Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
CORSO DIPROGETTAZIONE ASSISTITA DELLE STRUTTURE
MECCANICHE
da
Vin
ci”
PARTE III B
eon
ard
o d REV.: 03 del 15 marzo 2012
gner
ia“L
e PRINCIPALI TIPI DI ELEMENTO E LORO IMPIEGO (PARTE B)
in
Inge
g IMPIEGO (PARTE B)
Dot
tora
to
cuol
a d
i D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI (O DI FOURIER) /1
X YZ coordinate ANSYS
da
Vin
ci”
F=F0 cos(nθ)
X,Y,Z coordinate ANSYS
eon
ard
o d
Y (ζ)
gner
ia“L
e
Z(θ)
in
Inge
g
X (ρ)
Dot
tora
to
Corpi aventi geometria assialsimmetrica, soggetti a carichi variabili con la coordinata angolare secondo una f ne armonica
cuol
a d
i D variabili con la coordinata angolare secondo una f.ne armonica
• 4 (3) nodi• 3 g d l /nodo(v v e v )
© Università di Pisa 2008
Sc • 3 g.d.l /nodo(vx, vy e vz)• operano ESCLUSIVAMENTE nell’ambito di analisi lineari
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI /2
F=F cos(nθ)Si trova che in presenza di carichi
da
Vin
ci” F=F0 cos(nθ)Si trova che, in presenza di carichi
esterni del tipo:
{ } ( ) { } ( ))i( θθ PP
eon
ard
o d { } ( ) { } ( ))sin(cos θθ nPonP
gner
ia“L
e
lo stato di spostamento, tensione e deformazione mostra una simile
in
Inge
g deformazione mostra una simile dipendenza da θ:
{ } ( ) { } ( )( )θθ UU i
Dot
tora
to { } ( ) { } ( )( )θθ nUonU sincos
cuol
a d
i D
Possibile studiare il problema su di un piano ed estrapolare la
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Sc un piano ed estrapolare la
soluzione agli altri valori di θ
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
In questo caso tutte le 6 componenti di deformazione possono
ELEMENTI ARMONICI /3d
a V
inci
”
⎫⎧
In questo caso tutte le 6 componenti di deformazione possono assumere valori non nulli
eon
ard
o d
⎪⎪⎪⎫
⎪⎪⎪⎧
∂∂∂
⎫⎧
x11
00
gner
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e
⎫⎧⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
∂∂∂
⎪⎪⎪⎫
⎪⎪⎪⎧
z
x
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00
011
εε
in
Inge
g
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎪
⎪⎪⎬
⎪⎪
⎪⎪⎨ ∂∂
∂=
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎬
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎨ y
x
xy
y
vvv
y
0
00
γε
Dot
tora
to ⎪
⎭⎪⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
−∂∂
∂∂
∂∂
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
⎩
z
zy
xzv
xxzx
xy
011γγ
cuol
a d
i D
⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
⎩ ∂∂
∂∂
∂∂⎭⎩
zxy
xxzx10
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Sc ⎭⎩ y
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI /4
( )θσ cosRJMx
JM zz
y ⋅=⋅=X
da
Vin
ci” JJ zz X
θ
eon
ard
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R
θ
gner
ia“L
e
Z
in
Inge
g
Esempio : cilindro con intaglio soggetto
Dot
tora
to con intaglio soggetto
a flessione
cuol
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i D
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Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
t ELEMENTI ARMONICI /5O
NE.
txt ELEMENTI ARMONICI /5
da
Vin
ci”
FLES
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ard
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oman
© Università di Pisa 2008
Sc
File
d
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI /6ASPETTI PARTICOLARI DEL MODELLO
C***
ELEMENTI ARMONICI /6d
a V
inci
”
CC*** VINCOLI C***LSEL LOC Y 1 0 001 ! simmetria
eon
ard
o d LSEL,,LOC,Y,-1,0.001 ! simmetria
DL,ALL,,SYMMLSEL,ALLKSEL LOC Y 1 0 001
gner
ia“L
e KSEL,,LOC,Y,-1,0.001KSEL,R,LOC,X,D-RR-0.01,D-RR+0.01DK,ALL,UZ,0 Vincoli in direzione “z”
in
Inge
g C***C*** CARICHIC***
Vincoli in direzione z
Dot
tora
to
LSEL,,LOC,Y,L-0.001,L+1SFL,ALL,PRESS,-PA,0MODE 1 1 ! definisce il numero di armoniche ed il tipo di f ne
cuol
a d
i D MODE,1,1 ! definisce il numero di armoniche ed il tipo di f.ne
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Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI /7Analisi di corpi assialsimmetrici soggetti a carichi genericiU i li t d i l i t i ò
ELEMENTI ARMONICI /7d
a V
inci
” Un carico applicato ad un corpo assialsimmetrico può sempre esere una funzione periodica, in quanto il valore assunto dal
i t l i ibil i f di i R i
eon
ard
o d carico stesso lungo ogni possibile circonferenza di raggio R si
ripete chiaramente con periodo 2L=2πR.
gner
ia“L
e
F(ξ) F(ξ 2 R)
in
Inge
g Y F(ξ)=F(ξ+2πR)
Dot
tora
to
ξ
cuol
a d
i D
R
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Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI /8ELEMENTI ARMONICI /8d
a V
inci
”
∞ ⎞⎛ ⎞⎛⎞⎛ ξξ
Il carico stesso può pertanto essere espresso tramite la serie di Fourier :
eon
ard
o d
( ) ∑∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
10 sincos
iii L
iBL
iAAF πξπξξ
gner
ia“L
e ⎠⎝
F ni armoniche
in
Inge
g F.ni armonicheAnalisi (separata) con
elementi di Fourier
Dot
tora
to elementi di Fourier
per ogni termine della serie S l i
cuol
a d
i D serie
Sovrapposizione effetti
Soluzione complessiva per F(θ)
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Sc per F(θ)
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI /9
Analisi di corpi assialsimmetrici soggetti a carichi generici
ELEMENTI ARMONICI /9d
a V
inci
”
Calcolo coefficienti serie di Fourier :∞ ⎞⎛ ⎞⎛⎞⎛ ξξ
eon
ard
o d
( ) ∑∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+=
10 sincos
iii L
iBL
iAAF πξπξξ
gner
ia“L
e
( )∫ ⎟⎞
⎜⎛L ξ1
⎠⎝
in
Inge
g ( )∫−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
Li d
LiF
LA ξπξξ cos1
Dot
tora
to
( )∫ ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
L
i dL
iFL
B ξπξξ sin1 (formule di Eulero- Fourier)
cuol
a d
i D
( )∫
−
=
⎠⎝LL
dFA
LL
ξξ1
© Università di Pisa 2008
Sc ( )∫
−
=L
dFL
A ξξ0
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI /10
130Esempio: ruota soggetta a carico distribuito su di una linea.
ELEMENTI ARMONICI /10d
a V
inci
” 130
Φ90
eon
ard
o d
Φ13
0Φ
gner
ia“L
e
0
Φ
in
Inge
g
00Φ3550
Dot
tora
to
Φ40
cuol
a d
i D
© Università di Pisa 2008
Sc
120
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI /11P0
P(ξ) f ne periodica di periodo 2L 2πR
ELEMENTI ARMONICI /11d
a V
inci
” P(ξ)=f,ne periodica di periodo 2L=2πR
Posto:
eon
ard
o d
( ) ( )0ξδξ ⋅= PP
Posto:
gner
ia“L
e ( ) ( )0,0 ξδξ = PP
F.ne “δ di Dirac”
in
Inge
g
( ){ }⎧
≠= 0per00, ξξδ
Dot
tora
to
( ) { }{ }⎩
⎨⎧
∉∈
=⋅∫10
10
,00,01
0,1
0 XXseXXse
dX
Xξξδ
cuol
a d
i D { }⎩ ∉ 10 ,00 se
( ) ( ) ( ) { }⎨⎧ ∈
=⋅⋅∫ 10 ,0001 XXseF
dFX
ξξδξ
© Università di Pisa 2008
Sc ( ) ( ) { }⎩
⎨ ∉=⋅⋅∫
10 ,000,
0 XXsedF
Xξξδξ
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI /12ELEMENTI ARMONICI /12P0
P(ξ) f ne periodica di periodo 2L 2πR
da
Vin
ci” P(ξ)=f,ne periodica di periodo 2L=2πR
Posto:
eon
ard
o d
( ) ( )0ξδξ ⋅= PP
Posto:
gner
ia“L
e
( ) ∑ ⎟⎞
⎜⎛n
AAP 0 ξξP(ξ) pari,
( ) ( )0,0 ξδξ = PP
in
Inge
g ( ) ∑=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
ii L
iAAP1
0 cos2
πξξ serie di soli coseni
Dot
tora
to
( )∫ ⎟⎞
⎜⎛=
L
diPA ξπξξ cos1 ( ) =⎟⎞
⎜⎛⋅= ∫
L
diP ξπξξδ cos01
cuol
a d
i D
( ) ⎞⎛n PP ξ
( )∫−
⎟⎠
⎜⎝
=L
i dL
iPL
A ξπξ cos ( ) =⎟⎠
⎜⎝
⋅= ∫−L
dL
iPL
ξπξδ cos0,0
( ) P001
© Università di Pisa 2008
Sc ( ) ∑
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
i Li
LP
LPP
1
00 cos2
πξξ( )LPiP
L0
0 0cos1=⋅=
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI /13na
line
a.d
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”
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pio:
ruot
© Università di Pisa 2008
Sc
Esem
p
File di comandi: RUOTA_FOURIER.txt
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI /13lin
ea.
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Vin
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na l
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car
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ruot
© Università di Pisa 2008
Sc
Esem
p
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI /13lin
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Inge
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car
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© Università di Pisa 2008
Sc
Esem
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI /13lin
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car
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ruot
© Università di Pisa 2008
Sc
Esem
p
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI /13lin
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Inge
g
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car
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to
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cuol
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pio:
ruot
© Università di Pisa 2008
Sc
Esem
p
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI /13lin
ea.
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Vin
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na l
eon
ard
o d
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ito
gner
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e
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in
Inge
g
tta a
car
Dot
tora
to
a so
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cuol
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i D
pio:
ruot
© Università di Pisa 2008
Sc
Esem
p
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI /13lin
ea.
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Vin
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ito
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Inge
g
tta a
car
Dot
tora
to
a so
gge
cuol
a d
i D
pio:
ruot
© Università di Pisa 2008
Sc
Esem
p
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI /13lin
ea.
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Vin
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su u
na l
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ard
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e
rico
dist
in
Inge
g
tta a
car
Dot
tora
to
a so
gge
cuol
a d
i D
pio:
ruot
© Università di Pisa 2008
Sc
Esem
p
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI /13lin
ea.
da
Vin
ci”
su u
na l
eon
ard
o d
tribu
ito
gner
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e
rico
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in
Inge
g
tta a
car
Dot
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to
a so
gge
cuol
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pio:
ruot
© Università di Pisa 2008
Sc
Esem
p
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI /14d
a V
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”
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ard
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e
RU
OTA
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Inge
g
andi
:RD
otto
rato
di c
oma
cuol
a d
i D
Modello 3D di confrontoFile
d
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Sc
Esempio: ruota soggetta a carico distribuito su di una linea.
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI /14d
a V
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”
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eon
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RU
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Inge
g
andi
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otto
rato
di c
oma
cuol
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i D
Tensioni radialiFile
d
© Università di Pisa 2008
Sc
Esempio: ruota soggetta a carico distribuito su di una linea.
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI /14d
a V
inci
”
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eon
ard
o d
A_3
D.t
gner
ia“L
e
RU
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Inge
g
andi
:RD
otto
rato
di c
oma
cuol
a d
i D Tensione radiale
File
d
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Sc
Esempio: ruota soggetta a carico distribuito su di una linea.
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI /14d
a V
inci
”
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eon
ard
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gner
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e
RU
OTA
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Inge
g
andi
:RD
otto
rato
Tensione radialedi c
oma
cuol
a d
i D Tensione radiale
File
d
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Sc
Esempio: ruota soggetta a carico distribuito su di una linea.
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI ARMONICI /15
Esempio: ruota soggetta a carico distribuito su di una linea.
da
Vin
ci”
CONVERGENZA DI ELEMENTI ARMONICI
eon
ard
o d
-2
0
gner
ia“L
e
-6
-4
E [M
Pa]
EL. ARMONICI
in
Inge
g
-8
6
NSI
ON
E
MODELLO 3D
Dot
tora
to
-12
-10TEN
cuol
a d
i D
-140 20 40 60 80
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Sc
N° ARMONICHE
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ASPETTI PARTICOLARI DEL MODELLOC***
ASPETTI PARTICOLARI DEL MODELLOd
a V
inci
” C*** COMBINAZIONE CASI DI CARICOC****DO,IJK,1,NFOU,1
eon
ard
o d SET,IJK
LCWRITE,IJK*ENDDO
gner
ia“L
e ENDDOLCASE,1*DO,IJK,2,NFOU,1
ESEL ALL
in
Inge
g ESEL,ALLLCOPER,ADD,IJKNSEL,,LOC,X,(DA+DM)/4,(DB+DR)/4ESLN 1
Dot
tora
to ESLN,,1
/TITLE, ARMONICHE DA 1 A %IJK%PLNSTR,S,X
cuol
a d
i D *ASK,IFL,Premere un tasto per continuare,0
NSEL,ALLESEL,ALL
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Sc ,
*ENDDO
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/1ELEMENTI DI CONTATTO ( GAP )/1d
a V
inci
”eo
nar
do
dgn
eria
“Le
in
Inge
gD
otto
rato
Contatto tra corpi• 2 nodi
cuol
a d
i D • 2 nodi
• 2 (3) g.d.l /nodo• consentono di rappresentare gioco ed interfernza
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Sc • consentono di rappresentare gioco ed interfernza
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/2Per quanto concerne i tipi di elemento utilizzabili, si hanno generalmente:
ELEMENTI DI CONTATTO ( GAP )/2d
a V
inci
” • Elementi per analisi “Point-to-Point”Contact nodes
eon
ard
o d
Ri hi t li i di t tt di i t t
gner
ia“L
e • Richiesta conoscenza preliminare zone di contatto e direzione accostamento• Permessi piccoli spostamenti relativi, in particolare tangenziali• Uso tipico: contatto tra punti localizzati della struttura (Es.: Pipe hanger)
in
Inge
g • Contatto tra superfici: richiede un uguale “mesh”
Dot
tora
to
cuol
a d
i D
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Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/3Per quanto concerne i tipi di elemento utilizzabili, si hanno generalmente:
ELEMENTI DI CONTATTO ( GAP )/3d
a V
inci
” • Elementi per analisi “Point-to-Point”• Elementi per analisi “Point-to-surface”
Target surface
eon
ard
o d Target surface
Contact node
gner
ia“L
e
• Non richiesta conoscenza zone contatto e direzione accostamento
in
Inge
g
• Uso tipico: contatto tra punti localizzati della struttura (Es. spigoli) e
• Non richiesta conoscenza zone contatto e direzione accostamento• Permessi grandi spostamenti relativi, in particolare tangenziali
Dot
tora
to
superfici (Es.: estremità montaggi “Snap-fit”)
• Possibile anche l’impiego per analisi del
cuol
a d
i D contatto tra superfici (in questo caso non è
necessario avere uguale “mesh”)
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Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/4Per quanto concerne i tipi di elemento utilizzabili, si hanno generalmente:
Contact surface
ELEMENTI DI CONTATTO ( GAP )/4d
a V
inci
” • Elementi per analisi “Point-to-Point”• Elementi per analisi “Point-to-surface”
El ti li i “S f t f ”
Contact surface
eon
ard
o d • Elementi per analisi “Surface-to-surface”
gner
ia“L
e
Target surface
in
Inge
g
• Non richiesta conoscenza zone contatto e direzione accostamento• Permessi grandi spostamenti relativi, in particolare tangenziali
Dot
tora
to
• Non richiede uguale “mesh” tra le due superfici• Uso tipico: contatto tra superfici, in particolare di tipo “conforme”
cuol
a d
i D
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/5ELEMENTI DI CONTATTO ( GAP )/5
OSSERVAZIONI
da
Vin
ci”
• Se l’area di contatto è nota a priori è conveniente sostituire gli elementi “gap” con vincoli di dipendenza (analisi lineare)
eon
ard
o d
g p p ( )• Gli elementi che rappresentano le superfici a contatto devono essere
piccoli rispetto alle dimensioni attese dell’area di contatto, in modo da consentire una rappresentazione accurata di quest’ultima
gner
ia“L
e consentire una rappresentazione accurata di quest ultima.
in
Inge
gD
otto
rato
cu
ola
di
D
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Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/6
E’ necessario porre attenzione al verso degli spostamenti del nodo J rispetto a nodo I che determinano l’apertura del “GAP”
ELEMENTI DI CONTATTO ( GAP )/6d
a V
inci
”
nodo I che determinano l apertura del GAP .• Per elementi “Point-to-point”, tale verso è dato da quello dell’asse “n” del sistema di riferimento locale, che può essere definito da:
eon
ard
o d • Posizione dei nodi (da I a J, solo se non coincidenti)
• Direzione fissata dall’utente (indispensabile per nodi coincidenti)
gner
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e
I
in
Inge
g
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Dot
tora
to
J
cuol
a d
i D
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Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/6
E’ necessario porre attenzione al verso degli spostamenti del nodo J rispetto a nodo I che determinano l’apertura del “GAP”
ELEMENTI DI CONTATTO ( GAP )/6d
a V
inci
”
nodo I che determinano l apertura del GAP .• Per elementi “Point-to-point”, tale verso è dato da quello dell’asse “n” del sistema di riferimento locale, che può essere definito da:
eon
ard
o d • Posizione dei nodi (da I a J, solo se non coincidenti)
• Direzione fissata dall’utente (indispensabile per nodi coincidenti)
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e
I
in
Inge
g
nt
Dot
tora
to
J
cuol
a d
i D
Invertendo la direzione di “n” si trasforma il “gap”
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Sc
in un “gancio”
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/6
E’ necessario porre attenzione al verso degli spostamenti del nodo J rispetto a nodo I che determinano l’apertura del “GAP”
ELEMENTI DI CONTATTO ( GAP )/6d
a V
inci
”
nodo I che determinano l apertura del GAP .• Per elementi “Point-to-point”, tale verso è dato da quello dell’asse “n” del sistema di riferimento locale, che può essere definito da:
eon
ard
o d • Posizione dei nodi (da I a J, solo se non coincidenti)
• Direzione fissata dall’utente (indispensabile per nodi coincidenti)
gner
ia“L
e
InI
in
Inge
g
nt n
t
Dot
tora
to
JJ
cuol
a d
i D
Invertendo la direzione di “n” si trasforma il “gap”
© Università di Pisa 2008
Sc
in un “gancio”
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/6
E’ necessario porre attenzione al verso degli spostamenti del nodo J rispetto a nodo I che determinano l’apertura del “GAP”
ELEMENTI DI CONTATTO ( GAP )/6d
a V
inci
”
nodo I che determinano l apertura del GAP .• Per elementi “Point-to-point”, tale verso è dato da quello dell’asse “n” del sistema di riferimento locale, che può essere definito da:
eon
ard
o d • Posizione dei nodi (da I a J, solo se non coincidenti)
• Direzione fissata dall’utente (indispensabile per nodi coincidenti)
gner
ia“L
e
InI
in
Inge
g
nt n
t
J
Dot
tora
to
J
J
cuol
a d
i D
Invertendo la direzione di “n” si trasforma il “gap”
© Università di Pisa 2008
Sc
in un “gancio”
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/7
E’ possibile controllare la direzione effettiva di apertura dei GAP facendo visualizzare i SR degli elementi (PltCntrls->Symbols)
da
Vin
ci”
J
eon
ard
o d
nt J
gner
ia“L
e
I I
in
Inge
g
J
Dot
tora
to J
t J
cuol
a d
i D
nI
J
I
© Università di Pisa 2008
Sc I I
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/7
E’ necessario porre attenzione al verso degli spostamenti del nodo J rispetto a nodo I che determinano l’apertura del “GAP”
ELEMENTI DI CONTATTO ( GAP )/7d
a V
inci
”
nodo I che determinano l apertura del GAP .• Per elementi “Point-to-point”, tale verso è dato da quello dell’asse “n” del sistema di riferimento locale, che può essere definito da:
eon
ard
o d • Posizione dei nodi (da I a J, solo se non coincidenti)
• Direzione fissata dall’utente (indispensabile per nodi coincidenti)• Per elementi “Surface-to-surface” o “Point-to-surface” il verso è dato dalla
gner
ia“L
e • Per elementi Surface-to-surface o Point-to-surface il verso è dato dalla normale esterna alla superficie su cui i “gap” vengono costruiti
in
Inge
gD
otto
rato
cu
ola
di
D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/8
Gli elementi “gap” sono tipicamente caratterizzati da:
ELEMENTI DI CONTATTO ( GAP )/8d
a V
inci
”
Gli elementi gap sono tipicamente caratterizzati da:• direzione di accostamento “n” (uno spostamento
positivo di J rispetto ad I in direzione n “apre” il
eon
ard
o d “gap”)
• gioco (o interferenza iniziale) “g”• rigidezza di contatto normale “k ”
I
t
gner
ia“L
e • rigidezza di contatto normale kn• rigidezza di contatto tangenziale “kt”• coefficiente di attrito “μ”
nt
in
Inge
g
J Fn Ft
Dot
tora
to
un,J-un,I+g ut,J-ut,I
μFn
cuol
a d
i D
Atan(kn) Atan(kt)-μFn
© Università di Pisa 2008
Sc μ n
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/9Inizializzazione•i=1
ELEMENTI DI CONTATTO ( GAP )/9d
a V
inci
”
i 1•distribuzione iniziale di “gap” aperti e chiusi
Calcolo δn= unJ - unI - g
” ap
erti
eon
ard
o d
Assemblaggio di • “gap” chiusi: u J = u I
[ ]iK δn>0?
sii “ga
p” no
Registrazione
gner
ia“L
e gap chiusi: unJ unI• “gap” aperti: unJ e unI indip.
si
per t
utti
ganomalia
in
Inge
g
Convergenza?no
Calcolo Fn
chiu
si
p
Dot
tora
to
Fn<0? Finesi
“gap
” c
no
cuol
a d
i D
• i=i+1
si
r tut
ti i “ Registrazione
anomalia
© Università di Pisa 2008
Sc
• revisione “gap”per
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/10
COMANDI PER INSERIMENTO GAP
ELEMENTI DI CONTATTO ( GAP )/10d
a V
inci
”
Il programma ANSYS mette a disposizione alcuni comandi per una i t d i f ilit t d li l ti “GAP”
eon
ard
o d introduzione facilitata degli elementi “GAP”:
• EINTF, TOLER, K, TLAB, KCN, DX, DY, DZ, KNONROT
gner
ia“L
e
Introduce elementi tra
i di di
Max. distanza tra nodi coincidenti
Ordinamento nodi:
in
Inge
g coppie di nodi coincidenti • LOW
• HIGH• REVE
Dot
tora
to • REVE
cuol
a d
i D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI DI CONTATTO (“GAP”)/11COMANDI PER INSERIMENTO GAP
ELEMENTI DI CONTATTO ( GAP )/11d
a V
inci
” Il programma ANSYS mette a disposizione alcuni comandi per una introduzione facilitata degli elementi “GAP”:• EINTF TOLER K TLAB KCN DX DY DZ KNONROT
eon
ard
o d • EINTF, TOLER, K, TLAB, KCN, DX, DY, DZ, KNONROT
• ESURF, XNODE, Tlab, Shape
gner
ia“L
e
, , , p
Introduce elementi sulle superfici Direzione della Forma:
in
Inge
g esterne di gruppi di elementi già esistenti (solidi gusci travi)
normale positiva per elementi shell e beam:
• “_” come elementi sottostanti• TRI triangoli
Dot
tora
to (solidi, gusci, travi).
Le superfici sono definite dai nodi
e beam:• TOP• BOTTOM
cuol
a d
i D selezionati.
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ESEMPIO USO ELEMENTI ASSIALSIMMETRICI E “GAP”Analisi di giunti filettati conici per batterie di perforazione/1
DRILL COLLAR
da
Vin
ci”
eon
ard
o d
gner
ia“L
e
in In
geg
Dot
tora
to
cuol
a d
i D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Analisi di giunti filettati conici per batterie di perforazione/2Condizioni di carico:• forzamento dovuto al serraggio iniziale
da
Vin
ci”
eon
ard
o d
gner
ia“L
e
• flessione rotante dovuta all’attraversamento di “dog-legs”, instabilità, vibrazioni etc
in
Inge
g vibrazioni etc.
Dot
tora
to
cuol
a d
i D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Analisi di giunti filettati conici per batterie di perforazione/3
SVILUPPO DI MODELLI FEM DELLE
da
Vin
ci” GIUNZIONI EFFICIENTI ED ACCURATI
Aspetti principali
eon
ard
o d • Fenomeni di contatto
• Interferenza iniziale• Condizioni di carico
gner
ia“L
e • Condizioni di carico assialsimmetriche e non assialsimmetriche
in
Inge
g
M d ll di b
Dot
tora
to Modello di base
• Geometria assialsimmetrica• 30000 elementi circa
cuol
a d
i D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Analisi di giunti filettati conici per batterie di perforazione/4d
a V
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“Le
in
Inge
gD
otto
rato
cu
ola
di
D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Analisi di giunti filettati conici per batterie di perforazione/4d
a V
inci
”eo
nar
do
dgn
eria
“Le
in
Inge
gD
otto
rato
cu
ola
di
D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Analisi di giunti filettati conici per batterie di perforazione/4d
a V
inci
”eo
nar
do
dgn
eria
“Le
in
Inge
gD
otto
rato
cu
ola
di
D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Analisi di giunti filettati conici per batterie di perforazione/5METODOLOGIA DI ANALISI
FlessioneEl ti i i (F i )
Coppia di serraggioEl ti i i i l i t i i
da
Vin
ci” • Elementi armonici (Fourier)
• Cond. carico non assialsimmetrica•Analisi elastica lineare
• Elementi piani assialsimmetrici• Cond. carico assialsimmetrica•Analisi elasto-plastica non lineare
eon
ard
o d
p
gner
ia“L
e
in In
geg
Dot
tora
to
σσmax
cuol
a d
i D
Δσ
© Università di Pisa 2008
Sc
t
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Analisi di giunti filettati conici per batterie di perforazione/6
OTTIMIZZAZIONE DELLA GEOMETRIA DEL TJ
da
Vin
ci”
25,4+0,8- 45°+1°-
PINK
30°
1BBOX
eon
ard
o d
R6,4 +0,4-
B 51+6,4-51
+6,4-
Dbs
30°
R25,41B
gner
ia“L
e
Dpg1P
K 1 45 2 +0,4
in
Inge
g K 1:4
30°
R6,4 +0,4-
5,2 ,
45°2B
Dot
tora
to
25,4+0,8-
45°+1°-
+0 4
45° +1°-RG 3P
B 38 +3,2-
cuol
a d
i D R6,4+0,4-
K 1:4
30°
R25,445° R6,43B
© Università di Pisa 2008
Sc
DpgDbg
,
B C D
3B
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Analisi di giunti filettati conici per batterie di perforazione/7
DETERMINAZIONE GEOMETRIA OTTIMALE
da
Vin
ci”
800
ThreadsG
eon
ard
o d
600
700 Groove
rber
) (M
Pa)
gner
ia“L
e
400
500
q (F
uchs
-Ger
in
Inge
g
128 130 132 134 136 138 140 142 144 146
300 NC56 - Pin type : 1P Δσeq
( ) 900
1000
1100 Threads Groove
MP
a)
Dot
tora
to Diameter Dpg (mm)
600
700
800
900
s-G
erbe
r) (M
cuol
a d
i D
300
400
500
600
NC 56 - Box type : 3BΔσeq
(Fuc
hs
© Università di Pisa 2008
Sc
116 118 120 122 124 126 128 130 132 134
300yp
Dbg diameter (mm)
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Analisi di giunti filettati conici per batterie di perforazione/8
RESISTENZA A FATICA
da
Vin
ci”
C li b di t MP
NC 56C li b di t MP
NC 70RESISTENZA A FATICA
eon
ard
o d Cyclic bending stress, MPa
B
B
150
BCyclic bending stress, MPa
B120BB P PB B
gner
ia“L
e
135 B
125
105
B
B
B
B P
in
Inge
g
120B
P
125
B BB
90
B
B
B82
B P
Dot
tora
to 105
90
P
BDpg=126,7; 129; Dbg=136mmDpg=129 0; Dbg=131 5mm
75
6054
B
B
Dpg=164,5; Dbg=162,3 mm
Dpg=162,0; Dbg=167,0 mmWithout SRGs
Dpg=159,4; Dbg=169,0 mm
cuol
a d
i D
75 Dpg=134,5; Dbg=121,8mm (API)
65
B
BB - box failureP - pin failure;without failure
Dpg=129,0; Dbg=131,5mmDpg=134,5; Dbg=127,0mm
45
54Dpg=167,5; Dbg=157,0 mmDpg=162,0; Dbg=167,0 mm
B - box failure; P - pin failurewithout failure
(steel imperfection)
© Università di Pisa 2008
Sc
0,1 1 10Number of cycles to failure, 106
60without failure
0,1 1 10Number of cycles to failure, 106
30without failure
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/1ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/1d
a V
inci
”eo
nar
do
dgn
eria
“Le
in
Inge
gD
otto
rato
Gusci aventi geometria assialsimmetrica, soggetti a carichi
cuol
a d
i D assialsimmetrici
• 2 nodi3 d l / d ( θ )
© Università di Pisa 2008
Sc • 3 g.d.l /nodo(vx, vy e θz)
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/2d
a V
inci
”eo
nar
do
dgn
eria
“Le
in
Inge
gD
otto
rato
cu
ola
di
D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/2d
a V
inci
”eo
nar
do
dgn
eria
“Le
in
Inge
gD
otto
rato
cu
ola
di
D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/2d
a V
inci
”eo
nar
do
dgn
eria
“Le
in
Inge
gD
otto
rato
cu
ola
di
D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/3
vix
y
da
Vin
ci”
xiLa costruzione di [Ke] si basa sull’ipotesi di Kirchoff-Love: “una linea retta normale al piano medio
eon
ard
o d
viy
linea retta normale al piano medio tracciata sul corpo prima della deformazione, risulta ancora rettilinea
gner
ia“L
e
,ed ortogonale al piano medio deformato dopo la deformazione”
in
Inge
g
P ibil i t i l t t di i
Dot
tora
to
θPossibile ricostruire lo spostamento di ogni punto dello spessore in base a spostamenti e rotazioni del piano medio.
cuol
a d
i D
yv
y y⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ ∂
−=θ( ) yv
vyvyv yii ⎟⎟
⎞⎜⎜⎛ ∂
−=+= θ
p
© Università di Pisa 2008
Sc y
xy
ixx=⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ ∂
=θ( ) yx
vyvyvixx
ixixx=
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ ∂
+ θ
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/4
Limiti di validità ipotesi Kirchoff-Love:spessore << altri parametri geometrici
da
Vin
ci”
spessore altri parametri geometrici
eon
ard
o d
s
Componenti strutturali che possano essere assimilati a “gusci” o “piastre” sottili di geometria assialsimmetrica
gner
ia“L
e
R
s
RR<<
geometria assialsimmetrica
isotropiMat.
in
Inge
g RθxyRRs ,θ<<
xyRRs ,1.0 θ<
Dot
tora
to
Rθ
cuol
a d
i D
© Università di Pisa 2008
Sc
s
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/5
Stato di tensione/deformazione implicitamente conseguente alla scelta di elementi guscio assialsimmetrico:
da
Vin
ci”
guscio assialsimmetrico:• le deformazioni dovute al taglio sono trascurate
• le uniche componenti di tensione non
eon
ard
o d le uniche componenti di tensione non
nulle sono:
Y ( i l )
gner
ia“L
e Y (assiale)
in
Inge
g
X (R)
Dot
tora
to
• le σ hanno un andamento lineare nello spessore
cuol
a d
i D
xσx
© Università di Pisa 2008
Sc
y
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/6d
a V
inci
” Il modello rappresenta una sezione del corpo con un piano passante per l’asse. I nodi sono posi ionati s l piano medio
eon
ard
o d nodi sono posizionati sul piano medio.
gner
ia“L
e
in In
geg
Dot
tora
to
cuol
a d
i D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/7Cilindro di piccolo spessore Cilindro di forte spessore
da
Vin
ci”
Elementi guscio assialsimmetrico Elementi piani assialsimmetrici
eon
ard
o d
gner
ia“L
e
in In
geg
Dot
tora
to
cuol
a d
i D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/8Esempio : recipiente in pressione in parete sottile
da
Vin
ci”
eon
ard
o d
gner
ia“L
e
in In
geg
Dot
tora
to
cuol
a d
i D
Ipotesi:b h lli i i id
© Università di Pisa 2008
Sc • bocchelli e penetrazioni considerate a parte
• effetti trascurabili del peso proprio
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/9d
a V
inci
”
OTT
.txt
eon
ard
o d
ESS_
SO
gner
ia“L
e
EC_P
RE
in
Inge
g
andi
:RE
Dot
tora
to
di c
oma
cuol
a d
i D
File
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/9d
a V
inci
”
OTT
.txt
eon
ard
o d
ESS_
SO
gner
ia“L
e
EC_P
RE
in
Inge
g
andi
:RE
Dot
tora
to
di c
oma
cuol
a d
i D
File
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/9d
a V
inci
”
OTT
.txt
eon
ard
o d
ESS_
SO
gner
ia“L
e
EC_P
RE
in
Inge
g
andi
:RE
Dot
tora
to
di c
oma
cuol
a d
i D
File
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/9d
a V
inci
”
OTT
.txt
eon
ard
o d
ESS_
SO
gner
ia“L
e
EC_P
RE
in
Inge
g
andi
:RE
Dot
tora
to
di c
oma
cuol
a d
i D
File
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/9d
a V
inci
”
OTT
.txt
eon
ard
o d
ESS_
SO
gner
ia“L
e
EC_P
RE
in
Inge
g
andi
:RE
Dot
tora
to
di c
oma
cuol
a d
i D
File
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/9d
a V
inci
”
OTT
.txt
eon
ard
o d
ESS_
SO
gner
ia“L
e
EC_P
RE
in
Inge
g
andi
:RE
Dot
tora
to
di c
oma
cuol
a d
i D
File
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/9d
a V
inci
”
OTT
.txt
eon
ard
o d
ESS_
SO
gner
ia“L
e
EC_P
RE
in
Inge
g
andi
:RE
Dot
tora
to
di c
oma
cuol
a d
i D
File
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO ASSIALSIMMETRICO/10
ASPETTI PARTICOLARI DEL MODELLO
da
Vin
ci”
ETABLE,SLT,LS,1 ! estrae il dato "tensione longitudinale" (TOP)ETABLE SLM LS 5 ! MID
eon
ard
o d ETABLE,SLM,LS,5 ! MID
ETABLE,SLB,LS,9 ! BOTTOMETABLE,SCT,LS,3 ! estrae il dato "tensione circonferenziale" (TOP)
gner
ia“L
e ETABLE,SCM,LS,7 ! MIDETABLE,SCB,LS,11 ! BOTTOMETABLE STT LS 2 ! estrae il dato "tensione taglio spessore" (TOP)
in
Inge
g ETABLE,STT,LS,2 ! estrae il dato tensione taglio spessore (TOP)ETABLE,STM,LS,6 ! MIDETABLE,STB,LS,10 ! BOTTOM
Dot
tora
to
SADD,SLF,SLT,SLM,1,-1 ! calcola la tensione flessionale longitudinaleSADD SCF SCT SCM 1 -1 ! calcola la tensione flessionale circonferenziale
cuol
a d
i D SADD,SCF,SCT,SCM,1, 1 ! calcola la tensione flessionale circonferenziale
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/1d
a V
inci
”eo
nar
do
dgn
eria
“Le
in
Inge
gD
otto
rato
Gusci e piastre aventi geometria qualsiasi.• 4 nodi
cuol
a d
i D • 4 nodi
• 6 g.d.l /nodo
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/2La costruzione di [Ke] si basa anche in questo caso sull’ipotesi di Kirchoff-Love.
da
Vin
ci”
Possibile ricostruire lo spostamento di
eon
ard
o d Possibile ricostruire lo spostamento di
ogni punto dello spessore in base a spostamenti e rotazioni del piano medio.
gner
ia“L
e
Limiti di validità ipotesi Kirchoff-Love:
in
Inge
g spessore << altri par. geometrici(dimensioni, raggi curvatura)
Dot
tora
to
C ti t tt li h
cuol
a d
i D Componenti strutturali che
possano essere assimilati a “gusci” o “piastre” sottili
© Università di Pisa 2008
Sc g p
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/3
zComponenti di tensione:
da
Vin
ci”
x y
pσx, σy, τxy, τxz, τyz
A d t li ll
eon
ard
o d x Andamento lineare nello
spessore
gner
ia“L
e
in In
geg
Dot
tora
to
cuol
a d
i D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/4
PRINCIPALI TIPOLOGIE
da
Vin
ci”
Rigidezza membranale(g d l : u u u )
Es: Shell41
eon
ard
o d (g.d.l.: ux, uy, uz)
gner
ia“L
e
in In
geg
senza deformazioni di taglio(gusci o piastre sottili). Es.: Shell63
Dot
tora
to
Rigidezza membranale +flessionale
cuol
a d
i D (g.d.l.: ux, uy, uz, θx, θy, θz) con deformazioni di taglio
(gusci o piastre relativamente spessi). E Sh ll43
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Sc Es.: Shell43
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/5F.ni di forma: g.d.l. agenti nel piano medio (membranali)
da
Vin
ci”
z ⎪⎫
⎪⎧ xiv
eon
ard
o d
v
vyi
vy
z
{ } ⎪⎪⎪⎪
⎬⎪⎪⎪⎪
⎨xj
yi
e vv
U
gner
ia“L
e vxi
vx
vyPx{ }
⎪⎪⎬
⎪⎪⎨=
k
yj
jexy
vv
U
in
Inge
g x
⎫⎧
⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
⎩ yk
xk
vv
Dot
tora
to
( )[ ]{ }exyxy
y
x UyxNvv
,=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
cuol
a d
i D y ⎭⎩
Stessa formulazione dell’elemento triangolare piano
© Università di Pisa 2008
Sc Stessa formulazione dell elemento triangolare piano
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/6
F.ni di forma: g.d.l. agenti ortogonalmente al piano medio (flessionali)
da
Vin
ci”
⎪⎫
⎪⎧ zivz
eon
ard
o d
⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
yi
xi
ϑϑvzi
θxivz
θ
yz
gner
ia“L
e
{ }⎪
⎪⎪⎪
⎬⎪
⎪⎪⎪
⎨= xj
zjez
vU
ϑϑ
θyiPθxθy
in
Inge
g
v ⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
zk
yj
vϑ
ϑx
Dot
tora
to
( )[ ]{ }ezzx
z
UyxNv
,=⎪
⎪⎬
⎫
⎪
⎪⎨
⎧
ϑϑ ⎪
⎪⎭⎪
⎪⎩ yk
xk
ϑϑ
cuol
a d
i D
y⎪⎭
⎪⎩ϑ
Procedura simile a quella impiegata per l’elemento trave
© Università di Pisa 2008
Sc Procedura simile a quella impiegata per l elemento trave
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/7
⎫⎧
F.ni di forma: g.d.l. agenti ortogonalmente al piano medio (flessionali)
da
Vin
ci”
⎪⎪⎪⎫
⎪⎪⎪⎧
xi
ziv
ϑϑ
vzi
θxivz
yz
eon
ard
o d
{ } ⎪⎪⎪⎪
⎬⎪⎪⎪⎪
⎨=zj
yi
e
vU ϑ
ϑxi
θyiPθxθy
gner
ia“L
e { }
⎪⎪⎪⎬
⎪⎪⎪⎨=
zk
yj
xjz
v
Uϑϑ
( )( )
yxvv zz
∂= ,
x
in
Inge
g
⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
⎩ yk
xk
zk
ϑϑ
( )
( )yxvy
yxvzx
∂∂
∂=
,ϑ 9 condizioni sulla funzionevz(x,y)
Dot
tora
to ⎭⎩ y( )
xyxvz
y ∂∂
=,ϑ
cuol
a d
i D
( )223322 xyyxIHyGxFxyEyDxCyBxAvz +++++++++=
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/8
F.ni di forma: g.d.l. agenti ortogonalmente al piano medio (flessionali)
da
Vin
ci”
yz L’andamento sul lato (es. y=0)
dipende da 4 parametri.v i
eon
ard
o d
v
vzi
θyivz
gner
ia“L
e x vzj
θ
4 condizioni sul lato “i-j”
in
Inge
g
( )223
322
IH
GxFxyEyDxCyBxAvz +++++++=
θyj
vz univocamente determinato
Dot
tora
to ( )223 xyyxIHy +++ z
in base a spostamenti e rotazioni dei soli nodi “i” e “j”
cuol
a d
i D
( ) 320 GxDxBxAv yz +++==
j
© Università di Pisa 2008
Sc
Continuità C0 garantita
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/9
⎫⎧ ∂∂∂ 222
F.ni di forma: g.d.l. agenti ortogonalmente al piano medio (flessionali)
da
Vin
ci”
yz { }
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∂∂∂
∂∂
∂∂
∝yx
vyv
xv zzz
2
2
2
2
2
;;σ
eon
ard
o d
θxθxi Richiesta continuità C1 per vz
gner
ia“L
e xθxj L’andamento dipende da 3
in
Inge
g xj pparametri, ma si dispone di 2 sole condizioni sul lato “i-j”IxyIxHyFxEyCx 232 22 +++++=ϑ
Dot
tora
to
( ) 20 IxFxCyx ++==ϑ
C i i à C i
cuol
a d
i D Continuità C1 non garantita per vz
(elemento “non conforme”)
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/10
F.ni di forma: g.d.l. agenti ortogonalmente al piano medio (flessionali)
da
Vin
ci”
yz
La continuità C1 per vz risulta
eon
ard
o d
θxθxi
garantita “al limite” (quando le dimensioni dell’elemento
gner
ia“L
e xθxj
tendono a zero)
in
Inge
g xj
( ) 2IxFxC ++=ϑ FxC +≈→
Dot
tora
to ( ) 0 IxFxCyx ++==ϑ FxC +≈→
Se l’elemento è molto piccolo, la variazione di θx risulta
cuol
a d
i D p , xben rappresentata dal solo termine lineare, per cui le due
condizioni disponibili divengono sufficienti per una
© Università di Pisa 2008
Sc p g p
determinazione univoca
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/11
F.ni di forma: g.d.l. torsionale (“drilling”)
da
Vin
ci”
yz
θzi
θzk
eon
ard
o d
θ
gner
ia“L
e x
L f i i di f i t tt t d i id
θzj
in
Inge
g Le funzioni di forma sinora trattate non prevedono una rigidezza per momenti agenti attorno all’asse “z”. Questo può produrre
singolarità nella matrice di rigidezza della struttura in quanto se
Dot
tora
to singolarità nella matrice di rigidezza della struttura, in quanto, se
tutti gli elementi connessi al nodo sono tra loro complanari, la rigidezza per il g d l “rotazione attorno a z” è nulla
cuol
a d
i D rigidezza per il g.d.l. rotazione attorno a z è nulla.
Per evitare questo problema viene usualmente introdotta una “piccola” rigidezza arbitraria tipo molla
© Università di Pisa 2008
Sc piccola rigidezza arbitraria, tipo molla.
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/12
Elementi “shell” con valutazione approssimata della “shear deflection”
da
Vin
ci”
Si tratta di elementi nei quali viene parzialmente rilasciata l’ipotesi
shear deflection
eon
ard
o d Si tratta di elementi nei quali viene parzialmente rilasciata l ipotesi
di Kirchoff-Love, allo scopo di tener conto in maniera approssimata della deformabilità a taglio.
gner
ia“L
e pp gStruttura non deformata
in
Inge
g
Ipotesi di Kirchoff (Gusci sottili)
“Shear flexible” elements (Gusci
Dot
tora
to (Gusci sottili) (
medio spessore)
cuol
a d
i D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/13ELEMENTO GUSCIO PIASTRA 3D/13Elementi “shell” con valutazione approssimata della “shear deflection” (Materiale metallico isotropo)
da
Vin
ci”
1.2
Piastra circolare appoggiata al bordo esterno e caricata con pressione uniforme
shear deflection (Materiale metallico isotropo)
eon
ard
o d
eoric
o
Piastra circolare appoggiata al bordo esterno e caricata con pressione uniformeCalcolo spostamento punto centrale con elementi "shell"
gner
ia“L
e
1.0
tam
ento
te
in
Inge
g
0 8ento
/spo
s
δ
Dot
tora
to 0.8
Spos
tam
Elementi senza "shear deflection"Elementi con "shear deflection"
Appoggio
cuol
a d
i D
0.60 5 10 15 20
Elementi con shear deflection
© Università di Pisa 2008
Sc 0 5 10 15 20
Raggio/spessore
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/14Matrice rigidezza elemento quadrilatero (g.d.l. flessionali)
da
Vin
ci” La matrice di rigidezza per l’elemento piastra/guscio quadrilatero
è generalmente ottenuta come “media” di quella ottenibile dalle
eon
ard
o d
due coppie di triangoli che è possibile individuare
gner
ia“L
e
12
in
Inge
g 1
Dot
tora
to
2,1, eij
eij kk +
cuol
a d
i D
2ijije
ij
kkk
+=
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/15Rappresentazione di un guscio curvo con elementi piani
da
Vin
ci” Angolo sotteso
eon
ard
o d
1.1
gner
ia“L
e
eoric
o
Guscio cilindrico sottile soggetto a pressione interna Tensione circonferenziale
in
Inge
g
1
olat
a/va
lore
te
Dot
tora
to
0.9
ensi
one
calc
o
cuol
a d
i D
0.8
Te
© Università di Pisa 2008
Sc
0 5 10 15 20 25 30 35
Angolo sotteso dall'elemento [ ]
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/16Riduzione dei carichi ai nodi
da
Vin
ci”
G i i t d
eon
ard
o d Guscio caricato da
pressione uniforme
gner
ia“L
e
in In
geg
Dot
tora
to
Riduzione “consistente” (forze + momenti)
Riduzione “ridotta” ( l f )
cuol
a d
i D (forze + momenti)(solo forze)
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/17Riduzione dei carichi ai nodi
da
Vin
ci”
eon
ard
o d
Elementi di uguale dimensione: i
ti d li i
Elementi di dimensione diversa: nel guscio si crea un effetto
gner
ia“L
e momenti nodali si annullano.
gflessionale spurio (soluzione esatta: sole tensioni membranali)
in
Inge
gD
otto
rato
cu
ola
di
D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/18d
a V
inci
”eo
nar
do
dgn
eria
“Le
in
Inge
gD
otto
rato
Elemento SHELL63 : Gusci e piastre 3D, tensioni flessionali e membranali, non considera le deformazioni di taglio
cuol
a d
i D • 4 nodi
• 6 g.d.l /nodo
© Università di Pisa 2008
Sc • Rigidezza di “supporto”
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/19Esempio : tubazione interrata in vetroresina per trasporto idrico
da
Vin
ci”
Passo d’uomoA
eon
ard
o d
gner
ia“L
e
in In
geg A
Dot
tora
to
Blocco di ancoraggioin calcestruzzo
cuol
a d
i D in calcestruzzo
O
V
© Università di Pisa 2008
Sc V
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/20
Livello del terreno
da
Vin
ci”
Terreno di riportoδ = 1800 kg/m3
eon
ard
o d
2500
gner
ia“L
e
C t d ll
in
Inge
g Contorno della trincea
Dot
tora
to
Sabbia di riporto
cuol
a d
i D
© Università di Pisa 2008
Sc
1400 Sabbia compattata
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/21d
a V
inci
”eo
nar
do
dgn
eria
“Le
in
Inge
gD
otto
rato
cu
ola
di
D
TUBO
© Università di Pisa 2008
Sc TUBO
VETRORESINA
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/22d
a V
inci
”eo
nar
do
d
BLOCCO CALCESTRUZZO
gner
ia“L
e
in In
geg
Dot
tora
to
cuol
a d
i D
TUBO
© Università di Pisa 2008
Sc TUBO
VETRORESINA
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/23d
a V
inci
”eo
nar
do
dgn
eria
“Le
in
Inge
gD
otto
rato
cu
ola
di
D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/24d
a V
inci
”
O
eon
ard
o d V
gner
ia“L
e
in In
geg
Dot
tora
to
cuol
a d
i D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/25d
a V
inci
”eo
nar
do
dgn
eria
“Le
in
Inge
gD
otto
rato
cu
ola
di
D
© Università di Pisa 2008
Sc
File di comandi: TUBO_INTERRATO_MC.txt
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/26d
a V
inci
”eo
nar
do
dgn
eria
“Le
in
Inge
gD
otto
rato
cu
ola
di
D
© Università di Pisa 2008
Sc
File di comandi: TUBO_INTERRATO_MC.txt
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/27d
a V
inci
”eo
nar
do
dgn
eria
“Le
in
Inge
gD
otto
rato
cu
ola
di
D
© Università di Pisa 2008
Sc
File di comandi: TUBO_INTERRATO_MC.txt
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/28d
a V
inci
”eo
nar
do
dgn
eria
“Le
in
Inge
gD
otto
rato
cu
ola
di
D
© Università di Pisa 2008
Sc
File di comandi: TUBO_INTERRATO_MC.txt
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/29d
a V
inci
”eo
nar
do
dgn
eria
“Le
in
Inge
gD
otto
rato
cu
ola
di
D
© Università di Pisa 2008
Sc
File di comandi: TUBO_INTERRATO_MC.txt
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/30d
a V
inci
”
C***
ASPETTI PARTICOLARI DEL MODELLO
eon
ard
o d C***
C*** MATERIALEC***
C***C*** VINCOLIC***
gner
ia“L
e MP,EX,1,38000MP,EY,1,9000MP EZ 1 9000
C***CSYS,0NSEL,,LOC,X,-0.1,0.001
in
Inge
g MP,EZ,1,9000MP,PRXY,1,0.3MP,PRYZ,1,0.3
,, , , ,DSYMM,SYMM,XNSEL,,LOC,Z,-0.1,0.001D ALL ALL
Dot
tora
to
MP,PRXZ,1,0.3MP,GXY,1,3300MP GXZ 1 3300
D,ALL,ALL
cuol
a d
i D MP,GXZ,1,3300
MP,GYZ,1,3300
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTO GUSCIO-PIASTRA 3D/31d
a V
inci
”eo
nar
do
dgn
eria
“Le
in
Inge
gD
otto
rato
cu
ola
di
D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI SOLIDI 3D (“BRICK”)/1d
a V
inci
”eo
nar
do
dgn
eria
“Le
in
Inge
gD
otto
rato
Problemi di elasticità 3D:• 8 nodi
cuol
a d
i D • 8 nodi
• 3 g.d.l /nodo
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ELEMENTI SOLIDI 3D (“BRICK”)/2
Tetraedro: 4 nodi
da
Vin
ci”
Tetraedro: 4 nodi
F.ne di forma: A+Bx+Cy+Dz
eon
ard
o d
Deformazioni/tensioni costanti
gner
ia“L
e
E d 8 di
in
Inge
g Esaedro: 8 nodi
F ne di forma:
Dot
tora
to F.ne di forma:
A+Bx+Cy+Dz+Exy+Fyz+Gzx+Hxyz
cuol
a d
i D
Deformazioni/tensioni variabili li
© Università di Pisa 2008
Sc linearmente
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Approccio per sottostrutture (“submodelling”)Approccio per sottostrutture ( submodelling )
Stato di tensione spesso fortemente
da
Vin
ci”
pdipendente da parametri geometrici
locali (es. raggi di raccordo).
eon
ard
o d
gner
ia“L
e
70
in
Inge
gD
otto
rato
cu
ola
di
D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
L’analisi richiederebbe pertanto “mesh” localmente molto infittiti (elementi piccoli rispetto ai parametri geometrici locali).
da
Vin
ci”
( p p p g )
eon
ard
o d
gner
ia“L
e
in In
geg
Dot
tora
to
cuol
a d
i D Questo tende a rendere il modello complessivamente molto
complesso da costruire (inclusione di tutti i dettagli geometrici) e
© Università di Pisa 2008
Sc
pesante dal punto di vista computazionale (numero enorme di gdl)
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Possibile alternativa: approccio per sottostrutture
da
Vin
ci” Fase 1: viene costruito un modello relativamente grossolano
della struttura, privo dei dettagli geometrici, e vengono applicati
eon
ard
o d
p g g g ppcarichi e vincoli
gner
ia“L
e
in In
geg
Dot
tora
to
cuol
a d
i D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Fase 2: viene costruito un modello molto infittito che rappresenta la sola ona attorno al dettaglio geometrico (sottomodello)
da
Vin
ci” la sola zona attorno al dettaglio geometrico (sottomodello)
eon
ard
o d
gner
ia“L
e
in In
geg
Dot
tora
to
cuol
a d
i D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Fase 3: il modello grossolano viene impiegato per calcolare lo stato di spostamento dei nodi giacenti s lle s perfici esterne del
da
Vin
ci” stato di spostamento dei nodi giacenti sulle superfici esterne del
sottomodello
eon
ard
o d
gner
ia“L
e
in In
geg
Dot
tora
to
cuol
a d
i D
Spostamenti calcolati per interpolazione.
© Università di Pisa 2008
Sc
Valori accurati, purché le dimensioni del sottomodello siano grandi rispetto al dettaglio
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Fase 4: gli spostamenti stimati sulla superficie sono imposti al sottomodello come condi ione di carico al tando il relati o
da
Vin
ci” sottomodello come condizione di carico, valutando il relativo
stato di tensione
eon
ard
o d
gner
ia“L
e
in In
geg
Dot
tora
to
cuol
a d
i D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
E’ possibile passare da un modello fatto con elementi piani o con
da
Vin
ci” E possibile passare da un modello fatto con elementi piani o con
elementi guscio ad un sottomodello 3D.
eon
ard
o d
gner
ia“L
e
in In
geg
Dot
tora
to
cuol
a d
i D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
Esempio : staffa sospensione di scooter in lega di alluminio
da
Vin
ci”
eon
ard
o d
gner
ia“L
e
in In
geg
Dot
tora
to
cuol
a d
i D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
PROVE IN PIENAPROVE IN PIENAPROVE IN PIENA SCALAPROVE IN PIENA SCALA
Telaio Afferraggio
da
Vin
ci” di prova
Provino
ggfisso
Braccio diflessione
eon
ard
o d
gner
ia“L
e
Cuscinetto
in
Inge
g Cuscinettoassiale orientabilea semplice effetto
Dot
tora
to
Cella di carico Zona rottura
cuol
a d
i D
Attuatore idraulico
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
MODALITÀ DIMODALITÀ DI
Mf M =0 5 M
MODALITÀ DI ROTTURAMODALITÀ DI ROTTURA
da
Vin
ci” Mt=0.5 Mf
eon
ard
o d
R=0.1
gner
ia“L
e
in In
geg
FlessioneFlesso-torsione
Dot
tora
to
cuol
a d
i D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
ANALISI AD ELEMENTI FINITIANALISI AD ELEMENTI FINITIANALISI AD ELEMENTI FINITIANALISI AD ELEMENTI FINITI
UR
E
da
Vin
ci”
RU
TTU
eon
ard
o d
TOST
R
gner
ia“L
e
SOTT
in
Inge
g
CIO
A
Dot
tora
to
PRO
CC
cuol
a d
i D
APP
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
RISULTATI – Zona di innesco della rotturaRISULTATI – Zona di innesco della rotturaRISULTATI Zona di innesco della rotturaRISULTATI Zona di innesco della rotturaPrevista Effettiva
da
Vin
ci”
one
eon
ard
o d
Fle
ssio
gner
ia“L
e F
in
Inge
g
ne
Dot
tora
to
-tors
ion
cuol
a d
i D
Fle
sso-
© Università di Pisa 2008
Sc F
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
RISULTATI – Cicli a RotturaRISULTATI – Cicli a RotturaRISULTATI – Cicli a RotturaRISULTATI – Cicli a Rottura
1.E+06
da
Vin
ci”
eon
ard
o d
1.E+05
evis
ti
gner
ia“L
e
rottu
ra p
re Fattore 2
in
Inge
g
1.E+04
N°
di c
icli
a
Flessione
Dot
tora
to N
Flesso-torsione
cuol
a d
i D
1.E+031 E+03 1 E+04 1 E+05 1 E+06
© Università di Pisa 2008
Sc 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06
N° di cicli a rottura sperimentali
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
CONTENUTI
da
Vin
ci”
• GENERALITA’ SULLO SVILUPPO DI MODELLI EF• VALUTAZIONI DI ERRORE
eon
ard
o d • VALUTAZIONI DI ERRORE
• “MESH ADAPTIVITY”• SINGOLARITA’ DELLO STATO DI TENSIONE
gner
ia“L
e SINGOLARITA DELLO STATO DI TENSIONE• SCHEMATIZZAZIONE DI CARICHI E VINCOLI• SIMMETRIE GEOMETRICHE
in
Inge
g SIMMETRIE GEOMETRICHE• CONNESSIONI TRA ELEMENTI DI TIPO DIVERSOE SULLA DISTORSIONE DEGLI ELEMENTI
Dot
tora
to
cuol
a d
i D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
SVILUPPO DI MODELLI EF/1d
a V
inci
”
Scopi dell’analisi Idealizzazioni e
eon
ard
o d
Problema fisicoScopi dell analisi Idealizzazioni e
semplificazioni
gner
ia“L
e
in In
geg Modello di calcolo
Dot
tora
to
cuol
a d
i D
© Università di Pisa 2008
Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
SVILUPPO DI MODELLI EF/2
Modello di calcoloTecniche di
da
Vin
ci”
Tecniche di modellazione ad EF
eon
ard
o d
Modello ad EF
gner
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e Modello ad EF
NO
in
Inge
g
Analisi risultati modello EF OK?
Dot
tora
to modello EF
cuol
a d
i D
OK?NO SI Confronto con
dati sperimentali
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Sc dati sperimentali
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
SVILUPPO DI MODELLI EF/3d
a V
inci
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200
eon
ard
o d
700
8
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e
500
7 8
in
Inge
g 500Trave principale
Dot
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La rappresentazione dello stato di tensione presente nella porzione della trave principale immediatamente sottostante la ruota del
cuol
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i D
p pcarrello dipende fortemente dal modello utilizzato
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Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
SVILUPPO DI MODELLI EF/4
Modello basato su elementi “beam”.• le uniche componenti di tensione
da
Vin
ci”
• le uniche componenti di tensione non nulle sono:
zSi trascurano quindi le σy, invece
id i l l
eon
ard
o d
τxzx
z evidentemente necessarie localmente per equilibrare il carico esterno
gner
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e
σ
xz
yx
in
Inge
g τxyσx
• le σx hanno un andamento lineare nella sezione
Dot
tora
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Nella zona del carico è invece da attendersi un andamento perturbato
cuol
a d
i D
xσx
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Sc
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Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
SVILUPPO DI MODELLI EF/5
Le tensioni variano linearmente nello d l i l i
Modello basato su “shell”.
da
Vin
ci” spessore del guscio e non nel suo piano
medio
eon
ard
o d
E’ possibile rappresentare in modo più realistico l’andamento delle σy e delle σz
gner
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e ysulla sezione della trave.
in
Inge
gD
otto
rato
cu
ola
di
D σy
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Sc
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
RAPPRESENTAZIONI DELLO STATO DI TENSIONE/4
Modello basato su “shell”
RAPPRESENTAZIONI DELLO STATO DI TENSIONE/4d
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Inge
gD
otto
rato
cu
ola
di
D
Lo stato di tensione nella zona del raccordo:• comprende componenti non previste dal modello a “shell” (Es.: σ nello spessore)• ha andamenti non lineari dipendenti dai dettagli geometrici (non compresi nel
© Università di Pisa 2008
Sc • ha andamenti non lineari dipendenti dai dettagli geometrici (non compresi nel
modello a “shell”)
Aspetti teorici ed applicativi del MEF– Parte I
SVILUPPO DI MODELLI EF/5
Modello basato su “brick”
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cuol
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© Università di Pisa 2008
Sc