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Misure Industriali con Strumenti
AnalogiciCorso di Misure Elettriche
http: // sms.unipv.it / misure /
Piero Malcovati
Dipartimento di Ingegneria Elettrica
Universita di Pavia
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Indice
1 Generalita
2 Misure in Corrente Continua
Misure di TensioneMisure di Corrente
Misure di Resistenza
Misure di Potenza
3 Misure di Tensione in Corrente Alternata
4 Misure di Corrente in Corrente Alternata
5 Misure di Potenza in Sistemi Monofase in Regime Sinusoidale
Misure di Potenza Attiva
Misure di Potenza Reattiva
Misure di Potenza Apparente
Misure di Fattore di Potenza
Misure di Potenza in Funzione della Tensione o della Corrente6 Misure di Potenza in Sistemi Polifase in Regime Sinusoidale
Misure di Potenza Attiva
Misure di Potenza Reattiva
Misure di Potenza Apparente
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Indice
7 Misure in Regime Non-Sinusoidale
Misure di Tensione e Corrente
Misure di Potenza AttivaMisure di Potenza Reattiva
Misure di Potenza Apparente
Teoria di Budeanu
8 Misure su Circuiti Non-Lineari di Tipo Induttivo
Apparecchio di Epstein
Misura della Cifra di Perdita con Tensione Sinusoidale
Separazione delle Perdite
Misura della Cifra di Perdita con Tensione Non-SinusoidaleMisura del Valore di Cresta dell’Induzione Magnetica
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Generalita
Le misure di tipo industriale sono quelle che si eff ettuano per il rilievodi grandezze su apparati, macchine ed impianti, al fine di verificarne le
condizioni di funzionamento o la rispondenza a specifiche tecniche
Le misure di tipo industriale consentono, in genere, incertezze
relativamente piu elevate di quelle che si ammettono nelle misure di
laboratorio
Gran parte delle misure sono indirette, in quanto la stima del misurando
viene ottenuta dalla elaborazione delle indicazioni di due o piu
strumenti
Le misure industriali possono essere eff ettuate con strumenti
elettromeccanici analogici o con strumenti elettronici analogici e
digitali, con numerose possibili alternative
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Generalita
Al giorno d’oggi gli strumenti elettromeccanici analogici tendono a
essere rimpiazzati da strumenti digitali
Tuttavia, le problematiche legate all’uso degli strumenti analogici sono
utili per evidenziare aspetti che, con l’uso di strumenti digitali, si tende
a trascurarePertanto, conviene fare riferimento a misure eff ettuate con strumenti
elettromeccanici analogici, considerando che le argomentazioni e i
metodi trattati valgono anche per le misure eff ettuate con strumenti
digitali, benche alcuni aspetti diventino di secondaria importanza
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Misure in Corrente Continua
Le misure in corrente continua possono riguardare
Tensioni
Correnti
Resistenze
Potenze
Le misure di resistenza e potenza sono indirette in quanto ottenute dalla
elaborazione delle indicazioni di piu strumenti
Le misure di tensione, corrente, resistenza e potenza in regime
permanente (corrente continua) si possono eff ettuare utilizzando
strumenti magnetoelettrici
Nelle misure in corrente continua si presuppone che l’oggetto
sottoposto a misura sia lineare (indipendente dal valore delle grandezzein gioco) e non sia polarizzabile (per cui sono escluse misure su
semiconduttori e liquidi)
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Misure di Tensione
Per la misura di tensioni continue si puo ricorrere all’uso di un
voltmetro indicatore di tipo magnetoelettricoPoiche la bobina mobile dello strumento e realizzata con filo sottile di
rame, la cui resistivita e funzione della temperatura, in serie alla bobina
viene sempre montato un resistore a filo di materiale avente coefficiente
di temperatura trascurabile (manganina) e di valore piu elevato di
quello della bobina stessaIl valore di fondo scala viene, cosı raggiunto con un ben definito valore
di tensione (per esempio 50 mV)
La bobina con in serie il resistore in manganina presenta, allora, una
resistenza globale r , che prende il nome di resistenza interna dello
strumento ed e dell’ordine delle decine di ohmSe lo strumento deve essere predisposto per misurare tensioni piu
elevate di quella determinata da r , si pone in serie ad r una ulteriore
resistenza R, detta resistenza addizionale
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Misure di Tensione
V
I R
r V0VR V
Si puo allora scrivere la relazione
V = V 0 + V R = ( R + r ) I 0 =r + R
r V 0
La tensione applicata V e legata alla tensione V 0 letta dallo strumento
dal coefficientek V =
r + R
r
che e detto potere moltiplicatore della resistenza addizionale
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Misure di Tensione
Per facilitare l’impiego dello strumento, all’interno dello stesso sono,
spesso, montate piu resistenze addizionali in serie commutabili, in
modo da poter disporre di piu portate (piu poteri moltiplicatori)
Normalmente non si superano per ragioni di sicurezza i 600 V con 3 o 4
portate
Ad ogni portata e associata la costante strumentale k per la quale sideve moltiplicare la lettura per ottenere la grandezza cercata, data da
k =Portata
Numero di Divisioni
V M = kV div
dove V div denota la lettura in divisioni dello strumento
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Misure di Tensione
V
I R1 R2 R3
*
P1
P2 P3
I voltmetri magnetoelettrici possono appartenere a classi di precisione
anche fino a 0.1
Date la classe di precisione dello strumento e la portata, l’incertezza
tipo che grava sulla misura risulta
u (V M ) =Classe · Portata
100√
3
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Misure di Tensione
L’incertezza tipo relativa e, invece, data da
u (V M ) =Classe · Portata
100√
3V M
Per determinare l’incertezza estesa U (V M ), si scelgono opportunamente
il livello di confidenza e il fattore di coperturaIl risultato della misurazione sara, quindi
V = V M ± U (V M )
Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzarenell’espressione del risultato
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Misure di Corrente
Per la misura di correnti continue si possono utilizzare strumenti
magnetoelettrici, ma poiche la corrente che puo essere sopportata dalla
bobina mobile e molto piccola (qualche milliampere), e solitamentenecessario ricorrere all’impiego di derivatori (shunt)
La resistenza interna dello strumento r e costituita dalla serie della
resistenza propria della bobina e di una resistenza a filo in manganina,
in modo da rendere r il piu possibile indipendente dalla temperatura
IS
I
S r A
I0
Si possono scrivere le relazioni
SI S = rI 0, I = I S + I 0
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Misure di Corrente
La corrente da misurare I risulta, quindi
I = r + SS
I 0
La corrente da misurare I e legata alla corrente I 0 che attraversa lo
strumento dal coefficiente
k A =r + S
S
detto potere moltiplicatore dello shunt
Con l’artificio descritto, uno stesso strumento puo essere impiegato per
misurare correnti da pochi milliampere fino a diverse migliaia di
ampere, precisando che esso deve essere tarato assieme ai propri shunt
Per facilitare l’impiego dello strumento, all’interno dello stesso shunt
sono, spesso, montate piu resistenze in serie commutabili, in modo da
poter disporre di piu portate (piu poteri moltiplicatori)
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Misure di Corrente
Ad ogni portata e associata la costante strumentale k , per la quale si
deve moltiplicare la lettura per ottenere la grandezza cercata, data da
k = Portata Numero di Divisioni
I M = kI div
dove I div denota la lettura in divisioni dello strumento
I
S3
*
AS2
S1
P1
P2
P3
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Misure di Corrente
La classe di precisione di un amperometro magnetoelettrico puo essere
elevata (classe 0.1 o 0.2)
Date la classe di precisione dello strumento e la portata, l’incertezza
tipo che grava sulla misura risulta
u ( I M ) =Classe · Portata
100 √ 3L’incertezza tipo relativa e, invece, data da
u ( I M ) =Classe · Portata
100√
3 I M
Per determinare l’incertezza estesa U ( I M ), si scelgono opportunamente
il livello di confidenza e il fattore di copertura
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Misure di Corrente
Bisogna porre attenzione agli eff etti delle connessioni tra shunt e
strumento, che possono incidere sulla accuratezza della misura, se laloro resistenza non e trascurabile rispetto a quella interna dello
strumento (che e solitamente dell’ordine di qualche ohm)
In tal caso, la misura risulta aff etta da errore sistematico (di segno noto,
si misura in meno), ma non definito in ampiezza
Di conseguenza, risulta aumentata l’incertezza che grava sulla misura
Il risultato della misurazione sara, quindi
I = I M ± U ( I M )
Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzarenell’espressione del risultato
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Mi di R i
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Misure di Resistenza
Uno dei metodi piu semplici per eff ettuare misure di resistenza e il
metodo voltamperometrico, che prevede l’impiego di due strumenti
magnetoelettrici, un voltmetro e un amperometroSi possono realizzare in alternativa due schemi
A
V
VUV
IM
RA
RV
A
V
V
IM IU
IVRA
RV
RU
VM
VA
VM
VU RU
Si consideri per primo lo schema che prevede l’inserzione del voltmetro
a valle dell’amperometro
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Mi di R i
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Misure di Resistenza
Risulta immediato constatare che, mentre il voltmetro e alimentato
esattamente dalla tensione ai capi dell’oggetto RU , del quale si vuole
determinare il valore di resistenza, la corrente misuratadall’amperometro e la somma di quella che circola nell’utilizzatore e di
quella assorbita dal voltmetro (autoconsumo)
Nella misura di corrente si commette, quindi, un errore di tipo
sistematico dovuto all’autoconsumo del voltmetro
Si possono, infatti, scrivere le relazioni
V M = V U
I M = I U + I V
La resistenza incognita RU e data da
RU =V U
I U
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Mi di R i t
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Misure di Resistenza
Si misura, invece, la resistenza R M data da
R M = V U
I M = V U
I U + I V
Quindi, essendo
I U < I M
appare evidente che si commette un errore sistematico di segnonegativo (si misura in meno)
L’errore e tanto minore, quanto minore e il valore di I V
In pratica, invece di RU , si misura il parallelo tra RV (resistenza interna
del voltmetro, RV = V U / I V ) e RU , per cui il valore di resistenza
incognito risulta RU =
RV R M
RV − R M
Si osservi che, se RV → ∞, si ottiene RU = R M
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Mi di R i t
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Misure di Resistenza
In modo analogo si puo trattare il caso del circuito con l’amperometro a
valle del voltmetro
Risulta immediato constatare che, mentre l’amperometro e percorso
esattamente dalla corrente che fluisce nell’oggetto RU , del quale si
vuole determinare il valore di resistenza, la tensione ai capi del
voltmetro e la somma di quella ai capi dell’utilizzatore e della caduta di
tensione sull’amperometro (autoconsumo)Nella misura di tensione si commette, quindi, un errore di tipo
sistematico dovuto all’autoconsumo dell’amperometro
Si possono scrivere le relazioni
V M = V U + V A
I M = I U
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Misure di Resistenza
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Misure di Resistenza
La resistenza misurata risulta, quindi
R M =
V U
I M
=V U + V A
I U
= RU + R
A
dove R A = V A/ I U e la resistenza interna dell’amperometro
Si osservi che, se R A → 0, si ottiene RU = R M
Il valore della resistenza incognita e dato da
RU = R M − R A
L’errore sistematico dovuto all’autoconsumo dell’amperometro e
positivo (si misura in piu)
Esso e tanto minore, quanto piu piccolo e il valore di R A rispetto a
quello della resistenza da misurareLa scelta dello schema da utilizzare non e arbitraria e ci si deve
orientare verso lo schema con voltmetro a valle per la misura delle
resistenze di basso valore (sotto i 10 Ω) e allo schema con amperometro
a valle per la misura di resistenze elevate (oltre i 1000 Ω)
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Misure di Resistenza
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Misure di Resistenza
Nel campo intermedio, possono essere valide entrambe le alternative
Si osserva, infine, che, se si eff ettua la misura senza correggere l’errore
sistematico, e come se si operasse con strumenti di classe inferiore, inquanto l’errore sistematico viene, in pratica, inglobato in quello
attribuito al caso, aumentando quindi l’incertezza
In ogni occasione, e necessario valutare l’opportunita o meno di
eff ettuare la correzione dell’errore sistematico
L’incertezza che grava sulla stima della resistenza del misurando deveessere valutata in base alle incertezze tipo relative a tensione e corrente,
determinando, quindi, l’incertezza composta
In generale, si assume come modello del misurando
RU = V M
I M
ovvero si trascura, in quanto praticamente ininfluente per il calcolo
dell’incertezza, il termine di correzione dell’errore sistematico
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Misure di Resistenza
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Misure di Resistenza
L’incertezza tipo relativa sulla misura di resistenza risulta
u ( RU ) =
u (V M )
2
+ u ( I M )
2
L’incertezza tipo assoluta risulta, quindi
u ( RU ) = u ( RU ) RU
Per determinare l’incertezza estesa U ( RU
), si scelgono opportunamente
il livello di confidenza e il fattore di copertura
Il risultato della misurazione sara, quindi
R = RU ± U ( RU )
Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzarenell’espressione del risultato
Una variante del metodo voltamperometrico, particolarmente adatta per
la misura di resistenze di valore ridotto, e il cosiddetto metodo del
confronto
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Misure di Resistenza
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Misure di Resistenza
Rx Rk
I I
VV
VkVx
Questo metodo si basa sul confronto tra le cadute di tensione provocate
dal resistore incognito R x e da un resistore campione Rk , dotati diquattro terminali (due di tensione e due di corrente), collegati in serie
fra loro attraverso i terminali di corrente e facenti capo alla sorgente di
alimentazione
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Misure di Resistenza
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Misure di Resistenza
Ai terminali di tensione di questi due resistori sono connessi due
voltmetri, che misurano le cadute di tensione V x e V k ai capi,rispettivamente, di R x e Rk
Considerando che le resistenze sono connesse in serie, valgono le
relazioniV x
R x
=V k
Rk
R x =V x
V k
Rk
Un resistore variabile viene generalmente inserito nel circuito in serie
alla sorgente di alimentazione: esso funge da regolatore della corrente
che circola attraverso R x e Rk , dato che si tratta, in genere, di resistenze
molto basse
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Misure di Resistenza
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Misure di Resistenza
Compatibilmente con l’esigenza di non provocare un riscaldamento di
questi due resistori, la corrente deve essere mantenuta al valore piu
elevato possibile, poiche in tal modo sono maggiori le cadute di
tensione su R x e Rk , che, come si e visto, sono le grandezze che
vengono valutate dai voltmetri
Si noti che V x e V k e, quindi, la misura di resistenza risultano, in prima
approssimazione, indipendenti dalle resistenze di contatto, in quanto
attraverso i terminali di tensione di R x e Rk fluiscono correnti
estremamente ridotte (molto minori della corrente I che fluisce
attraverso i terminali di corrente)
L’incertezza tipo relativa sulla misura di resistenza risulta
u ( R x) =
u (V x)
2
+ u (V k )
2
+ u ( Rk )
2
dove u ( Rk ) e l’incertezza tipo relativa della resistenza campione
L’accuratezza di Rk viene, normalmente, espressa in termine di classe
di precisione (data in percentuale) con distribuzione rettangolare
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Misure di Resistenza
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Misure di Resistenza
Pertanto, l’incertezza tipo di Rk e data da
u ( Rk ) = Classe100
√ 3
L’incertezza tipo assoluta sulla misura di resistenza risulta, quindi
u ( R x) = u ( R x) R x
Per determinare l’incertezza estesa U ( R x), si scelgono opportunamente
il livello di confidenza e il fattore di copertura
Il risultato della misurazione sara, quindi
R = R x ± U ( R x)
Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato
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Misure di Potenza
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Misure di Potenza
Uno dei metodi piu comuni per eff ettuare misure di potenza in circuiti
in corrente continua prevede l’impiego di un voltmetro e di un
amperometro magnetoelettriciSi possono realizzare in alternativa due schemi
A
V
VUV
IM
RA
RV
A
V
V
IM IU
IVRA
RV
RU
VM
VA
VM
VU RU
Si consideri per primo lo schema che prevede l’inserzione del voltmetro
a valle dell’amperometro
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Misure di Potenza
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Misure di Potenza
La potenza da misurare e data da
PU = V U I U
La potenza misurata risulta
P M = V U I M = V U ( I U + I V ) = PU +V 2
U
RV
nella quale RV denota la resistenza interna del voltmetro
Appare evidente che l’errore sistematico e positivo (si misura in piu) ed
e tanto minore, quanto piu elevato e il valore di RV (il voltmetro ideale e
quello con RV → ∞)
L’errore sistematico puo essere corretto, se e nota RV , tramite larelazione
PU = P M −V 2
U
RV
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Misure di Potenza
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Misure di Potenza
In modo analogo, si puo trattare il caso del circuito con l’amperometro
a valle del voltmetro
La potenza misurata e data da
P M = V M I U = (V U + V A) I U = PU + I 2U R A
nella quale R A denota la resistenza interna dell’amperometro
L’errore sistematico che si commette e positivo (si misura in piu) ed etanto minore, quanto piu piccolo e il valore di R A (l’amperometro ideale
e quello con R A → 0)
Il valore della potenza misurata puo essere corretto, se e nota R A,
tramite la relazione
PU = P M − I
2
U R A
L’incertezza che grava sulla stima della potenza deve essere valutata in
base alle incertezze tipo relative a tensione e corrente, determinando,
quindi, l’incertezza composta
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Misure di Potenza
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In generale, si assume come modello del misurando
PU = V M I M
ovvero si trascura, in quanto praticamente ininfluente per il calcolodell’incertezza, il termine di correzione dell’errore sistematico
L’incertezza tipo relativa sulla misura di potenza risulta
u (PU ) = u (V M )2 + u ( I M )
2
L’incertezza tipo assoluta risulta, quindi
u (PU ) = u (PU ) PU
Per determinare l’incertezza estesa U (PU ), si scelgono opportunamente
il livello di confidenza e il fattore di copertura
Il risultato della misurazione sara, quindiP = PU ± U (PU )
Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato
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Misure di Tensione in Corrente Alternata
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Di una tensione alternata presentano significato tre valori: il valore
efficace, il valore medio sul semiperiodo e il valore di cresta (o valore
massimo), la cui importanza varia a seconda del fenomeno in esameI rapporti tra i tre valori citati, se la forma d’onda della tensione e
sinusoidale, assumono valori costanti e definiti
Infatti, valgono le relazioni
V C = √ 2V e V m = 2 √ 2π
V
essendo
V il valore efficace
V C il valore di cresta o valore massimo, V /V C = 1/√
2 0.707 e detto
fattore di crestaV m il valore medio sul semiperiodo, V /V m = π/
2
√ 2 1.11 e detto
fattore di forma
Per misurare il valore efficace di tensioni alternate (sinusoidali o meno)
si puo ricorrere a strumenti indicatori di tipo elettromagnetico
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Misure di Tensione in Corrente Alternata
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Alla parte fondamentale dello strumento vengono aggiunte resistenzeaddizionali per ottenere piu portate (e quindi piu costanti)
Le portate tipiche variano da alcune decine ad alcune centinaia di volt
Per misurare tensioni piu elevate si puo ricorrere alla interposizione di
trasformatori di tensione
Le tipiche classi di precisione sono 0.2 e 0.5
Per misurare il valore medio sul semiperiodo di tensioni alternate (il
valore medio di una grandezza alternata esteso ad un intero periodo e
nullo per definizione), si puo ricorrere all’uso di uno strumento
magnetoelettrico, preceduto da un raddrizzatore
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Misure di Tensione in Corrente Alternata
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Vi Vu
V
T e n s i o n e
Tempo
Vi
Vu
Per eff etto del raddrizzatore, nella bobina mobile dello strumento
magnetoelettrico fluisce una corrente unidirezionale periodica
Se la pulsazione di risonanza dell’equipaggio mobile ω0 enotevolmente piu bassa della pulsazione della tensione da misurare
(ω = 2π f ), la deviazione dell’indice risulta proporzionale al valore
medio sul semiperiodo della tensione in ingresso (V m)
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Misure di Tensione in Corrente Alternata
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Infatti
V m =
2
T T /2
0V C sin (ωt ) dt
dove V C e il valore di cresta della tensione, T = 2π/ω e t il tempo
Sugli strumenti concepiti per misurare il valore medio sul semiperiodo
della tensione, la scala e di solito tracciata tenendo conto del fattore di
forma π/2 √ 2
relativo ad un’onda sinusoidale, in modo che la letturadello strumento corrisponda al valore efficace della tensione sinusoidale
che ha valore medio sul semiperiodo uguale a quello della tensione
misurata (taratura in valore efficace)
La presenza dei raddrizzatori fa sı che questi strumenti abbiano classe
di precisione non migliore di 0.5Il valore di cresta di una tensione alternata puo essere misurato, sotto
certe condizioni, ancora con uno strumento magnetoelettrico
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Misure di Tensione in Corrente Alternata
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ViVuIi = Id
Vd
C V
Un condensatore, connesso alla tensione di ingresso V i attraverso un
diodo, tende a caricarsi al valore di cresta di V i (a meno della caduta ditensione V d dul diodo)
Considerando la resistenza interna R dello strumento magnetoelettrico e
la capacita C del condensatore, se il prodotto RC risulta notevolmente
superiore alla durata del periodo T = 1/ f = 2π/ω di V i, il condensatore
si scarica poco durante il tempo in cui la tensione non e al valore dicresta
Di conseguenza, l’indicazione dello strumento risulta praticamente
proporzionale al valore di cresta stesso
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Misure di Tensione in Corrente Alternata
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L’incertezza tipo che grava su una misura di tensione in corrente
alternata, data la classe di precisione dello strumento utilizzato, risulta
u (V M ) = Classe · Portata100
√ 3
L’incertezza tipo relativa e, invece, data da
u (V M )=
Classe
·Portata
100 √ 3V M
Per determinare l’incertezza estesa U (V M ), si scelgono opportunamente
il livello di confidenza e il fattore di copertura
Il risultato della misurazione sara, quindi
V = V M ± U (V M )
Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato
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Misure di Corrente in Corrente Alternata
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Per la misura delle correnti alternate e, in generale, richiesto il valore
efficace I , per cui si puo ricorrere all’impiego di strumenti
elettromagneticiNegli amperometri elettromagnetici, la bobina viene realizzata con
poche spire di sezione relativamente elevata
Molte volte la bobina e suddivisa in due parti uguali che possono essere
collegate in serie o in parallelo, per ottenere cosı uno strumento con due
portate
I
I
I
I
Connessione in Serie Connessione in Parallelo
I I
I/2
I/2
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Misure di Corrente in Corrente Alternata
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Gli amperometri elettromagnetici hanno normalmente portate non
superiori a 10 A
Per misurare correnti piu elevate si puo ricorrere alla interposizione ditrasformatori di corrente, in quanto l’uso di shunt non e possibile per la
presenza di parametri non puramente ohmici
Per misure di laboratorio fino a 500 Hz, sono abbastanza diff usi
amperometri elettromagnetici in classe 0.2 e 0.5
L’incertezza tipo che grava su una misura di corrente in correntealternata, data la classe di precisione dello strumento utilizzato, risulta
u ( I M ) =Classe · Portata
100√
3
L’incertezza tipo relativa e, invece, data da
u ( I M ) =Classe · Portata
100√
3 I M
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Misure di Corrente in Corrente Alternata
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Per determinare l’incertezza estesa U ( I M ), si scelgono opportunamente
il livello di confidenza e il fattore di copertura
Il risultato della misurazione sara, quindi
I = I M ± U ( I M )
Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato
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Misure di Potenza in Sistemi Monofase in Regime
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Sinusoidale
In un circuito monofase in regime sinusoidale, la potenza istantanea ( p)e uguale al prodotto dei valori istantanei di tensione (v) e corrente (i)
p = vi = V C sin (ωt ) I C sin (ωt + ϕ)
dove V C e I C sono i valori di cresta delle grandezze in gioco, ω la
pulsazione, ϕ l’angolo di sfasamento tra le due grandezze (ritardo dellacorrente sulla tensione) e t il tempo
Sviluppando il prodotto, si ottiene la relazione
p = VI cos (ϕ) + VI sin (2ωt + ϕ)
nella quale V e I rappresentano i valori efficaci di tensione e corrente
La potenza istantanea e formata da un termine costante VI cos (ϕ) e da
un termine sinusoidale con pulsazione doppia VI sin (2ωt + ϕ)
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Misure di Potenza in Sistemi Monofase in Regime
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Sinusoidale
La potenza attiva P e, per definizione, il valore medio di p sul periodo
P = VI cos (ϕ)
in quanto VI sin (2ωt + ϕ) ha valore medio sul periodo nullo
T e n s i o n e ,
C o r r e n t e ,
P o t e n z
a
Tempo
v
i p
P
Tv
= Ti
= 2 Tp
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Misure di Potenza Attiva
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Lo strumento analogico classico per la misura della potenza attiva e il
wattmetro elettrodinamico, che fornisce una indicazione proporzionale
al valore medio della potenza istantanea
Alla bobina fissa viene inviata la corrente (amperometrica), mentre la
bobina mobile e sottoposta alla tensione (voltmetrica)
Possono essere utilizzate due possibili inserzioni
V
IU
RV
W
U VU
RA
V
IU
RV
W
U VU
RA
I I
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Misure di Potenza Attiva
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I wattmetri da laboratorio hanno solitamente la bobina amperometrica
realizzata con poche spire di sezione relativamente elevata, suddivisa in
due parti uguali, che possono essere messe in serie o parallelo (due
portate amperometriche)
La bobina voltmetrica e invece costituita da molte spire di sezione
ridotta, associate alla quale vi sono piu resistenze addizionali (piu
portate voltmetriche)
Ad ogni combinazione tra le portate amperometrica e voltmetrica
corrisponde una portata wattmetrica, data dal prodotto tra la portata
amperometrica e la portata voltmetrica
La costante (k ) dello strumento e determinata dal rapporto tra la portata
wattmetrica e il numero delle divisioni della scala
k =Portata
Numero di Divisioni
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Misure di Potenza Attiva
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La potenza attiva misurata e, quindi, data da
P M = kPdiv
dove Pdiv denota la lettura in divisioni dello strumento
La misura eff ettuata con il wattmetro e aff etta da errore sistematico, la
cui entita dipende dall’autoconsumo dello strumento e il cui segno e
sempre positivo (si misura sempre in piu)
Nel caso in cui la voltmetrica e derivata a valle dell’amperometrica, si
puo osservare, in analogia con quanto esposto a proposito delle misure
in corrente continua, che la tensione applicata allo strumento e
esattamente quella esistente ai morsetti dell’utilizzatore, mentre la
corrente che fluisce nello strumento comprende anche la quota parte
assorbita dalla bobina voltmetrica
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Misure di Potenza Attiva
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Il wattmetro misura, quindi, una potenza (P M ) piu grande di quella
realmente assorbita dall’utilizzatore (PU ), secondo la relazione
P M = PU +V 2U
RV
L’errore sistematico relativo e dato da
% = 100
V 2U / RV
PU
Il valore di PU si puo trovare immediatamente, se e noto il valore di RV
(correzione dell’errore sistematico), utilizzando la relazione
PU = P M −V 2
U RV
Analogamente, si puo trattare lo schema che prevede l’amperometrica
inserita a valle della voltmetrica
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Misure di Potenza Attiva
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Anche in questo caso il wattmetro misura in piu, secondo la relazione
P M = PU + I 2U R A
L’errore sistematico relativo e dato da
% = 100 I 2
U R A
PU
L’errore sistematico puo essere corretto, se si conosce il valore di R A,utilizzando la relazione
PU = P M − I 2U R A
Si noti che, a diff erenza di RV , la resistenza R A non e indipendente dalla
temperatura, in quanto la bobina amperometrica e realizzata in rame
Si deve, infine, osservare che la correzione dell’errore sistematico puo
essere fatta comunque, anche quando, ad esempio, nel circuito sono in
gioco potenze reattive
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Misure di Potenza Attiva
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Un’altra causa di errore sistematico, che e pero di difficile valutazione,
e dovuta al fatto che il circuito voltmetrico non e puramente resistivo
(prevale in genere l’eff etto induttivo della bobina voltmetrica), per cui
la corrente nello stesso non e perfettamente in fase con la tensione
Un altro parametro, che puo portare a errori dello stesso tipo, e la mutua
induttanza esistente tra le due bobine
Nella costruzione degli strumenti si fa in modo di ridurre al minimo
queste sorgenti di errore
Prescindendo dagli autoconsumi, la potenza misurata risulta
P M = VI cos (ϕ − θ )
essendo θ l’angolo tra la tensione applicata alla voltmetrica e la relativa
corrente
Sviluppando, si ottiene
P M = VI cos (ϕ) cos (θ ) + VI sin (ϕ) sin (θ )
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Misure di Potenza Attiva
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V
I
ϕIV
θ
Essendo l’angolo θ molto piccolo, si puo assumere cos (θ ) = 1, per cui,semplificando, si ricava
P M = VI cos (ϕ) + VI sin (ϕ) sin (θ ) = PU
1 + tan (ϕ) sin (θ )
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Misure di Potenza Attiva
’ i i l i l i di
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L’errore sistematico percentuale risulta, quindi
% = 100P M − PU
PU
= 100 tan (ϕ) sin (θ )
L’errore sistematico che si commette non dipende solo dallo strumento
ma anche dalle caratteristiche del circuito (sarebbe nullo per ϕ = 0 e
infinito per ϕ = 90)
Risulta, pertanto, che le misure a basso fattore di potenza possono
risultare critiche per quanto riguarda l’accuratezza raggiungibile
Ad esempio, per cos(ϕ) = 0.05 si ha
tan (ϕ) 1
cos (ϕ)= 20
Se l’errore proprio di fase θ del wattmetro fosse pari a 0.002 rad
(0.2 crad), l’errore sistematico sulla misura di potenza sarebbe pari al
4% (di valore positivo se il misurando e induttivo, negativo se e
capacitivo)
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Misure di Potenza Attiva
P i h´ il l di θ ` ` ` i ibil
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Poiche il valore di θ non e noto e non e neppure costante, e impossibile
procedere alla correzione dei risultati, per cui il problema finisce per
ricadere nella valutazione dell’incertezza da associare al risultato della
misurazioneSi deve anche rilevare che per bassi valori di cos (ϕ), la deviazione
dell’indice dello strumento, date le portate voltmetrica e
amperometrica, risulta molto ridotta, per cui l’errore relativo dello
strumento, risulta elevato
Assumendo di avere valori di tensione e corrente pari, rispettivamente,alle portate voltmentrica e amperometrica, risulta
=Classe
100 cos (ϕ)
Per ovviare a questo inconveniente, si puo ricorrere all’uso di wattmetri
per basso cos (ϕ), che sono strumenti piu pregiati, nei quali la coppia
antagonista e ridotta, in modo che la portata wattmetrica dello
strumento sia pure ridotta, mantenendo inalterate le portate voltmetrica
e amperometrica
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Misure di Potenza Attiva
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Ad esempio, un wattmetro per cos (ϕ) = 0.2 si porta a fondo scala con
una potenza attiva pari a 1/5 di quella corrispondente al prodotto VI ,
essendo V la portata voltmetrica e I quella amperometricaLa portata wattmetrica di un wattmetro per un dato cos (ϕ) risulta,
quindi, VI cos (ϕ)
Il valore di cos (ϕ), se diverso da 1, e normalmente indicato sullo
strumento
I wattmetri elettrodinamici possono appartenere a classi di precisione
anche fino a 0.1
Date la classe di precisione dello strumento e la portata, trascurando, in
quanto praticamente ininuente, il termine di correzione dell’errore
sistematico, l’incertezza tipo che grava sulla misura risulta
u (PU ) = u (P M ) =Classe · Portata
100√
3
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Misure di Potenza Attiva
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L’incertezza tipo relativa e, invece, data da
u (PU ) = u (P M ) =Classe · Portata
100√
3PU
Per determinare l’incertezza estesa U (PU ), si scelgono opportunamente
il livello di confidenza e il fattore di copertura
Il risultato della misurazione sara, quindi
P = PU ± U (PU )
Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato
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Misure di Potenza Reattiva
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Quando le grandezze sono sinusoidali, la determinazione della potenza
reattiva potrebbe essere, in linea di principio, eff ettuata ricorrendo ad un
varmetroPossono essere utilizzate due possibili inserzioni
V
var
U
I
V
var
U
I
Tuttavia, gli artifici circuitali utilizzati per realizzare un varmetro di
questo tipo garantiscono una misura corretta solo per una ben
determinata frequenza
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Misure di Potenza Reattiva
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Pertanto, generalmente, la determinazione della potenza reattiva Q
viene eff ettuata per via indiretta ed elaborando le indicazioni di
wattmetro, amperometro e voltmetro (sono quindi necessari trestrumenti)
Possono essere utilizzate due possibili inserzioni
A
V
VUV RA
RV
RA,WRV,W
A W
V
V
W
I
VM
U
IM IM
VM
UVU
U IU
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Misure di Potenza Reattiva
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Con entrambi gli schemi, la potenza reattiva risulta data da
QU =
(V M I M )
2 − P2 M
dove P M e la potenza attiva fornita dal wattmetro, mentre V M e I M sono,
rispettivamente, la tensione misurata dal voltmetro e la corrente
misurata dall’amperometro
Questa misurazione non e aff etta da errori sistematici dovuti agli
autoconsumi, in quanto essi contribuiscono solo alla potenza attiva
L’incertezza che grava sulla misura della potenza reattiva deve essere
valutata in base alle incertezze tipo relative a tensione, corrente e
potenza, determinando, quindi, l’incertezza composta
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Misure di Potenza Reattiva
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In particolare, l’incertezza tipo assoluta sulla misura di potenza reattiva
risulta
u (QU ) =
P2
M u (P M )
2
V 2 M
I 2 M
− P2 M
+ I 4
M V 2
M u (V M )
2
V 2 M
I 2 M
− P2 M
+V 4
M I 2
M u ( I M )
2
V 2 M
I 2 M
− P2 M
Per determinare l’incertezza estesa U (QU ), si scelgono opportunamente
il livello di confidenza e il fattore di copertura
Il risultato della misurazione sara, quindi
Q = QU ± U (QU )
Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzarenell’espressione del risultato
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Misure di Potenza Apparente
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Poiche non esiste uno strumento analogico capace di fornire
direttamente la potenza apparente S, occorre eff ettuare una misura per
via indiretta, elaborando le indicazioni di amperometro e voltmetroPossono essere utilizzate due possibili inserzioni
La grandezza da misurare viene ottenuta dal prodotto delle indicazioni
di voltmetro (V M ) e amperometro ( I M )
S M = V M I M
A
V
VUV RA
A
V
V
I
VM
U
IM IM
VM
UVU
U IU
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Misure di Potenza Apparente
In linea di principio questa misurazione e affetta da errore sistematico
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In linea di principio, questa misurazione e aff etta da errore sistematico
In molti casi, tuttavia, l’errore sistematico non viene corretto, in quanto
la potenza apparente presenta importanza notevolmente ridotta rispetto
alla potenza attiva
Per poter correggere l’errore sistematico nella misura di potenza
apparente, occorre conoscere l’angolo di sfasamento tra tensione e
corrente dell’oggetto sotto misura, ovvero, occorre misurare anche la
potenza attiva e la potenza reattiva
A
V
VUV RA
RV
RA,WRV,W
A W
V
V
W
I
VM
U
IM IM
VM
UVU
U IU
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Misure di Potenza Apparente
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La potenza attiva corretta, in questo caso, a seconda dello schema di
inserzione utilizzato, e data da
PU = P M −V 2
U
RV
− V 2U
RV ,W
dove RV e RV ,W sono, rispettivamente, le resistenze interne del
voltmetro e delle voltmetriche del wattmetro, oppure
PU = P M − I 2U R A − I 2U R A,W
dove R A e R A,W sono, rispettivamente, le resistenze interne
dell’amperometro e delle amperometriche del wattmetro
La potenza reattiva risulta data da
QU =
(V M I M )
2 − P2 M
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Misure di Potenza Apparente
La potenza apparente corretta e, quindi, data da
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La potenza apparente corretta e, quindi, data da
SU = P2U + Q2
U
Nel caso in cui si utilizzi l’inserzione con le voltmetriche del wattmetro
e il voltmetro inseriti a valle dell’amperometro e delle amperometriche
del wattmetro, la tensione misurata e eff ettivamente la tensione ai capi
dell’utilizzatore (V U = V M ), mentre la corrente che fluisce
nell’utilizzatore e data da
I U =SU
V M
Invece, nel caso in cui si utilizzi l’inserzione con le voltmetriche del
wattmetro e il voltmetro inseriti a monte dell’amperometro e delle
amperometriche del wattmetro, la corrente misurata e eff ettivamente la
corrente che fluisce nell’utilizzatore ( I U = I M ), mentre la tensione aicapi dell’utilizzatore e data da
V U =SU
I M
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Misure di Potenza Apparente
L’incertezza che grava sulla misura di potenza apparente deve essere
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ce te a c e g ava su a su a d pote a appa e te deve esse e
valutata come incertezza composta
In genere, si assume come modello del misurando
SU = V M I M
ovvero si trascura, in quanto praticamente ininfluente per il calcolo
dell’incertezza, il termine di correzione dell’errore sistematico
L’incertezza tipo relativa sulla misura di potenza apparente risulta
u (SU ) =
u (V M )
2 + u ( I M )2
L’incertezza tipo assoluta risulta, quindi
u (SU ) = u (SU ) SU
Per determinare l’incertezza estesa U (SU ), si scelgono opportunamente
il livello di confidenza e il fattore di copertura
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Misure di Potenza Apparente
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Il risultato della misurazione sara, quindi
S = SU ± U (SU )
Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzarenell’espressione del risultato
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Misure di Fattore di Potenza
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Per la misura del fattore di potenza, occorre utilizzare le indicazioni di
wattmetro (P M ), amperometro ( I M ) e voltmetro (V M )
A
V
VUV RA
RV
RA,WRV,W
A W
V
V
W
I
VM
U
IM IM
VM
UVU
U IU
Il fattore di potenza e dato da
cos (ϕ M ) =P M
S M
=P M
V M I M
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Misure di Fattore di Potenza
Questa misura e aff etta da errore sistematico, per via degli autoconsumi
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degli strumenti
La potenza attiva corretta, a seconda dello schema di inserzione
utilizzato, e data da
PU = P M −V 2
U
RV
− V 2U
RV ,W
dove RV e RV ,W sono, rispettivamente, le resistenze interne del
voltmetro e delle voltmetriche del wattmetro, oppure
PU = P M − I 2U R A − I 2U R A,W
dove R A e R A,W sono, rispettivamente, le resistenze interne
dell’amperometro e delle amperometriche del wattmetroLa potenza reattiva risulta data da
QU =
(V M I M )
2 − P2 M
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Misure di Fattore di Potenza
La potenza apparente corretta e data da
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La potenza apparente corretta e data da
SU = P2
U
+ Q2
U
Il fattore di potenza corretto risulta, quindi, dato da
cos (ϕU ) =PU
SU
L’incertezza che grava sulla misura di fattore di potenza deve essere
valutata come incertezza composta
In genere, si assume come modello del misurando
cos (ϕU ) =
P M
V M I M
ovvero si trascurano, in quanto praticamente ininfluente per il calcolo
dell’incertezza, il termine di correzione dell’errore sistematico
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 66 / 158
Misure di Fattore di Potenza
L’incertezza tipo relativa sulla misura di fattore di potenza risulta
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L incertezza tipo relativa sulla misura di fattore di potenza risulta
ucos (ϕU )
=
u (V M )
2
+ u ( I M )2
+ u (P M )2
L’incertezza tipo assoluta risulta, quindi
u
cos (ϕU )
= u
cos (ϕU )
cos (ϕU )
Per determinare l’incertezza estesa U cos (ϕU )
, si scelgono
opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura
Il risultato della misurazione sara, quindi
cos (ϕ) = cos (ϕU ) ± U cos (ϕU )Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 67 / 158
Misure di Potenza in Funzione della Tensione o della
Corrente
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Le misure di potenza, soprattutto in ambito industriale, vengono spesso
richieste in funzione della tensione (piu frequentemente) o dellacorrente (piu raramente), ovvero, si richiede di misurare le potenze
(attiva, reattiva e apparente) assorbite da un utilizzatore per un certo
valore di tensione o di corrente
In questo caso, i risultati devono poi essere riportati al valore di
tensione (V R) o di corrente ( I R) di riferimento
A
V
VUV RA
RV
RA,WRV,W
A W
V
V
W
I
VM
U
IM IM
VM
UVU
U IU
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Misure di Potenza in Funzione della Tensione o della
Corrente
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Nel caso in cui la grandezza di riferimento sia la tensione, i valori dellapotenza attiva, apparente e reattiva, riportati alla tensione V R, sono dati
da
P R = PU
V 2 R
V 2U
, S R = SU
V 2 R
V 2U
, Q R = QU
V 2 R
V 2U
In genere, si assumono come modelli del misurandi
P R = P M
V 2 R
V 2 M
, S R = S M
V 2 R
V 2 M
, Q R = QU
V 2 R
V 2 M
ovvero si trascurano, in quanto praticamente ininfluenti per il calcolodell’incertezza, i termini di correzione dell’errore sistematico
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 69 / 158
Misure di Potenza in Funzione della Tensione o della
Corrente
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L’incertezza tipo relativa che grava sulle misure di potenza attiva eapparente risulta, rispettivamente
u (P R) =
u (P M )
2 + 4u (V M )2
u (S R) =
u (V M )2 + u ( I M )2
L’incertezza tipo assoluta per le misure di potenza attiva e apparente
risulta, quindi, rispettivamente, pari a
u (P R) = u (P R) P R
u (S R) = u (S R) S R
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 70 / 158
Misure di Potenza in Funzione della Tensione o dellaCorrente
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L’incertezza tipo assoluta che grava sulla misura di potenza reattiva e
data da
u (Q R) =
P2
M V 8
Ru (P M )
2
V 8 M
Q2 R
+ I 2
M V 8
Ru ( I M )
2
V 4 M
Q2 R
+
4P2
M V 4
R
V 5 M
− 2 I 2 M
V 4 R
V 3 M
2
u (V M )2
4Q2 R
Per determinare le incertezze estese U (P R), U (S R) e U (Q R), si
scelgono opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura
Il risultato della misurazione sara, quindi
P = P R ± U (P R)
S = S R
±U (S R)
Q = Q R ± U (Q R)
Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 71 / 158
Misure di Potenza in Funzione della Tensione o dellaCorrente
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Nel caso in cui la grandezza di riferimento sia la corrente, i valori dellapotenza attiva, apparente e reattiva, riportati alla corrente I R, sono dati
da
P R = PU
I 2 R
I 2U
, S R = SU
I 2 R
I 2U
,Q R = QU
I 2 R
I 2U
In genere, si assumono come modelli del misurandi
P R = P M
I 2 R
I 2 M
, S R = S M
I 2 R
I 2 M
,Q R = QU
I 2 R
I 2 M
ovvero trascurando, in quanto praticamente ininfluenti per il calcolodell’incertezza, i termini di correzione dell’errore sistematico
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Misure di Potenza in Funzione della Tensione o dellaCorrente
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L’incertezza tipo relativa che grava sulle misure di potenza attiva eapparente risulta, rispettivamente
u (P R) =
u (P M )
2 + 4u ( I M )2
u (S R) =
u (V M )2 + u ( I M )2
L’incertezza tipo assoluta per le misure di potenza attiva e apparente
risulta, quindi, rispettivamente, pari a
u (P R) = u (P R) P R
u (S R) = u (S R) S R
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 73 / 158
Misure di Potenza in Funzione della Tensione o dellaCorrente
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L’incertezza tipo assoluta che grava sulla misura di potenza reattiva e
data da
u (Q R) =
P2
M I 8
Ru (P M )
2
I 8 M
Q2 R
+V 2
M I 8
Ru (V M )
2
I 4 M
Q2 R
+
4P2
M I 4
R
I 5 M
− 2V 2 M
I 4 R
I 3 M
2
u ( I M )2
4Q2 R
Per determinare le incertezze estese U (P R), U (S R) e U (Q R), si
scelgono opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura
Il risultato della misurazione sara, quindi
P = P R ± U (P R)
S = S R
±U (S R)
Q = Q R ± U (Q R)
Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato
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Misure di Potenza in Sistemi Polifase in RegimeSinusoidale
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Per trattare le misure di potenza in sistemi polifase, conviene, per
semplicita, fare riferimento a sistemi trifase, che peraltro sono i piu
diff usi, per poi generalizzare i risultati ottenuti, estendendoli a sistemi
aventi un numero di fasi qualunque
In un sistema trifase, l’oggetto sotto misura puo essere collegato atriangolo o a stella, oppure essere costituito da piu carichi misti in
parallelo (anche monofase)
In un sistema trifase, il sistema di alimentazione puo essere a tre o
quattro fili
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Misure di Potenza Attiva
I1 Z
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I1
R1
W1
Z1
1
I2
R2
W2
Z2
2
I3
R3
W3
Z3
3
N
O
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 76 / 158
Misure di Potenza Attiva
Un sistema trifase e a quattro fili quando si e in presenza di neutro attivo
In questo caso la potenza attiva si ottiene come somma delle potenze
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In questo caso, la potenza attiva si ottiene come somma delle potenze
relative a ciascuna delle fasi
Dette E 1, E 2 ed E 3 le tensioni di fase e I 1, I 2 e I 3 le correnti di linea,sfasate rispetto alle tensioni di fase degli angoli ϕ1, ϕ2 e ϕ3, la potenza
attiva e data da
P = E 1 I 1 cos (ϕ1) + E 2 I 2 cos (ϕ2) + E 3 I 3 cos (ϕ3)
Per i sistemi trifase a tre fili con collegamento a stella, la potenza attiva
si ottiene come somma delle potenze relative a ciascuna delle fasi
Per i sistemi trifase a tre fili con collegamento a triangolo, invece, la
potenza attiva e data da
P = V 1 I 1 cos (ϕ1) + V 2 I 2 cos (ϕ2) + V 3 I 3 cos (ϕ3)
dove V 1, V 2 e V 3 sono le tensioni concatenate e I 1, I 2 e I 3 le correnti di
fase, sfasate rispetto alle tensioni concatenate degli angoli ϕ1, ϕ2 e ϕ3
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 77 / 158
Misure di Potenza Attiva
I1
W
Z11
I1
W
Z11
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R1
W11
I2
R2
W2
Z22
I3
R3
W3
Z33
O
(a)
R1
W11
I2
R2
W2
Z22
I3
R3
W3
Z33
O
(b)
O´
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 78 / 158
Misure di Potenza Attiva
Si vuole ora dimostrare che la potenza attiva nei sistemi trifase a tre fili
puo essere misurata con solo due wattmetri
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puo essere misurata con solo due wattmetri
Per semplicita, si fa riferimento ad un circuito collegato a stella, anche
se la dimostrazione e i risultati hanno validita generale
O
1
23
V23
V31 V12
E1
E3
E2
O´
HI1
ϕ1
I2 ϕ2
I3
ϕ3
E3´
E1´
E2´
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 79 / 158
Misure di Potenza Attiva
Se si separa il centro stella delle voltmetriche da quello del carico, si ha,
in generale, che i due centri stella non coincidono elettricamente
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g
Cio puo essere dovuto a dissimmetrie nelle impedenze a valle della
sezione di misura o nelle resistenze addizionali dei wattmetriLa somma delle indicazioni dei tre wattmetri puo essere scritta come
P = E 1 − H
· I 1 +
E 2 − H
· I 2 +
E 3 − H
· I 3
avendo indicato con H il vettore di tensione esistente tra i due centri
stellaSviluppando si ottiene
P = E 1 · I 1 + E 2 · I 2 + E 3 · I 3 − H · I 1 + I 2 + I 3
Essendo il sistema a tre fili, la somma vettoriale delle correnti e per
definizione nulla, ovvero I 1 + I 2 + I 3 = 0
per cui la potenza misurata coincide con quella assorbita dal carico
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Misure di Potenza Attiva
I1 Z1
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R1
W1
Z1
1
I2
R2
W2
Z2
2
I3Z3
3
O
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 81 / 158
Misure di Potenza Attiva
A questo punto, e possibile collegare il centro stella delle voltmetriche
dei tre wattmetri ad una delle fasi, per esempio la fase 3
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p p
La tensione applicata alle voltmentriche del wattmetro W 3, quindi,
diverra nulla, mentre alle voltmetriche dei wattmetri W 1 e W 2 saraapplicata la tensione concatenata, invece della tensione di fase
Questo schema prende il nome di inserzione di Aron
In questo caso, si puo scrivere
P = E 1 − E 3
· I 1 + E 2 − E 3
· I 2 + E 3 − E 3
· I 3
Il termine E 3 − E 3
· I 3 e evidentemente nullo e, pertanto, si ottiene
P = E 1
· I 1 + E 2
· I 2 + E 3
· − I 1
− I 2
Essendo I 3 = − I 1 − I 2 si ricava
P = E 1 · I 1 + E 2 · I 2 + E 3 · I 3
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Misure di Potenza Attiva
Conseguentemente, si ottiene
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P = P1 + P2
dove P1 e P2 sono rispettivamente le letture dei wattmetri W 1 e W 2,
come volevasi dimostrare
Da quanto sopra esposto deriva un importante conclusione di validita
generale: la potenza attiva in un circuito ad N fili puo essere misurata
con N − 1 wattmetriQuesta conclusione e valida per qualsiasi sistema polifase (incluso il
monofase che ha due fili e per il quale la misura di potenza si eff ettua
con un wattmetro), anche se non simmetrico nelle tensioni e non
equilibrato nelle correnti
La misura eff ettuata con l’inserzione di Aron puo comportare che unwattmetro fornisca indicazione negativa, per cui essa deve essere
sottratta dall’indicazione dell’altro wattmetro
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 83 / 158
Misure di Potenza Attiva
Infatti, per un sistema simmetrico ed equilibrato si puo scrivere
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P1 = V 31 I 1 cos (ϕ1 − 30) = VI cos (ϕ − 30)
P2 = V 32 I 2 cos (ϕ2 + 30) = VI cos (ϕ + 30)
Sviluppando, si ottiene
P1 = VI cos (ϕ) cos (30) + VI sin (ϕ) sin (30)
P2 = VI cos (ϕ) cos (30)
−VI sin (ϕ) sin (30)
Imponendo P2 = 0, si ricava
tan (ϕ) =1
tan (30)=
√ 3
e, quindi, si ottiene cos (ϕ) = 0.5
Per un sistema simmetrico ed equilibrato e possibile ricavare cos (ϕ) da
P1 e P2
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 84 / 158
Misure di Potenza Attiva
Infatti, dividendo membro a membro, si ottiene
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, ,
P1P2
= cos (ϕ) cos (30)+
sin (ϕ) sin (30)cos (ϕ) cos (30) − sin (ϕ) sin (30)
ovvero
cos (ϕ) cos (30) (P1 − P2) = sin (ϕ) sin (30) (P1 + P2)
Sviluppando, si ottiene
tan (ϕ) =√
3P1 − P2
P1 + P2
cos (ϕ) = cosarctan
√ 3 P1 − P2
P1 + P2
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 85 / 158
Misure di Potenza Attiva
In un sistema polifase, quindi, la potenza attiva assorbita dal carico U e
d t d
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data da
PU =
M i=1
PU ,i
dove PU ,i e la lettura di ciascuno degli M wattmetri utilizzati
(normalmente M = N − 1, dove N e il numero di fili), su cui e stata
eff ettuata la correzione dell’errore sistematico dovuto agli autoconsumi
Per il calcolo dell’incertezza, in genere, si assume come modello del
misurando
PU =
M i=1
P M ,i
dove P M ,i sono le letture dei wattmetri, ovvero si trascura, in quantopraticamente ininfluenti per il calcolo dell’incertezza, i termini di
correzione dell’errore sistematico
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 86 / 158
Misure di Potenza Attiva
L’incertezza tipo assoluta che grava sulle misura di potenza attiva risulta
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u (PU ) = M
i=1uP M ,i
2
Per determinare l’incertezza estesa U (PU ), si scelgono opportunamente
il livello di confidenza e il fattore di copertura
Il risultato della misurazione sara, quindi
P = PU ± U (PU )
Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato
Nel caso in cui il circuito abbia un fattore di potenza molto basso,l’inserzione di Aron cade in difetto, in quanto le letture dei due
wattmetri sono poco diverse tra loro, prossime alla meta del fondo scala
e di segno opposto
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 87 / 158
Misure di Potenza Attiva
L’incertezza tipo relativa, u (PU ) = u (PU ) /PU , quindi, risulta molto
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elevata, in quanto PU = P M ,1 + P M ,2 → 0
Poiche l’uso di wattmetri a basso cos (ϕ) non e adatto per l’inserzionedi Aron, in quanto entrambi i wattmetri vedono cos (ϕ) 0.5, per la
misura si deve ricorrere a tre wattmetri (o in generale a N wattmetri per
un sistema a N fili), misurando le potenze di ogni fase e sommandole
In questo caso l’uso di wattmetri a basso cos (ϕ) e possibile, poiche i
wattmetri vedono il cos (ϕ) eff ettivo del caricoNel caso in cui venga richiesta una misura si potenza in funzione della
tensione (in sistemi polifase, normalmente, non si eseguono misure in
funzione della corrente), la potenza attiva, riportata alla tensione di
riferimento V R, risulta
P R = PU V
2 R
V 2 M
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 88 / 158
Misure di Potenza Attiva
Z1
1
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W1
V1 V3
1
W2
Z2
2
Z3
3
OV2
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 89 / 158
Misure di Potenza Attiva
Siccome viene fornito un solo valore di V R, si assume implicitamente
che il sistema sia simmetrico e, pertanto, il valore di V M deve essere
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, p , M
calcolato come valore medio delle tre letture dei voltmetri, ovvero
V M =V M ,1 + V M ,2 + V M ,3
3
L’incertezza tipo relativa che grava sulla potenza attiva riportata alla
tensione V R risulta
u (P R) =
u (PU )
2 + 4u (V M )2
Considerando che le letture dei voltmetri saranno, inevitabilmente,
diverse tra loro, per determinare u (V M ) occorre, innanzitutto,
determinare lo scarto tipo delle tre misure, sV M ,i
, e l’incertezza tipo
assoluta dei voltmetri, uV M ,i
, assumendo per semplicita i tre voltmetri
uguali
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 90 / 158
Misure di Potenza AttivaSe risulta che s
V M ,i
> u
V M ,i
, allora
u (V ) =s V M ,i
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u (V M ) = √ 3
Quindi, benche il sistema non risulti eff ettivamente simmetrico, in
quanto lo scarto tra le tre tensioni misurate dai voltmetri eccede i limiti
definiti dall’incertezza di misura dei voltmetri stessi, si assume
comunque il sistema simmetrico (non si puo fare altrimenti)
Si ricava, pero, l’incertezza di V M dallo scarto tipo delle tensioni
misurate, che risulta maggiore dell’incertezza di misura dei voltmetri
(in sostanza si assume che vi siano altri fattori, oltre all’incertezza dei
voltmetri, che determinano lo scarto tra le tensioni)
Se, invece, risulta che s
V M ,i
≤ u
V M ,i
, allora
u (V M ) =
3u
V M ,i
2
3=
uV M ,i
√
3
in quanto il sistema e eff ettivamente simmetrico
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 91 / 158
Misure di Potenza Attiva
L’incertezza tipo relativa u (V M ) risulta, quindi
(V )
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u (V M ) =u (V M )
V M
L’incertezza tipo assoluta per la misura di potenza attiva risulta pari a
u (P R) = u (P R) P R
Per determinare l’incertezza estesa U (P R), si scelgono opportunamenteil livello di confidenza e il fattore di copertura
Il risultato della misurazione sara, quindi
P = P R ± U (P R)
Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato
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Misure di Potenza Reattiva
Per misurare la potenza reattiva in un generico sistema trifase a tre fili,
occorre inserire un voltmetro, un amperometro e un wattmetro su
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ciascun ramo del carico, procedendo poi, per ciascun ramo, come per i
sistemi monofaseLa potenza reattiva complessiva sara, quindi, data da
QU =
M
i=1
QU ,i
dove M e il numero di rami del carico considerati ( M = 3 per un
sistema trifase a tre fili)
Se il carico e connesso a stella, occorre inserire le voltmetriche dei
wattmetri e i voltmetri sulle tensioni di fase e le amperometriche dei
wattmetri e gli amperometri sulle correnti di lineaSe il carico e connesso a triangolo, occorre inserire le voltmetriche dei
wattmetri e i voltmetri sulle tensioni concatenate e le amperometriche
dei wattmetri e gli amperometri sulle correnti di fase
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 93 / 158
Misure di Potenza Reattiva
L’incertezza tipo assoluta che grava sulle misura di potenza reattiva, in
questo caso, risulta
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u (QU ) =
M
i=1
uQU ,i
2
Per determinare l’incertezza estesa U (QU ), si scelgono opportunamente
il livello di confidenza e il fattore di copertura
Il risultato della misurazione sara, quindi
Q = QU ± U (QU )
Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultatoIn sistemi simmetrici ed equilibrati, e possibile misurare la potenza
reattiva utilizzando un solo wattmetro
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 94 / 158
Misure di Potenza Reattiva
Z1
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Wc
Z1
1
Z2
2
Z3
3
O
O
1
23
E1
E3 E2
Iϕ
90˚ –ϕ
V = V23
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 95 / 158
Misure di Potenza Reattiva
La potenza misurata dal wattmetro risulta, infatti
P = VI cos (90 − ϕ) = VI sin (ϕ)
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P = VI cos (90 ϕ) = VI sin (ϕ)
dove V e la tensione concatenata e I la corrente di linea
Conseguentemente, considerando che, per definizione, la potenza
reattiva Q = 3 EI sin (ϕ) e che E = V /√
3, si ricava
QU =√
3PU
dove PU e la potenza letta sul wattmetro, su cui e stata eff ettuata la
correzione dell’errore sistematico dovuto agli autoconsumi
Questo metodo, che presuppone le condizioni di simmetria ed
equilibrio del sistema, puo essere utilizzato solamente per misure
indicative (ad esempio sui quadri di centrale)
Per misure di precisione, non si puo infatti presumere che le condizioni
richieste siano verificate
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 96 / 158
Misure di Potenza Reattiva
Per il calcolo dell’incertezza, in genere, si assume come modello del
misurando
QU =√
3PM
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QU
√3P M
ovvero si trascurano, in quanto praticamente ininfluenti per il calcolodell’incertezza, i termini di correzione dell’errore sistematico
L’incertezza tipo assoluta che grava sulla misura di potenza reattiva, in
questo caso, risulta
u (QU ) =√
3u (P M )
Per determinare l’incertezza estesa U (QU ), si scelgono opportunamente
il livello di confidenza e il fattore di copertura
Il risultato della misurazione sara, quindi
Q = QU
±U (QU )
Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 97 / 158
Misure di Potenza Reattiva
Wa
Z1
1
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Wb
Z2
2
Wc
Z3
3
O
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 98 / 158
Misure di Potenza Reattiva
In un sistema trifase a tre fili, nel caso di carico arbitrario ma tensioni
simmetriche per la misura della potenza reattiva si puo ricorrere alla
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simmetriche, per la misura della potenza reattiva si puo ricorrere alla
inserzione di Righi o dei tre wattmetri
Essa viene realizzata inserendo due strumenti secondo lo schema di
Aron ed il terzo con la bobina amperometrica sulla fase rimasta libera e
la voltmetrica derivata fra le due altre fasi
In un sistema trifase simmetrico la potenza attiva e data da
P = E 1 · I 1 + E 2 · I 2 + E 3 · I 3 =
= E 1 · I 1 + E 2 ·− I 1 − I 3
+ E 3 · I 3 =
=
E 1 − E 2
· I 1 +
E 2 − E 2
· I 2 +
E 3 − E 2
· I 3 =
= V 12
· I 1 + V 32
· I 3 =
= VI 1 cos (ϕ1 + 30) + VI 3 cos (ϕ3 − 30)
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 99 / 158
Misure di Potenza Reattiva
In un sistema trifase simmetrico la potenza reattiva e data da
Q = E I + E I + E I =
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Q = E 1
× I 1 + E 2
× I 2 + E 3
× I 3 =
= E 1 × I 1 + E 2 × − I 1 − I 3+ E 3 × I 3 =
= E 1 − E 2
× I 1 +
E 2 − E 2
× I 2 +
E 3 − E 2
× I 3 =
= V 12 × I 1 + V 32 × I 3 =
= VI 1 sin (ϕ1 + 30) + VI 3 sin (ϕ3 − 30)
In un sistema trifase simmetrico V 12 = V 32 = V 13 = V sono le tensioniconcatenate, I 1, I 2 e I 3 sono le correnti di linea e ϕ1, ϕ2 e ϕ3 sono gli
sfasamenti tra le tensioni di fase E 1 = E 2 = E 3 = E e le correnti di linea
Pertanto, indicando con Pa, Pb e Pc le indicazioni dei tre wattmetri, si
ottiene Pa = VI 1 cos (ϕ1 − 30)Pb = VI 2 cos (ϕ2 + 30)
Pc = VI 3 cos (ϕ3 − 90)
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 100 / 158
Misure di Potenza Reattiva
Sommando Pa e Pc, si ricava
P + P = VI1 cos (ϕ1 − 30) + VI3 cos (ϕ3 − 90)
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Pa + Pc = VI 1 cos (ϕ1 30 ) + VI 3 cos (ϕ3 90 )
Espandendo le relazioni trigonometriche, si ottiene
cos (ϕ1 − 30) = cos (ϕ1 + 30 − 60) =
= cos (ϕ1 + 30) cos (60)+
+ sin (ϕ1 + 30) sin (60) =
=1
2cos (ϕ1 + 30) +
√ 32
sin (ϕ1 + 30)
cos (ϕ3 − 90) = cos (ϕ3 − 30 − 60) =
= cos (ϕ3 − 30) cos (60)+
+ sin (ϕ3 − 30) sin (60) =
=1
2cos (ϕ3 − 30) +
√ 3
2sin (ϕ3 − 30)
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 101 / 158
Misure di Potenza ReattivaPertanto, risulta
Pa + Pc = VI 11
2cos (ϕ1 + 30) +
√ 3
2sin (ϕ1 + 30) +
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2 2 +VI 3
1
2cos (ϕ3 − 30) +
√ 32
sin (ϕ3 − 30)
==
1
2
VI 1 cos (ϕ1 + 30) + VI 3 cos (ϕ3 − 30)
+
+
√ 3
2VI 1 sin (ϕ1 + 30) + VI 3 sin (ϕ3
−30)
Sostituendo, si ottiene
Pa + Pc =1
2P +
√ 3
2Q
Ricordando che, per l’inserzione di Aron, P = Pa + Pb, si puo scrivere
Pa + Pc =1
2(Pa + Pb) +
√ 3
2Q
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 102 / 158
Misure di Potenza Reattiva
La potenza reattiva assorbita dall’utilizzatore U risulta
Q =Pa − Pb + 2Pc√
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Q √ 3
La misura risulta aff etta da errore sistematico dovuto agli autoconsumi
dei wattmetri
La potenza reattiva corretta risulta, quindi
QU = PU ,a − PU ,b + 2PU ,c√ 3
Per il calcolo dell’incertezza, in genere, si assume come modello del
misurando
QU =
P M ,a
−P M ,b + 2P M ,c
√ 3ovvero si trascurano, in quanto praticamente ininfluenti per il calcolo
dell’incertezza, i termini di correzione dell’errore sistematico
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 103 / 158
Misure di Potenza Reattiva
L’incertezza tipo assoluta che grava sulla misura di potenza reattiva, in
questo caso risulta
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questo caso, risulta
u (QU ) =1√
3
uP M ,a
2+ u
P M ,b
2+ 4u
P M ,c
2
Per determinare l’incertezza estesa U (QU ), si scelgono opportunamente
il livello di confidenza e il fattore di copertura
Il risultato della misurazione sara, quindi
Q = QU ± U (QU )
Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 104 / 158
Misure di Potenza ReattivaI1
R1
W1
Z1
1
Lettura 1
P1
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P2
P1’
P2’
I2
R2
W2
Z2
2
I3 Z3
3
O
I1
R1
W1
Z1
1
Lettura 2
I2
R2
W2
Z2
2
I3 Z3
3
O
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 105 / 158
Misure di Potenza Reattiva
Una variante dell’inserzione Righi e la cosiddetta inserzione
Barbagelata, tramite la quale e possibile determinare la potenza reattiva
in un sistema trifase a tre fili simmetrico, utilizzando due coppie di
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pp
letture successive di due wattmetri (quattro misure di potenza)La prima coppia di letture viene ottenuta dai due Wattmetri inseriti
secondo Aron, mentre la seconda coppia di letture viene ottenuta dagli
stessi due wattmetri in inserzione simmetrica
E facile dimostrare che
Pc = P2 − P1
Infatti, si puo scrivere
P2−P
1 = V 21· I 2− V 12· I 1 = − V 12· I 2− V 12· I 1 = V 12·
− I 1 − I 2
= V 12· I 3 = Pc
Quindi, ponendo Pa = P1, Pb = P2 e Pc = P2 − P1, si puo utilizzare lastessa formula ricavata per l’inserzione Righi per determinare la
potenza reattiva Q
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 106 / 158
Misure di Potenza Reattiva
La misura risulta aff etta da errore sistematico dovuto agli autoconsumi
dei wattmetri
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La potenza reattiva corretta risulta, quindi, data da
QU =PU ,1 − PU ,2 + 2
P
U ,2 − PU ,1
√
3
Per il calcolo dell’incertezza, in genere, si assume come modello delmisurando
QU =P M ,1 − P M ,2 + 2
P
M ,2− P
M ,1
√
3
ovvero si trascurano, in quanto praticamente ininfluenti per il calcolo
dell’incertezza, i termini di correzione dell’errore sistematico
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 107 / 158
Misure di Potenza Reattiva
Lincertezza tipo assoluta che grava sulla misura di potenza reattiva, in
questo caso, risulta
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q ,
u (QU ) =1√
3
uP M ,1
2+ u
P M ,2
2+ 4u
P
M ,2
2+ 4u
P
M ,1
2,
Per determinare l’incertezza estesa U (QU ), si scelgono opportunamente
il livello di confidenza e il fattore di coperturaIl risultato della misurazione sara, quindi,
Q = QU ± U (QU ) ,
Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato
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Misure di Potenza Reattiva
Wa
Z1
1
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V1 V3
Wb
Z2
2
Z3
3
OV2
Wc
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Misure di Potenza Reattiva
Nel caso in cui venga richiesta una misura si potenza reattiva in
funzione della tensione, la potenza reattiva, riportata alla tensione di
riferimento V risulta
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riferimento V R
, risulta
Q R = QU
V 2 R
V 2 M
Il valore di V M deve essere calcolato come nel caso della misura di
potenza attiva
L’incertezza tipo relativa che grava sulla potenza reattiva riportata allatensione V R risulta
u (Q R) =
u (QU )
2 + 4u (V M )2
dove u (QU ) = u (QU ) /QU e u (V M ) si determina come nel caso dellamisura di potenza attiva
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 110 / 158
Misure di Potenza Reattiva
L’incertezza tipo assoluta per la misura di potenza reattiva risulta pari a
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u (Q R) = u (Q R) Q R
Per determinare l’incertezza estesa U (Q R), si scelgono opportunamente
il livello di confidenza e il fattore di copertura
Il risultato della misurazione sara, quindi
Q = Q R ± U (Q R)
Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 111 / 158
Misure di Potenza Apparente
Per misurare la potenza apparente in un generico sistema trifase a tre
fili, occorre inserire un voltmetro, un amperometro e un wattmetro su
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ciascun ramo del carico, procedendo poi, per ciascun ramo, come per isistemi monofase
La potenza apparente complessiva sara, quindi, data da
SU = M
i=1PU ,i
2
+ M
i=1QU ,i
2
dove M e il numero di rami del carico considerati ( M = 3 per un
sistema trifase a tre fili)
Se il carico e connesso a stella, occorre inserire le voltmetriche dei
wattmetri e i voltmetri sulle tensioni di fase e le amperometriche dei
wattmetri e gli amperometri sulle correnti di linea
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 112 / 158
Misure di Potenza ApparenteSe il carico e connesso a triangolo, occorre inserire le voltmetriche dei
wattmetri e i voltmetri sulle tensioni concatenate e le amperometriche
dei wattmetri e gli amperometri sulle correnti di fase
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Se il sistema e simmetrico, e possibile misurare la potenza apparenteutilizzando l’inserzione di Righi o l’inserzione di Barbagelata
In questo caso, la potenza apparente e data da
SU = P2U + Q2
U
L’incertezza tipo assoluta che grava sulla misura di potenza apparente,
in questo caso, risulta
u (SU ) =
PU +QU √
3
2
u(P M ,a)2
S2
U
+
PU − QU √
3
2
u(P M ,b)2
S2
U
+4Q2
U u(P M ,c)
2
3S2
U
Per determinare l’incertezza estesa U (SU ), si scelgono opportunamente
il livello di confidenza e il fattore di copertura
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 113 / 158
Misure di Potenza Apparente
Il risultato della misurazione sara, quindi
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S = SU ± U (SU )
Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato
Qualora sia richiesta una misura di potenza apparente in funzione della
tensione V R, risulta
S R = SU
V 2 R
V 2 M
Il valore di V M deve essere calcolato come nel caso della misura di
potenza attiva
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 114 / 158
Misure di Potenza ApparenteL’incertezza tipo relativa che grava sulla misura di potenza apparente,
in questo caso, risulta
u (SR) = u (SU)2 + 4u (VM)2
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u (S R) u (SU ) + 4u (V M )
dove u (SU ) = u (SU ) /SU e u (V M ) si determina come nel caso della
misura di potenza attiva
L’incertezza tipo assoluta per la misura di potenza apparente risulta,
quindi, pari a
u (S R) = u (S R) S R
Per determinare l’incertezza estesa U (S R), si scelgono opportunamente
il livello di confidenza e il fattore di copertura
Il risultato della misurazione sara, quindi
S = S R ± U (S R)
Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 115 / 158
Misure in Regime Non-Sinusoidale
Si consideri un circuito in cui la tensione o la corrente o entrambe le
grandezze siano periodiche con frequenza f , ma non siano sinusoidali
Se ciascun segnale viene scomposto in serie di Fourier, si ottengono
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tanti termini di tipo sinusoidale, detti armoniche, con frequenza pari aimultipli interi di f , ma ampiezza e fase diverse
Non necessariamente tutte le armoniche sono presenti, anzi nella
maggioranza dei casi avviene esattamente il contrario
La potenza istantanea ( p) e sempre uguale al prodotto dei valori
istantanei di tensione (v) e corrente (i), qualunque sia la forma deisegnali
p = vi =
∞
k =0
V C ,k sin (k ωt )
∞
k =0
I C ,k sin (k ωt + ϕk )
dove ω = 2π f , mentre V C ,k e I C ,k sono, rispettivamente, i valori di cresta
delle armoniche di tensione e corrente, mentre ϕk e lo sfasamento tra le
armoniche di indice k di tensione e corrente
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 116 / 158
Misure in Regime Non-Sinusoidale
o r r e n t e ,
P o t e n z a
v
i p
P
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T e n s i o n e , C
Tempo
T e n s i o n e ,
C o r r e n t e ,
P o t e n z a
Tempo
vi
p
P
(a)
(b)
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Misure in Regime Non-Sinusoidale
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Se si sviluppa il prodotto, si ottiene un numero di termini molto elevato(a causa dei prodotti incrociati)
In un caso la corrente ha un’armonica di terzo ordine, mentre nell’altro
la corrente ha un’armonica di quinto ordine
In entrambi i casi, il valore medio della potenza istantanea e nullo,
stando a significare che non transita potenza attiva
Il fatto che siano in gioco correnti e tensioni, pero, implica che nel
sistema e in gioco potenza reattiva
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 118 / 158
Misure di Tensione e Corrente
Si consideri un circuito in cui sia la tensione, sia la corrente non siano
sinusoidali
Entrambe le grandezze possono essere espresse tramite sviluppo in
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serie di Fourier
Il valore efficace della tensione viene definito come
V =
∞
i=
0
V 2i
dove V i sono i valori efficaci delle singole armoniche di tensione
Il valore efficace della corrente viene definito come
I = ∞
i=0 I
2
i
dove I i sono i valori efficaci delle singole armoniche di corrente
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 119 / 158
Misure di Tensione e Corrente
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Nei voltmetri o negli amperometri elettromagnetici, ogni armonica ditensione o di corrente produce una coppia motrice C m,i proporzionale al
quadrato del valore efficace dell’armonica stessa
L’equipaggio mobile e globalmente sollecitato dalla somma delle
singole coppie C m,i
Ne consegue che il voltmetro o l’amperometro sono sempre in grado difornire l’indicazione corretta del valore efficace di tensione o corrente
(almeno nel campo delle frequenze industriali)
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 120 / 158
Misure di Potenza Attiva
Si consideri un circuito in cui sia la tensione, sia la corrente non siano
sinusoidali
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La potenza attiva viene definita come
P =
∞i=0
V i I i cos (ϕi)
dove V i e I i sono, rispettivamente, i valori efficaci delle armoniche ditensione e corrente
La potenza attiva e quindi costituita dalla sommatoria dei prodotti
scalari (in senso vettoriale) di tutte le combinazioni di tensioni e
correnti sinusoidali aventi la stessa frequenza e secondo il relativo
angolo di sfasamento, considerando anche eventuali componenticostanti (in questo caso ϕ0 = 0)
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Misure di Potenza Attiva
Nei wattmetri elettrodinamici, ogni contributo V i I i cos (ϕi) produce una
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coppia motrice C m,i
L’equipaggio mobile e globalmente sollecitato dalla somma delle
singole coppie C m,i
Ne consegue che il wattmetro e sempre in grado di fornire l’indicazione
corretta della potenza attiva in gioco nel circuito su cui si eff ettua la
misura (almeno nel campo delle frequenze industriali)
In un sistema polifase a N fili, la misura di potenza attiva puo sempre
essere eff ettuata con N − 1 wattmetri
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Misure di Potenza Reattiva
Si consideri ancora un circuito in cui sia la tensione, sia la corrente non
siano sinusoidali
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Anche per la potenza reattiva si possono definire i contributi dellediverse coppie di armoniche isofrequenziali di tensione e corrente
Q =
∞
i=0
V i I i sin (ϕi)
dove V i e I i sono, rispettivamente, i valori efficaci delle armoniche di
tensione e corrente
La potenza reattiva Q e, quindi, costituita dalla sommatoria dei prodotti
vettoriali di tutte le combinazioni di tensioni e correnti sinusoidali
aventi la stessa frequenza e secondo il relativo angolo di sfasamento(eventuali componenti costanti danno contributo nullo in quanto ϕ0 = 0)
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 123 / 158
Misure di Potenza Apparente
E generalmente accettato considerare, convenzionalmente, come
potenza apparente, anche in un circuito in cui sia la tensione, sia la
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corrente non siano sinusoidali, il prodotto dei valori efficaci di tensione
V e corrente I
S = VI =
∞i=0
V 2i
∞i=0
I 2i
dove V i e I i sono, rispettivamente, i valori efficaci delle armoniche ditensione e corrente
Tale definizione non ha un chiaro significato fisico
Infatti, confrontando le espressioni di P, Q ed S, si puo verificare che
S2 > P2 + Q2
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 124 / 158
Misure di Potenza Apparente
Infatti, ne l’espressione di P, ne l’espressione di Q tengono conto dei
prodotti tra i termini non isofrequenziali presenti nell’espressione della
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potenza istantanea p
Dik = V C ,i sin (iωt ) I C ,k sin (k ωt + ϕk )
con i k , che, invece, sono presenti nella espressione di S
Esistono diverse teorie per interpretare i termini aggiuntivi presenti nelbilancio delle potenze in regime non-sinusoidale, tra le quali vale le
pena di citare, oltre alla teoria di Budeanu, che e la piu diff usa, anche la
teoria di Shepherd e Zakikhani, la teoria di Sharon e la teoria di
Czarnescki
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 125 / 158
Teoria di Budeanu
Budeanu esprime la potenza apparente S mediante tre componentimutuamente ortogonali
La potenza attiva P
∞
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P =∞
i=0
V i I i cos (ϕi)
La potenza reattiva Q
Q =
∞
i=0
V i I i sin (ϕi)
La potenza reattiva deformante D
D =
∞m=0
∞k =0
V 2
k I 2m + V 2m I 2
k − 2V k V m I k I m cos (ϕk − ϕm)
con m k
V i e I i sono, rispettivamente, i valori efficaci delle armoniche ditensione e corrente, mentre ϕi sono gli sfasamenti tra le armoniche di
indice i di tensione e corrente
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 126 / 158
Teoria di Budeanu
La potenza reattiva deformante D assume valore nullo quando tutte le
i h di t i li ll di t i d
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armoniche di corrente sono proporzionali a quelle di tensione e quandotutti gli sfasamenti relativi ϕi sono uguali
Si puo dimostrare che
S2 = (VI )2 = P2 + Q2 + D2
dove V e I sono, rispettivamente, i valori efficaci di tensione e corrente
La potenza reattiva deformante non ha alcun significato fisico, anche se
viene associata alla potenza reattiva
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 127 / 158
Misure su Circuiti Non-Lineari di Tipo Induttivo
Quando le misure di potenza devono essere eff ettuate su circuiti
non lineari si deve porre particolare attenzione alla interpretazione dei
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non-lineari, si deve porre particolare attenzione alla interpretazione deirisultati ottenuti
Per chiarire i concetti, conviene fare riferimento ad una classica
misurazione che viene eff ettuata per determinare la cifra di perdita dei
lamierini magnetici utilizzati nelle macchine elettriche, nelle quali essi
sono sottoposti a magnetizzazione alternata
I suddetti lamierini presentano una caratteristica B = f ( H ) non-lineare
e dipendente dalle vicissitudini a cui gli stessi vengono sottoposti (cicli
di isteresi)
Si deve anche tenere presente che essendo B e H interdipendenti, risulta
che se B e sinusoidale non lo puo essere H e viceversa
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Misure su Circuiti Non-Lineari di Tipo Induttivo
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Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 129 / 158
Misure su Circuiti Non-Lineari di Tipo InduttivoIl primo caso e il piu comune e corrisponde, ad esempio,
all’alimentazione del circuito elettrico con tensione sinusoidale
impressa, per cui l’induzione magnetica B risulta sinusoidale, mentre la
forma del campo H (che e quella della corrente nel circuito) e appuntita
S ` i i id l H ( t i id l i ) l f di
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Se e, invece, sinusoidale H (corrente sinusoidale impressa), la forma di
B risulta appiattita
La potenza magnetizzante (induttiva) perde allora significato preciso,
appunto perche B ed H non sono entrambe sinusoidali
In tal caso, considerandoB
sinusoidale, si puo, convenzionalmente, fareriferimento al valore efficace H E ed assumere come potenzamagnetizzante specifica
Per unita di volume
QV =√
2π fBH E
Per unita di massa
Q M =√ 2πη
fBH E
dove η e la densita di massa (o peso specifico) e f e la frequenza
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 130 / 158
Misure su Circuiti Non-Lineari di Tipo InduttivoUn secondo importante problema riguarda le perdite nel materiale
magnetico, che sono da attribuire a due fenomeni distinti: l’isteresi e le
correnti parassite
A causa del fenomeno di isteresi, durante la magnetizzazione viene
f it l t i l i h ` i i t t tit it
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fornita al materiale una energia, che non e poi interamente restituita
durante la smagnetizzazione
L’energia perduta, che si trasforma in calore, e rappresentata, in una
certa scala e per unita di volume, dall’area del ciclo di isteresi
Si puo, percio, scrivere
W =
Bmax
Bmin
HdB
dove Bmin e Bmax sono, rispettivamente il valore minimo e massimo
dell’induzione magnetica
Poiche W e l’energia dissipata per ogni ciclo, per passare alla potenza
basta tenere conto della frequenza
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 131 / 158
Misure su Circuiti Non-Lineari di Tipo Induttivo
Si e soliti esprimere le perdite per isteresi P I con una relazione del tipo
P I = k I fBn
dove kI e una costante e n un parametro detto coefficiente di Steinmetz
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dove k I e una costante e n un parametro, detto coefficiente di Steinmetz,
che varia tra 1.5 e 2.5 con l’induzione magnetica stessa
Per limitare le perdite per isteresi il lamierino viene ottenuto da una
lega ferro-silicio, con silicio intorno al 3.5%
Un’altra sorgente di perdite e dovuta al fatto che, per la presenza di un
flusso dell’induzione magnetica alternato, nello stesso materiale
magnetico si inducono forze elettromotrici
Essendo poi il materiale un buon conduttore elettrico, si ha la
circolazione di correnti parassite
Le perdite per correnti parassite sono proporzionali ai quadrati diinduzione magnetica, frequenza e spessore del lamierino, nonche
inversamente proporzionali alla resistivita del materiale
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 132 / 158
Misure su Circuiti Non-Lineari di Tipo Induttivo
Per limitare le perdite per correnti parassite, i circuiti magnetici
vengono laminati e si ricorre a leghe che permettono di aumentare la
resistivita
L’i l fi i l d i l i i i ` i id i
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L’isolamento superficiale dei lamierini e oggi ottenuto per ossidazione
diretta, durante il processo produttivo
Analogamente a quanto detto per le perdite per isteresi, si puo usare,
per le perdite per correnti parassite PP, una espressione del tipo
PP = k P f 2 B2
dove k P e una costante
Le perdite totali nel circuito magnetico possono, quindi, essere espresse
come
PU = k I fBn + k P f 2 B2
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 133 / 158
Misure su Circuiti Non-Lineari di Tipo Induttivo
Normalmente, per quantificare le perdite in un materiale magnetico,
viene utilizzata la cifra di perdita, data da
P
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C P =PU
m
Essa rappresenta la potenza dissipata per unita di massa m da un
materiale magnetico, quando uniformemente eccitato a prefissati valori
di induzione magnetica ( B) e di frequenza ( f )A titolo indicativo si puo ricordare che, per f = 50 Hz e B = 1.5 T, la
cifra di perdita puo variare da 0.8 W / kg a 2.0 W / kg
I valori piu bassi sono quelli dei lamierini a cristalli orientati, usati nei
trasformatori di potenza
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Apparecchio di Epstein
L’apparecchio di Epstein viene utilizzato per determinare la cifra di
perdita dei lamierini magnetici
Lungo i tubi esterni sono avvolti, insieme ed uniformemente, in modo
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Lungo i tubi esterni sono avvolti, insieme ed uniformemente, in mododa simulare un solenoide, due avvolgimenti detti, rispettivamente,
primario e secondario
Ciascun avvolgimento e costituito da un predeterminato numero di
spire (normalmente 600 spire)
Per la prova si sceglie una prefissata massa di lamierini (normalmente
10 kg), tagliati in strisce di lunghezza e larghezza pure prefissate
(500 mm e 30 mm, rispettivamente)
Le strisce cosı ottenute devono essere disposte nei tubi in modo che i
giunti che si formano all’esterno siano alternati e stretti, cosı da ridurre
l’eff etto dei traferri
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Apparecchio di Epstein
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Apparecchio di Epstein
WA
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~V
f
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Apparecchio di EpsteinEsso e caratterizzato dal fatto che il voltmetro e la voltmetrica delwattmetro sono connessi all’avvolgimento secondario dell’apparecchiodi Epstein, ottenendo cosı due importanti vantaggi
Si escludono dalla misura della potenza le perdite dovute alla resistenza
dell’avvolgimento alimentato (primario)f l i i d l d i ` di l
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g pLa forza elettromotrice indotta al secondario e direttamente legata
all’induzione magnetica nel materiale, che e la grandezza che interessa
Per la misura, si devono utilizzare strumenti di buona qualita, che
consentano di misurare la tensione, la potenza, la corrente e la
frequenza, preferibilmente di tipo digitale, in quanto caratterizzati daautoconsumo trascurabile
Si deve anche tenere conto del fatto che il circuito risulta fortemente
induttivo, per cui e necessario l’impiego di un wattmetro adatto per
basso fattore di potenza
Per l’alimentazione del circuito, occorre una sorgente che, per ilmomento, si considera in grado di fornire una tensione perfettamente
sinusoidale
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Misura della Cifra di Perdita con Tensione Sinusoidale
Per determinare la cifra di perdita, si deve, innanzitutto, determinare la
sezione A del pacco di lamierini
Detti m la massa dei lamierini, η il peso specifico del materiale
magnetico ed l la lunghezza totale del circuito magnetico, si ottiene
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g g g
A =m
ηl
nella quale si puo assumere m = 10 kg, η = 7.6 kg / dm3 e l = 2.0 m
Poiche lo scopo della misura e di determinare la cifra di perdita
all’induzione magnetica B R e alla frequenza f R, occorre calcolare la
tensione V R che deve apparire ai terminali del secondario per i valori
prescelti di B R ed f R, che risulta
V R = √ 2πns f R B R A
nella quale ns = 600 e il numero delle spire dell’apparecchio
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 139 / 158
Misura della Cifra di Perdita con Tensione Sinusoidale
Le misure vengono, quindi, condotte rilevando un certo numero di
valori di potenza assorbita, in funzione della tensione a frequenza
costante, ed eff ettuando l’interpolazione grafica dei punti risultanti, in
modo da escludere eventuali letture aff ette da errori grossolani
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g
Al valore di tensione V R, si determina, quindi, la potenza misurata P M
Se l’autoconsumo delle voltmetriche del wattmetro e del voltmetro non
e trascurabile, si deve determinare il valore della potenza corretta PU
Il valore della cifra di perdita C P,U e dato, infine, da
C P,U =PU
m
L’incertezza che grava sulla misura di cifra di perdita deve essere
valutata come incertezza composta
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 140 / 158
Misura della Cifra di Perdita con Tensione SinusoidalePer il calcolo dell’incertezza, in genere, si assume come modello del
misurando
C P,U =P M
m
V 2 R
V 2 M
= P M
2m (πns f R B R)2
(ηlV M )2
ovvero si trascura in quanto praticamente ininfluente per il calcolo
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ovvero si trascura, in quanto praticamente ininfluente per il calcolo
dell’incertezza, il termine di correzione dell’errore sistematico
Inoltre, si assume una dipendenza quadratica della potenza dissipata
dall’induzione magnetica e, quindi, dalla tensione V M (si assume il
coefficiente di Steinmetz n = 2) e si trascura la dipendenza della cifra diperdita dalla frequenza (si assume f = f R)
L’incertezza tipo relativa sulla misura di cifra di perdita risulta
u C P,U = u (P M )2 + u (m)2 + 4u (η)2 + 4u (l)2 + 4u (V M )
2
Le incertezze sulla massa u (m), sulla lunghezza u (l) e sul peso
specifico u (η) possono, generalmente, essere trascurate
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 141 / 158
Misura della Cifra di Perdita con Tensione Sinusoidale
L’incertezza tipo assoluta risulta, quindi
uC P,U
= u
C P,U
C P,U
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Per determinare l’incertezza estesa U C P,U
, si scelgono
opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura
Il risultato della misurazione sara, quindi
C P = C P,U ± U C P,U
Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato
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Separazione delle Perdite
Se si desidera eff ettuare la separazione delle perdite tra perdite per
isteresi e perdite per correnti parassite, si possono esprimere le perdite
per ciclo (energia)
PU 2
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W U =PU
f = k I B
n + k P fB2
Esse rappresentano una retta in funzione della frequenza, per cui, con
misure in funzione di f , a induzione magnetica costante B = B R, si puo
ottenere la ripartizione desiderata
Il valore di PU corrispondente all’induzione magnetica B R, per ogni
valore di f , deve essere determinato per interpolazione grafica e deve
essere eff ettuata, se necessario, la correzione dell’errore sistematico
dovuto agli autoconsumi degli strumenti
Sono necessarie almeno due misure a diversi valori di frequenza per
poter operare la ripartizione delle perdite
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 143 / 158
Separazione delle Perdite
W U
kPfB2
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f
kIBn
I valori dei coefficienti k I e k P risultano
k I =W U | f =0
Bn
R
, k P =W U | f = f R − W U | f =0
B2
R
f R
dove B R e il valore di induzione magnetica di riferimento e f R e il valore
della frequenza di riferimento
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 144 / 158
Separazione delle Perdite
Alternativamente, considerando che il valore di n non e tipicamente
noto, si possono determinare i coefficienti α I e αP, che esprimono,
rispettivamente, la frazione di perdite da attribuire all’isteresi e la
frazione di perdite da attribuire alle correnti parassite, dati da
WU | fR
WU |f f − WU |f 0
fR
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α I =W U | f =0 f R
PU
, αP =
W U | f = f R
W U | f =0
f R
PU
A questo punto, noti i coefficienti α I e αP, e possibile tenere conto
anche della dipendenza della cifra di perdita dalla frequenza nel calcolo
dell’incertezza
Il modello del misurando da utilizzare per il calcolo dell’incertezza che
grava sulla misura della cifra di perdita, infatti, risulta
C P,U = P M α I
f R
f M + αP
f 2 R
f 2 M
2m (πns f R B R)2
(ηlV M )2
dove f M e la frequenza misurata
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 145 / 158
Separazione delle Perdite
L’incertezza tipo relativa sulla misura di cifra di perdita, assumendo
f M = f R, ma considerando l’incertezza tipo relativa sulla misura di
frequenza u ( f M ), sapendo che α I + αP = 1 e trascurando le incertezze
sulla massa u (m), sulla lunghezza u (l) e sul peso specifico u (η), risulta
uC
=
u (P )2 + 4u (V )2 + (α + 2α )2 u (f )2
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uC P,U
=
u (P M ) + 4u (V M ) + (α I + 2αP) u ( f M )
L’incertezza tipo assoluta risulta, quindi
u C P,U = u C P,U C P,U
Per determinare l’incertezza estesa U C P,U
, si scelgono
opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura
Il risultato della misurazione sara, quindi
C P = C P,U
±U C P,U
Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 146 / 158
Misura della Cifra di Perdita con Tensione Non-Sinusoidale
In laboratorio ci si trova, a volte, a dover eff ettuare la misura della cifra
di perdita con una sorgente di tensione che presenta una forma d’ondanon perfettamente sinusoidale
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p
Questo e dovuto, nella maggior parte dei casi, al fatto che, a causa della
non-linearita della relazione B = f ( H ) nel materiale, la corrente che
circola nell’avvolgimento primario dell’apparecchio di Epstein non e
sinusoidalePertanto, in presenza di una resistenza non nulla in serie alla sorgente di
tensione (resistenza interna della sorgente e resistenza dei cavi), la
tensione eff ettivamente applicata all’avvolgimento primario
dell’apparecchio di Epstein risulta essere, a sua volta, non-sinusoidale
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Misura della Cifra di Perdita con Tensione Non-Sinusoidale
Le perdite per isteresi e per correnti parassite che si manifestano nelmateriale, seguono leggi diverse
Le perdite per isteresi sono funzione del valore di cresta dell’induzione
magnetica BC , in conseguenza del fatto che dipendono dal ciclo di isteresi
e, in aggiunta, l’esponente di Steinmetz e variabile con l’induzionemagnetica stessa
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magnetica stessa
Le perdite per correnti parassite sono, per la legge di Joule, proporzionali
al quadrato del valore efficace delle tensioni indotte nei lamierini e
dipendono, quindi, dal valore efficace dell’induzione magnetica B E
Ne consegue che, se la tensione non e sinusoidale, non e piu possibileeff ettuare direttamente l’interpolazione grafica delle misure eff ettuate,
per determinare le perdite in corrispondenza del valore di induzione
magnetica di riferimento B R
Con tensione non-sunusoidale, infatti, risulta che B E BC /√
2 e,
quindi, se si misura il valore efficace della tensione, legato al valoreefficace dell’induzione magnetica B E , il valore di BC non e
determinabile
Piero Malcovati – Misure Elettriche – Misure Industriali con Strumenti Analogici 148 / 158
Misura della Cifra di Perdita con Tensione Non-Sinusoidale
Sarebbe, quindi, necessario disporre di uno strumento in grado di
misurare il valore massimo dell’induzione magnetica (o una grandezza
proporzionale a questa), in aggiunta al voltmetro a valore efficace
Si puo dimostrare che il valore massimo dell’induzione magnetica e
proporzionale al valore medio sul semiperiodo della tensione indotta(V m)
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( )
Pertanto, occorre inserire nel circuito anche un voltmetro a valore
medio
WA
~VmV
E
f
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Misura della Cifra di Perdita con Tensione Non-Sinusoidale
Il voltmetro a valore medio e generalmente tarato in valore efficace e
fornisce, quindi, il valore π/2
√ 2
V m 1.11V m
Per l’esecuzione delle misure si procede come nel caso di tensione
sinusoidale, prendendo come riferimento le indicazioni del voltmetro a
valore medio
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In questo modo, si riportano correttamente per via grafica alla tensione
V R = π/2
√ 2
V m, ovvero all’induzione magnetica B R = BC /√
2, le
perdite per isteresi, ma non quelle per correnti parassite, che sono
proporzionali al valore efficace della tensione V π/ 2√
2 V m
Il contrario avverrebbe se si prendessero come riferimento le
indicazione del voltmetro a valore efficace
Conviene esprimere i risultati in funzione della tensione fornita dal
voltmetro a valore medio, in quanto l’esponente di Steinmetz non e
costante (si opera ad induzione magnetica massima costante)Dalla interpolazione grafica si ottiene il valore, riportato a
B R = BC /√
2, delle perdite complessive P M
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Misura della Cifra di Perdita con Tensione Non-Sinusoidale
P M
PM
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1.11 V
mV
R
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Misura della Cifra di Perdita con Tensione Non-Sinusoidale
Se l’autoconsumo delle voltmetriche del wattmetro e dei voltmetri non
e trascurabile, si deve determinare il valore della potenza corretta PU
Per poter procedere alla correzione dei risultati e riportarli al caso di
onda sinusoidale, e necessario procedere alla suddivisione delle perdite
Una volta determinati i coefficienti α I e αP, e possibile riportare le
perdite per correnti parassite al valore corretto di tensione e quindi di
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perdite per correnti parassite al valore corretto di tensione e, quindi, di
induzione magnetica, tenendo conto del fatto che le perdite per correnti
parassite dipendono dal quadrato del valore efficace dell’induzione
magnetica stessa
Le perdite corrette sono date da
PC = α I PU + αPPU
V 2 R
V 2 R, E
dove V R, E e il valore efficace della tensione che corrisponde aV R = π/
2
√ 2
V m, ricavato per via grafica (in regime sinusoidale
V R, E = V R)
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Misura della Cifra di Perdita con Tensione Non-Sinusoidale
V
V
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1.11 Vm
VR,E
VR
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Misura della Cifra di Perdita con Tensione Non-Sinusoidale
Nel caso in cui non sia possibile determinare sperimentalmente α I e αP,
per esempio perche non e possibile eff ettuare misure in funzione della
frequenza, si usa assumere, convenzionalmente, α I = αP = 0.5
La cifra di perdita corretta risulta, quindi
C P,U =PC
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,m
Per il calcolo dell’incertezza di misura si assume come modello del
misurando
C P,U =
P M
m
V 2 R
V 2 M
= P M
2m (πns f R B R)2
(ηlV M )2
trascurando, in quanto ininfluente per il calcolo dell’incertezza, anche
la correzione dell’errore dovuto alla tensione non-sinusoidale
L’incertezza tipo relativa sulla misura di cifra di perdita u C P,U e data,
quindi, da
uC P,U
=
u (P M )
2 + u (m)2 + 4u (η)2 + 4u (l)2 + 4u (V M )2
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Misura della Cifra di Perdita con Tensione Non-Sinusoidale
Le incertezze sulla massa u (m), sulla lunghezza u (l) e sul peso
specifico u (η) possono, generalmente, essere trascurate
L’incertezza tipo assoluta risulta, pertanto
uCP U
= u
CP U
CP U
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uC P,U
= u
C P,U
C P,U
Per determinare l’incertezza estesa U C P,U
, si scelgono
opportunamente il livello di confidenza e il fattore di copertura
Il risultato della misurazione sara, quindi
C P = C P,U ± U C P,U
Occorre poi determinare il numero di cifre significative da utilizzare
nell’espressione del risultato
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Misura del Valore di Cresta dell’Induzione Magnetica
In diversi tipi di misure industriali che coinvolgono grandezze
magnetiche, come per esempio nella misura della cifra di perdita di un
materiale magnetico tramite l’apparecchio di Epstein, si rende
necessario determinare il valore di cresta dell’induzione magnetica BC
Si puo dimostrare che BC e proporzionale al valore medio della
t i i d tt V h´ l f d’ d d ll i d i ti
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tensione indotta V m, purche la forma d’onda della induzione magnetica
passi per lo zero due volte per periodo
Si considerino le forme d’onda dei valori istantanei dell’induzione
magnetica b e della forza elettromotrice di autoinduzione o indotta e
Si puo allora scrivere
e = −ns
d φ
dt = −ns
db
dt A
dove φ = bA e il valore istantaneo del flusso dell’induzione magnetica,ns e il numero di spire considerato e A e la sezione dei circuito
magnetico
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Misura del Valore di Cresta dell’Induzione Magnetica
e
b
e T/2
Vm
BC
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T e n s i o n e ,
C o r r e n t e
Tempo
–BC
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Misura del Valore di Cresta dell’Induzione Magnetica
Risolvendo, si ricava
edt = −ns Adb
Il valore medio della tensione V m riferito al semiperiodo, misurato ad
esempio con un voltmetro magnetoelettrico e dato da
V =2
T /2
edt =2
BC
n Adb =2ns A
2BC = 4n AfBC
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V m =T
0
edt =T
− BC
−ns Adb = −T
2 BC = −4ns AfBC
avendo indicato con T il periodo, con f la frequenza e con BC il valore
di cresta dell’induzione magnetica
Questa relazione e valida in quanto la forza elettromotrice indotta e
nulla quando e nulla la derivata dell’induzione magnetica, ovvero,
quando quest’ultima e massima
Si tenga presente che, se il voltmetro a valore medio e tarato in valore
effi
cace per forma d’onda sinusoidale, la lettura del voltmetro sar`a
V = 1.11V m = −4.44ns AfBC
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