Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni e Caosnelle
Equazioni Differenziali Ordinarie
Gioele Maddalena
Liceo Cantonale di Locarno
15 gennaio 2015
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Indice
1 Introduzione - Fil rouge
2 Oscillazioni sempliciPendolo liberoClassificazione dei sistemi lineari planariPendolo smorzato
3 Oscillazioni intrattenuteIl ciclo limiteL’oscillatore di Van der PolIl teorema di Poincare-Bendixson
4 Oscillazioni caoticheConsiderazioni generali sui moti caotici: caos 6= casoOscillatore non lineare forzatoDinamica simbolica casuale
5 Conclusioni
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Introduzione - Fil rouge
Introduzione - Fil rouge
Attrattori:
Dimensione 0 : punto fisso o punto di equilibrio 99K “Ordine”Dimensione 1 : ciclo limite 99K “Ordine”Dimensione frattale : attrattori strani 99K CAOS
Spazio delle fasi:
2 dimensioni 99K “Ordine”3 dimensioni 99K CAOS
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Introduzione - Fil rouge
Introduzione - Fil rouge
Attrattori:
Dimensione 0 : punto fisso o punto di equilibrio 99K “Ordine”Dimensione 1 : ciclo limite 99K “Ordine”Dimensione frattale : attrattori strani 99K CAOS
Spazio delle fasi:
2 dimensioni 99K “Ordine”3 dimensioni 99K CAOS
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni semplici
Pendolo libero
Pendolo libero
Figura: Raffigurazione di un pendolo semplice.
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Oscillazioni semplici
Pendolo libero
Dalla II legge di Newton si ha:
m~a = ~Fp + ~T ⇔
−mr θ2 = mg cos θ − T
mr θ = −mg sin θ,
da cuiθ = −g
`sin θ. (1)
Semplificazione dell’equazione (1): si definisce ω20 = g
` e si ponet’= ω0t:
θ =d2θ
dt2=
d2θ
d(t ′ω−10 )2
=d2θ
d(t ′)2ω2
0.
Percio si puo riscrivere la (1) come sistema di EDO di primo ordine:θ = ωω = − sin θ.
(2)
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Oscillazioni semplici
Pendolo libero
Dalla II legge di Newton si ha:
m~a = ~Fp + ~T ⇔
−mr θ2 = mg cos θ − T
mr θ = −mg sin θ,
da cuiθ = −g
`sin θ. (1)
Semplificazione dell’equazione (1): si definisce ω20 = g
` e si ponet’= ω0t:
θ =d2θ
dt2=
d2θ
d(t ′ω−10 )2
=d2θ
d(t ′)2ω2
0.
Percio si puo riscrivere la (1) come sistema di EDO di primo ordine:θ = ωω = − sin θ.
(2)
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Oscillazioni semplici
Pendolo libero
Dalla II legge di Newton si ha:
m~a = ~Fp + ~T ⇔
−mr θ2 = mg cos θ − T
mr θ = −mg sin θ,
da cuiθ = −g
`sin θ. (1)
Semplificazione dell’equazione (1): si definisce ω20 = g
` e si ponet’= ω0t:
θ =d2θ
dt2=
d2θ
d(t ′ω−10 )2
=d2θ
d(t ′)2ω2
0.
Percio si puo riscrivere la (1) come sistema di EDO di primo ordine:θ = ωω = − sin θ.
(2)
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Oscillazioni semplici
Pendolo libero
Punti di equilibrio ~x∗ del sistema (2) soluzione di ~f (~x∗) = ~0:
~x∗1 =(
00
)e ~x∗2 =
(π0
).
Dove
~f (~x) =
(fθfω
)=
(ω
− sin θ
).
Punto fisso attrattivo o repulsivo? −→ linearizzazione tramite lamatrice di Jacobi:
D~f (~x) =
∂fθ∂θ
(~x)∂fθ∂ω
(~x)
∂fω∂θ
(~x)∂fω∂ω
(~x)
.
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Oscillazioni semplici
Pendolo libero
Punti di equilibrio ~x∗ del sistema (2) soluzione di ~f (~x∗) = ~0:
~x∗1 =(
00
)e ~x∗2 =
(π0
).
Dove
~f (~x) =
(fθfω
)=
(ω
− sin θ
).
Punto fisso attrattivo o repulsivo? −→ linearizzazione tramite lamatrice di Jacobi:
D~f (~x) =
∂fθ∂θ
(~x)∂fθ∂ω
(~x)
∂fω∂θ
(~x)∂fω∂ω
(~x)
.
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Oscillazioni semplici
Pendolo libero
Dunque:
D~f (~x∗1 ) =
(0 1−1 0
)e
D~f ( ~x∗2 ) =
(0 11 0
).
Classificazione stabilita grazie agli autovalori:Sia l’equazione
A~x = λ~x
con A una matrice diversa dalla matrice nulla, λ ∈ R e ~x 6= ~0.Allora ~x e chiamato autovettore di A, mentre λ e chiamatoautovalore di A.E per calcolarli? −→ polinomio caratteristico:
cA(λ) = det(A− λI ) = 0.
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Oscillazioni semplici
Pendolo libero
Dunque:
D~f (~x∗1 ) =
(0 1−1 0
)e
D~f ( ~x∗2 ) =
(0 11 0
).
Classificazione stabilita grazie agli autovalori:Sia l’equazione
A~x = λ~x
con A una matrice diversa dalla matrice nulla, λ ∈ R e ~x 6= ~0.Allora ~x e chiamato autovettore di A, mentre λ e chiamatoautovalore di A.E per calcolarli? −→ polinomio caratteristico:
cA(λ) = det(A− λI ) = 0.
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Oscillazioni semplici
Pendolo libero
Nel nostro caso per D~f (~x∗1 ) si ha
λ = ±i ,
=⇒ centro,mentre per D~f (~x∗2 )
λ = ±1,
=⇒ sella.
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Oscillazioni semplici
Pendolo libero
Nel nostro caso per D~f (~x∗1 ) si ha
λ = ±i ,
=⇒ centro,mentre per D~f (~x∗2 )
λ = ±1,
=⇒ sella.
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Oscillazioni semplici
Pendolo libero
Spazio delle fasi (θ, θ) a partire da
E (θ, θ) =1
2θ2 + V (θ) = costante,
dove f (θ) = − sin(θ) = −V ′(θ)⇒ V = − cos(θ),e dalla conseguente relazione
|θ| =√
2(E − V (θ)
).
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Oscillazioni semplici
Pendolo libero
Spazio delle fasi (θ, θ) a partire da
E (θ, θ) =1
2θ2 + V (θ) = costante,
dove f (θ) = − sin(θ) = −V ′(θ)⇒ V = − cos(θ),e dalla conseguente relazione
|θ| =√
2(E − V (θ)
).
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Oscillazioni semplici
Pendolo libero
Figura: Ritratto di fase per il pendolo semplice.
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Oscillazioni semplici
Classificazione dei sistemi lineari planari
Classificazione traccia-determinante
Partendo da una qualsiasi matrice
A =
(a bc d
)a, b, c , d ∈ R.
Si ha:cA(λ) = λ2 − (a + d)λ+ (ad − bc)
dove
a + d =tr(A) e ad − bc = det(A).
Questa equazione quadratica si risolve quindi con
λ1,2 =tr(A)±
√(tr(A)
)2 − 4 det(A)
2. (3)
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Oscillazioni semplici
Classificazione dei sistemi lineari planari
Figura: Il piano (T ,D): conoscendo la traccia e il determinante dellamatrice A si puo risalire facilmente al suo ritratto di fase grazie all’analisidell’equazione (3).
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni semplici
Pendolo smorzato
Pendolo smorzato
Procedendo analogamente al caso del pendolo semplice si ha:−mr θ2 = mg cos θ − T
mr θ = −mg sin θ − κr θ,
con r = costante, κ ∈ R+.Da cui:
θ = −g
`sin θ − κ
mθ.
Semplificando: θ = ωω = − sin θ − αω,
dove α = κmω−20 ≥ 0, ω0 = g
` .
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Oscillazioni semplici
Pendolo smorzato
Pendolo smorzato
Procedendo analogamente al caso del pendolo semplice si ha:−mr θ2 = mg cos θ − T
mr θ = −mg sin θ − κr θ,
con r = costante, κ ∈ R+.Da cui:
θ = −g
`sin θ − κ
mθ.
Semplificando: θ = ωω = − sin θ − αω,
dove α = κmω−20 ≥ 0, ω0 = g
` .
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni semplici
Pendolo smorzato
Pendolo smorzato
Procedendo analogamente al caso del pendolo semplice si ha:−mr θ2 = mg cos θ − T
mr θ = −mg sin θ − κr θ,
con r = costante, κ ∈ R+.Da cui:
θ = −g
`sin θ − κ
mθ.
Semplificando: θ = ωω = − sin θ − αω,
dove α = κmω−20 ≥ 0, ω0 = g
` .
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni semplici
Pendolo smorzato
Due punti di equilibrio. . .
~x∗1 =
(00
)e ~x∗2 =
(π0
). . . e le due matrici di Jacobi corrispondenti
D~f (~x∗1 ) =
(0 1−1 −α
)e D~f (~x∗2 ) =
(0 11 −α
)Autovalori: λ± = −β ±
√β2 − 1
dove α = 2β.Se β = 0 allora λ± = ±i =⇒ centro.Equazione dell’ampiezza in funzione del tempo:
θ(t) = θ0 cos(t) + ω0 sin(t)
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Oscillazioni semplici
Pendolo smorzato
Due punti di equilibrio. . .
~x∗1 =
(00
)e ~x∗2 =
(π0
). . . e le due matrici di Jacobi corrispondenti
D~f (~x∗1 ) =
(0 1−1 −α
)e D~f (~x∗2 ) =
(0 11 −α
)Autovalori: λ± = −β ±
√β2 − 1
dove α = 2β.Se β = 0 allora λ± = ±i =⇒ centro.Equazione dell’ampiezza in funzione del tempo:
θ(t) = θ0 cos(t) + ω0 sin(t)
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Oscillazioni semplici
Pendolo smorzato
Due punti di equilibrio. . .
~x∗1 =
(00
)e ~x∗2 =
(π0
). . . e le due matrici di Jacobi corrispondenti
D~f (~x∗1 ) =
(0 1−1 −α
)e D~f (~x∗2 ) =
(0 11 −α
)Autovalori: λ± = −β ±
√β2 − 1
dove α = 2β.Se β = 0 allora λ± = ±i =⇒ centro.Equazione dell’ampiezza in funzione del tempo:
θ(t) = θ0 cos(t) + ω0 sin(t)
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Oscillazioni semplici
Pendolo smorzato
Due punti di equilibrio. . .
~x∗1 =
(00
)e ~x∗2 =
(π0
). . . e le due matrici di Jacobi corrispondenti
D~f (~x∗1 ) =
(0 1−1 −α
)e D~f (~x∗2 ) =
(0 11 −α
)Autovalori: λ± = −β ±
√β2 − 1
dove α = 2β.Se β = 0 allora λ± = ±i =⇒ centro.Equazione dell’ampiezza in funzione del tempo:
θ(t) = θ0 cos(t) + ω0 sin(t)
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Oscillazioni semplici
Pendolo smorzato
Figura: Simulazione con condizioni iniziali: θ0 = 34π radianti, ω0 = 10
radianti al secondo.
Se 0 < β < 1 allora λ± = −β ± i√
1− β2 da cui Reλ± = −β=⇒ fuoco stabile.Equazione dell’ampiezza in funzione del tempo: smorzamentosotto-critico.
θ(t) = e−βt[θ0 cos
(t√
1− β2)
+ ω0+βθ0√1−β2
sin(t√
1− β2)].
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Oscillazioni semplici
Pendolo smorzato
Figura: Simulazione con condizioni iniziali: θ0 = 34π radianti, ω0 = 10
radianti al secondo.
Se 0 < β < 1 allora λ± = −β ± i√
1− β2 da cui Reλ± = −β=⇒ fuoco stabile.Equazione dell’ampiezza in funzione del tempo: smorzamentosotto-critico.
θ(t) = e−βt[θ0 cos
(t√
1− β2)
+ ω0+βθ0√1−β2
sin(t√
1− β2)].
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Oscillazioni semplici
Pendolo smorzato
Figura: Simulazione nei primi 30 secondi di oscillazione, per β = 15 , con
condizioni iniziali θ0 = 34π radianti, ω0 = 10 radianti al secondo.
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Oscillazioni semplici
Pendolo smorzato
Se β = 1 allora λ+ = λ− = −1 =⇒ nodo improprio stabile.Equazione dell’ampiezza in funzione del tempo: smorzamentocritico.
θ(t) = e−t[θ0 + (θ0 + ω0)t
]
Figura: Grafico di θ(t) per β = 1, nei primi 20 secondi di oscillazione,con condizioni iniziali θ0 = 3
4π radianti, ω0 = 10 radianti al secondo.Oscillazione di una massa di 1 g, fune di 9, 81 m in acqua.
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Oscillazioni semplici
Pendolo smorzato
Se β > 1 allora λ+ 6= λ−, ma in ogni caso λ± ∈ R∗− =⇒pozzoattrattivoEquazione dell’ampiezza in funzione del tempo: smorzamentosovra-critico.
θ =1
2
(θ0+
ω0 + βθ0√β2 − 1
)e
(−β+√β2−1
)t+
1
2
(θ0−
ω0 + βθ0√β2 − 1
)e
(−β−√β2−1
)t .
Figura: L’andamento di θ(t) per β = 2, nei primi 25 secondi dioscillazione, con condizioni iniziali θ0 = 3
4π radianti, ω0 = 10 radianti alsecondo.
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni semplici
Pendolo smorzato
Passiamo ora all’altro punto di equilibrio. Si ha:
D~f (~x∗2 ) =
(0 11 −α
),
da cui
λ± = −β ±√β2 + 1.
Sella per ogni β? NO: se β 6= 0 l’ampiezza non segue unandamento del tipo, e percio periodico,
x(t) = c1 cosβt + c2 sinβt,
bensı del tipo
x(t) = c1eαt cosβt + c2e
αt sinβt.
Conseguenza: non ci sono separatrici, cade la differenza frarotazioni e librazioni e tutte le soluzioni tenderanno al punto diequilibrio attrattivo.
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Oscillazioni semplici
Pendolo smorzato
Passiamo ora all’altro punto di equilibrio. Si ha:
D~f (~x∗2 ) =
(0 11 −α
),
da cui
λ± = −β ±√β2 + 1.
Sella per ogni β? NO: se β 6= 0 l’ampiezza non segue unandamento del tipo, e percio periodico,
x(t) = c1 cosβt + c2 sinβt,
bensı del tipo
x(t) = c1eαt cosβt + c2e
αt sinβt.
Conseguenza: non ci sono separatrici, cade la differenza frarotazioni e librazioni e tutte le soluzioni tenderanno al punto diequilibrio attrattivo.
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Oscillazioni semplici
Pendolo smorzato
Passiamo ora all’altro punto di equilibrio. Si ha:
D~f (~x∗2 ) =
(0 11 −α
),
da cui
λ± = −β ±√β2 + 1.
Sella per ogni β? NO: se β 6= 0 l’ampiezza non segue unandamento del tipo, e percio periodico,
x(t) = c1 cosβt + c2 sinβt,
bensı del tipo
x(t) = c1eαt cosβt + c2e
αt sinβt.
Conseguenza: non ci sono separatrici, cade la differenza frarotazioni e librazioni e tutte le soluzioni tenderanno al punto diequilibrio attrattivo.
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Oscillazioni semplici
Pendolo smorzato
Figura: Le quattro possibili configurazioni dello spazio delle fasi perα = 0, α = 0.5, α = 2 e α = 3.
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Oscillazioni intrattenute
Il ciclo limite
Il modello di Lotka-Volterra
La teoria. . .Sistema di EDO del primoordine:
x = αx − βxyy = −γy + δxy
dove α, β, γ, δ > 0.
. . .e la praticax : preda (pecore),y : predatore (lupi),α: fattore di crescita dellepecore in assenza di lupi,γ: fattore di decrescita deilupi in assenza di pecore,β: tasso di riduzione delgregge di pecore quando vienea contatto con i lupi,δ: tasso di crescita del brancodi lupi quando e a contattocon le pecore.
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Oscillazioni intrattenute
Il ciclo limite
La teoria. . .Punti fissi:
~x∗1 =
(00
)e ~x∗2 =
( γδαβ
).
Linearizzazione:
D~f (~x∗) =
(α− βy −βxδy −γ + δx
).
Dunque: intorno di~x∗1 99K λ1 = α, λ2 = −γ=⇒ sella,intorno di~x∗2 99K λ1,2 = ±i√αγ=⇒ centro.
. . .e la pratica~x∗1 : entrambe le specie sonoestinte,~x∗2 : ad ogni pecora nata necorrisponde una mangiata.
Sella: punto fisso instabilepraticamente impossibile daraggiungere salvo mortiimprovvise delle prede.
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Oscillazioni intrattenute
Il ciclo limite
Figura: Ritratto di fase del sistema per α = β = γ = δ = 1.
Figura: Andamento regolare e periodico del numero di prede (linea fine)e predatori (linea in grassetto) in funzione del tempo.
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Oscillazioni intrattenute
Il ciclo limite
Tutto come ci si aspetterebbe, ma. . .
Figura: Una situazione particolare. (Realizzazione: www.aw-bc.com).
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Oscillazioni intrattenute
Il ciclo limite
Cosa e successo?
La teoria. . .Situazione corrispondente a:α e δ prossimi a 0,β e γ alti.
. . .e la praticaPecore: nascita difficile emorte facile.Lupi: morte veloce in assenzadi cibo e necessita di moltotempo in contatto con ilgregge per proliferare.
Situazione limite, ma ci dimostra che c’e dell’altro:attrattore di dimensione uno, ossia un ciclo limite.
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Oscillazioni intrattenute
Il ciclo limite
Cosa e successo?
La teoria. . .Situazione corrispondente a:α e δ prossimi a 0,β e γ alti.
. . .e la praticaPecore: nascita difficile emorte facile.Lupi: morte veloce in assenzadi cibo e necessita di moltotempo in contatto con ilgregge per proliferare.
Situazione limite, ma ci dimostra che c’e dell’altro:attrattore di dimensione uno, ossia un ciclo limite.
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Oscillazioni intrattenute
L’oscillatore di Van der Pol
L’oscillatore di Van der Pol
Idea: trovare una formula matematica che descriva ilcomportamento di un orologio a pendolo partendo dagli esempistudiati finora.Pendolo semplice:
Problema Possibile soluzione
Dipendenza dalle condizioni iniziali:invarianza delle orbite . . .Impossibile da realizzare Pendolo smorzato
Pendolo smorzato:
Problema Possibile soluzione
“Resta indietro” Termine forzanteFisicamente non ha senso avere α < 0 Riduzione di questo difetto
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Oscillazioni intrattenute
L’oscillatore di Van der Pol
L’oscillatore di Van der Pol
Idea: trovare una formula matematica che descriva ilcomportamento di un orologio a pendolo partendo dagli esempistudiati finora.Pendolo semplice:
Problema Possibile soluzione
Dipendenza dalle condizioni iniziali:invarianza delle orbite . . .Impossibile da realizzare Pendolo smorzato
Pendolo smorzato:
Problema Possibile soluzione
“Resta indietro” Termine forzanteFisicamente non ha senso avere α < 0 Riduzione di questo difetto
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L’oscillatore di Van der Pol
L’oscillatore di Van der Pol
Idea: trovare una formula matematica che descriva ilcomportamento di un orologio a pendolo partendo dagli esempistudiati finora.Pendolo semplice:
Problema Possibile soluzione
Dipendenza dalle condizioni iniziali:invarianza delle orbite . . .Impossibile da realizzare Pendolo smorzato
Pendolo smorzato:
Problema Possibile soluzione
“Resta indietro” Termine forzanteFisicamente non ha senso avere α < 0 Riduzione di questo difetto
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Oscillazioni intrattenute
L’oscillatore di Van der Pol
Soluzione di Van der Pol: far dipendere il termine α dall’ampiezzax :
α(x) = −α0
(1− x2
x20
).
Inseriamo nell’equazione linearizzata attorno all’origine del pendolosmorzato:
da x + αx + x = 0 a v + β(x2 − 1)v + x = 0
con β = α0 > 0 che rappresenta l’attrito e su cui si discute peranalizzare l’equazione.
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L’oscillatore di Van der Pol
Soluzione di Van der Pol: far dipendere il termine α dall’ampiezzax :
α(x) = −α0
(1− x2
x20
).
Inseriamo nell’equazione linearizzata attorno all’origine del pendolosmorzato:
da x + αx + x = 0 a v + β(x2 − 1)v + x = 0
con β = α0 > 0 che rappresenta l’attrito e su cui si discute peranalizzare l’equazione.
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Oscillazioni intrattenute
L’oscillatore di Van der Pol
Il caso β 1
Scriviamo l’equazione di Van der Pol come sistema:x = vv = −x − β(x2 − 1)v .
Coodinate polari: per β = 0, E = 12 (x2 + v2) e costante quindi si
ha x =√
2E cosϑ
v =√
2E sinϑ
con le rispettive inverseE = 1
2 (x2 + v2)ϑ = arctan v
x .
Per β = 0, E = 0, ϑ = −1
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Oscillazioni intrattenute
L’oscillatore di Van der Pol
Il caso β 1
Scriviamo l’equazione di Van der Pol come sistema:x = vv = −x − β(x2 − 1)v .
Coodinate polari: per β = 0, E = 12 (x2 + v2) e costante quindi si
ha x =√
2E cosϑ
v =√
2E sinϑ
con le rispettive inverseE = 1
2 (x2 + v2)ϑ = arctan v
x .
Per β = 0, E = 0, ϑ = −1
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Oscillazioni intrattenute
L’oscillatore di Van der Pol
Per β 6= 0, si ha E = βf (E , ϑ)
ϑ = −1 + βg(E , ϑ),
con
f (E , ϑ) = 2E sin2 ϑ(1− 2E cos2 ϑ)g(E , ϑ) = − sinϑ cosϑ(2E cos2 ϑ− 1).
Quello che ci interessa e E .Sia S una semiretta qualsiasi uscente dall’origine, formante conl’asse Ox un angolo fissato ϑ; consideriamo inoltre un dato iniziale(E , ϑ) su di essa, e sia
Eβ(t,E0) , Θβ(t,E0)
la corrispondente soluzione.
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Oscillazioni intrattenute
L’oscillatore di Van der Pol
Per β 6= 0, si ha E = βf (E , ϑ)
ϑ = −1 + βg(E , ϑ),
con
f (E , ϑ) = 2E sin2 ϑ(1− 2E cos2 ϑ)g(E , ϑ) = − sinϑ cosϑ(2E cos2 ϑ− 1).
Quello che ci interessa e E .Sia S una semiretta qualsiasi uscente dall’origine, formante conl’asse Ox un angolo fissato ϑ; consideriamo inoltre un dato iniziale(E , ϑ) su di essa, e sia
Eβ(t,E0) , Θβ(t,E0)
la corrispondente soluzione.
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Oscillazioni intrattenute
L’oscillatore di Van der Pol
Consideriamo la situazione:
Figura: La sezione di Poincare posta a ϑ fissato e la conseguentemappa di Poincare definita da:Φβ : S → S, tale che Ek+1 = Φβ(Ek)
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Oscillazioni intrattenute
L’oscillatore di Van der Pol
Il sistema compie un giro in un tempo:
Tβ = T0 +O(β).
Durante questo tempo si ha:
Eβ(t,E0) = E0 +O(β) , Θβ(t,E0) = ϑ− t +O(β).
Possiamo scrivere la mappa nel seguente modo:
E1 = Φβ(E0) = E0 + βFβ(E0).
La ricerca del ciclo limite si riduce alla ricerca di un punto fisso E ∗βdella mappa Φβ.
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Oscillazioni intrattenute
L’oscillatore di Van der Pol
Il sistema compie un giro in un tempo:
Tβ = T0 +O(β).
Durante questo tempo si ha:
Eβ(t,E0) = E0 +O(β) , Θβ(t,E0) = ϑ− t +O(β).
Possiamo scrivere la mappa nel seguente modo:
E1 = Φβ(E0) = E0 + βFβ(E0).
La ricerca del ciclo limite si riduce alla ricerca di un punto fisso E ∗βdella mappa Φβ.
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni intrattenute
L’oscillatore di Van der Pol
Calcolo approssimato di Fβ tramite uno sviluppo di Taylor nelparametro β troncato all’ordine zero:
Φβ(E0) = E0 +
∫ Tβ
0Edt,
ovvero
Φβ(E0) = E0 + β
∫ Tβ
0f(Eβ(t,E0),Θβ(t,E0)
)dt.
Per confronto con Φβ(E0) = E0 + βFβ(E0). si ha
Fβ(E0) =
∫ Tβ
0f(Eβ(t,E0),Θβ(t,E0)
)dt.
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Oscillazioni intrattenute
L’oscillatore di Van der Pol
Calcolo approssimato di Fβ tramite uno sviluppo di Taylor nelparametro β troncato all’ordine zero:
Φβ(E0) = E0 +
∫ Tβ
0Edt,
ovvero
Φβ(E0) = E0 + β
∫ Tβ
0f(Eβ(t,E0),Θβ(t,E0)
)dt.
Per confronto con Φβ(E0) = E0 + βFβ(E0). si ha
Fβ(E0) =
∫ Tβ
0f(Eβ(t,E0),Θβ(t,E0)
)dt.
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Oscillazioni intrattenute
L’oscillatore di Van der Pol
Calcolo approssimato di Fβ tramite uno sviluppo di Taylor nelparametro β troncato all’ordine zero:
Φβ(E0) = E0 +
∫ Tβ
0Edt,
ovvero
Φβ(E0) = E0 + β
∫ Tβ
0f(Eβ(t,E0),Θβ(t,E0)
)dt.
Per confronto con Φβ(E0) = E0 + βFβ(E0). si ha
Fβ(E0) =
∫ Tβ
0f(Eβ(t,E0),Θβ(t,E0)
)dt.
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni intrattenute
L’oscillatore di Van der Pol
Taylor all’ordine zero:→ incognite Eβ(t,E0),Θβ(t,E0) spariscono, al loro posto rimane ilmoto imperturbato Eβ(t,E0) = E0,Θβ(t,E0) = ϑ− t.→ estremo di integrazione diventa 2πPercio:
F0(E ) =
∫ 2π
0f (E , ϑ− t)dt
= 2E
∫ 2π
0sin2 t(1− 2E cos2 t)dt
= −π(−E 2 + 2E ).
Quindi all’ordine lineare in β la mappa di Poincare Φβ e definita da:
Φβ(E ) = E + β[− π(−E 2 + 2E )
].
I punti fissi di Φβ sono dati da E ∗0 = 0 ed E ∗0 = 2.
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni intrattenute
L’oscillatore di Van der Pol
Taylor all’ordine zero:→ incognite Eβ(t,E0),Θβ(t,E0) spariscono, al loro posto rimane ilmoto imperturbato Eβ(t,E0) = E0,Θβ(t,E0) = ϑ− t.→ estremo di integrazione diventa 2πPercio:
F0(E ) =
∫ 2π
0f (E , ϑ− t)dt
= 2E
∫ 2π
0sin2 t(1− 2E cos2 t)dt
= −π(−E 2 + 2E ).
Quindi all’ordine lineare in β la mappa di Poincare Φβ e definita da:
Φβ(E ) = E + β[− π(−E 2 + 2E )
].
I punti fissi di Φβ sono dati da E ∗0 = 0 ed E ∗0 = 2.
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L’oscillatore di Van der Pol
Taylor all’ordine zero:→ incognite Eβ(t,E0),Θβ(t,E0) spariscono, al loro posto rimane ilmoto imperturbato Eβ(t,E0) = E0,Θβ(t,E0) = ϑ− t.→ estremo di integrazione diventa 2πPercio:
F0(E ) =
∫ 2π
0f (E , ϑ− t)dt
= 2E
∫ 2π
0sin2 t(1− 2E cos2 t)dt
= −π(−E 2 + 2E ).
Quindi all’ordine lineare in β la mappa di Poincare Φβ e definita da:
Φβ(E ) = E + β[− π(−E 2 + 2E )
].
I punti fissi di Φβ sono dati da E ∗0 = 0 ed E ∗0 = 2.
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Oscillazioni intrattenute
L’oscillatore di Van der Pol
Si puo dimostrare che vale
E ∗β = E ∗0 +O(β).
Al punto fisso E ∗β = 2 +O(β) della mappa corrisponde una curvanel piano (x , v), simile ad una circonferenza di raggio e prossimo adue.
Figura: Il ciclo limite e l’andamento di x(t) per β = 0, 1.
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Oscillazioni intrattenute
L’oscillatore di Van der Pol
Si puo dimostrare che vale
E ∗β = E ∗0 +O(β).
Al punto fisso E ∗β = 2 +O(β) della mappa corrisponde una curvanel piano (x , v), simile ad una circonferenza di raggio e prossimo adue.
Figura: Il ciclo limite e l’andamento di x(t) per β = 0, 1.
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Oscillazioni intrattenute
L’oscillatore di Van der Pol
Figura: Il ritratto di fase dell’equazione di Van der Pol nel piano (x , v)per differenti β.
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni intrattenute
Il teorema di Poincare-Bendixson
Il teorema di Poincare-Bendixson
Si consideri una traiettoria che entra in una cironferenza su di unpiano. Essa ha solo due possibilita: o si dirigera verso un punto diequilibrio stabile, o convergera attorno ad un ciclo limite.
Figura: Idea della dimostrazione.
Nel piano non e possibile ottenere sistemi caotici!
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Oscillazioni intrattenute
Il teorema di Poincare-Bendixson
Il teorema di Poincare-Bendixson
Si consideri una traiettoria che entra in una cironferenza su di unpiano. Essa ha solo due possibilita: o si dirigera verso un punto diequilibrio stabile, o convergera attorno ad un ciclo limite.
Figura: Idea della dimostrazione.
Nel piano non e possibile ottenere sistemi caotici!
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Oscillazioni intrattenute
Il teorema di Poincare-Bendixson
Il teorema di Poincare-Bendixson
Si consideri una traiettoria che entra in una cironferenza su di unpiano. Essa ha solo due possibilita: o si dirigera verso un punto diequilibrio stabile, o convergera attorno ad un ciclo limite.
Figura: Idea della dimostrazione.
Nel piano non e possibile ottenere sistemi caotici!
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni caotiche
Considerazioni generali sui moti caotici: caos 6= caso
Le tre proprieta del caos
Sensibilita alle condizioni iniziali:Caos deterministico: concetto utile per la matematica, ma inutileper la fisica.Idea base del caos, ma da sola non basta:
xn+1 = 2xn.
Transitivita o Mixing:La traiettoria generata da un punto dello spazio delle fasi, neltempo, si sovrappone e occupa una zona qualsiasi dello spazio dellefasi.Concetto di Mixing rende ancora meglio l’idea: il mescolamento didue sostanze o fluidi forma un sistema caotico.
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Oscillazioni caotiche
Considerazioni generali sui moti caotici: caos 6= caso
Le tre proprieta del caos
Sensibilita alle condizioni iniziali:Caos deterministico: concetto utile per la matematica, ma inutileper la fisica.Idea base del caos, ma da sola non basta:
xn+1 = 2xn.
Transitivita o Mixing:La traiettoria generata da un punto dello spazio delle fasi, neltempo, si sovrappone e occupa una zona qualsiasi dello spazio dellefasi.Concetto di Mixing rende ancora meglio l’idea: il mescolamento didue sostanze o fluidi forma un sistema caotico.
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Oscillazioni caotiche
Considerazioni generali sui moti caotici: caos 6= caso
Le tre proprieta del caos
Sensibilita alle condizioni iniziali:Caos deterministico: concetto utile per la matematica, ma inutileper la fisica.Idea base del caos, ma da sola non basta:
xn+1 = 2xn.
Transitivita o Mixing:La traiettoria generata da un punto dello spazio delle fasi, neltempo, si sovrappone e occupa una zona qualsiasi dello spazio dellefasi.Concetto di Mixing rende ancora meglio l’idea: il mescolamento didue sostanze o fluidi forma un sistema caotico.
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni caotiche
Considerazioni generali sui moti caotici: caos 6= caso
Le tre proprieta del caos
Sensibilita alle condizioni iniziali:Caos deterministico: concetto utile per la matematica, ma inutileper la fisica.Idea base del caos, ma da sola non basta:
xn+1 = 2xn.
Transitivita o Mixing:La traiettoria generata da un punto dello spazio delle fasi, neltempo, si sovrappone e occupa una zona qualsiasi dello spazio dellefasi.Concetto di Mixing rende ancora meglio l’idea: il mescolamento didue sostanze o fluidi forma un sistema caotico.
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni caotiche
Considerazioni generali sui moti caotici: caos 6= caso
Figura: Un esempio di mixing.
Densita delle orbite periodiche:Per ogni orbita σ esiste un’orbita τ periodica infinitamente vicinaad essa.Un sistema caotico soddisfa la transitivita =⇒ σ occupano tuttauna regione =⇒ anche quelle periodiche τ saranno dispostedensamente.
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni caotiche
Considerazioni generali sui moti caotici: caos 6= caso
Figura: Un esempio di mixing.
Densita delle orbite periodiche:Per ogni orbita σ esiste un’orbita τ periodica infinitamente vicinaad essa.Un sistema caotico soddisfa la transitivita =⇒ σ occupano tuttauna regione =⇒ anche quelle periodiche τ saranno dispostedensamente.
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni caotiche
Oscillatore non lineare forzato
Oscillatore non lineare forzato
Sistema unidimensionale non autonomo:
x = −ω20 sin(x) + ε cos(Ωt)
dove ε ≥ 0, ω20 = g
` .Sistema bidimensionale non autonomo:
x = v
v = − sin x + ε cos(Ωt),
Sistema tridimensionale autonomo:x = v
v = − sin x + ε cosϕ
ϕ = Ω.
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni caotiche
Oscillatore non lineare forzato
Oscillatore non lineare forzato
Sistema unidimensionale non autonomo:
x = −ω20 sin(x) + ε cos(Ωt)
dove ε ≥ 0, ω20 = g
` .Sistema bidimensionale non autonomo:
x = v
v = − sin x + ε cos(Ωt),
Sistema tridimensionale autonomo:x = v
v = − sin x + ε cosϕ
ϕ = Ω.
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni caotiche
Oscillatore non lineare forzato
Oscillatore non lineare forzato
Sistema unidimensionale non autonomo:
x = −ω20 sin(x) + ε cos(Ωt)
dove ε ≥ 0, ω20 = g
` .Sistema bidimensionale non autonomo:
x = v
v = − sin x + ε cos(Ωt),
Sistema tridimensionale autonomo:x = v
v = − sin x + ε cosϕ
ϕ = Ω.
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni caotiche
Oscillatore non lineare forzato
Come studiare questo tipo di moto? Sezione di Poincare data daϕ = costante in modo da avere
Φ : Σ→ Σ(xn+1, vn+1) = Φ(xn, vn).
Figura: La sezione di Poincare Σ e tutti i punti di intersezione (xn, vn)che vanno a formare la mappa Φ.
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni caotiche
Oscillatore non lineare forzato
Per ε = 0: pendolo semplice =⇒ E = 12 (v2 + x2) e una costante
del moto.
Figura: La rappresentazione della mappa di Poincare per ε = 0.
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni caotiche
Oscillatore non lineare forzato
Per ε = 0: pendolo semplice =⇒ E = 12 (v2 + x2) e una costante
del moto.
Figura: La rappresentazione della mappa di Poincare per ε = 0.
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni caotiche
Oscillatore non lineare forzato
Per ε > 0, =⇒ E = 12 (v2 + x2) non e piu conservata.
Figura: Sezione di Poincare con regioni ordinate e regioni caotiche alvariare del parametro ε.
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni caotiche
Oscillatore non lineare forzato
Per ε > 0, =⇒ E = 12 (v2 + x2) non e piu conservata.
Figura: Sezione di Poincare con regioni ordinate e regioni caotiche alvariare del parametro ε.
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Oscillazioni caotiche
Dinamica simbolica casuale
Dinamica simbolica casuale
Sfruttiamo questo esempio per dimostrare le tre proprieta del caos.Consideriamo ε = 0 e un intorno B di (π, 0) diviso in quattro particome segue:
Figura: Il caso considerato, le stringhe sono:
Regione 1 : AAAA . . .Regione 2 : OOOO . . .Regione 3 : OAOA . . .Regione 4 : AOAO . . .
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni caotiche
Dinamica simbolica casuale
Per ε > 0: ordine pregiudicato, si puo dimostrare che tutte lestringhe sono possibili.Definiamo la mappa left-shift
Φ : Σ→ ΣΦ(σ) = Φ(σ0, σ1, . . . , σN , . . .) = (σ1, σ2, . . . , σN , . . .),
Attenzione: stringhe 6= orbite!!
τ = AAOAOAAOOA . . .Φ(τ) = AOAOAAOOA . . .Φ2(τ) = OAOAAOOA . . .. . .
Queste sono tutte stringhe, mentre l’orbitaO(τ) = τ,Φ(τ),Φ2(τ), . . . e l’insieme di tutte le stringhe.
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni caotiche
Dinamica simbolica casuale
Per ε > 0: ordine pregiudicato, si puo dimostrare che tutte lestringhe sono possibili.Definiamo la mappa left-shift
Φ : Σ→ ΣΦ(σ) = Φ(σ0, σ1, . . . , σN , . . .) = (σ1, σ2, . . . , σN , . . .),
Attenzione: stringhe 6= orbite!!
τ = AAOAOAAOOA . . .Φ(τ) = AOAOAAOOA . . .Φ2(τ) = OAOAAOOA . . .. . .
Queste sono tutte stringhe, mentre l’orbitaO(τ) = τ,Φ(τ),Φ2(τ), . . . e l’insieme di tutte le stringhe.
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Oscillazioni caotiche
Dinamica simbolica casuale
Per ε > 0: ordine pregiudicato, si puo dimostrare che tutte lestringhe sono possibili.Definiamo la mappa left-shift
Φ : Σ→ ΣΦ(σ) = Φ(σ0, σ1, . . . , σN , . . .) = (σ1, σ2, . . . , σN , . . .),
Attenzione: stringhe 6= orbite!!
τ = AAOAOAAOOA . . .Φ(τ) = AOAOAAOOA . . .Φ2(τ) = OAOAAOOA . . .. . .
Queste sono tutte stringhe, mentre l’orbitaO(τ) = τ,Φ(τ),Φ2(τ), . . . e l’insieme di tutte le stringhe.
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Oscillazioni caotiche
Dinamica simbolica casuale
Si definisce la distanza fra due stringhe σ e τ nel modo seguente:
d(σ, τ) =+∞∑i=0
δ(σi , τi )
2i
dove
δ(σi , τi ) =
1 se σi 6= τi0 se σi = τi .
Dimostrazione sensibilita alle condizioni iniziali:Si ha sensibile dipendenza alle condizioni iniziali se vale:
d(f n(x), f n(y)
)≥ ρ > 0.
Consideriamo η = (η0, η1, . . . , ηn . . .) un’orbita appartenente a Σ esia N (η) ⊂ Σ un intorno aperto di η. Definiamo per m ∈ Nl’insieme:
A = s ∈ Σ : s e identica a η per i primi m simboli.
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni caotiche
Dinamica simbolica casuale
Si definisce la distanza fra due stringhe σ e τ nel modo seguente:
d(σ, τ) =+∞∑i=0
δ(σi , τi )
2i
dove
δ(σi , τi ) =
1 se σi 6= τi0 se σi = τi .
Dimostrazione sensibilita alle condizioni iniziali:Si ha sensibile dipendenza alle condizioni iniziali se vale:
d(f n(x), f n(y)
)≥ ρ > 0.
Consideriamo η = (η0, η1, . . . , ηn . . .) un’orbita appartenente a Σ esia N (η) ⊂ Σ un intorno aperto di η. Definiamo per m ∈ Nl’insieme:
A = s ∈ Σ : s e identica a η per i primi m simboli.
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni caotiche
Dinamica simbolica casuale
Per una stringa τ ∈ A vale
d(η, τ) =+∞∑i=0
δ(ηi , τi )
2i≤ 1
2m−1.
Scegliamo ora m sufficientemente grande in modo che valgaA ⊆ N (η) e poniamo la costante sensibile ρ = 1. Dato che τ ∈ Asi ha:
τ = (τ0, τ1, . . . , τm, τm+1, . . .)= (η0, η1, . . . , ηm, τm+1, . . .).
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni caotiche
Dinamica simbolica casuale
Per una stringa τ ∈ A vale
d(η, τ) =+∞∑i=0
δ(ηi , τi )
2i≤ 1
2m−1.
Scegliamo ora m sufficientemente grande in modo che valgaA ⊆ N (η) e poniamo la costante sensibile ρ = 1. Dato che τ ∈ Asi ha:
τ = (τ0, τ1, . . . , τm, τm+1, . . .)= (η0, η1, . . . , ηm, τm+1, . . .).
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni caotiche
Dinamica simbolica casuale
A partire dal termine m + 1, la distanza fra le orbite di condizioneiniziale η e τ , dopo m + 1 iterazioni, diventa:
d(
Φm+1(η,Φm+1(τ)
))= d
((ηm+1, ηm+2, . . .), (τm+1, τm+2, . . .)
)
=+∞∑
i=m+1
δ(ηi , τi )
2i−(m+1)
= 1 ++∞∑
i=m+2
δ(ηi , τi )
2i−(m+2)≥ 1 = ρ.
Dunque, data la definizione
d(f n(x), f n(y)
)≥ ρ > 0,
la mappa Φ e sensibile alle condizioni iniziali.
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni caotiche
Dinamica simbolica casuale
A partire dal termine m + 1, la distanza fra le orbite di condizioneiniziale η e τ , dopo m + 1 iterazioni, diventa:
d(
Φm+1(η,Φm+1(τ)
))= d
((ηm+1, ηm+2, . . .), (τm+1, τm+2, . . .)
)
=+∞∑
i=m+1
δ(ηi , τi )
2i−(m+1)
= 1 ++∞∑
i=m+2
δ(ηi , τi )
2i−(m+2)≥ 1 = ρ.
Dunque, data la definizione
d(f n(x), f n(y)
)≥ ρ > 0,
la mappa Φ e sensibile alle condizioni iniziali.
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Oscillazioni caotiche
Dinamica simbolica casuale
Dimostrazione densita:A e denso in B se ∀x ∈ B esiste una y ∈ A la cui distanza eminore di un qualsiasi ε ∈ R+
Scelta:
A = Per(Φ) =+∞⋃n=1
Pern
B = Σ
.
Definiamo sk come segue: data
s = (s0, s1, . . . , sk−1, sk , . . .)
si pone
sk = (s0, s1, . . . , sk−1)
Calcoliamo ora la distanza fra queste due stringhe:
d(s, sk) ≤ 1
2k−1= ε.
Dunque Pern(σ) e denso in Σ.
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni caotiche
Dinamica simbolica casuale
Dimostrazione densita:A e denso in B se ∀x ∈ B esiste una y ∈ A la cui distanza eminore di un qualsiasi ε ∈ R+
Scelta:
A = Per(Φ) =+∞⋃n=1
Pern
B = Σ
.
Definiamo sk come segue: data
s = (s0, s1, . . . , sk−1, sk , . . .)
si pone
sk = (s0, s1, . . . , sk−1)
Calcoliamo ora la distanza fra queste due stringhe:
d(s, sk) ≤ 1
2k−1= ε.
Dunque Pern(σ) e denso in Σ.
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Dinamica simbolica casuale
Dimostrazione densita:A e denso in B se ∀x ∈ B esiste una y ∈ A la cui distanza eminore di un qualsiasi ε ∈ R+
Scelta:
A = Per(Φ) =+∞⋃n=1
Pern
B = Σ
.
Definiamo sk come segue: data
s = (s0, s1, . . . , sk−1, sk , . . .)
si pone
sk = (s0, s1, . . . , sk−1)
Calcoliamo ora la distanza fra queste due stringhe:
d(s, sk) ≤ 1
2k−1= ε.
Dunque Pern(σ) e denso in Σ.
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni caotiche
Dinamica simbolica casuale
Dimostrazione densita:A e denso in B se ∀x ∈ B esiste una y ∈ A la cui distanza eminore di un qualsiasi ε ∈ R+
Scelta:
A = Per(Φ) =+∞⋃n=1
Pern
B = Σ
.
Definiamo sk come segue: data
s = (s0, s1, . . . , sk−1, sk , . . .)
si pone
sk = (s0, s1, . . . , sk−1)
Calcoliamo ora la distanza fra queste due stringhe:
d(s, sk) ≤ 1
2k−1= ε.
Dunque Pern(σ) e denso in Σ.
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Oscillazioni caotiche
Dinamica simbolica casuale
Dimostrazione transitivita:Per far sı che questa proprieta sia verificata e necessario che esistauna condizione iniziale τ tale che la sua orbita sia densa in Σ.Scegliamo τ come:
τ = ( 0 1︸︷︷︸blocco 1
... 00 01 10 11︸ ︷︷ ︸blocco 2
... 000 001 010 011 100 101 110 111︸ ︷︷ ︸blocco 3
...
. . .︸︷︷︸blocco 4
... . . . . . .︸ ︷︷ ︸blocco n
... . . . . . . . . .︸ ︷︷ ︸blocco n+1
... . . . . . .).
Le prime κ cifre di una stringa s appaiono nel κ-esimo blocco di τ .Esiste quindi un n(k) tale che:
Φn(k)(τ) = (s0, s1, . . . , sk−1, tk , tk+1, . . .),
dove tk+j ∈ 0, 1 per j ∈ N.
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni caotiche
Dinamica simbolica casuale
Dimostrazione transitivita:Per far sı che questa proprieta sia verificata e necessario che esistauna condizione iniziale τ tale che la sua orbita sia densa in Σ.Scegliamo τ come:
τ = ( 0 1︸︷︷︸blocco 1
... 00 01 10 11︸ ︷︷ ︸blocco 2
... 000 001 010 011 100 101 110 111︸ ︷︷ ︸blocco 3
...
. . .︸︷︷︸blocco 4
... . . . . . .︸ ︷︷ ︸blocco n
... . . . . . . . . .︸ ︷︷ ︸blocco n+1
... . . . . . .).
Le prime κ cifre di una stringa s appaiono nel κ-esimo blocco di τ .Esiste quindi un n(k) tale che:
Φn(k)(τ) = (s0, s1, . . . , sk−1, tk , tk+1, . . .),
dove tk+j ∈ 0, 1 per j ∈ N.
Oscillazioni e Caos nelle Equazioni Differenziali Ordinarie
Oscillazioni caotiche
Dinamica simbolica casuale
Possiamo dunque concludere che
d(s,Φn(k)(τ)
)≤ 1
2k−1= ε.
Quindi O(τ) e denso in Σ poiche per ogni s ∈ Σ esiste un puntodell’orbita di τ tale che d
(s,Φn(k)(τ)
)< ε, per ogni ε ∈ R+.
Abbiamo percio dimostrato che il sistema dinamico (Σ,Φ) ecaotico.
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Oscillazioni caotiche
Dinamica simbolica casuale
Possiamo dunque concludere che
d(s,Φn(k)(τ)
)≤ 1
2k−1= ε.
Quindi O(τ) e denso in Σ poiche per ogni s ∈ Σ esiste un puntodell’orbita di τ tale che d
(s,Φn(k)(τ)
)< ε, per ogni ε ∈ R+.
Abbiamo percio dimostrato che il sistema dinamico (Σ,Φ) ecaotico.
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Oscillazioni caotiche
Dinamica simbolica casuale
Possiamo dunque concludere che
d(s,Φn(k)(τ)
)≤ 1
2k−1= ε.
Quindi O(τ) e denso in Σ poiche per ogni s ∈ Σ esiste un puntodell’orbita di τ tale che d
(s,Φn(k)(τ)
)< ε, per ogni ε ∈ R+.
Abbiamo percio dimostrato che il sistema dinamico (Σ,Φ) ecaotico.
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Conclusioni