La rivoluzioneRiemanniana
Nicole Bussolae Emilia
Ramazzotti
PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
La rivoluzione Riemanniana
Nicole Bussola e Emilia Ramazzotti
FOUNDATION OF GEOMETRY
Anno Accademico 2014/2015
La rivoluzioneRiemanniana
Nicole Bussolae Emilia
Ramazzotti
PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
SOMMARIO
1 PREMESSE
2 DA GAUSS A RIEMANN
3 CURVATURA
4 THEOREMA EGREGIUM
5 RIEMANN E LE VARIETA
6 CURVE ELLITTICHE
La rivoluzioneRiemanniana
Nicole Bussolae Emilia
Ramazzotti
PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
SOMMARIO
1 PREMESSE
2 DA GAUSS A RIEMANN
3 CURVATURA
4 THEOREMA EGREGIUM
5 RIEMANN E LE VARIETA
6 CURVE ELLITTICHE
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CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
SOMMARIO
1 PREMESSE
2 DA GAUSS A RIEMANN
3 CURVATURA
4 THEOREMA EGREGIUM
5 RIEMANN E LE VARIETA
6 CURVE ELLITTICHE
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CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
SOMMARIO
1 PREMESSE
2 DA GAUSS A RIEMANN
3 CURVATURA
4 THEOREMA EGREGIUM
5 RIEMANN E LE VARIETA
6 CURVE ELLITTICHE
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DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
SOMMARIO
1 PREMESSE
2 DA GAUSS A RIEMANN
3 CURVATURA
4 THEOREMA EGREGIUM
5 RIEMANN E LE VARIETA
6 CURVE ELLITTICHE
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DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
SOMMARIO
1 PREMESSE
2 DA GAUSS A RIEMANN
3 CURVATURA
4 THEOREMA EGREGIUM
5 RIEMANN E LE VARIETA
6 CURVE ELLITTICHE
La rivoluzioneRiemanniana
Nicole Bussolae Emilia
Ramazzotti
PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
Outline
1 PREMESSE
2 DA GAUSS A RIEMANN
3 CURVATURA
4 THEOREMA EGREGIUM
5 RIEMANN E LE VARIETA
6 CURVE ELLITTICHE
La rivoluzioneRiemanniana
Nicole Bussolae Emilia
Ramazzotti
PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
PREMESSELa vita di Riemann
1826 - Bernhard Riemann nasce a Breselenz
1846 - Studia teologia e filologia a Gottinga
1847 - Studia matematica all’Universita di Berlino
1854 - Tiene la sua prima lezione”On the hypotheses which lie at the foundation of geometry”
1859 - Pubblica un saggio contenente l’”Ipotesi di Riemann”
1866 - Muore in Italia di tubercolosi
La rivoluzioneRiemanniana
Nicole Bussolae Emilia
Ramazzotti
PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
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THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
PREMESSELa vita di Riemann
1826 - Bernhard Riemann nasce a Breselenz
1846 - Studia teologia e filologia a Gottinga
1847 - Studia matematica all’Universita di Berlino
1854 - Tiene la sua prima lezione”On the hypotheses which lie at the foundation of geometry”
1859 - Pubblica un saggio contenente l’”Ipotesi di Riemann”
1866 - Muore in Italia di tubercolosi
La rivoluzioneRiemanniana
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RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
PREMESSELa vita di Riemann
1826 - Bernhard Riemann nasce a Breselenz
1846 - Studia teologia e filologia a Gottinga
1847 - Studia matematica all’Universita di Berlino
1854 - Tiene la sua prima lezione”On the hypotheses which lie at the foundation of geometry”
1859 - Pubblica un saggio contenente l’”Ipotesi di Riemann”
1866 - Muore in Italia di tubercolosi
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1826 - Bernhard Riemann nasce a Breselenz
1846 - Studia teologia e filologia a Gottinga
1847 - Studia matematica all’Universita di Berlino
1854 - Tiene la sua prima lezione”On the hypotheses which lie at the foundation of geometry”
1859 - Pubblica un saggio contenente l’”Ipotesi di Riemann”
1866 - Muore in Italia di tubercolosi
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CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
PREMESSELa vita di Riemann
1826 - Bernhard Riemann nasce a Breselenz
1846 - Studia teologia e filologia a Gottinga
1847 - Studia matematica all’Universita di Berlino
1854 - Tiene la sua prima lezione”On the hypotheses which lie at the foundation of geometry”
1859 - Pubblica un saggio contenente l’”Ipotesi di Riemann”
1866 - Muore in Italia di tubercolosi
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PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
PREMESSELa vita di Riemann
1826 - Bernhard Riemann nasce a Breselenz
1846 - Studia teologia e filologia a Gottinga
1847 - Studia matematica all’Universita di Berlino
1854 - Tiene la sua prima lezione”On the hypotheses which lie at the foundation of geometry”
1859 - Pubblica un saggio contenente l’”Ipotesi di Riemann”
1866 - Muore in Italia di tubercolosi
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PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
PREMESSEAmbiente matematico
Euclide, 300 a.C., ”Elementi”
Cartesio, 1637, ”Discorso sul metodo” e ”La Geometrie”
Gauss e le geometrie non euclidee
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PREMESSE
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CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
PREMESSEAmbiente matematico
Euclide, 300 a.C., ”Elementi”
Cartesio, 1637, ”Discorso sul metodo” e ”La Geometrie”
Gauss e le geometrie non euclidee
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PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
PREMESSEAmbiente matematico
Euclide, 300 a.C., ”Elementi”
Cartesio, 1637, ”Discorso sul metodo” e ”La Geometrie”
Gauss e le geometrie non euclidee
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PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
PREMESSEAmbiente matematico
Euclide, 300 a.C., ”Elementi”
Cartesio, 1637, ”Discorso sul metodo” e ”La Geometrie”
Gauss e le geometrie non euclidee
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PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
Outline
1 PREMESSE
2 DA GAUSS A RIEMANN
3 CURVATURA
4 THEOREMA EGREGIUM
5 RIEMANN E LE VARIETA
6 CURVE ELLITTICHE
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DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
DA GAUSS A RIEMANNSuperfici cartesiane
Paraboloide di equazione
f (x, y) = x2 + y2
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DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
DA GAUSS A RIEMANNSuperfici cartesiane
Ellissoide di equazione
x2
4+ y2 + z2 = 1
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PREMESSE
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CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
DA GAUSS A RIEMANNSuperfici cartesiane
Piano immerso in R3
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CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
DA GAUSS A RIEMANNImmersione
L’immersione e una relazione tra due strutture che collega laprima alla seconda in modo che la seconda contenga ”una copia”della prima al suo interno.Esempi
f : A ↪→ B
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CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
DA GAUSS A RIEMANNProprieta estrinseche
Circonferenza in una sfera Circonferenza in un piano
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DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
Outline
1 PREMESSE
2 DA GAUSS A RIEMANN
3 CURVATURA
4 THEOREMA EGREGIUM
5 RIEMANN E LE VARIETA
6 CURVE ELLITTICHE
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DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
CURVATURACurvatura di una curva piana
La curvatura di una curvapiana in un punto p e ilreciproco del raggio dellacirconferenza osculatrice
kp(C) =1r
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CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
CURVATURACurvatura di una superficie
Le curvature principali di una superficie S in un punto p sono:
k1(S) = max{kp(C)}
k2(S) = min{kp(C)}
La rivoluzioneRiemanniana
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PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
Outline
1 PREMESSE
2 DA GAUSS A RIEMANN
3 CURVATURA
4 THEOREMA EGREGIUM
5 RIEMANN E LE VARIETA
6 CURVE ELLITTICHE
La rivoluzioneRiemanniana
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PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
THEOREMA EGREGIUMLa curvatura come proprieta intrinseca
Curvatura di Gauss
K = k1k2
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CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
THEOREMA EGREGIUMClassificazione dei punti
K > 0: lasuperficie e dettaavere un puntoelittico
K < 0: lasuperficie e dettaavere un punto disella
K = 0: lasuperficie e dettaavere un puntoparabolico
La rivoluzioneRiemanniana
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PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
THEOREMA EGREGIUMClassificazione dei punti
K > 0: lasuperficie e dettaavere un puntoelittico
K < 0: lasuperficie e dettaavere un punto disella
K = 0: lasuperficie e dettaavere un puntoparabolico
La rivoluzioneRiemanniana
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PREMESSE
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CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
THEOREMA EGREGIUMClassificazione dei punti
K > 0: lasuperficie e dettaavere un puntoelittico
K < 0: lasuperficie e dettaavere un punto disella
K = 0: lasuperficie e dettaavere un puntoparabolico
La rivoluzioneRiemanniana
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PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
THEOREMA EGREGIUMClassificazione dei punti
K > 0: lasuperficie e dettaavere un puntoelittico
K < 0: lasuperficie e dettaavere un punto disella
K = 0: lasuperficie e dettaavere un puntoparabolico
La rivoluzioneRiemanniana
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PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
THEOREMA EGREGIUMIl Teorema
TeoremaSe una superficie curva si sviluppa su una qualsiasi altrasuperficie, la misura della curvature in ogni punto non varia.
La curvatura Gaussiana e un’invariante intriseca.
Non cambia rispetto a deformazioni isometriche dellasuperficie.
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PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
THEOREMA EGREGIUMIl Teorema
TeoremaSe una superficie curva si sviluppa su una qualsiasi altrasuperficie, la misura della curvature in ogni punto non varia.
La curvatura Gaussiana e un’invariante intriseca.
Non cambia rispetto a deformazioni isometriche dellasuperficie.
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CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
THEOREMA EGREGIUMIl Teorema
TeoremaSe una superficie curva si sviluppa su una qualsiasi altrasuperficie, la misura della curvature in ogni punto non varia.
La curvatura Gaussiana e un’invariante intriseca.
Non cambia rispetto a deformazioni isometriche dellasuperficie.
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PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
THEOREMA EGREGIUMIl Teorema
TeoremaSe una superficie curva si sviluppa su una qualsiasi altrasuperficie, la misura della curvature in ogni punto non varia.
La curvatura Gaussiana e un’invariante intriseca.
Non cambia rispetto a deformazioni isometriche dellasuperficie.
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CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
THEOREMA EGREGIUMEsempi
Alcuni esempi di diverse curvature:
Una superficie puo essere determinata interamente misurandoangoli, distanze e i loro rapporti sulla superficie stessa.
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CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
THEOREMA EGREGIUMLa pizza
Per vedere il video della pizza usate il seguente link:
La pizza
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THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
Outline
1 PREMESSE
2 DA GAUSS A RIEMANN
3 CURVATURA
4 THEOREMA EGREGIUM
5 RIEMANN E LE VARIETA
6 CURVE ELLITTICHE
La rivoluzioneRiemanniana
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PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
RIEMANN E LE VARIETAChe cos’e una varieta?
secondo numerabile
Hausdorff
carte (atlante)
Localmente omeomorfo allo spazio Euclideo
La rivoluzioneRiemanniana
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PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
RIEMANN E LE VARIETAChe cos’e una varieta?
secondo numerabile
Hausdorff
carte (atlante)
Localmente omeomorfo allo spazio Euclideo
La rivoluzioneRiemanniana
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PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
RIEMANN E LE VARIETAChe cos’e una varieta?
secondo numerabile
Hausdorff
carte (atlante)
Localmente omeomorfo allo spazio Euclideo
La rivoluzioneRiemanniana
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PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
RIEMANN E LE VARIETAChe cos’e una varieta?
secondo numerabile
Hausdorff
carte (atlante)
Localmente omeomorfo allo spazio Euclideo
La rivoluzioneRiemanniana
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PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
RIEMANN E LE VARIETAChe cos’e una varieta?
secondo numerabile
Hausdorff
carte (atlante)
Localmente omeomorfo allo spazio Euclideo
La rivoluzioneRiemanniana
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DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
RIEMANN E LE VARIETACome incollare
La rivoluzioneRiemanniana
Nicole Bussolae Emilia
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PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
RIEMANN E LE VARIETAClassificazione delle varieta
DefinizioneLa dimensione di una varieta e la dimensione dello spazioEuclideo mappato dalle carte
Varieta 1-dimensionali:retta e cerchio.
Varieta 2-dimensionali:superfici.
La rivoluzioneRiemanniana
Nicole Bussolae Emilia
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PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
RIEMANN E LE VARIETAClassificazione delle varieta
DefinizioneLa dimensione di una varieta e la dimensione dello spazioEuclideo mappato dalle carte
Varieta 1-dimensionali:retta e cerchio.
Varieta 2-dimensionali:superfici.
La rivoluzioneRiemanniana
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PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
RIEMANN E LE VARIETAClassificazione delle varieta
DefinizioneLa dimensione di una varieta e la dimensione dello spazioEuclideo mappato dalle carte
Varieta 1-dimensionali:retta e cerchio.
Varieta 2-dimensionali:superfici.
La rivoluzioneRiemanniana
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PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
RIEMANN E LE VARIETAVarieta 1-dimensionali
Connessenon compatta: rettacompatta: cerchio
Non connesse: unione disgiunta di retta e cerchio.
La rivoluzioneRiemanniana
Nicole Bussolae Emilia
Ramazzotti
PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
RIEMANN E LE VARIETAVarieta 1-dimensionali
Connessenon compatta: rettacompatta: cerchio
Non connesse: unione disgiunta di retta e cerchio.
La rivoluzioneRiemanniana
Nicole Bussolae Emilia
Ramazzotti
PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
RIEMANN E LE VARIETAVarieta 1-dimensionali
Connessenon compatta: rettacompatta: cerchio
Non connesse: unione disgiunta di retta e cerchio.
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PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
RIEMANN E LE VARIETAIl poligono fondamentale
La rivoluzioneRiemanniana
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Ramazzotti
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DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
RIEMANN E LE VARIETAClassi di varieta
Varieta Riemanniane: introduco una metrica che mipermette di definire nozioni come angoli, lunghezze, aree.
Varieta differenziabili (lisce): le mappe di transizione sonoinfinitamente differenziabili.
Varieta complesse: le mappe di transizione sono olomorfe.Un esempio sono le varieta complesse 1-dimensionali dettesuperfici di Riemann.
La rivoluzioneRiemanniana
Nicole Bussolae Emilia
Ramazzotti
PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
Outline
1 PREMESSE
2 DA GAUSS A RIEMANN
3 CURVATURA
4 THEOREMA EGREGIUM
5 RIEMANN E LE VARIETA
6 CURVE ELLITTICHE
La rivoluzioneRiemanniana
Nicole Bussolae Emilia
Ramazzotti
PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
Curva ellitticay2 = ax3 + bx + c
Curva elittica di Weierstrass℘(z)′2 = 4℘(z)3 − g2℘(z)− g3
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PREMESSE
DA GAUSS ARIEMANN
CURVATURA
THEOREMAEGREGIUM
RIEMANN ELE VARIETA
CURVEELLITTICHE
Curva ellitticay2 = ax3 + bx + c
Curva elittica di Weierstrass℘(z)′2 = 4℘(z)3 − g2℘(z)− g3