Risultati esperienza sul lancio di dadiHo ottenuto ad esempio:
Dado A (4):
1 3 3 1 32 1 4 2 42 1 1 2 42 4 1 1 11 3 4 1 32 3 2 1 21 2 4 4 14 1 1 3 23 4 3 2 42 1 4 2 13 2 2 3 22 2 2 4 33 4 4 2 22 1 2 3 32 1 2 4 21 2 4 3 44 1 1 3 14 2 2 2 32 2 2 1 31 2 4 1 1
Dado B (6):
2 2 6 6 61 1 3 6 46 6 3 1 14 1 6 3 66 4 6 3 24 3 2 6 35 5 6 4 33 2 1 2 16 3 2 4 43 6 6 3 21 6 6 4 61 3 6 6 16 2 4 5 33 6 2 1 66 3 1 2 63 1 3 4 61 6 4 1 64 6 6 6 55 2 4 1 21 1 6 4 4
Somma A+B (9):
3 4 8 9 84 5 6 9 810 8 6 2 48 2 9 7 99 6 10 5 57 5 5 9 79 7 9 7 46 3 4 6 510 6 3 6 84 8 7 7 63 8 7 7 84 5 7 7 410 6 7 6 56 8 3 3 710 6 5 3 85 5 5 5 75 10 5 3 107 10 10 7 96 5 8 2 32 5 7 6 8
Risultati esperienza sul lancio di dadiHo ottenuto ad esempio:
Dado A (4):
1 3 3 1 32 1 4 2 42 1 1 2 42 4 1 1 11 3 4 1 32 3 2 1 21 2 4 4 14 1 1 3 23 4 3 2 42 1 4 2 13 2 2 3 22 2 2 4 33 4 4 2 22 1 2 3 32 1 2 4 21 2 4 3 44 1 1 3 14 2 2 2 32 2 2 1 31 2 4 1 1
Faccia n° Eventi frequenza relativa
f nf Ff
1 24 24/100=0.242 22 22/100=0.223 26 26/100=0.264 28 28/100=0.28
Il risultatoottenutoriflette il fattoche le faccedel dadosono tutteequamente“accessibili”
Risultati esperienza sul lancio di dadiHo ottenuto ad esempio:
Faccia n° Eventi frequenza relativa
x Fx fx= Fx / N1 24 24/100=0.242 22 22/100=0.223 26 26/100=0.264 28 28/100=0.28
Il risultatoottenutoriflette il fattoche le faccedel dadosono tutteequamente“accessibili”
Come differisce ilrisultato ottenuto daquello atteso?
Ci aspettavamo:
F1=F2=F3=F4 ≈ 0.25
Infatti, se N è ilnumero di lanci,assumo che:
!
Px
= limN"#
Fx
N
Px ha significato di probabilità
Risultati esperienza sul lancio di dadiHo ottenuto ad esempio:
Dado A (4):
1 3 3 1 32 1 4 2 42 1 1 2 42 4 1 1 11 3 4 1 32 3 2 1 21 2 4 4 14 1 1 3 23 4 3 2 42 1 4 2 13 2 2 3 22 2 2 4 33 4 4 2 22 1 2 3 32 1 2 4 21 2 4 3 44 1 1 3 14 2 2 2 32 2 2 1 31 2 4 1 1
Sia xi il numero corrispondente alla facciauscita nel lancio i-esimo.
Possiamo calcolare il valor medio dei risultatiottenuti come:
oppure:
!
x =
xi
i=1
N
"
N=1+ 3+ 3+K+1
100= 2.58
Come estrarre altri parametri quantitativida confrontare con i valori attesi?
!
x =
x " Fx
x= xmin
xmax
#
Fx
x= xmin
xmax
#=1" 24 + 2 " 22 + 3 " 26 + 4 " 28
100= 2.58
Risultati esperienza sul lancio di dadiHo ottenuto ad esempio:
Dado A (4):
1 3 3 1 32 1 4 2 42 1 1 2 42 4 1 1 11 3 4 1 32 3 2 1 21 2 4 4 14 1 1 3 23 4 3 2 42 1 4 2 13 2 2 3 22 2 2 4 33 4 4 2 22 1 2 3 32 1 2 4 21 2 4 3 44 1 1 3 14 2 2 2 32 2 2 1 31 2 4 1 1
Il valore atteso sarà:
Come estrarre altri parametri quantitativida confrontare con i valori attesi?
!
x = limN"#
x $ Fx N( )f = xmin
xmax
%
Fxx= xmin
xmax
% N( )
=L
=
x $ Pxx= x
min
xmax
%
Pxx= x
min
xmax
%= x $ Px
x= xmin
xmax
% =L
=1$ 0.25 + 2 $ 0.25 + 3 $ 0.25 + 4 $ 0.25 = 2.5
OK?
Risultati esperienza sul lancio di dadiHo ottenuto ad esempio:
Dado A (4):
1 3 3 1 32 1 4 2 42 1 1 2 42 4 1 1 11 3 4 1 32 3 2 1 21 2 4 4 14 1 1 3 23 4 3 2 42 1 4 2 13 2 2 3 22 2 2 4 33 4 4 2 22 1 2 3 32 1 2 4 21 2 4 3 44 1 1 3 14 2 2 2 32 2 2 1 31 2 4 1 1
Sarà utile definire la grandezza
Come estrarre altri parametri quantitativida confrontare con i valori attesi?
!
=(1" 2.58)
2# 24 + (2 " 2.58)
2# 22 + (3" 2.58)
2# 26 + (4 " 2.58)
2# 28
100=K
!
"x
=
xi# x( )
2
i=1
N
$
N=L
=
(x # x)2 % Fx
x= xmin
xmax
$
N=L
!
"1.133scarto quadratico medio dal valormedio dei dati
Risultati esperienza sul lancio di dadiHo ottenuto ad esempio:
Dado A (4):
1 3 3 1 32 1 4 2 42 1 1 2 42 4 1 1 11 3 4 1 32 3 2 1 21 2 4 4 14 1 1 3 23 4 3 2 42 1 4 2 13 2 2 3 22 2 2 4 33 4 4 2 22 1 2 3 32 1 2 4 21 2 4 3 44 1 1 3 14 2 2 2 32 2 2 1 31 2 4 1 1
Ancora meglio la grandezza
Come estrarre altri parametri quantitativida confrontare con i valori attesi?
!
=(1" 2.58)
2# 24 + (2 " 2.58)
2# 22 + (3" 2.58)
2# 26 + (4 " 2.58)
2# 28
99=K
!
"x
=
xi# x( )
2
i=1
N
$
N #1=L
=
(x # x)2 % Fx
x= xmin
xmax
$
N #1=L
!
"1.139 Deviazione Standard
Risultati esperienza sul lancio di dadiHo ottenuto ad esempio:
Dado A (4):
1 3 3 1 32 1 4 2 42 1 1 2 42 4 1 1 11 3 4 1 32 3 2 1 21 2 4 4 14 1 1 3 23 4 3 2 42 1 4 2 13 2 2 3 22 2 2 4 33 4 4 2 22 1 2 3 32 1 2 4 21 2 4 3 44 1 1 3 14 2 2 2 32 2 2 1 31 2 4 1 1
Come estrarre altri parametri quantitativida confrontare con i valori attesi?La deviazione standard σx ci fornisceun’indicazione della larghezza delladistribuzione dei valori ottenuti (rappresentatacon l’istogramma) attorno al valore medio x.
!
x = 2.58
xA
= 2.5
"x#1.139
"A
= ?
Risultati esperienza sul lancio di dadiHo ottenuto ad esempio:
Dado A (4):
1 3 3 1 32 1 4 2 42 1 1 2 42 4 1 1 11 3 4 1 32 3 2 1 21 2 4 4 14 1 1 3 23 4 3 2 42 1 4 2 13 2 2 3 22 2 2 4 33 4 4 2 22 1 2 3 32 1 2 4 21 2 4 3 44 1 1 3 14 2 2 2 32 2 2 1 31 2 4 1 1
Come estrarre altri parametri quantitativida confrontare con i valori attesi?La deviazione standard σx fornisce dunqueun’indicazione della discrepanza tra valoreottenuto e valore medio x che potrò attendermiad ogni singolo lancio.
!
x = 2.58
xA
= 2.5
"x#1.139
"A
= ?
Comeottenerla?
Risultati esperienza sul lancio di dadiHo ottenuto ad esempio:
Dado A (4):
1 3 3 1 32 1 4 2 42 1 1 2 42 4 1 1 11 3 4 1 32 3 2 1 21 2 4 4 14 1 1 3 23 4 3 2 42 1 4 2 13 2 2 3 22 2 2 4 33 4 4 2 22 1 2 3 32 1 2 4 21 2 4 3 44 1 1 3 14 2 2 2 32 2 2 1 31 2 4 1 1
Per calcolare il valore atteso:
Come estrarre altri parametri quantitativida confrontare con i valori attesi?
!
"A
= limN#$
xi% x( )
2
i=1
N
&
N %1=L
= limN#$
(x % x)2 ' FxN( )
x= xmin
xmax
&
N=L
= (x % x)2 ' Px
x= xmin
xmax
&
!
"1.118
Deviazione Standardattesa per il dado a(4 facce)
Risultati esperienza sul lancio di dadiHo ottenuto ad esempio:
Dado A (4):
1 3 3 1 32 1 4 2 42 1 1 2 42 4 1 1 11 3 4 1 32 3 2 1 21 2 4 4 14 1 1 3 23 4 3 2 42 1 4 2 13 2 2 3 22 2 2 4 33 4 4 2 22 1 2 3 32 1 2 4 21 2 4 3 44 1 1 3 14 2 2 2 32 2 2 1 31 2 4 1 1
In alternativa, poiché (come è facileverificare direttamente) si ha:
Come estrarre altri parametri quantitativida confrontare con i valori attesi?
!
"x
2
# x2$ x
2
Deviazione Standardattesa per il dado A(4 facce)
il valore atteso può essere ottenuto daimomenti primo e secondo della distribuzionelimite attesa.
!
"A
= x2
A
# xA
2
!
"A
= 7.5 # 2.52$1.118
Risultati esperienza sul lancio di dadiHo ottenuto ad esempio:
Dado A (4):
1 3 3 1 32 1 4 2 42 1 1 2 42 4 1 1 11 3 4 1 32 3 2 1 21 2 4 4 14 1 1 3 23 4 3 2 42 1 4 2 13 2 2 3 22 2 2 4 33 4 4 2 22 1 2 3 32 1 2 4 21 2 4 3 44 1 1 3 14 2 2 2 32 2 2 1 31 2 4 1 1
Come estrarre altri parametri quantitativida confrontare con i valori attesi?Ora ho tutti i parametri di riferimento.Sono soddisfatto del risultato ottenuto?E’ normale o sorprendente?
!
x = 2.58
xA
= 2.5
"x#1.139
"A#1.118
Risultati esperienza sul lancio di dadiHo ottenuto ad esempio:
Dado A (4):
1 3 3 1 32 1 4 2 42 1 1 2 42 4 1 1 11 3 4 1 32 3 2 1 21 2 4 4 14 1 1 3 23 4 3 2 42 1 4 2 13 2 2 3 22 2 2 4 33 4 4 2 22 1 2 3 32 1 2 4 21 2 4 3 44 1 1 3 14 2 2 2 32 2 2 1 31 2 4 1 1
Come estrarre altri parametri quantitativida confrontare con i valori attesi?Sono soddisfatto del risultato ottenuto?E’ normale o sorprendente?Per il confronto sulla base dei parametri considerati,serve ancora almeno un riferimento che mi dia una scalaper le discrepanze della media.
!
x = 2.58
xA
= 2.5
"x#1.139
"A#1.118
Risultati esperienza sul lancio di dadiHo ottenuto ad esempio:
Dado A (4):
1 3 3 1 32 1 4 2 42 1 1 2 42 4 1 1 11 3 4 1 32 3 2 1 21 2 4 4 14 1 1 3 23 4 3 2 42 1 4 2 13 2 2 3 22 2 2 4 33 4 4 2 22 1 2 3 32 1 2 4 21 2 4 3 44 1 1 3 14 2 2 2 32 2 2 1 31 2 4 1 1
Sarà utile introdurre la grandezza
che corrisponde alla deviazione standard peril valore medio su N risultati ottenuti.
Nel nostro caso si ha:
Come estrarre altri parametri quantitativida confrontare con i valori attesi?
!
"x
="x
N
Deviazione standard della media peril risultato dei 100 lanci del dado A
!
"x
=1.139
100= 0.1139 # 0.11
Risultati esperienza sul lancio di dadiHo ottenuto ad esempio:
Come estrarre altri parametri quantitativida confrontare con i valori attesi?Sono soddisfatto del risultato ottenuto?E’ normale o sorprendente?La discrepanza del risultato dal valore atteso è contenutanella scala di riferimento per le discrepanze della media.
Dado A (4):
1 3 3 1 32 1 4 2 42 1 1 2 42 4 1 1 11 3 4 1 32 3 2 1 21 2 4 4 14 1 1 3 23 4 3 2 42 1 4 2 13 2 2 3 22 2 2 4 33 4 4 2 22 1 2 3 32 1 2 4 21 2 4 3 44 1 1 3 14 2 2 2 32 2 2 1 31 2 4 1 1
!
x = 2.58
xA
= 2.5
"x# 0.11
"x#1.139
"A#1.118
!
x = 3.72
xB
= 3.5
"x# 0.19
"x#1.897
"B#1.700
Risultati esperienza sul lancio di dadiHo ottenuto ad esempio:
Come estrarre altri parametri quantitativida confrontare con i valori attesi?Sono soddisfatto del risultato ottenuto?E’ normale o sorprendente?La discrepanza del risultato dal valore atteso è contenutanella scala di riferimento per le discrepanze della media.
Dado B (6):
2 2 6 6 61 1 3 6 46 6 3 1 14 1 6 3 66 4 6 3 24 3 2 6 35 5 6 4 33 2 1 2 16 3 2 4 43 6 6 3 21 6 6 4 61 3 6 6 16 2 4 5 33 6 2 1 66 3 1 2 63 1 3 4 61 6 4 1 64 6 6 6 55 2 4 1 21 1 6 4 4
!
x = 6.3
xA +B
= 6
"x# 0.22
"x# 2.200
"A +B # 2.035
Risultati esperienza sul lancio di dadiHo ottenuto ad esempio:
Come estrarre altri parametri quantitativida confrontare con i valori attesi?Sono soddisfatto del risultato ottenuto?E’ normale o sorprendente?La discrepanza del risultato dal valore atteso è contenutanella scala di riferimento per le discrepanze della media.
Somma A+B (9):
3 4 8 9 84 5 6 9 810 8 6 2 48 2 9 7 99 6 10 5 57 5 5 9 79 7 9 7 46 3 4 6 510 6 3 6 84 8 7 7 63 8 7 7 84 5 7 7 410 6 7 6 56 8 3 3 710 6 5 3 85 5 5 5 75 10 5 3 107 10 10 7 96 5 8 2 32 5 7 6 8
http://pcstud.fisica.unimi.it/Per inserire i vostri dati ottenuti con il lancio dei dadi,andate al sito:
Il modulo on-line nonsostituisce la relazione,che è da fare secondo latraccia suggerita in undocumento dedicato (chetroverete sul sitohttp://lxmi.mi.infn.it/~camera/lab-fisica)
La traccia prevede inparticolare quantodescritto nel seguito dellapresentazione.
0
5
10
15
20
25
0 20 40 60 80 100
Numero tiro di Dado
Ris
ult
ato
da
do
1
Nel plot 1 dovreste aver osservato una distribuzione uniforme deivalori su tutta l’area del grafico. E’ il segnale che ciascuna misurarisulta indipendente dalla successiva e dalla precedente. Questo cipermette di estrarre un valor medio, una deviazione standard ed unadeviazione dalla media.
Sebbene la cosa sembri una banalità vedremo che in alcune delleesperienze successive questa condizione non è verificata, questorende molto più problematica l’estrazione delle osservabili statistiche
Nei plot 2, 3 e 4 Dovreste aver osservato una riduzione dellefluttuazioni con il crescere del numero dei tiri di dado
1.50
1.70
1.90
2.10
2.30
2.50
2.70
2.90
3.10
0 20 40 60 80 100 120
# tiri dado
Va
lor M
ed
io
.
0.80
1.00
1.20
1.40
1.60
1.80
2.00
0 20 40 60 80 100 120
# tiri dado
De
via
zin
e s
tan
da
rd
.
Osservate che la deviazione standard rimane sostanzialmente costante con ilnumero di tiri e che, in generale, bastano pochi tiri per avere una stimaragionevole del suo valore
Osservate che la deviazione dalla media tende a zero e, diversamente alladeviazione standard, diminuisce all’aumentare del numero di tiri.
Per la somma dei dadi, gli andamenti dovranno essere ovviamente analoghi
I due dadi sono uguali ?Indipendentemente dal fatto che siano truccati o meno
mediadalladeviazionelausarebisognaxx
terrore
adiscrepanz
mm
2
2
2
1
21
!! +
"==
0 < t < 1 Le due misure sono certamente consistenti – i dadi sono uguali1 < t < 2 Ho tra il 5 - 30% di probabilità che le due misure siano consistenti
Le due misure sono consistenti - i dadi sono uguali2 < t < 3 Ho tra lo 0.3 - 5% di probabilità che le due misure siano consistenti
Le due misure con molta probabilità non sono consistenti - i dadi con molta probabilità NON sono uguali - sarebbe opportuno fare ulteriori misure
t > 3 Ho meno del 0.3 % di probabilità che le due misure siano consistenti Le due misure non sono consistenti - i dadi NON sono uguali
Misura sperimentale
11.10
11.15
11.20
11.25
11.30
11.35
11.40
11.45
0 0.5 1 1.5 2 2.5arb. units
me
dia
d
ad
i
Misura sperimentale
9.70
9.80
9.90
10.00
10.10
10.20
0 0.5 1 1.5 2 2.5arb. units
Ac
ce
lera
zio
ne
di
Gra
vit
à
(m/s
2)
Med
ia D
adi
Med
ia D
adi
Dado 1 Dado 2 Dado 1 Dado 2
La misura è riprodotta dalla teoria ?
0 < t < 1 La teoria ed i dati sono consistenti1 < t < 2 Ho tra il 5 - 30% di probabilità che la teoria ed i dati siano consistenti 2 < t < 3 Ho tra lo 0.3 - 5% di probabilità che la teoria ed i dati siano consistenti t > 3 Ho meno del 0.3 % di probabilità che la teoria ed i dati siano consistenti
mediadalladeviazionelausarebisognaxx
tm
teo
1
1
!
"=
10.00
10.25
10.50
10.75
11.00
11.25
11.50
0 1 2 3 4arb. units
me
dia
da
di
Valore Atteso Misura sperimentale
10.00
10.25
10.50
10.75
11.00
11.25
11.50
0 1 2 3 4arb. units
me
dia
da
di
Valore Atteso Misura sperimentale
ANALISI DEI RISULTATI
Se osservo che i due dadi NON sono uguali
Perché i due dadi non sono uguali ?
Leggete il diario della misura – log-book
Metodo : Le due misure sono state svolte in maniera differente ?• Li ho tirati in maniera differente ?• La superficie su cui ho lanciato i due dadi era differente ?• E’ successo qualcosa tra le due misure ?• Altre buone idee ?
Se non trovo una motivazione di metodo DEVO concludereche i due dadi sono diversi tra loro
ANALISI DEI RISULTATISe la teoria non predice il risultato della misura
• Difetto nella teoria: la teoria ha trascurato qualche effetto importante o le approssimazioni fatte non sono valide
• Se trovo un difetto nella teoria o qualche approssimazione di troppo allora correggo lateoria e rifaccio il confronto con i dati sperimentali.
• Se non riesco a trovare una motivazione ‘fisica’, può essere presente un erroresistematico ?
• Rifaccio la misura con una strumentazione differente• Cerco irregolarità o inconsistenze nei dati sperimentali• Controllo la strumentazione usata su un effetto NOTO• Altre buone idee ?
• Se trovo un errore sistematico, lo correggo e rifaccio il confronto con la teoria
• Ovviamente nel caso dei dadi non può esistere un errore sistematico
• Nel caso la non consistenza rimanga devo concludere che il modello NON è valido
Nel caso specifico il dado non è equiprobabile, è truccato