa all equazione asintotica ottenuta per z . Sembra percio che l equazionepresenti quattro soluzioni indipendenti. Mostrare come, invece, le soluzioni linearmenteindipendenti siano solo due.
4.2 Esprimere la media aritmetica delle due quantita
(1 + x)n, (1 x)n (ninteropositivo)
tramite una funzione ipergeometrica. Scrivere, inoltre, esplicitamente l equazionedifferenziale di cui tale media e una soluzione.
4.3 Scrivere un sistema fondamentale di soluzioni per l equazione differenzialeseguente:
x2y(x)[(2a 1) + 2bx]xy(x)+ [a2 2 + (2a 1)bx + b2x2 + 2x2]y(x) = 0 ,
discutendo le varie possibilita al variare dei parametri.
Trovare per quali valori dei parametri essa ammetta come soluzione una funzioneintera e per quali una funzione di Bessel sferica.
4.4 Esprimere tramite funzioni note la soluzione della seguente equazione dif-ferenziale ( per
generico )
x2y(x) + xy(x) + 4(x4 2)y(x) = 0 ,
che per x =
2 assume il valore
y(
2) =sin
k=0
( k)k!
.
4.5 Si scriva l equazione differenziale cui deve soddisfare la funzione definita dallaseguente rappresentazione integrale
E(x) =
+x
dtet2
,
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dove x e reale positivo, tenendo conto della possibilita di esprimerla tramite la funzione diWhittacker W1/4,1/4(x2).
4.6 Verificare e giustificare la seguente eguaglianza
2F1
1
4,
1
4; 1 ; 4z(1 z)
=
1
10
dxx(1 x)(1 zx) .
4.7 Si dimostri la convergenza nel dominio|arg(
z)
|< della rappresentazione
integrale di MellinBarnes per la funzione ipergeometrica, facendo uso della generaliz-zazione della formula di Stirling
log(z + w) =
z + w 1
2
log z z + 1
2log(2) + O(z1)
valida quando |z| e grande ed |arg(z)| < .
4.8 Si verifichi la seguente identita:
n=0
(2F1[2, 2;1; zn] 2F1[3, 1;1; zn] 1)zn+1
n + 1 =
=n=0
2F1[2, 2;1; z
n] 2F1[3, 1;1; zn]
2F1[2, 2;1;(z)n] 2F1[3, 1;1;(z)n] 1
n + 1
e si trovi la funzione somma delle serie nel dominio di uniforme convergenza.
4.9 Si dimostri, usando la funzione di Whittaker W 12,0, come la funzione logar-
itmo integraleli(z)
z0
dt
log t
sia definita per |arg{ log z}| < .Suggerimento: si faccia uso della rappresentazione integrale
(a; c; z) =1
(a)
0
dt ezt ta1 (1 + t)ca1 .
4.10 Si mostri per quali valori dei parametri complessi , la funzione I( , ; ),
data dalla rappresentazione integrale
I( , ; ) /20
(cos )(sin )
(1 sin2 )1/2 d ,
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possa rappresentare una funzione analitica in nel dominio || < 1, e quale possa essereil dominio di analiticita nel piano complesso che si ottiene prolungando analiticamentetale funzione al di fuori del disco || < 1. Si ricerchino gli eventuali valori di e per cuiI( , ; ) divenga una funzione intera in e si dimostri la relazione
I( , ; ) /20
(cos )(sin )
(1 cos2 )1/2 d .
4.11 Trovare per quali valori del parametro complesso lequazione
x2 y(x) + (x 2x2 tan x) y(x) (x tan x + 2) y(x) = 0
ammette soluzioni monodrome nellintorno dellorigine.(Suggerimento: operare un cambi-amento della funzione incognita, moltiplicandola per unopportuna funzione della variabilex)
4.12 Si studi la seguente equazione differenziale
y(z) + y(z) + ae2z
y(z) = 0
dove a e una costante reale, positiva e si mostri che esistono due soluzioni particolari y1(z)ed y2(z) soddisfacenti la relazione
y21(z) + y22(z) = 1
in tutto il piano complesso.
4.13 Studiare l equazione
(1 2z2 + z4)u(z) + 2(1 z z2 + z3)u(z) + u(z) = 0e mostrare come esistano due soluzioni tali che il loro rapporto r(z) ha una polidromiaadditiva pari a 2i quando z percorre la circonferenza di raggio unitario attorno al punto1. Mostrare inoltre come una delle due soluzioni sia una funzione polidroma i cui valorinell origine sono dati da
u(0) = (1)k+1[2(k ) + 1] , k, ZZ .
4.14 Si calcoli la funzione
2F1[a, b; c; za(a; a + 1; z)]
per Re (cb) > Re a > 0 e Re z > 0 e si mostri come la sua derivata rispetto a z sia nulla.
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4.15 Si consideri la seguente equazione differenziale
4x2y(x) + 4x(ax + b)y(x) +
(a2 1)x2 + 2(ab + c 2)x + (b c)(b + c 2)
y(x) = 0 ,
dove a, b e c sono generici parametri complessi.a) Si scriva la soluzione generale di tale equazione.b) Usando una rappresentazione integrale si dimostri esplicitamente che esiste una
soluzione con il seguente andamento asintotico per x reale e tendente a +:
y(x) = xcb2
2 ex1+a
2
nk=0
c 2
k
k! xk + O(xn1)
. ()
NOTA BENE: una volta scritta la rappresentazione integrale, la formula (*) deveessere derivata esplicitamente e direttamente dalla rappresentazione integrale stessa enon dedotta applicando pedissequamente le formule generali.
4.16 Facendo uso delle proprieta della serie ipergeometrica, si mostri come
n=1
1
n2(n + 1) +
n=1
1
n(n + 1)2 = 1 .
Suggerimento: come passo intermedio si usi la funzione (z) di Riemann definita perRe z > 1 dalla serie uniformemente convergente
(z) =n=1
nz .
4.17 Si mostri come
2F1
a , b ; a + b +
1
2; 4z(1 z)
= 2F1
2a , 2b ; a + b +
1
2; z
. ()
(Suggerimento: a causa delleguaglianza, il membro di destra dellequazione (*) deve sod-disfare lequazione differenziale di cui il membro di sinistra e una soluzione e viceversa.)
4.18 Si studi per quali valori dei parametri complessi a, b, c esiste il seguenteintegrale
I(a,b,c; z) :=/20
dt
sin t cos t (tan t)2b(cos t)2c
(1 z sin2 t)a (1 z)c
a
b (cot t)
2b(sin t)2c
(1 z sin2 t)ca ,dove z e un generico numero complesso e si mostri come per tali valori dei parametri esso siaidenticamente nullo. (Suggerimento: si usino le proprieta della funzione ipergeometrica)
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4.19 Si consideri la seguente equazione differenziale:
u(z) + 2z iz2 + 1
u(z) 2
(z2 + 1)2u(z) = 0 .
Studiate le sue caratteristiche principali, si trovi per quali valori del parametro complesso lequazione ammetta
i) soluzioni monodrome,ii) sia soluzioni con polidromia infinita che soluzioni con polidromia finita,
iii) solamente soluzioni con polidromia infinita.Si esprima quindi una generica soluzione del tipo i) come sviluppo in serie di potenze
nellintorno dellorigine e si determini il raggio di convergenza di tale serie.
4.20 Si trovi la soluzione della seguente equazione differenziale
z(1 z)y(z) + (1 3z)y(z) y(z) = 0tale da soddisfare le relazioni
y(i) + y(i)) = 1y(i) y(i) = 0
e si descrivano le sue proprieta generali.
4.21 Si consideri la funzione
f(z) = z2F1[1, 1;2; z] 2 2F1[1/2, 1; 3/2; z2]
e si trovi la sua continuazione analitica a tutto il piano complesso. Si esprima la suacontinuazione analitica diretta nel disco di centro 1 + i e raggio unitario, scritta come seriedi Taylor.
4.22 Facendo uso della relazione arctan(z) =i
2log
1 iz1 + iz , si provi la seguente
equazione
tanz
2
10
dt1 + (z2 1)t z2t2
= z .
4.23 Facendo uso della formula di Rodriguez e tenendo conto che la costantedi standardizzazione e data da Kn = (2)n n!, si dimostri che lespressione esplicita deipolinomi di Jacobi e data da
P(,)n (x) = 2n
n
k=0
n +
k
n +
n k
(x 1)nk (x + 1)k .
4.24 Si consideri la seguente equazione differenziale
z(1 z)u(z) + [2(1 z) z]u(z) u(z) = 0 ,
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dove e un parametro complesso. Si trovi lespressione esplicita di una sua soluzione, sene discutano le proprieta generali e si trovi il suo valore nel punto z = 2, Si consideri inparticolare il caso = 2.
4.25 Si consideri il seguente sviluppo in serie di potenze
n=0
(2n + 2)!!
(2n + 1)!!zn ,
si determini il suo dominio di uniforme convergenza e si trovi una rappresentazione integraleche sia una sua continuazione analitica a tutto il piano complesso tagliato lungo il semiassereale positivo da +1 a +.
(N.B. (2n)!! e il prodotto di tutti inumeri pari a partire da 2 fino a 2n; (2n+1)!! e ilprodotto di tutti i numeri dispari a partire da 1 fino a 2n+1.)
4.26 Si trovi l equazione differenziale di cui la funzione
f(z) :=1
z
z0
dy(1 y2) ,
con parametro complesso generico, sia una soluzione.(Suggerimento: si faccia uso delle funzioni speciali.)
4.27 Facendo uso della relazione
2J(z) = J1(z) J+1(z)
e della relazione che lega la funzione di Bessel J(z) alla funzione ipergeometrica confluente,si mostri come, per generico,
w(J , J) =
2(z)1 sin() ,
dove w indica il wronskiano delle due funzioni.
4.28 Si sommi esplicitamente la serie rappresentata da 2F1[a, 1;2; z], dove ae un parametro complesso generico. Si consideri la funzione definita in tutto il pianocomplesso, ottenuta prolungando analiticamente la somma della serie fuori dal disco diconvergenza della serie stessa e se ne studino le principali caratteristiche ( polidromia,analiticita,. . . ). Si ritrovi, infine, tale funzione integrando esplicitamente una rappresen-tazione integrale con cui si possa rappresentare la funzione 2F1[a, 1;2; z] stessa.
4.29 Facendo uso della formula di Rodriguez con costante di standardizzazione
Kn = (2)nn! si verifichi la seguente relazione
P3(x) = 212 x
(32 )2F1[1, 5
2;
3
2; x2] ,
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5. Serie di Fourier, trasformate di Fourier e Laplace
5.1 Si consideri un oscillatore armonico smorzato di massa m, costante elasticak con smorzamento proporzionale alla veocita, soddisfacente, cioe, allequazione
m X(t) + b X(t) + k X(t) = 0 .
Si trovino le soluzioni dell equazione del moto soddisfacenti alle condizioni iniziali X(0) =X0 e X(0) = 0 (verificandone la validita) al variare dei parametri m, b, k e si ritrovi la
soluzione usuale nel caso di smorzamento nullo.
5.2 Si trovi la soluzione particolare della seguente equazione differenziale
d2f(t)
dt2+ 4
df(t)
dt+ f(t) = exp (|t|)
(con i metodi studiati a lezione) la quale soddisfi f(1) = f(1) = exp(1).
5.3 Facendo uso della trasformata di Laplace si risolva la seguente equazionedifferenziale per t
0:
f(t) 3f(t) + 2f(t) =
0 . . . t = 0E1(t) . . . t > 0
con le condizioni iniziali f(0) = 0 = f(0), dove E1(t) e la funzione definita per t 0 da
E1(t) :=
+t
dueu
u,
la quale diverge logaritmicamente per t 0+ e converge a zero come et
tper t +.
(N.B. Nel caso di integrali doppi e ammesso o scambio dellordine di integrazione senzanecessita di dimostrazione.)
5.4 Usando le tecniche esposte durante il corso, si trovi la soluzione dellequazione
f(t) + f(t) 2f(t) =
eit |t| 0 |t| >
che sia di classe c1 e soddisfacente le condizioni f(0) = 0, f(0) = 1.
5.5 Si trovino, con i metodi presentati durante il corso, le (infinite) soluzioni
dellequazione d2f
dt2+ 4
df
dt+ f =
0 . . . t < 0
et . . . t 0 ,
soddisfacenti la condizione f(1) = 0.
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5.6 Si consideri una barra uniforme di lunghezza 2, le cui estremita siano man-tenute a temperature tali che la loro differenza rimanga sempre costante. Se la distribuzionedella temperatura allistante iniziale t = 0 e data dalla funzione f(x) = cos x, si deter-mini esplicitamente la dipendenza spazio-temporale della temperatura stessa. (N.B. Siassuma valida la sviluppabilita in serie di Fourier e la differrenziabilita della stessa terminea termine.)
5.7 Impiegando i metodi usati durante il corso, si risolva la seguente equazione (per t
0 )
d2f(t)
dt2 3 df(t)
dt+ 2f(t) = cos 2t ,
con le condizioni iniziali f(0) = 1 = f(0) , verificando alla fine il risultato ottenuto.
5.8 Si mostri come la rappresentazione di Fourier per la soluzione periodica dellequazione
d2f
dt2+ 2
df
dt+ f = t3, t ,
continuata con periodo 2, sia data da
f(t) = 2n=1
(1)n(n2 + 1)2
2n
6n3
(n2 1)sin nt + 2n cos nt .
5.9 Usando la trasformata di Laplace, si risolva l equazione
d2f
dt2+ 2
df
dt+ f = et cos t
con le condizioni iniziali
f(0) = 0, f(0) = 1 ,e si verifichi la validita del risultato ottenuto.
5.10 Si trovi la trasformata di Fourier della funzione
F(t) =
(sin t)2 , se 2 t 2 ;0 altrove
e si calcoli esplicitamente la funzione di partenza come antitrasformata della trasformatadi Fourier, facendo uso dei metodi dell integrazione complessa.
5.11 Usando esplicitamente l antitrasformata di Laplace, si risolva l equazione
d2f
dt2+ 4
df
dt+ 3f = et cosh t
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con le condizioni iniziali f(0) = 0, f(0) = 1.
5.12 Si calcolino esplicitamente i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourierdella seguente funzione:
F(t) = t|t|(1 + t), < t < .
5.13 Usando esplicitamente l antitrasformata di Laplace, si risolva l equazione
d2f
dt2 5 df
dt+ 6f = 1 + sinh t
con le condizioni iniziali f(0) = 0, f(0) = 1.
5.14 La soluzione dell equazione di Laplace
2u
x2+
2u
y2= 0
regolare nell origine e esprimibile in coordinate polari piane (r, ) come uno sviluppo inserie di Fourier nella variabile in cui i coefficienti con indice n hanno una dipendenza r|n| dalla variabile r. Si scriva tale sviluppo. Sia dato il valore della funzione u(r, ) perr = a > 0
u(a, ) = h() .
Si mostri come il valore della funzione u(r, ) all interno del disco di centro origine e raggioa sia dato dalla formula di Poisson
u(r, ) = (a2
r2)
d
2
h()
a
2
2
arcos(
) +
r
2.
(N.B. Lo scambio di integrazione e sommazione di serie viene considerato sempre possibile.)
5.15 Quale il risultato che si ottiene applicando il metodo della trasformata diLaplace alla soluzione del seguente problema: risolvere l equazione differenziale
f(t) 5f(t) + 6f(t) = t 12
per t > 0, con le condizioni
limt0+
f(t) = 0 = limt0+
f(t) ?
( N.B. La soluzione puo essere scritta tramite una rappresentazione integrale. )
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5.16 Si trovi la trasformata di Fourier della funzione
F(t) =
(sin t)3 , se 2 t 2 ;0 altrove
e si calcoli esplicitamente la funzione di partenza come antitrasformata della trasformatadi Fourier, facendo uso dei metodi dell integrazione complessa.
5.17 Facendo uso esplicito dell analisi di Fourier, si trovi la funzione periodicasomma della seguente serie
1
2+
2
=0
sin(2 + 1)t
2 + 1,
dove t e una variabile reale.
5.18 Usando esplicitamente l antitrasformata di Laplace, si risolva l equazione
d2f
dt2+ 5
df
dt+ 6 f = et sinh t
con le condizioni iniziali f(0) = 0 = f(0) .
5.19 Si consideri la funzione di variabile reale f(x) definita dalla rappresentazioneintegrale
f(x) :=
x0
dy y13 (x y) 13 .
Si calcoli la trasformata di Laplace F(s) della rappresentazione stessa, senza ricorrere alcalcolo esplicito della f(x). Si calcoli quindi l antitrasformata di Laplace della F(s),confrontandola con il calcolo esplicito della f(x).
5.20 Si trovi la trasformata di Fourier della funzione
F(t) =
sin t , se t < 0 ;cos t , se 0 < t ;0 altrove
e si calcoli esplicitamente l antitrasformata della trasformata di Fourier, facendo uso deimetodi dell integrazione complessa.
5.21 Usando le tecniche esposte durante il corso, si trovi la soluzione dell equa-
zione d2f(t)
dt2+
df(t)
dt 2 f(t) =
0 , t < 0t2 1 , t 0
che sia di classe C1 e soddisfi le condizioni f(0) = 0 = f(0) .
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5.22 Usando esplicitamente la trasformata e l antitrasformata di Laplace, sirisolva l equazione
d2f
dt2 4 df
dt+ 4 f(t) = sinh t
con le condizioni iniziali f(0) = 0 = f(0) .
5.23 Impiegando i metodi usati durante il corso, si scriva la soluzione generaledella seguente equazione:
f(t) + 3f(t) + 2f(t) =
cos t2 cos3t |t| 0 |t| > .
5.24 Usando le tecniche esposte durante il corso, si risolva l equazione
d2f(t)
dt2 4 df(t)
dt+ 3f(t) = t
13
con le condizioni iniziali f(0) = 1 = f(0) , esprimendo la soluzione tramite la funzionegamma incompleta (a, x), definita dalla rappresentazione integrale
(a, x) =exxa
(1 a)+0
dtetta
x + t
con a < 1, x non reale negativo e soddisfacente le relazioni(a, x)
x= xa1ex e (a, 0) = (a) .
Si verifichi alla fine la validita del risultato ottenuto.
5.25 Usando le tecniche esposte durante il corso, si trovi la soluzionedellequazione
d2f(t)
dt2 3 df(t)
dt+ 2 f(t) = et cosh t
per t 0 , con le condizioni f(0) = 1 = f(0) .
5.26 Di quale funzione e la trasformata di Fourier la seguente funzione:
G() =ei 1(2 4) ?
5.27 Usando la trasformata di Laplace si trovi la soluzione dell equazione
f(t) 2f(t) + f(t) =
0 t 0 , t 2| sin t| 0 < t < 2
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che sia di classe C1 e soddisfi le condizioni
f(0) = 0 , f(0) = 1 .
5.28 Usando la trasformata di Fourier si trovi la soluzione dell equazione
f(t)
2f(t) + f(t) =
0 t 0 , t 2
|sin t
|0 < t < 2
che sia di classe C1 e soddisfi le condizioni
f(0) = 0 , f(0) = 1 .
5.29 Usando esplicitamente l antitrasformata di Laplace, si trovi la soluzionedell equazione
f(t)
5f(t) + 6f(t) = 0, t 0
(sinh t)2, t 0.
che sia di classe C1 e soddisfi le condizioni
f(0) = 0, f(0) = 1 .
5.30 Impiegando i metodi usati durante il corso, si risolva l equazione
f(t)
5f(t) + 6f(t) =
0, t 0sin t sinh t, t
0
con le condizioni f(0) = 0 = f(0) , e si verifichi la validita del risultato alla fine.
5.31 Usando le tecniche esposte durante il corso, si trovi la soluzione dell equa-zione
d2f
dt2 6 df
dt+ 5 f = sin t + cos t
per t 0 , con le condizioni f(0) = 1 = f(0) .
5.32 Usando le tecniche esposte durante il corso, si trovi la soluzione dell equa-
zioned2f(t)
dt2 7 df(t)
dt+ 6 f(t) = 3 sinh t + 4cosh t
per t 0 , con le condizioni f(0) = 1 = f(0) . Si verifichi la validita del risultato alla fine.
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5.33 Usando le tecniche esposte durante il corso, si trovi la soluzione dell equa-zione
d2f(t)
dt2 7 df(t)
dt+ 6 f(t) =
sin2t, |t| <
0, |t| con le condizioni f(0) = 0 = f(0) , e si verifichi la validita del risultato alla fine.
5.34 Usando le tecniche esposte durante il corso, si trovi la soluzione dell equa-zione
d2f(t)dt2
4 df(t)dt
+ 4 f(t) =
0 , t < 0cos t cosh t, t 0
con le condizioni f(0) = 1 , f(0) = 0, e si verifichi la validita del risultato alla fine.
5.35 Si esprima sotto forma di sviluppo in serie la soluzione della seguenteequazione
d2f(t)
dt2 f(t) = F(t) :=
2
1 + t
, t 2
1 , 2 t 2 ,21
t
,
2 t
con F(t) = F(t + 2) , e si giustifichi a posteriori la derivazione termine a termine dellaserie sino al secondo ordine.
5.36 Si trovi la trasformata di Fourier della funzione
F(t) =
sin2t , se t ;0 altrove
e si calcoli esplicitamente la funzione di partenza come antitrasformata della trasformatadi Fourier, facendo uso dei metodi dell integrazione complessa.
5.37 Usando le tecniche esposte durante il corso, si trovi la soluzione dell equa-zione
d2f(t)
dt2 5 df(t)
dt+ 6 f(t) =
0 , t 0
sin t + sinh t , t 0con le condizioni f(0) = 0 = f(0) , e si verifichi la validita del risultato alla fine.
5.38 Usando la trasformata ed antitrasformata di Fourier, si risolva la seguenteequazione
d
2
f(t)dt2 + 2 df(t)dt + f(t) =
0 , |t| sin t, |t| < con le condizioni f() = 0 , f() = e2, e si verifichi la validita del risultato allafine.
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5.39 Usando le tecniche esposte durante il corso, si trovi la soluzione dell equa-zione
d2f(t)
dt2 5 df(t)
dt+ 6 f(t) =
0 , t 0t3, t 0
con le condizioni f(0) = 0 = f(0) , e si verifichi esplicitamente che la soluzione trovatasoddisfi l equazione e le condizioni date.
5.40 Usando le tecniche esposte durante il corso, si trovi la soluzione dell equa-
zione
d2f(t)
dt2 df(t)
dt 2 f(t) = F(t) :=
1 , < t < 20 , 2 < t < 21 , 2 < t < 0 , |t| >
che sia di classe C1 e soddisfi le condizioni f(0) = 2 , f(0) = 1 .(P.S. Una volta trovata la soluzione nell intorno dell origine t = 0, bastera indicare
il metodo da seguire per trovare la soluzione per < t < + .)
5.41 Usando le tecniche esposte durante il corso, si trovi la soluzione dell equa-
zione d2f(t)
dt2 5 df(t)
dt+ 6 f(t) = F(t) :=
0 , |t|
sin3t , |t| < con le condizioni f(0) = 0 = f(0) , e si verifichi esplicitamente che la soluzione trovatasoddisfi l equazione e le condizioni date.
5.42 Usando le tecniche esposte durante il corso, si trovi la soluzione dell equa-zione
d2f(t)
dt2 4 f(t) = F(t) :=
| sinh t| , |t| 0 , |t| >
con le condizioni f(0) = 0 = f(0) , che sia di classe C1.
5.43 Usando le tecniche esposte durante il corso, si trovi la soluzione dell equa-zione ( per t 0 ):
d2f(t)
dt2 3 df(t)
dt+ 2 f(t) = cos t ,
dove e un parametro complesso a parte reale e parte immaginaria non negative, con lecondizioni f(0) = 1 = f(0) . Si confrontino alla fine le soluzioni ottenute con reale conquelle ottenute con immaginario puro.
5.44 Usando le tecniche esposte durante il corso, si trovi la soluzione dell equa-zione
d2f(t)
dt2 7 df(t)
dt+ 6 f(t) = F(t) :=
0 , t 0t4 , t 0
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con le condizioni f(0) = 0 = f(0) , e si verifichi esplicitamente che la soluzione trovatasoddisfi l equazione e le condizioni date.
5.45 Usando le tecniche esposte durante il corso, si trovi la soluzione dell equa-zione
d2f(t)
dt2 7 df(t)
dt+ 6 f(t) = F(t) :=
0 , t 0t5 , t 0
con le condizioni f(0) = 0 = f(0) , e si verifichi esplicitamente che la soluzione trovata
soddisfi l equazione e le condizioni date.
5.46 Usando le tecniche esposte durante il corso, si trovi la soluzione dell equa-zione
d2f(t)
dt2 7 df(t)
dt+ 6 f(t) = F(t) :=
0 , t 0
t(1 + t) , t 0con le condizioni f(0) = 0 = f(0) , e si verifichi esplicitamente che la soluzione trovatasoddisfi l equazione e le condizioni date.
5.47 Si trovi la soluzione dell equazione
d2f(t)
dt2 5 df(t)
dt+ 6 f(t) = F(t) :=
0 , t 0t3 , t 0
con le condizioni f(0) = a , f(0) = b , con a e b parametri complessi generici. Siverifichi come la soluzione ottenuta usando le tecniche esposte durante il corso coincidacon la soluzione che si ottiene considerando la somma di una soluzione dell equazioneinomogenea e della soluzione generale dell equazione omogenea ed imponendo a tale sommale condizioni sopra citate.