+ Analisi agli elemen, fini,
• Il FEM è un metodo numerico (pertanto approssimato) che perme;e la risoluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali.
• Il metodo degli elemen@ fini@ consiste nella discre'zzazione di un assegnato dominio in elemen% fra loro connessi in un numero finito di pun@ (nodi), ver@ci degli elemen@, in corrispondenza dei quali sono valutate le componen@ della funzione incognita.
• Il valore della funzione all'interno del singolo elemento è o;enuto sulla base dei valori dei parametri nodali a;raverso l'uso di opportune funzioni di forma.
• La scelta di tali funzioni, come pure del @po di mesh con cui discre@zzare il dominio è di importanza cruciale per una corre;a convergenza della soluzione.
+ Matrice fondamentale
• Metodo di Galerkin
ii
ii
ii
ii
38 CAPITOLO 2. ELEMENTI FINITI NELL’UNIDIMENSIONALE
Il termine al primo membro puo essere scritto nella forma8>>>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>>>:
Z b
ak
dNi(x)dx
d u(x)dx
dx =Z b
ak
dNi(x)dx
2666664
nX
h=1
dNh(x)dx
uh
3777775 dx
=
nX
h=1
"Z b
ak
dNi(x)dx
dNh(x)dx
dx#
uh
=
nX
h=1
fih uh
(2.31) {G31}avendo posto
fih4=
Z b
ak
dNi(x)dx
dNh(x)dx
dx. (2.32){G32}
Si osservi che fih = fhi ovvero la matrice formata da questi elementi esimmetrica. Questa e la matrice fondamentale.
Osservazione. In ogni campo esiste un problema fondamentale: date lesorgenti determinare la configurazione. L’equazione che risolve il problemafondamentale si chiamera equazione fondamentale. Se questa equazione e di-screta anziche di↵erenziale la matrice che la caratterizza sara bene chiamarlamatrice fondamentale. Negli elementi finiti questa e chiamata matrice del si-stema e anche matrice di rigidezza a causa del ruolo storico che tale matriceha nella meccanica dei solidi elastici ove e stata introdotta per la prima volta.
Indichiamo con sh e con ch i due termini a secondo membro del-l’equazione (2.29). Abbiamo scelto la lettera s in quanto e l’iniziale disorgente, la lettera c in quanto e l’iniziale di contorno e la lettera f inquanto iniziale di fondamentale. Avremo:
si4=
Z b
aNi(x) s(x) dx ci
4= k"Ni(x)
d u(x)dx
#b
a(2.33){G33}
Fatte queste posizioni il sistema algebrico acquista la forma
nX
h=1
fih uh = si + ci (i = 1, 2, ...n) (2.34){G34}
+ Matrice fondamentale
• Esistono altre strade che possono portare alla formulazione della “matrice fondamentale” – Metodi variazionali (principio dei lavori virtuali) (vedi dispensa)
– Formulazione dire;a (vedi dispensa) – Minimizzazione di un funzionale (energia potenziale totale)
+ Matrice fondamentale
• Metodo variazionale 1. Iden@ficazione della ada;a formulazione
dell’elemento 2. Scelta di insieme di funzioni con le quali si descriverà il
campo interno di spostamen@ (mediante loro combinazione lineare)
3. Calcolo funzioni di forma, che legano gli spostamen@ interni con quelli nodali Esplicitare legame campo deformazioni interne -‐ spostamen@ nodali
4. Esplicitare legame campo tensioni interne -‐ spostamen@ nodali
5. Applicare principio lavori virtuali (od altro principio variazionale) per determinare K
6. A calcolo avvenuto, ricavare tensioni e deformazioni in base soluzione
+ Elemento asta
• Travature re@colari piane e spaziali
• solo sforzo normale • 2 nodi • 2 o 3 g.d.l /nodo • carichi applicabili solo nei nodi
• Car. geometriche: A
ELEMENTO ASTA/3 - TRALICCIOTraliccio di sostegno per batterie di perforazione petrolifera. Questo tipo di strutture viene tradizionalmente trattato con modelli a travatura reticolare, assimilando i “nodi” a cerniere.
ELEMENTO ASTA/1
Travature reticolari piane e spaziali• solo sforzo normale• 2 nodi• 2 o 3 g.d.l /nodo• carichi applicabili solo nei nodi• Car. geometriche: A
+ Elemento trave
• Equazione della linea elas@ca
• 2 nodi • 3 gdl/nodo • Carichi concentra@ e distribui@
• Cara;eris@che geometriche (sezione, momento d'inerzia, ...)
+ Lastra (plane stress)
• Sta, piani di tensione: • sono cara;erizza@ dall’avere una delle componen@ principali di tensione iden@camente nulla
• si verificano @picamente in corpi piani, di spessore piccolo rispe;o alle altre dimensioni cara;eris@che del problema, carica@ nel loro piano medio.
Possibilità di inserire lo spessore del corpo
+ Analisi plain strain
• Stato piano di deformazione
• una delle componen@ principali di deformazione è iden@camente nulla
• corpo piano, di spessore molto grande rispe;o alle altre dimensioni cara;eris@che del problema, caricato in modo omogeneo lungo lo spessore
Possibilità di inserire lo spessore del corpo
+ Modelli di omogenizzazione
• Modello di Reuss • Modello di Voigt
E1
E2 l l
l2
l1
F
F A
E1 E2
F
l l
A2 A1
F
E = E1ν1 +E2 1−ν1( )
ν1 =A1
A1 + A2
E = E1E2E1 1− f1( )+E2 f1
f1 =l1l
+ Esercizio 1
• Valutare il modulo elas@co complessivo dei seguen@ corpi della precedente diaposi@va con il modello anali@co e con quello ad elemen@ fini@ (u@lizzare l'analisi plane stress).
+ Nota esercizio 1
• I modelli di Reuss e Voigt non prendono in considerazione carichi di @po trasversale. Per introdurre questo conce;o è necessario porre il modulo di Poisson pari a 0, in modo tale che deformazioni normale provochino deformazioni (e quindi carichi) trasfersali.
• Il carico da imporre nel modello di modello di Voigt (o di isoderformazione) è quello di uno spostamento in direzione normale in modo da avere una isodeformazione su entrambi blocchi.
+ Esempio soluzione esercizio 1 (1/4)
Modello di Voigt
E1 E2
F
l l
A2 A1
F
E = E1ν1 +E2 1−ν1( )
ν1 =A1
A1 + A2
L = 0.1 m Spessore = 0.1 m A1 = 0.03*0.1 m2 = 0.003 m2 A2 = 0.07*0.1 m2 = 0.007 m2
ν1 = 0.3 ν2 = 0.7 Se E1= 10 E2= 100 GPa E = 73 GPa Per avere una deformazione del -‐10% lungo la direzione y devo applicare una forza pari a = F = (E * ε) * A = 73 GPa * (-‐0.1) * 0.01 m2 =
= -‐7.3 * 107 N
+ Esempio soluzione esercizio 1 (2/4)
+ Esempio soluzione esercizio 1 (3/4)
Modello di Reuss
E1
E2 l l
l2
l1
F
F A
E = E1E2E1 1− f1( )+E2 f1
f1 =l1l
L = 0.1 m Spessore = 0.1 m l1 = 0.03 m l2 = 0.07 m
f1 = 0.3 f2 = 0.7 A = 0.1 * 0.1 m2 = 0.01 m2
Se E1= 10 E2= 100 GPa E = 13.7GPa Applicando una forza pressione in direzione y di 1 kPa o;engo uno spostamento totale di Δy = 0.1m * (-‐1 kPa / 13.7 GPa) = 7.3*10-‐9 m
+ Esempio soluzione esercizio 1 (4/4)
Spostamento dell’intera stru;ura valutato lungo la direzione y
+ Considerazioni di simmetria (1/5)
• L’uso di considerazioni di simmetria consente di ridurre le dimensioni del modello. I più comuni @pi di simmetria sono: – Simmetria speculare o di riflessione – Simmetria polare o di rotazione
+ Considerazioni di simmetria (2/5)
Sfru;ando la simmetria è possibile includere nel modello solo una parte della stru;ura, sos@tuendo la parte mancante con opportuni vincoli pos@ sul piano di divisione
Sfruttando la simmetria è possibile includere nel modello solo una parte della struttura, sostituendo la parte mancante con opportuni vincoli posti sul piano di divisione.
+ Considerazioni di simmetria (3/5)
I carichi non devono necessariamente essere simmetrici, dato che una condizione di carico qualsiasi può essere scissa in una componente simmetrica ed in una an@simmetrica.
I carichi non devono necessariamente essere simmetrici, dato cheuna condizione di carico qualsiasi può essere scissa in una componente simmetrica ed in una antisimmetrica.
F
F/2 F/2 F/2 F/2
+ Considerazioni di simmetria (4/5)
• Simmetria di riflessione • La stru;ura viene tagliata in corrispondenza del piano di simmetria
Simmetria di riflessione
Z
XYPiano di simmetria
CarichisimmetriciUz=0ROTx=0ROTy=0
Carichiantisimm.Uy=0Ux=0ROTz=0
La struttura viene tagliata in corrispondenza del piano di simmetria
VINCOLI SUI NODI
+ Considerazioni di simmetria (5/5)
l Corpi assial-‐simmetrici l Geometria assial-‐simmetrica (rotazione di una sezione a;orno ad un asse fisso)
l Carichi a simmetria cilindrica
• Fissato un sistema di riferimento cilindrico “r, θ, z”, per simmetria lo stato di tensione/deformazione risulta indipendente da θ e le componen@ di spostamento in direzione circonferenziale (θ) risultano nulle: il problema può di conseguenza essere studiato come piano.
+ Esercizio 2
• Lastra intagliata in trazione – Schema@zzare la lastra di figura sfru;ando i piani di simmetria
– Misure in mm – Spessore: 5 mm – Modulo Elas@co 109 Pa
– P = 3000 Pa
20
60 5
P
+ Link u,li
• h;p://www.uniroma2.it/didanca/Calc_Aut_Sis_Mec/deposito/08-‐Elemen@-‐Formulazione-‐Generale_V1.pdf
• h;p://www.aero.polimi.it/~ls075775/bacheca/032FormulazioneFEM.pdf