Parecchie volte ๐2/6
Prof. Luigi Verolino
Universitร Federico II di Napoli
Dipartimento di Ingegneria Elettrica e delle Tecnologie dellโInformazione
Via Claudio, 21 [80125] Napoli
Risolvere il problema di Basilea vuol dire riuscire a determinare il valore della
serie dei reciproci dei quadrati, precisamente a dimostrare che
โ1
๐2
โ
๐=1
=๐2
6 .
Esso fu posto per la prima volta da Pietro Mengoli e divenne famoso quando Jakob
Bernoulli ne scrisse nel 1689. Jakob era il fratello di Johann Bernoulli, insegnante
di Eulero, che probabilmente lo mostrรฒ ad Eulero stesso. Fu cosรฌ che il problema
divenne conosciutissimo tra i matematici ed รจ dunque comprensibile che Eulero
divenne famoso quando lo risolse a soli ventotto anni.
La differenza tra il poeta ed il matematico รจ che il poeta cerca di infilare la testa nel
cielo, mentre il matematico cerca di infilare il cielo nella sua testa.
Gilbert Keith Chesterton
Londra, 29 maggio 1874 โ Beaconsfield, 14 giugno 1936
2
Introduzione
Basilea รจ una cittร situata nella Svizzera nord-occidentale, lungo unโansa del fiume
Reno al confine con Francia e Germania. ร un importante centro industriale del
settore chimico e farmaceutico e costituisce lโultimo porto fluviale accessibile ai
natanti da trasporto di grandi dimensioni provenienti dal Mare del Nord. Ospita
la piรน vecchia universitร svizzera, fondata nel 1459, in cui hanno lavorato ed
insegnato, seppure in tempi diversi, Erasmo da Rotterdam, Paracelso, diversi
membri della famiglia Bernoulli, Leonardo Eulero e Friedrich Nietzsche. Piรน
recentemente, Basilea ha acquisito un certo rilievo per il lavoro sviluppato sulla
medicina tropicale. La cittร รจ rinomata per il suo carnevale, per la manifestazione
di arte contemporanea denominata Art Basel e per la piรน importante fiera di
orologi e preziosi a livello mondiale.
Basilea, con oltre centosettantamila abitanti, rappresenta la terza cittร svizzera
per popolazione, dopo Zurigo e Ginevra.
Risolvere il problema di Basilea vuol dire determinare il valore a cui tende la
somma degli inversi di tutti i quadrati dei numeri naturali, cioรจ la somma della
serie
๐ = โ1
๐2
โ
๐=1
= 1 +1
22+
1
32+ โฏ .
3
Si osservi che le prime tre somme parziali valgono
๐1 = 1 , ๐2 = 1 +1
4=
5
4= 1.25 , ๐3 = 1 +
1
4+
1
9=
49
36= 1.361
e tanto basta per dimostrare che il valore numerico a cui tende la serie supera
lโunitร , per cui
๐ > 1 .
Pietro Mengoli
Bologna, 1626 โ Bologna, 7 giugno 1686
Il problema di Basilea รจ un problema ben conosciuto dagli analisti: fu proposto
per la prima volta da Pietro Mengoli, un matematico universitario bolognese
piuttosto conservatore, solo da poco riscoperto ed apprezzato. Studiรฒ Matematica
all'Universitร di Bologna, sotto la guida di Bonaventura Cavalieri, cui subentrรฒ nel
ruolo di docente a partire dal 1648. Due anni piรน tardi, nel 1650, ottenne il
4
dottorato in filosofia, sempre presso l'Universitร di Bologna, e nel 1653 riuscรฌ a
conseguirne uno in legge civile e canonica. Alcune sue importanti scoperte ebbero
una certa qual risonanza europea, sebbene venissero esposte in un latino
piuttosto astruso ed incomprensibile. A fianco degli studi matematici, perseguรฌ
anche la carriera ecclesiastica, venendo ordinato sacerdote: a partire dal 1660, fu
il parroco di Santa Maria Maddalena a Bologna.
Leonardo Eulero
Basilea, 15 aprile 1707 โ San Pietroburgo, 18 settembre 1783
Eulero, che era nato a Basilea, iniziรฒ molto giovane a meditare su questo
problema, con il quale si confrontรฒ da vari punti di vista. In un primo lavoro,
pubblicato nel 1731, egli ottenne unโapprossimazione numerica di ๐, migliore di
quelle ottenute per calcoli diretti, sommando un gran numero di termini. Qualche
anno dopo, precisamente nel 1735, allโetร di ventotto anni, riuscรฌ ad ottenere la
somma. Si trattava di un risultato sorprendente, dato che il problema aveva
resistito agli attacchi dei piรน grandi matematici dellโepoca.
5
Tuttavia, le considerazioni proposte da Eulero erano basate su passaggi non
completamente chiari, poichรฉ talvolta lโestro dei matematici geniali, sottoposto al
severo vaglio della comunitร degli studiosi, รจ fonte di polemiche ed
incomprensioni. Pur avendo fornito quattro dimostrazioni nel corso degli anni,
probabilmente nessuna di esse, tranne forse lโultima, oggi sarebbe accettata come
completamente rigorosa: tuttavia, lo slancio intellettuale di Eulero nella
risoluzione di questo problema รจ davvero mirabile e merita di essere ripercorso.
Bisognerร nondimeno attendere fino al 1741 per una dimostrazione rigorosa.
Oggi รจ ben noto che la somma della serie proposta รจ un numero irrazionale e,
parafrasando lo stesso Eulero, si puรฒ affermare che sei volte la somma di questa
serie รจ uguale al quadrato della lunghezza della circonferenza di un cerchio di
diametro unitario, vale a scrivere
6๐ = ๐2 โ ๐ =๐2
6โ 1.6449340668 .
Eulero รจ una figura chiave della Matematica del Settecento: รจ con molta
probabilitร il piรน grande fisico teorico del secolo e dovrebbe essere accostato ad
Archimede, Newton e Gauss. Quando Johann Bernoulli venne a conoscenza del
successo di Eulero, commentรฒ: ยซE cosรฌ viene soddisfatto lโardente desiderio di mio
fratello che, rendendosi conto che la ricerca di tale somma era piรน difficile di
quanto si sarebbe potuto pensare, confessava apertamente che tutti i suoi ferventi
sforzi erano stati vaniยป.
ร interessante notare che la serie di Basilea non รจ poi molto diversa dalla serie
armonica; ogni termine รจ il quadrato del termine corrispondente nella serie
armonica e, se si calcola il quadrato di un numero positivo inferiore allโunitร , si
ottiene un numero ancora piรน piccolo: ad esempio, il quadrato di un mezzo รจ un
quarto, che รจ piรน piccolo di un mezzo. Minore รจ il numero di partenza, piรน evidente
รจ lโeffetto: un quarto รจ solo di poco piรน piccolo di un mezzo, ma il quadrato di un
decimo รจ un centesimo, che รจ molto piรน piccolo di un decimo. Comunque, come
6
per ogni serie numerica che si rispetti, รจ necessario iniziare a studiarne la
convergenza, un compito che puรฒ essere assolto in modi assai diversi, come verrร
diffusamente mostrato in quel che segue.
La convergenza
Allโepoca di Eulero era ben noto, grazie ad una dimostrazione elaborata nel tardo
Medioevo, verso il 1350, dal monaco francese Nicolas Oresme, matematico, fisico,
astronomo ed economista, poi vescovo di Lisieux, che la serie armonica era
divergente.
Nicolas Oresme
Fleury-sur-Orne, 1323 โ Lisieux, 11 luglio 1382
Si sapeva, dunque, che la serie
โ1
๐
โ
๐=1
= 1 +1
2+
1
3+ โฏ = โ
7
era divergente. Si tratta di un risultato che per essere ottenuto richiese un grosso
sforzo intellettuale, dato che non รจ facile convincersi della divergenza di questa
serie solo con esperimenti numerici. La serie รจ detta armonica, dato che ogni suo
termine รจ la media armonica del termine che lo precede e di quello che lo segue,
essendo il suo inverso pari alla media aritmetica degli inversi dei due numeri
considerati.
Lโidea di base, per dimostrar la divergenza della serie armonica, รจ raggruppare, in
maniera opportuna, gli addendi, in modo che
โ1
๐
โ
๐=1
= 1 +1
2+ (
1
3+
1
4) + (
1
5+
1
6+
1
7+
1
8) + โฏ = 1 +
1
2+
7
12+
533
840+ โฏ .
Si nota che, dopo il terzo, ogni nuovo addendo, cosรฌ raggruppato, รจ sempre
maggiore di 1/2, sicchรฉ
โ1
๐
โ
๐=1
> 1 +1
2+
1
2+
1
2+ โฏ .
Dalla divergenza dellโultima serie scritta a destra, segue altresรฌ la divergenza della
serie armonica. La somma parziale ๐ โesima di questa serie รจ il cosiddetto
numero armonico di ordine ๐
๐ป(๐) = โ1
๐
๐
๐=1
= 1 +1
2+ โฏ +
1
๐ โ 1+
1
๐ .
Nonostante ciascuna di tali somme si ottenga dalla precedente addizionando un
termine via via piรน piccolo e convergente a zero, la successione delle somme
stesse, cioรจ la serie armonica, come si รจ mostrato, diverge positivamente.
8
Anche Mengoli produsse una dimostrazione della divergenza della serie armonica
e si tenga presente che, se si alternano secondo una data legge i segni dei diversi
addendi, la serie armonica puรฒ convergere. Ad esempio, una serie convergente,
basata sulla serie armonica, con correzione dei segni, fu trovata da Eulero nel
1748 e fornisce una rappresentazione di ๐
๐ = 1 +1
2+
1
3+
1
4โ
1
5+
1
6+
1
7+
1
8+
1
9โ
1
10+
1
11+
1
12โ
1
13+ โฏ ,
laddove i segni si determinano con il criterio che segue:
il numero 2 ha segno positivo;
i numeri primi della forma 4๐ โ 1 hanno segno positivo;
i numeri primi della forma 4๐ + 1 hanno segno negativo;
per i numeri composti il segno รจ il prodotto dei segni dei singoli fattori.
Tuttavia, non รจ troppo sperare che la serie di Basilea, composta di termini sempre
piรน piccoli, se confrontati con quelli dellโarmonica, converga. Il calcolo suggerisce
che รจ effettivamente cosรฌ ed i primi ricercatori iniziarono a determinare a mano
alcune somme parziali
๐๐ = โ1
๐2
๐
๐=1
con ๐ โฅ 1 .
La successione di queste somme parziali, come giร detto, parte da ๐1 = 1 e cresce
in maniera monotona, dato che
๐๐+1 = ๐๐ +1
(๐ + 1)2> ๐๐ per ๐ โฅ 1 .
9
Le somme parziali dei primi dieci, cento, mille, diecimila termini, troncate a
cinque decimali, sono riportate nella tabella precedente, allo scopo di mostrare
quanto sia lenta la convergenza, se risulta verificata, della serie. Sembra proprio
che la serie converga a un qualche numero compreso tra 1.644 e 1.645.
๐ 10 100 1000 10000
๐๐ 1.54977 1.63498 1.64393 1.64483
Ma verso quale numero tende la serie?
In situazioni del genere, i matematici non si accontentano di ottenere solo
unโapprossimazione, soprattutto quando la serie in esame converge piuttosto
lentamente, come in questo caso: la somma dei primi diecimila termini differisce
solo dello 0.006% dalla somma infinita. La risposta รจ forse una frazione o qualcosa
di piรน complicato, magari con una radice quadrata oppure una radice quinta. Un
profano potrebbe pensare che sia sufficiente conoscere una mezza dozzina di
decimali, ma i matematici vogliono conoscere esattamente il numero a cui
converge la serie. Fanno cosรฌ non solo perchรฉ sono bizzarri fino allโossessione, ma
perchรฉ sanno per esperienza che ottenere quel valore esatto puรฒ aprire porte
inaspettate, gettando nuova luce sulla Matematica sottostante. Il termine tecnico
matematico, usato per indicare questa rappresentazione esatta di un numero, รจ
forma chiusa. Una semplice approssimazione decimale, per quanto buona, รจ
comunque una forma aperta, come รจ il numero
1.6449340668 โฏ .
Si osservino con attenzione i tre puntini finali: essi dicono che il numero รจ aperto
allโestremitร destra e, volendo, si puรฒ sempre pensare di calcolare qualche cifra in
piรน. Questo era dunque il problema di Basilea: trovare una forma chiusa per la
serie dei quadrati reciproci, un problema che, come si รจ giร avuto modo di
10
osservare, venne risolto nel 1735, quarantasei anni dopo il suo enunciato, dal
giovane Eulero, che lavorava duramente a San Pietroburgo.
Prima perรฒ di esaminare come Eulero lo risolse, รจ opportuno discutere la
convergenza delle somme parziali, dimostrando, come richiesto ad esempio nel
secondo quesito alla Scuola Normale Superiore di Pisa nel 1992 per lโammissione
alle classi di Chimica e Biologia, che la somma
๐๐ = 1 +1
22+
1
32+ โฏ +
1
๐2
รจ minore di 2, quale che sia lโintero positivo ๐. Per provare questa affermazione,
si puรฒ procedere almeno lungo tre direttrici parallele.
๐ Una prima strada parte dalla considerazione che
๐(๐ โ 1) < ๐2 < ๐(๐ + 1) per ๐ โฅ 2 ,
che consente di scrivere
1 + โ1
๐(๐ + 1)
๐
๐=2
< ๐๐ = โ1
๐2
๐
๐=1
< 1 + โ1
๐(๐ โ 1)
๐
๐=2
per ๐ > 1 .
Ora, le due sommatorie limitanti, superiormente ed inferiormente, si possono
facilmente calcolare, essendo somme telescopiche di Mengoli
โ1
๐(๐ + 1)
๐
๐=2
= โ (1
๐โ
1
๐ + 1)
๐
๐=2
=1
2โ
1
๐ + 1 ,
โ1
๐(๐ โ 1)
๐
๐=2
= โ (1
๐ โ 1โ
1
๐)
๐
๐=2
= 1 โ1
๐ .
11
Si conclude allora che
3
2โ
1
๐ + 1< ๐๐ < 2 โ
1
๐< 2 per ๐ โฅ 2 ,
cioรจ esistono un maggiorante ed un minorante per la successione delle somme
parziali e che, pertanto, la serie converge.
Vale la pena notare che le due disuguaglianze appena scritte possono essere
facilmente ottenute ed interpretate anche per mezzo del calcolo integrale.
Precisamente, utilizzando il cosiddetto criterio dellโintegrale, si possono scrivere
le limitazioni per le somme parziali
1 + โซ๐๐ฅ
(๐ฅ + 1)2
๐
1
๐๐ฅ =3
2โ
1
๐ + 1< ๐๐ < 1 + โซ
๐๐ฅ
๐ฅ2
๐
1
= 2 โ1
๐< 2 ,
come รจ possibile convincersi osservando la figura che segue, in cui sono state
rappresentate le funzioni
๐ฆ =1
๐ฅ2 [linea blu] , ๐ฆ =
1
(๐ฅ + 1)2 [linea rossa] .
I rettangoli colorati riproducono i primi termini della serie: essi hanno sempre
una base di lunghezza unitaria ed unโaltezza variabile, che si ottiene campionando
le due funzioni, rispettivamente nellโestremo inferiore e nellโestremo superiore di
ciascun intervallo. In particolare, per il primo intervallo risulta ๐ด1 = 1, mentre per
il secondo si ha che a ๐ด2 = 1/4. Ripetendo piรน volte questo ragionamento, รจ
evidente che si ottiene il risultato riportato, cioรจ che la somma risulta sempre
confinata tra le aree rappresentate dalle aree sottese dalle due funzioni.
12
๐ La seconda maniera di provare la convergenza della serie di Basilea si basa
sullโosservazione che una frazione contenente una potenza di due puรฒ essere
sostituita a ciascuna frazione non contenente una potenza di due. Si puรฒ, ad
esempio, scrivere
1
32<
1
22 ,
1
52<
1
42 .
In tal modo, si ottiene una serie che ha somme parziali sempre superiori alla serie
data, vale a scrivere
๐ = โ1
๐2
โ
๐=1
< 1 +1
22+
1
22+
1
42+
1
42+
1
42+
1
42+
1
82+
1
82+ โฏ .
Sommando i termini simili, si ottiene
๐ < 1 +2
22+
4
42+
8
82+
16
162+ โฏ ,
cioรจ una serie geometrica di ragione โ = 1/2, per cui risulta
13
๐ < 1 +1
2+
1
22+
1
23+
1
24+
1
25+ โฏ = โ
1
2๐
โ
๐=0
=1
1 โ12
= 2 .
๐ Essendo inefficaci, per la serie in esame sia il criterio del rapporto che quello
della radice, si puรฒ pensare si utilizzare il criterio dovuto al matematico svizzero
Raabe, il quale, nato da genitori abbastanza poveri, fu costretto a guadagnarsi da
vivere sin da molto piccolo dando lezioni private. Portรฒ diversi contributi al
calcolo infinitesimale e studiรฒ anche alcune questioni di Astronomia. ร anche
conosciuto per lโintegrale della funzione gamma
โซ log ฮ(๐ก)๐+1
๐
๐๐ก =1
2log(2๐) + ๐ log ๐ โ ๐ , ๐ โฅ 0 .
Joseph Ludwig Raabe
Brody (Galizia), 15 maggio 1801 โ Zurigo, 22 gennaio 1859
Per la generica serie a termini positivi
14
๐ด = โ ๐๐
โ
๐=1
,
introdotto il limite
๐ฟ = lim๐โโ
[๐ (๐๐
๐๐+1โ 1)] ,
il criterio di Raabe stabilisce che si possono presentare le tre situazioni:
1) se ๐ฟ > 1, allora la serie converge,
2) se ๐ฟ < 1, allora la serie diverge,
3) se ๐ฟ = 1, nulla si puรฒ concludere sul comportamento della serie.
Per la serie di Basilea, essendo il generico addendo positivo ed pari a ๐๐ = 1/๐2,
si puรฒ scrivere che
๐ฟ = lim๐โโ
[๐ (๐๐
๐๐+1โ 1)] = lim
๐โโ[๐
(๐ + 1)2
๐2โ ๐] = lim
๐โโ(
2๐ + 1
๐) = 2 > 1
e concludere che la serie converge.
In definitiva, si puรฒ die che si รจ pervenuti, in diverse maniere, alla conclusione che
la serie di Basilea converge e che il suo valore numerico รจ compreso tra i due
estremi
3
2< ๐ < 2 .
Con gli estremi cosรฌ trovati si puรฒ determinare una stima piuttosto grossolana del
valore della serie e soltanto considerazioni piรน raffinate, che stanno per essere
15
sviluppate, consentiranno di ottenere una migliore approssimazione e poi il
valore esatto.
La velocitร di convergenza
Dopo aver dimostrato in diverse maniere che la serie di Basilea รจ convergente,
sorge spontanea la domanda successiva: quanto velocemente la successione delle
somme parziali tende al valore limite?
Se si riporta in un grafico, come quello della figura che segue, lโandamento delle
prime duecento somme parziali, ad esempio, ci si rende immediatamente conto di
essere ancora piuttosto lontani dal valore asintotico previsto: ciรฒ indica una certa
lentezza nella convergenza della serie. Per comprendere appieno quanto appena
detto, รจ necessario stimare la differenza
๐ โ ๐๐ =๐2
6โ ๐๐ = โ
1
๐2
โ
๐=๐+1
= ๐ ๐ ๐ โ โ ,
ovverosia determinare la successione dei resti ๐ ๐.
16
Ottenere questa stima รจ molto semplice, se si utilizza la tecnica del confronto con
lโintegrale, peraltro giร usata in precedenza. Si puรฒ arrivare ai due limiti, superiore
ed inferiore, per il resto, scrivendo che
โซ๐๐ฅ
๐ฅ2
โ
๐+1
=1
๐ + 1< ๐ ๐ < โซ
๐๐ฅ
๐ฅ2
โ
๐
=1
๐ .
Da ciรฒ discende che la serie in esame non converge troppo rapidamente: se si
sommano mille termini, si ottiene un errore sulla terza cifra decimale, mentre la
somma del primo milione di termini addendi produce un errore sulla sesta cifra
decimale. Tuttavia, sommando un milione di termini, si assiste, con gran sorpresa,
ad un evento veramente strano. Si confrontino i due risultati, quello esatto e
quello approssimato al primo milione di addendi, limitatamente alle prime 45
cifre:
๐2
6= 1.644934066848226436472415166646025189218949901 ,
โ1
๐2
106
๐=1
= 1.644933066848726436305748499979391855885616544 .
La sesta cifra dopo la virgola รจ errata, come era prevedibile, ma le sei cifre
successive sono giuste. Poi, si trova ancora una cifra sbagliata ed altre cinque cifre
corrette. Questa sorprendente scoperta รจ stata fatta nel 1988 e rappresenta
qualcosa di troppo strano per essere una pura coincidenza. Uno sguardo al
termine di errore, sempre limitatamente alle prime 45 cifre,
๐ 106 = 0.000000999999500000166666666666633333333333357
rivela lโesistenza di una trama curiosa e ben nascosta.
17
La dimostrazione di Eulero
La dimostrazione proposta da Eulero รจ tanto ingegnosa quanto originale.
Tuttavia, essa utilizza le regole dei polinomi finiti, come se fossero valide anche
per le serie infinite, unโargomentazione che avrebbe richiesto una dimostrazione.
Anche senza questa giustificazione, semplicemente ottenendo un valore prossimo
a quello fornito dal calcolo numerico, egli poteva essere piuttosto sicuro della
correttezza del suo risultato.
Per seguire la dimostrazione di Eulero, bisogna ricordare lo sviluppo in serie di
Maclaurin della funzione seno
sin ๐ฅ = โ(โ1)๐๐ฅ2๐+1
(2๐ + 1)!
โ
๐=0
= ๐ฅ โ๐ฅ3
3!+
๐ฅ5
5!โ
๐ฅ7
7!+ โฏ ,
da cui, dividendo membro a membro per ๐ฅ, si ricava
sin ๐ฅ
๐ฅ= โ(โ1)๐
๐ฅ2๐
(2๐ + 1)!
โ
๐=0
= 1 โ๐ฅ2
3!+
๐ฅ4
5!โ
๐ฅ6
7!+ โฏ .
Si assuma poi, proprio qui sta lo slancio geniale ed imprevedibile di Eulero, che
sia possibile esprimere questa funzione come un prodotto infinito di fattori
lineari, uno per ogni radice, creando un polinomio di grado infinito, come si
farebbe per un numero finito di radici. Si scrive allora il polinomio
sin ๐ฅ
๐ฅ= (1 โ
๐ฅ
๐) โ (1 +
๐ฅ
๐) โ (1 โ
๐ฅ
2๐) โ (1 +
๐ฅ
2๐) โ โฏ ,
ovvero la forma equivalente
18
sin ๐ฅ
๐ฅ= (1 โ
๐ฅ2
๐2) โ (1 โ
๐ฅ2
4๐2) โ โฏ .
Effettuando il prodotto di tutti questi fattori e concentrandosi sul solo temine di
secondo grado, che nello sviluppo in serie vale โ1/6, si ottiene il risultato
desiderato
โ1
๐2(1 +
1
22+
1
32+ โฏ ) = โ
1
6 โ ๐ =
๐2
6 .
Che bella dimostrazione: un volo meraviglioso ed altissimo che perรฒ si scontra
con il rigore matematico! Eulero afferma in effetti lโequivalenza tra lo sviluppo in
serie ed il prodotto di infinite radici, ma si trova di fronte ad un imbarazzante
dilemma: anche la funzione
โ(๐ฅ) = e๐ฅsin ๐ฅ
๐ฅ
presenta le stesse radici e lo stesso valore in ๐ฅ = 0, ma non ne รจ certamente
equivalente a quella in esame. Benchรฉ ai suoi tempi non sembra siano state
sollevate obiezioni cosรฌ precise, pare certo che Eulero si rendesse conto che cโera
qualcosa di misterioso e di incompiuto in alcuni passaggi cruciali. Lo prova il fatto
che ritornรฒ piรน volte sullโargomento, tentando, invero senza molto successo, di
trovare una giustificazione rigorosa della tecnica del prodotto infinito. Ben coscio
della debolezza del metodo, Eulero confidava nella correttezza del risultato cui
era pervenuto: la sua convinzione si poggiava su unโaccurata stima numerica che
aveva intrapreso qualche anno prima, mentre lavorava al problema
dellโinterpolazione della serie, la cui esposizione si trova nel De summatione
innumerabilium progressionum del 1730. Lโelegante soluzione rappresenta
dunque una testimonianza della genialitร del suo autore, ma fu anche il frutto di
19
un duro ed oscuro lavoro di calcolo numerico, condotto nel corso di alcuni anni in
modo paziente e meticoloso. Le sorprendenti concordanze che via via
emergevano dai calcoli furono di grande incoraggiamento per Eulero,
inducendolo ad impiegare gli strumenti dellโindagine analitica nella ricerca di
dipendenze, prima di allora insospettate, tra la somma infinita dei reciproci dei
quadrati degli interi positivi e le funzioni circolari.
Ma allora in che modo รจ possibile rendere rigoroso questo ragionamento? Vi sono
altri modi di risolvere il problema di Basilea?
Eulero non risolse il dilemma, ma fornรฌ come sottoprodotto, sempre utilizzando
le medesime argomentazioni, altre due somme
โ1
๐4
โ
๐=1
=๐4
90 , โ
1
๐6
โ
๐=1
=๐6
945 .
Le argomentazioni di Eulero forniscono una risposta per ogni somma di potenze
inverse pari; egli stesso, in una pubblicazione successiva, esplicitรฒ i calcoli fino
alla potenza inversa ventiseiesima
โ1
๐26
โ
๐=1
=1 315 8627 ๐26
11 094 481 976 030 578 125 .
Piรน in generale, Eulero stesso provรฒ che
โ1
๐2๐
โ
๐=1
= (โ1)๐+1(2๐)2๐
2 (2๐)!๐ต2๐ ,
dove ๐ต2๐ sono i numeri oggi detti di Bernoulli, che possono anche essere definiti,
usando una funzione generatrice esponenziale, per mezzo della formula
20
๐ฅ
e๐ฅ โ 1= โ ๐ต๐
โ
๐=0
๐ฅ๐
๐! ,
vale a dire una uguaglianza fra serie formali di potenze, che hanno un raggio di
convergenza minore di 2๐. Nella tabella che segue sono riportati, quale esempio,
i primi sette numeri di Bernoulli.
๐ 0 1 2 3 4 5 6
๐ต๐ 1 โ1/2 1/6 0 โ1/30 0 1/42
Dalla formula riportata si evince che, una volta provato che una qualsiasi potenza
intera di ๐ รจ irrazionale, segue che anche tutte le somme lo sono. Non รจ stato
invece compiuto alcun passo nella determinazione di una forma chiusa della
somma degli inversi dei quadrati degli interi dispari
โ1
๐2๐+1
โ
๐=1
โ ancora sconosciuta in forma chiusa ,
che rappresenta un problema aperto. Nel caso particolare ๐ = 1, la precedente
somma viene detta costante di Apรฉry e si tratta di un numero irrazionale che
rappresenta una quantitร che si incontra in una grande varietร di situazioni
1 +1
23+
1
33+
1
43+ โฏ = 1.20205690315959428539 โฏ .
Si conoscono rappresentazioni di questa costante in grado di fornire molti milioni
di cifre significative. La dimostrazione originale di Apรฉry, tuttavia, รจ piuttosto
complessa ed รจ difficile coglierne le linee essenziali; negli anni successivi, sono
state trovate dimostrazioni piรน brevi che si servono dei polinomi di Legendre.
21
Nato a Rouen da madre francese e padre greco, Roger Apรฉry studiรฒ presso l'รcole
Normale Supรฉrieure, con un anno d'interruzione degli studi in quanto prigioniero
di guerra durante la Seconda Guerra Mondiale. Nel 1949 diventรฒ professore
presso l'Universitร di Caen, dove rimase fino alla pensione. Morรฌ dopo lunga
malattia nel 1994.
Roger Apรฉry
Rouen, 14 novembre 1916 โ Caen, 18 dicembre 1994
La costante prende il nome da questo matematico ed attivista politico francese,
che nel 1977 ha dimostrato che essa รจ un numero irrazionale. La sola cosa che
certamente si puรฒ dire รจ che
0 < โ1
๐3
โ
๐=1
< โ1
๐2
โ
๐=1
=๐2
6 .
Il reciproco della costante, pari a circa 0.8319073726, รจ la probabilitร che tre
interi minori di ๐ scelti a caso non abbiano divisori comuni, per ๐ tendente a
22
infinito. Eulero stesso non riuscรฌ a risolvere in forma chiusa questo problema: il
meglio che riuscรฌ a fare fu dimostrare che
โ(โ1)๐
(2๐ + 1)3
โ
๐=0
= 1 โ1
27+
1
125โ โฏ =
๐3
32 .
Una curiositร prima di terminare questo paragrafo. La tomba di Roger Apรฉry si
trova nel monumentale cimitero parigino di Pรจre Lachaise e sulla lapide, oltre alle
date di nascita e di morte, รจ riportato anche il risultato piรน importante da lui
ottenuto
1 +1
8+
1
27+
1
64+ โฏ โ
๐
๐ ,
vale a dire lโirrazionalitร della somma dei reciproci dei cubi degli interi positivi.
23
Una approssimazione di questa costante, che fornisce otto cifre decimali esatte, รจ
stata trovata da M. Hudson nel 2004
โ1
๐3
โ
๐=1
โ (๐2 + ๐)69
962 = 1.202056945493 โฏ .
Unโinterpretazione geometrica
Quando Eulero risolse il problema di Basilea era la prima volta che il valore di ๐
appariva in una circostanza che non fosse collegata ad un problema geometrico e
la soluzione ๐2/6 emanava un fortissimo profumo geometrico. Persino la prova
piรน elementare del problema di Basilea comporta, come si avrร modo di discutere
ampiamente, diversi passaggi, non proprio elementari e poco geometrici. Inoltre,
il problema generale non รจ ancora stato compreso appieno, come รจ evidente dalla
considerazione che una formula per la somma dei reciproci delle potenze dispari
รจ sconosciuta e rappresenta un tema tuttora caldo. Non รจ nemmeno detto che una
soluzione puramente geometrica del problema di Basilea sia banale oppure
elementare; tuttavia, essa potrebbe fornire approfondimenti che non appaiono
evidenti in dimostrazioni non geometriche. Le considerazioni che seguono sono
un tentativo di gettare una luce sullโinterpretazione geometrica della soluzione,
un ponte di collegamento tra due diverse sponde della Matematica.
Si consideri, per questo scopo, la funzione reale
๐ฆ =1
โ2(1 + ๐ฅ6)= ๐(๐ฅ) .
Si tratta di una funzione pari, priva di discontinuitร , che ha, come asintoto
orizzontale, proprio lโasse delle ascisse. Essa รจ sempre positiva ed assume il suo
24
valore massimo nellโorigine, dove vale ๐(0) = 1/โ2 ed il grafico รจ mostrato nella
figura che segue.
Si supponga poi di far ruotare completamente attorno allโasse ๐ฅ la parte di grafico
relativa ai valori positivi dellโascissa e di voler calcolare il volume del solido cosรฌ
generato. Si domanda anzitutto: cosa rappresenta questo solido?
Nella rotazione si otterrร , in buona sostanza, una coppa di champagne, almeno la
coppa vera e propria, dato che la base รจ stata, nella figura in precedenza riportata,
25
aggiunta solo per completezza. Se lo stelo รจ esteso fino a diventare infinitamente
lungo, il volume della coppa vale
๐ = ๐ โซ ๐2(๐ฅ)โ
0
๐๐ฅ = ๐ โซ๐๐ฅ
2(1 + ๐ฅ6)
โ
0
,
da cui, scomponendo in fratti semplici lโintegrale, si perviene al risultato
๐ =๐
24[โ3 ln
๐ฅ2 + ๐ฅโ3 + 1
๐ฅ2 โ ๐ฅโ3 + 1+ 2 tanโ1(2๐ฅ โ โ3) + 2 tanโ1(2๐ฅ + โ3)
+ 4 tanโ1 ๐ฅ]0
โ
=๐
24(๐ + ๐ + 2๐) =
๐2
6 ,
cioรจ si ottiene ancora una volta il valore della serie di Basilea.
In pratica, una coppa di champagne commerciale ha un volume che vale circa
150 ๐๐ ed un peso di circa 170 ๐. Da oggi in poi, bere in una coppa di champagne
non avrร piรน lo stesso sapore!
Lโirrazionalitร del risultato
Si รจ giร avuto modo di dimostrare che il valore della serie di Basilea รจ un numero
irrazionale. Ma come si prova lโirrazionalitร di ๐2?
La domanda non รจ affatto banale, dato che, se รจ vero che โ2 รจ irrazionale, รจ pur
vero che il suo quadrato non lo รจ. Pertanto, non รจ affatto detto che il quadrato di
un numero irrazionale sia anchโesso irrazionale ed il dubbio potrebbe
giustamente assalire il lettore.
Tra le dimostrazioni dellโirrazionalitร di ๐2 spicca, per semplicitร , quella proposta
dal matematico canadese ed americano Ivan Niven alla fine degli anni Quaranta
del secolo scorso, che qui viene riproposta con la semplice aggiunta di qualche
26
dettaglio. Per la veritร , Niven in un articolo magistrale lungo appena una pagina,
che andrebbe studiato da tutti coloro che veramente amano la Matematica,
dimostra lโirrazionalitร di ๐. Nella convinzione che la Matematica, come lโAmore,
non si apprende dai libri, ma con la pratica, di seguito, seguendo la stessa linea di
pensiero, si dimostrerร lโirrazionalitร di ๐2.
Ivan Morton Niven
25 ottobre 1915, Vancouver, Canada โ 9 maggio 1999, Eugene, Oregon, USA
Si supponga, per assurdo, che esistano due interi positivi coprimi, che si
indicheranno con ๐ e ๐, per cui risulti
๐2 =๐
๐ .
Si introducano inoltre un intero positivo ๐, il cui valore verrร specificato nel
prosieguo, e la funzione polinomiale cosรฌ definita
27
๐(๐ฅ) =๐ฅ๐(1 โ ๐ฅ)๐
๐!=
1
๐!โ (
๐๐
)
๐
๐=0
(โ1)๐ ๐ฅ๐+๐ .
Ad essa รจ collegata anche una seconda funzione
๐น(๐ฅ) = ๐๐ โ(โ1)๐
๐
๐=0
๐2(๐โ๐)๐(2๐)(๐ฅ) ,
che si ottiene come una combinazione lineare delle derivate della prima. Poichรฉ
๐(๐ฅ) รจ un polinomio di 2๐ โesimo grado nella variabile ๐ฅ, la sua derivata
๐ โesima รจ identicamente nulla per ogni intero ๐ > 2๐. Ancora, per ogni ๐ < ๐,
risulta ๐(๐)(0) = 0, dato che ๐ il minimo esponente con cui compare ๐ฅ nella
funzione. Allora, si puรฒ facilmente ottenere la derivata
๐(๐)(๐ฅ) =1
๐!โ (
๐๐
)
๐
๐=๐โ๐
(๐ + ๐)!
(๐ + ๐ โ ๐)! (โ1)๐ ๐ฅ๐+๐โ๐ (๐ โค ๐ โค 2๐)
e valutarla in ๐ฅ = 0
๐(๐)(0) =(โ1)๐โ๐
๐!(
๐๐ โ ๐
) ๐! โ โค per ๐ โค ๐ โค 2๐ ,
stabilendo che essa รจ rappresentata da un numero intero. In ogni caso, si puรฒ
concludere sinteticamente che
๐(๐)(0) โ โค per ๐ โ โ .
Dopodichรฉ, dato che sussiste la relazione di simmetria
28
๐(1 โ ๐ฅ) = ๐(๐ฅ) ,
si conclude che deve anche essere
๐(๐)(1) โ โค per ๐ โ โ .
Sono altresรฌ interi relativi ๐น(0) e ๐น(1), dato che, per lโipotesi di assurdo, si puรฒ
scrivere
๐น(0) = โ(โ1)๐
๐
๐=0
๐๐โ๐๐๐๐(2๐)(0) ,
๐น(1) = โ(โ1)๐
๐
๐=0
๐๐โ๐๐๐๐(2๐)(1) .
Oltre a ciรฒ, ricordando che
๐(2๐+2)(๐ฅ) = 0 ,
si puรฒ scrivere la relazione differenziale
๐
๐๐ฅ[๐๐น(๐ฅ)
๐๐ฅsin(๐๐ฅ) โ ๐๐น(๐ฅ) cos(๐๐ฅ)] = ๐2๐๐๐(๐ฅ) sin(๐๐ฅ) ,
da cui discendono ovviamente gli integrali
๐๐๐ โซ ๐(๐ฅ) sin(๐๐ฅ)1
0
๐๐ฅ = ๐น(0) + ๐น(1) โ โค .
Ebbene, sussistendo la maggiorazione
29
0 < ๐(๐ฅ) <1
๐! per 0 โค ๐ฅ โค 1 ,
si ricava che gli integrali precedenti sono dei numeri interi ed appartengono
allโintervallo
๐๐๐ โซ ๐(๐ฅ) sin(๐๐ฅ)1
0
๐๐ฅ โ (0,๐๐
๐!) โฉ โค .
Dโaltra parte, in forza del limite notevole
lim๐โโ
๐๐
๐!= 0 ,
si puรฒ affermare che, a partire da un valore di ๐, grande quanto si vuole, si deve
verificare che
0 <๐๐
๐!< 1 .
Si รจ, pertanto, pervenuti alla conclusione
๐๐๐ โซ ๐(๐ฅ) sin(๐๐ฅ)1
0
๐๐ฅ โ (0,1) โฉ โค per ๐ โฅ ๐ ,
palesemente assurda, non esistendo interi nellโintervallo (0, 1). Questo dimostra
che non possono esistere i due interi ๐ e ๐ e quindi che il valore di ๐2, ma anche
quello di ๐, deve essere un numero irrazionale. Una dimostrazione veramente
semplice ed elegante, degna del genio di Eulero.
30
Le somme dei soli pari e dei soli dispari
Noto il valore della somma di Basilea ๐, non รจ difficile ottenere le somme dei
quadrati dei soli interi pari ๐๐ e dei soli interi dispari ๐๐ท, cosรฌ definite
๐๐ = โ1
(2๐)2
โ
๐=1
, ๐๐ท = โ1
(2๐ โ 1)2
โ
๐=1
.
Si osserva anzitutto che deve essere
๐๐ + ๐๐ท = ๐ =๐2
6 .
Inoltre, il valore della somma dei soli pari รจ
๐๐ = โ1
(2๐)2
โ
๐=1
=1
4โ
1
๐2
โ
๐=1
=๐
4=
๐2
24 .
Segue che la somma dei dispari si ottiene per differenza, per cui
๐๐ท = ๐ โ ๐๐ = ๐ โ๐
4=
3
4๐ =
๐2
8 .
Si puรฒ allora concludere che la somma degli inversi dei quadrati dei numeri pari
e dispari rappresentano, rispettivamente, un quarto e tre quarti della somma
totale ๐.
Con le somme a disposizione, รจ possibile anche determinare la somma dei
quadrati degli interi con segno alternante, vale a dire
31
๐๐ด = โ(โ1)๐โ1
๐2
โ
๐=1
= 1 โ1
22+
1
32โ
1
42+
1
52โ โฏ .
Basta osservare che
๐๐ด = ๐๐ท โ ๐๐ =๐2
8โ
๐2
24=
๐2
12 .
A questo punto, risulta veramente difficile resistere alla tentazione di presentare
unโaltra dimostrazione elementare e rigorosa, che possa sanare le incongruenze
mostrate nella dimostrazione di Eulero: nel prossimo paragrafo, lโarcano verrร
finalmente svelato.
Una dimostrazione rigorosa
Prima di intraprendere dimostrazioni basate su concetti non proprio elementari,
รจ indispensabile presentare una dimostrazione elementare e rigorosa del
risultato
๐ = โ1
๐2
โ
๐=1
= 1 +1
22+
1
32+ โฏ =
๐2
6 .
Essa apparve per la prima in una serie di esercizi in un libro di problemi dei
gemelli Akiva e Isaak Yaglom, la cui edizione russa originale risale al 1954.
Versioni di questa splendida dimostrazione furono riscoperte e presentate a piรน
riprese negli anni Settanta ed Ottanta del secolo passato. Il nocciolo della
dimostrazione si basa su una relazione notevole, che sussiste tra i valori della
funzione cotangente al quadrato. Precisamente, si puรฒ dimostrare che, per ogni
intero ๐ โฅ 1, vale la relazione
32
โ cot2๐๐
2๐ + 1
๐
๐=1
=๐(2๐ โ 1)
3 .
Per valori non troppo elevati di ๐ questa somma puรฒ anche essere verificata, a
mano o con lโuso di un calcolatore, ed i primi tre valori sono riportati nella tabella
che segue.
๐ = 1 cot2๐
3=
1
3
๐ = 2 cot2๐
5+ cot2
2๐
5= 2
๐ = 3 cot2๐
7+ cot2
2๐
7+ cot2
3๐
7= 5
Il lettore che fosse interessato alla dimostrazione generale puรฒ studiare quella
dettagliatamente discussa in Appendice.
A partire da questa relazione, servendosi della identitร goniometrica
cot2 ๐ฅ =cos2 ๐ฅ
sin2 ๐ฅ=
1 โ sin2 ๐ฅ
sin2 ๐ฅ= csc2 ๐ฅ โ 1 ,
se ne puรฒ ricavare unโaltra che coinvolge i quadrati della funzione cosecante
โ csc2๐๐
2๐ + 1
๐
๐=1
= โ 1
๐
๐=1
+ โ cot2๐๐
2๐ + 1
๐
๐=1
= ๐ +๐(2๐ โ 1)
3 ,
da cui discende immediatamente la somma
33
โ csc2๐๐
2๐ + 1
๐
๐=1
=2๐(๐ + 1)
3 .
Se si osserva poi che lโargomento delle funzioni goniometriche delle due
precedenti sommatorie รจ superiormente ed inferiormente limitato
0 < ๐ฅ๐ =๐๐
2๐ + 1<
๐
2 per ๐ = 1, 2, โฏ , ๐ ,
si puรฒ affermare che si รจ sempre in presenza di angoli del primo quadrante.
Orbene, nel primo quadrante รจ verificata la catena di disuguaglianze
sin ๐ฅ โค ๐ฅ โค tan ๐ฅ ,
come รจ ben noto e come prova la figura di seguito riportata, in cui la funzione seno
รจ riportata in blu, la bisettrice รจ in rosso, la tangente รจ in verde.
34
Essendo nel primo quadrante, tutte le funzioni goniometriche sono positive e si
puรฒ anche scrivere
sin2 ๐ฅ โค ๐ฅ2 โค tan2 ๐ฅ ,
da cui, prendendo gli inversi, si ottiene una nuova catena di disuguaglianze
cot2 ๐ฅ โค1
๐ฅ2โค csc2 ๐ฅ .
Questโultima catena di disuguaglianze, applicata al generico addendo delle due
somme riportate, consente di acquisire i due estremi
cot2๐๐
2๐ + 1โค
(2๐ + 1)2
(๐๐)2โค csc2
๐๐
2๐ + 1 per ๐ = 1, 2, โฏ , ๐ .
Sommando allora membro a membro, si ricava che
๐(2๐ โ 1)
3โค โ
(2๐ + 1)2
(๐๐)2
๐
๐=1
โค2๐(๐ + 1)
3 ,
cioรจ una relazione che, dopo qualche elementare manipolazione algebrica,
diventa
๐2
3
๐(2๐ โ 1)
(2๐ + 1)2โค โ
1
๐2
๐
๐=1
โค๐2
3
2๐(๐ + 1)
(2๐ + 1)2 .
La somma parziale ๐๐ risulta, in tal modo, limitata tra due estremi che, al tendere
allโinfinito di ๐, convergono verso lo stesso limite
35
๐ =๐2
6 .
Si รจ, in definitiva, ottenuto il valore della somma di Basilea, seguendo
ragionamenti elementari e rigorosi. ร giusto, a questo punto, domandarsi se esiste
una diversa dimostrazione che non faccia uso soltanto di concetti elementari: ve
ne sono diverse e verranno proposte nei paragrafi che seguono.
Usando una somma telescopica
Una somma telescopica รจ unโespressione informale, giร adoperata per lo studio
della convergenza, per indicare una somma del tipo
โ(๐๐+1 โ ๐๐)
๐
๐=1
= ๐๐+1 โ ๐1 .
Ad esempio, si puรฒ dire che la somma di Mengoli vale
โ1
๐(๐ + 1)
๐
๐=1
= โ (1
๐โ
1
๐ + 1)
๐
๐=1
= 1 โ1
๐ + 1 .
In questo paragrafo verrร elaborata una nuova dimostrazione della serie di
Basilea, che adopera le somme telescopiche. Allo scopo, si introducono gli
integrali
๐ด๐ = โซ cos2๐ ๐ฅ๐/2
0
๐๐ฅ , ๐ต๐ = โซ ๐ฅ2 cos2๐ ๐ฅ๐/2
0
๐๐ฅ per ๐ โ โค โฅ 0 ,
36
che definiscono due successioni di numeri reali positivi. Ad esempio, รจ facile
verificare che esse cominciano dai valori
๐ด0 = โซ ๐๐ฅ๐/2
0
=๐
2 , ๐ต0 = โซ ๐ฅ2
๐/2
0
๐๐ฅ =๐3
24 .
Ebbene, adoperando la tecnica di integrazione per parti e lโidentitร pitagorica, รจ
possibile scrivere le formule di ricorrenza
๐ด๐ =2๐ โ 1
2๐๐ด๐โ1 , ๐ด๐ = (2๐ โ 1)๐๐ต๐โ1 โ 2๐2๐ต๐ .
Isolando il termine in ๐2 dalla seconda e sostituendo la prima, si ottiene
1
๐2=
(2๐ โ 1)๐ต๐โ1
๐๐ด๐โ
2๐ต๐
๐ด๐=
2๐ต๐โ1
๐ด๐โ1โ
2๐ต๐
๐ด๐ .
Sommando membro a membro, si puรฒ scrivere una somma telescopica
โ1
๐2
๐
๐=1
= โ (2๐ต๐โ1
๐ด๐โ1โ
2๐ต๐
๐ด๐)
๐
๐=1
=2๐ต0
๐ด0โ
2๐ต๐
๐ด๐ ,
valida per tutti i valori interi ๐ โฅ 1. Risulta allora
โ1
๐2
๐
๐=1
=๐2
6โ
2๐ต๐
๐ด๐ โ
๐2
6โ โ
1
๐2
๐
๐=1
=2๐ต๐
๐ด๐โฅ 0 .
Infine, dal momento che sussiste la disuguaglianza
37
sin ๐ฅ โฅ2
๐๐ฅ per 0 โค ๐ฅ โค
๐
2 ,
vale il limite superiore
๐ต๐ = โซ ๐ฅ2 cos2๐ ๐ฅ๐/2
0
๐๐ฅ โค๐2
4โซ sin2 ๐ฅ cos2๐ ๐ฅ
๐2
0
=๐2
4(๐ด๐ โ ๐ด๐+1) .
Ricordando la relazione ricorsiva che collega gli integrali ๐ด๐, risulta ancora
๐ต๐ โค๐2
4(๐ด๐ โ ๐ด๐+1) =
๐2
4๐ด๐ (1 โ
2๐ + 1
2๐ + 2) =
๐2
4
๐ด๐
2(๐ + 1) ,
dalla quale discende che la stima del termine del resto
38
0 โค๐2
6โ โ
1
๐2
๐
๐=1
โค๐2
4(๐ + 1) .
Il valore della serie di Basilea segue immediatamente nel limite ๐ โ โ.
Nel paragrafo successivo si mostrerร come anche il calcolo integrale possa aiutare
a risolvere il problema di Basilea.
Un integrale reale con valore immaginario
La dimostrazione che viene ora proposta si basa sullo studio delle proprietร
dellโintegrale
๐ผ = โซ ln(2 cos ๐ฅ)๐/2
0
๐๐ฅ
e porterร al calcolo della serie degli inversi dei quadrati degli interi dispari. Per
spiegare chiaramente il metodo che si vuole seguire, nella figura che segue la
funzione integranda รจ stata rappresentata: si noti che lโintegrale
๐ผ1 = โซ ln(2 cos ๐ฅ)๐/3
0
๐๐ฅ > 0
รจ sicuramente positivo, mentre la rimanente parte
๐ผ2 = ๐ผ โ ๐ผ1 = โซ ln(2 cos ๐ฅ)
๐2
๐3
๐๐ฅ < 0
39
assume valore negativo. In realtร come si avrร modo di discutere in dettaglio,
questi due integrali sono uguali ed opposti e, pertanto, lโintegrale complessivo
assumerร valore nullo.
Questa dimostrazione fu proposta agli inizi degli anni Novanta dal matematico
canadese Dennis C. Russel e si basa su alcune manipolazioni che non avrebbero
affatto disturbato Eulero, che avrebbe utilizzato sicuramente la sua famosa
formula
e๐๐ฅ = cos ๐ฅ + ๐ sin ๐ฅ .
La serie di potenze complesse, detta serie di Mercator,
40
โ(โ1)๐+1
๐๐ง๐
โ
๐=1
= ๐ง โ๐ง2
2+
๐ง3
3โ โฏ = ln(1 + ๐ง)
converge uniformemente in tutti i punti del cerchio unitario centrato nellโorigine,
tranne il punto ๐ง = โ1.
Nicolaus Mercator, in tedesco Nikolaus Kauffmann
Eutin, 1620 โ Versailles, 14 gennaio 1687
Per dimostrare questa proprietร legata alla convergenza puntuale, si
moltiplichino per 1 + ๐ง entrambi i membri dellโespansione riportata: si osservi
che la serie risultante converge uniformemente per tutti i punti del cerchio
unitario chiuso. In particolare, posto ๐ง = exp(โ๐๐ฅ), si deduce che
ln(1 + eโ๐๐ฅ) = โ(โ1)๐+1
๐eโ๐๐ฅ๐
โ
๐=1
.
41
Ebbene, lโintegrale preso in esame, utilizzando la definizione della funzione
coseno
cos ๐ฅ =e๐๐ฅ + eโ๐๐ฅ
2 ,
diventa pari a
๐ผ = โซ ln(e๐๐ฅ + eโ๐๐ฅ)๐/2
0
๐๐ฅ = โซ ln[e๐๐ฅ(1 + eโ๐๐ฅ)]๐/2
0
๐๐ฅ ,
vale a dire la somma di due termini
๐ผ = ๐๐2
8+ โซ ln(1 + eโ2๐๐ฅ)
๐/2
0
๐๐ฅ .
Utilizzando la serie di Mercator, si ha che
๐ผ = ๐๐2
8+ โ
(โ1)๐+1
๐
โ
๐=1
โซ eโ2๐๐๐ฅ๐/2
0
๐๐ฅ = ๐ [๐2
8โ โ
(โ1)๐
2๐2(eโ๐๐๐ โ 1)
โ
๐=1
] .
Se poi si osserva che vale la relazione
eโ๐๐๐ = cos(๐๐) + ๐ sin(๐๐) = (โ1)๐ ,
si conclude che lโintegrale รจ pari a
๐ผ = ๐ [๐2
8โ โ
1 โ (โ1)๐
2๐2
โ
๐=1
] = ๐ [๐2
8โ โ
1
(2๐ โ 1)2
โ
๐=1
] .
42
Poichรฉ ๐ผ deve essere reale, occorre che il termine in parentesi quadra, che รจ la
somma di due quantitร reali, sia nullo e quindi si ricava che
โ1
(2๐ โ 1)2
โ
๐=1
=๐2
8= ๐๐ท โ ๐ =
4
3๐๐ท =
๐2
6
ed il problema di Basilea รจ risolto. Una bella dimostrazione, semplice, originale ed
elegante, degna di Eulero.
Da quanto in precedenza detto, discende anche che lโintegrale รจ nullo, cioรจ
โซ ln(2 cos ๐ฅ)๐/2
0
๐๐ฅ = 0 โ โซ ln cos ๐ฅ๐/2
0
๐๐ฅ = โ๐
2ln 2 .
Nel paragrafo seguente verrร discussa una nuova dimostrazione che fa uso degli
integrali multipli.
Una dimostrazione con gli integrali multipli
Al fine di mostrare una nuova tecnica per il calcolo della serie di Basilea, si
supponga di voler determinare lโintegrale doppio
๐ผ = โฌ๐ฅ ๐๐ฅ ๐๐ฆ
(1 + ๐ฅ2)(1 + ๐ฅ2๐ฆ2)๐ท
,
in cui il dominio di integrazione ๐ท, mostrato nella figura che segue, rappresenta
una zona del piano cartesiano: precisamente, si tratta di una striscia illimitata,
tutta contenuta nel primo quadrante, che รจ un dominio normale rispetto ad
entrambe le coordinate. Per determinare la serie di Basilea, si svilupperร questo
43
integrale due volte, sfruttando proprio lโidea che il dominio di integrazione รจ
normale rispetto ad entrambi gli assi.
Si immagini innanzitutto il dominio normale rispetto allโasse ๐ฆ. Lโintegrale ๐ผ puรฒ
essere allora calcolato applicando il Teorema di Fubini, che consente di scrivere
lโintegrale doppio come due integrali elementari innestati
๐ผ = โซ๐ฅ
1 + ๐ฅ2(โซ
๐๐ฆ
1 + ๐ฅ2๐ฆ2
1
0
)โ
0
๐๐ฅ ,
in cui lโintegrale rispetto alla variabile ๐ฆ puรฒ essere determinato, dal momento
che sussiste la primitiva
โซ๐๐ฆ
1 + ๐ฅ2๐ฆ2=
tanโ1(๐ฅ๐ฆ)
๐ฅ+ ๐ถ
con ๐ถ costante di integrazione. Si puรฒ conseguentemente scrivere che
44
๐ผ = โซ๐ฅ
1 + ๐ฅ2[tanโ1(๐ฅ๐ฆ)
๐ฅ]
๐ฆ=0
๐ฆ=1โ
0
๐๐ฅ = โซtanโ1 ๐ฅ
1 + ๐ฅ2
โ
0
๐๐ฆ .
Guido Fubini Ghiron
Venezia, 19 gennaio 1879 โ New York, 6 giugno 1943
Anche questo integrale rispetto ad ๐ฅ รจ elementare, per cui si conclude che
๐ผ = โซtanโ1 ๐ฅ
1 + ๐ฅ2
โ
0
๐๐ฆ = [1
2(tanโ1 ๐ฅ)2]
๐ฅ=0
๐ฅ=โ
=๐2
8 .
Si consideri poi il dominio normale rispetto allโasse ๐ฅ, sicchรฉ
๐ผ = โซ [โซ๐ฅ ๐๐ฅ
(1 + ๐ฅ2)(1 + ๐ฅ2๐ฆ2)
โ
0
]1
0
๐๐ฆ ,
che, in forza della scomposizione in fratti semplici
45
1
(1 + ๐ฅ2)(1 + ๐ฅ2๐ฆ2)=
1
1 โ ๐ฆ2(
1
1 + ๐ฅ2โ
๐ฆ2
1 + ๐ฅ2๐ฆ2) ,
si puรฒ facilmente riscrivere nella forma equivalente
๐ผ = โซ [ln1 + ๐ฅ2
1 + ๐ฅ2๐ฆ2]
๐ฅ=0
๐ฅ=โ๐๐ฆ
2 โ 2๐ฆ2
1
0
= โซln ๐ฆ
๐ฆ2 โ 1
1
0
๐๐ฆ .
Ebbene, questโultimo integrale si puรฒ calcolare per serie, sfruttando la serie
geometrica
1
1 โ ๐ฆ2= โ ๐ฆ2๐
โ
๐=0
con 0 โค ๐ฆ < 1 ,
che lo trasforma nella serie di integrali
๐ผ = โ โ โซ ๐ฆ2๐ ln ๐ฆ1
0
โ
๐=0
๐๐ฆ .
Dato che questi integrali si possono determinare per parti, per cui
โซ ๐ฆ2๐ ln ๐ฆ ๐๐ฆ =๐ฆ2๐+1
(2๐ + 1)2(ln ๐ฆ2๐+1 โ 1) + ๐ถ
con ๐ถ costante di integrazione, si ricava che
๐ผ = โ [๐ฆ2๐+1(1 โ ln ๐ฆ2๐+1)
(2๐ + 1)2]
๐ฆ=0
๐ฆ=1โ
๐=0
= โ1
(2๐ + 1)2
โ
๐=0
.
46
Si riconosce immediatamente nella serie trovata che la serie dei quadrati degli
inversi dei dispari positivi, per cui
๐ผ = ๐๐ท =3
4๐ =
๐2
8 โ ๐ =
๐2
6 ,
cioรจ ancora una volta il calcolo della serie di Basilea.
Una diversa rappresentazione si ottiene per mezzo dellโintegrale doppio
๐ผ = โฌ๐๐ฅ ๐๐ฆ
1 โ ๐ฅ2๐ฆ2๐ท
,
dove questa volta il dominio di integrazione ๐ท รจ il quadrato di lato unitario,
mostrato nella figura che segue.
Come รจ collegato questo integrale alla serie di Basilea? La risposta รจ semplice, se
si sviluppa in serie la funzione da integrare, per cui
47
1
1 โ ๐ฅ2๐ฆ2= โ ๐ฅ2๐๐ฆ2๐
โ
๐=0
, essendo |๐ฅ๐ฆ| < 1 .
Sostituendo nellโintegrale ed integrando per serie, si ottiene la seguente
rappresentazione
๐ผ = โ โซ ๐ฅ2๐ ๐๐ฅ1
0
โซ ๐ฆ2๐ ๐๐ฆ1
0
โ
๐=0
= โ1
(2๐ + 1)2
โ
๐=0
,
vale a dire la somma sui quadrati dei dispari. Segue ancora una volta che il valore
della serie di Basilea discende dallโintegrale in esame, essendo
๐ผ = ๐๐ท โ ๐ =4
3๐ผ .
Ebbene, al fine di ottenere rapidamente ed in maniera elementare il valore di ๐ผ,
Beukers, Calabi e Kolk proposero lโintroduzione di due nuove coordinate, ๐ข e ๐ฃ,
cosรฌ collegate alle cartesiane originarie
๐ฅ =sin ๐ข
cos ๐ฃ , ๐ฆ =
sin ๐ฃ
cos ๐ข .
Non รจ affatto una trasformazione banale, anzi รจ quasi una magia, specialmente se
si ricava il determinante Jacobiano
๐(๐ฅ, ๐ฆ)
๐(๐ข, ๐ฃ)= |
cos ๐ข
cos ๐ฃ
sin ๐ข sin ๐ฃ
cos2 ๐ขsin ๐ข sin ๐ฃ
cos2 ๐ฃ
cos ๐ฃ
cos ๐ข
| = 1 โsin2 ๐ข sin2 ๐ฃ
cos2 ๐ฃ cos2 ๐ข= 1 โ ๐ฅ2๐ฆ2 .
48
Non รจ dato sapere come abbiano potuto concepire una tale trasformazione;
tuttavia, si tratta di un vero prodigio, dato che il determinante Jacobiano coincide
proprio con lโinverso dellโintegrando, per cui
๐ผ = โฌ ๐๐ข ๐๐ฃ๐
= Area(๐) .
Non resta che determinare come nella trasformazione si trasforma il dominio ๐ท e
come รจ definito il dominio trasformato ๐. ร agevole mostrare che ๐ รจ un triangolo
rettangolo isoscele, definito dalle relazioni
๐ = {(๐ข, ๐ฃ): ๐ข โฅ 0, ๐ฃ โฅ 0, ๐ข + ๐ฃ โค ๐/2} .
Pertanto, si conclude che
๐ผ = Area(๐) =1
2โ
๐
2โ
๐
2=
๐2
8 โ ๐ =
4
3๐ผ =
๐2
6 .
49
ร superfluo dire che si ottenuto ancora una volta lo stesso valore per ๐ e che
questa seconda dimostrazione proposta รจ veramente splendida, tanto piรน che lo
stesso metodo di dimostrazione si estende al calcolo di una somma di potenze
inverse pari (2๐), come un integrale 2๐ โdimensionale, per ogni ๐ โฅ 1.
Ora perรฒ รจ giunto il momento di mostrare una diversa tecnica di soluzione, basata
su concetti piรน complicati: nel paragrafo che segue, si determinerร il valore della
somma di Basilea adoperando, nella maniera piรน semplice possibile, la serie di
Fourier.
Una dimostrazione con la serie di Fourier
Si consideri la funzione periodica (๐ = 2๐) e lineare a tratti
๐(๐ก) = |๐ก| con โ ๐ โค ๐ก โค ๐ ,
mostrata nella figura che segue.
50
Risulta immediato stabilire che la pulsazione fondamentale vale
๐0 =2๐
๐= 1
e, trattandosi poi di una funzione periodica, essa puรฒ essere sviluppata mediante
una combinazione lineare di funzioni goniometriche, come scoprรฌ, studiando la
propagazione del calore intorno al 1800, il matematico e fisico francese Joseph
Fourier, il cui nome รจ scritto persino sulla Torre Eiffel a Parigi. Per la evidente
paritร della funzione, i termini in seno sono assenti e, pertanto, si puรฒ scrivere
unโespansione in serie di Fourier contenente solamente i termini in coseno
๐(๐ก) =๐0
2+ โ ๐๐
โ
๐=1
cos(๐๐ก) per โ ๐ โค ๐ก โค ๐ ,
laddove il generico coefficiente di espansione si puรฒ ottenere mediante la ben
nota formula
๐๐ =2
๐โซ ๐(๐ก)
๐/2
โ๐/2
cos(๐๐0๐ก) ๐๐ก =1
๐โซ |๐ก|
๐
โ๐
cos(๐๐ก) ๐๐ก =2
๐โซ ๐ก
๐
0
cos(๐๐ก) ๐๐ก ,
una relazione che puรฒ essere scritta per tutti gli interi ๐ non negativi. In
particolare, il primo coefficiente di questโespansione, proporzionale al valor
medio, รจ pari a
๐0 =1
๐โซ |๐ก|
๐
โ๐
๐๐ก =2
๐โซ ๐ก
๐
0
๐๐ก = ๐ ,
mentre, eseguendo unโintegrazione per parti, si ottengono tutti gli altri
51
๐๐ =2
๐โซ ๐ก
๐
0
cos(๐๐ก) ๐๐ก =2[cos(๐๐) โ 1]
๐๐2=
2
๐๐2[(โ1)๐ โ 1] .
Jean Baptiste Joseph Fourier
Auxerre, 21 marzo 1768 โ Parigi, 16 maggio 1830
Si deduce allora che vale la seguente espansione
|๐ก| =๐
2+
2
๐โ
(โ1)๐ โ 1
๐2
โ
๐=1
cos(๐๐ก) per โ ๐ โค ๐ก โค ๐ ,
che, valutata in ๐ก = 0, fornisce la somma dei quadrati degli interi positivi dispari
โ1
(2๐ โ 1)2
โ
๐=1
= ๐๐ท =๐2
8 โ ๐ =
4
3๐๐ท =
๐2
6 ,
da cui รจ facile riottenere il valore della serie di Basilea.
52
Dunque, anche la serie di Fourier puรฒ essere utilmente impiegata per risolvere il
problema della serie degli inversi dei quadrati e, nel prossimo paragrafo si
illustrerร una diversa procedura per il calcolo di ๐, basata sugli sviluppi delle
funzioni meromorfe, cioรจ funzioni complesse che sono olomorfe in tutto il piano
complesso, eccezion fatta per alcuni punti in cui presentano singolaritร polari
isolate.
Una dimostrazione mediante lo sviluppo di Mittag-Leffler
Lo sviluppo di Mittag-Leffler รจ uno sviluppo in serie che consente di ricostruire
lโintera funzione, conoscendo il comportamento in tutti i poli: dimmi le tue
singolaritร e ti dirรฒ chi sei, ripeteva Francesco Tricomi, grande matematico di
origine napoletana.
Francesco Giacomo Tricomi
Napoli, 5 maggio 1897 โ Torino, 21 novembre 1978
53
Gรถsta Mittag-Leffler, allโanagrafe Magnus Gustaf Mittag-Leffler (Stoccolma, 16
marzo 1846 โ Djursholm, 7 luglio 1927), fu uno specialista di Analisi Complessa
ed un matematico di primโordine, in competizione con il chimico Alfred Nobel per
il primato nel mondo scientifico svedese della sua epoca. Il teorema che porta il
suo nome rispose in modo positivo ad una questione ben correlata con le ricerche
che svolgeva nellโultimo quarto del diciannovesimo secolo la scuola di Karl
Weierstrass a Berlino. Qui verrร enunciato solo per il caso in cui la funzione in
esame abbia solo poli semplici, perรฒ esistono simili sviluppi anche per funzioni
con poli di ordine arbitrario.
Sia ๐(๐ง) una funzione meromorfa con (infiniti) poli semplici nei punti ๐ง = ๐ง๐ e con
residui pari rispettivamente a
๐ผ๐ = Res(๐ง๐) = lim๐งโ๐ง๐
[(๐ง โ ๐ง๐)๐(๐ง)] .
Sia ๐ถ๐ una circonferenza di raggio ๐ ๐ contenente ๐ di questi poli. Se risulta
verificata la condizione
lim๐โโ
max|๐ง|=๐ ๐
|๐(๐ง)|
๐ ๐= 0 ,
allora vale lo sviluppo in serie di Mittag-Leffler
๐(๐ง) = โ๐ผ๐
๐ง โ ๐ง๐
โ
๐=โโ
.
Si consideri, ad esempio, la funzione complessa
๐(๐ง) =1 โ ๐ง cot ๐ง
2๐ง2 ,
54
che รจ discontinua negli infiniti punti
๐ง๐ = ๐๐ con ๐ โ โค .
Tuttavia, รจ immediato verificare che essa รจ prolungabile per continuitร in ๐ง = 0 e
che si puรฒ scrivere
๐(0) = lim๐งโ0
1 โ ๐ง cot ๐ง
2๐ง2= lim
๐งโ0
sin ๐ง โ ๐ง
2๐ง2 sin ๐ง+ lim
๐งโ0
1 โ cos ๐ง
2๐ง2= โ
1
12+
1
4=
1
6 .
Dunque, in zero non presenta alcuna discontinuitร , ma negli altri infiniti punti di
discontinuitร , per cui ๐ โ 0, presenta poli semplici con residui pari a
๐ผ๐ = Res(๐๐) = lim๐งโ๐๐
[(๐ง โ ๐๐)1 โ ๐ง cot ๐ง
2๐ง2] = lim
๐งโ๐๐
sin ๐ง โ ๐ง cos ๐ง
2๐ง2โ lim
๐งโ๐๐
๐ง โ ๐๐
sin ๐ง ,
vale a dire
๐ผ๐ = โcos(๐๐)
2๐๐โ
1
cos(๐๐)= โ
1
2๐๐= โ
1
2๐ง๐ .
Pertanto, in forza del Teorema di Mittag-Leffler, si puรฒ scrivere
1 โ ๐ง cot ๐ง
2๐ง2= โ ๐ผ๐ (
1
๐ง โ ๐ง๐โ
1
๐ง + ๐ง๐)
โ
๐=1
= โ1
๐2๐2 โ ๐ง2
โ
๐=1
,
che, nel limite per ๐ง โ 0, consente di conseguire di nuovo il valore della serie di
Basilea
55
๐(0) =1
๐2โ
1
๐2
โ
๐=1
=1
6 โ ๐ =
๐2
6 .
In maniera simile, ma forse piรน elegante, lo svedese Johan Wรคstlund della
Chalmers University of Technology, partendo dallo sviluppo
โ1
(๐ โ ๐ง)2
โ
๐=โโ
= [ ๐
sin(๐๐ง) ]
2
,
valido per tutti i valori di ๐ง non interi, ha potuto determinare la somma degli interi
dispari, riportando anche unโinterpretazione geometrica del risultato.
Precisamente, valutando la relazione riportata per ๐ง = 1/2, si ottiene
โ1
(๐ โ 1/2)2
โ
๐=โโ
= ๐2 โ โ1
(2๐ โ 1)2
โ
๐=โโ
=๐2
4 ,
da cui discende la somma degli inversi dei quadrati degli interi positivi dispari
๐๐ท = โ1
(2๐ โ 1)2
โ
๐=1
=๐2
8 .
Generalizzazione
Una prima funzione speciale, legata al problema di Basilea, รจ la funzione
dilogaritmo, cosรฌ definita
Li2(๐ง) = โ โซln(1 โ ๐ก)
๐ก
๐ง
0
๐๐ก ,
56
giร conosciuta da Eulero nella forma di una rappresentazione in serie
Li2(๐ง) = โ๐ง๐
๐2
โ
๐=1
.
Essa si incontra frequentemente negli ordini superiori degli sviluppi in serie che
intervengono nei calcoli perturbativi dellโElettrodinamica Quantistica e del
Modello Standard delle particelle elementari. Alcuni valori caratteristici sono
Li2(0) = 0 , Li2(1) =๐2
6 , Li2(โ1) = โ
๐2
12
e proprio il valore Li2(1) rappresenta la soluzione del problema. Lโintegrale,
determinato per serie in un precedente paragrafo, puรฒ essere agevolmente
calcolato grazie a questa funzione, essendo
โซln ๐ฆ
๐ฆ2 โ 1๐๐ฆ = โ
1
2[Li2(1 โ ๐ฆ) + Li2(โ๐ฆ) + ln ๐ฆ ln(1 + ๐ฆ)] + ๐ถ ,
essendo ๐ถ una costante arbitraria di integrazione. Segue allora che
๐ผ = โซln ๐ฆ
1 โ ๐ฆ2
1
0
๐๐ฆ =๐2
24+
๐2
12=
๐2
8 .
Questo integrale ha anche una interpretazione probabilistica, ritrovandosi nella
determinazione della densitร di probabilitร del rapporto di due variabili aleatorie
di Cauchy, come ha dimostrato Luigi Pace dellโUniversitร di Udine.
Comunque, un tratto di questa curva, che presenta un andamento monotono
decrescente, almeno per valori positivi dellโargomento, รจ riportato nella figura
che segue, in cui il rettangolo ombreggiato evidenzia proprio che
57
Li2(1) =๐2
6= ๐(2) ,
essendo ๐(2) un particolare valore della funzione zeta di Riemann, la funzione piรน
interessante e maggiormente foriera di applicazioni e che si sta per introdurre.
Prima perรฒ si deve definire cosa si intende per serie di Dirichlet, vale a dire una
qualunque serie della forma
๐(๐ ) = โ๐๐
๐๐
โ
๐=1
,
dove ๐ ed i coefficienti ๐๐ sono numeri complessi. Questo tipo di serie riveste un
ruolo importante nella Teoria dei Numeri: la funzione zeta di Riemann ๐(๐ ) puรฒ
essere scritta proprio come serie di Dirichlet
58
๐(๐ ) = โ1
๐๐
โ
๐=1
nel semipiano Re(๐ ) > 1 .
La restrizione รจ necessaria, affinchรฉ la serie risulti convergente; tuttavia, la
funzione si puรฒ prolungare analiticamente ad una funzione olomorfa su tutto il
piano complesso ad eccezione di ๐ = 1, laddove presenta un polo semplice.
I primi risultati riguardanti questa funzione furono ottenuti da Leonardo Eulero
nel diciottesimo secolo e la serie di Basilea rappresenta un particolare valore di
questa funzione, precisamente si puรฒ scrivere che
๐ = ๐(2) = โ1
๐2
โ
๐=1
=๐2
6 .
Tuttavia, il suo nome รจ legato a Bernhard Riemann (Breselenz, 17 settembre 1826
โ Selasca, 20 luglio 1866), che nel testo
รber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grรถsse,
pubblicato nel 1859, avanzรฒ l'ipotesi che sussiste una relazione tra gli zeri e la
distribuzione dei numeri primi, oggi conosciuta come congettura di Riemann. Non
รจ ancora noto se la distribuzione dei numeri primi segue o meno una tale legge:
essa, tuttavia, rappresenta uno dei sette enigmi matematici irrisolti del nostro
tempo, per cui il Clay Mathematics Institute ha messo in palio, per ciascun
problema, un milione di dollari.
Piรน in generale, come giร avuto modo di sottolineare, si ottiene
๐(2๐) = โ1
๐2๐
โ
๐=1
= (โ1)๐+122๐โ1 ๐2๐
(2๐)!๐ต2๐ .
59
Nel grafico che segue si riporta la funzione di Riemann per valori reali
dellโargomento ๐ = ๐ฅ โ โ e si osserva che essa decresce in maniera monotona,
fino a raggiungere, per valori elevati dellโargomento, lโasintoto orizzontale
lim๐ฅโโ
๐(๐ฅ) = 1 .
Vale la pena notare anche la presenza dellโasintoto verticale in ๐ฅ = 1.
Conclusioni e ringraziamenti
Si รจ raccolto in questo scritto un poโ di storia e le piรน interessanti soluzioni
proposte nel corso dei secoli del problema di Basilea, un problema classico
dellโAnalisi Matematica, risolto per la prima volta in maniera brillante dal giovane
Eulero. Alcune delle soluzioni riportate sono state liberamente riadattate dallo
scrivente e rese, in certa misura, originali. Il celebre matematico britannico Sir
60
Michael Francis Atiyad, noto per i suoi numerosi contributi alla Geometria, ha
dichiarato in unโintervista:
Any good theorem should have several proofs, the more the better. For two reasons:
usually, different proofs have different strengths and weaknesses, and they
generalize in different directions โ they are not just repetitions of each other.
Questo problema รจ molto interessante anche dal punto di vista didattico, dato che
rafforza la preparazione dello studente universitario, essendo risolubile con
metodi assai diversi tra loro e, quindi, consente di passarli in rassegna, tenendoli
ben desti nella memoria. Dei metodi descritti si ha continuamente bisogno nelle
diverse applicazioni matematiche e soprattutto devono essere ben chiare a coloro
che volessero cimentarsi con il calcolo della costante di Apery.
Desidero fare un ringraziamento ad Emilio Ambrisi, caro amico e presidente
nazionale della Mathesis, il quale, durante il convegno Mathesis tenutosi a Serra
San Bruno nel mese di gennaio del 2016, ha, da par suo, riacceso nella mia
memoria questo problema, tanto che, come dice molto bene Dante, raunai le
fronde sparte (Inferno, Canto XIV) e decisi di raccogliere in questo scritto quanto,
in momenti diversi della mia esistenza, avevo appreso sul problema di Basilea.
Riferimento bibliografico
Si consiglia di leggere, e non soltanto per il problema di Basilea, lโinteressante
libro dei due accademici, lโaustriaco Martin Aigner ed il tedesco Gรผnter Matthias
Ziegler, dal titolo
Proofs from THE BOOK
61
cioรจ Dimostrazioni dal Libro, edito da Springer-Verlag Italia a Milano nel 2006,
nellโedizione italiana curata da Alfio Quarteroni. La serie di Basilea รจ trattata nel
capitolo settimo, intitolato Tre volte ๐2/6 ed alla fine del capitolo il lettore troverร
unโampia bibliografia su questo problema.
Si tratta del Libro nel quale, a detta del grande Paul Erdลs, Dio conserva le
dimostrazioni matematiche, aggiungendo che non รจ necessario credere in Dio,
tuttavia, in quanto matematici, si deve credere nel Libro. Si tratta di un manuale
di eleganti dimostrazioni di celebri teoremi, corredato da simpatiche illustrazioni
e tradotto in almeno tredici lingue diverse; alcuni teoremi sono presenti con
diverse dimostrazioni e con parecchi risultati collegati.
Paul Erdลs
Budapest, 26 marzo 1913 โ Varsavia, 20 settembre 1996
Il testo รจ suddiviso in cinque sezioni, secondo lo schema di seguito riportato.
1) Teoria dei numeri: i teoremi dimostrati sono lโinfinitร dei numeri primi, il
postulato di Bertrand, la reciprocitร quadratica, il Teorema di Fermat sulle
62
somme di due quadrati, il teorema di Wedderburn sui corpi finiti,
lโirrazionalitร del numero di Nepero ed il calcolo di ๐(2).
2) Geometria: presenta la soluzione del terzo problema di Hilbert, alcune
conseguenza della formula di Eulero, una discussione della congettura di
Borsuk e la dimostrazione del Teorema di rigiditร di Cauchy.
3) Analisi Matematica: vi sono diverse dimostrazioni legate all'ipotesi del
continuo e alla numerabilitร dei numeri razionali, un elogio delle
disuguaglianze, il problema dellโago di Buffon e la dimostrazione del
Teorema Fondamentale dellโAlgebra.
4) Combinatoria: presenta il principio dei cassetti, alcuni teoremi sugli insiemi
finiti e sui quadrati latini.
5) Teoria dei Grafi: vi รจ, tra le altre cose, la dimostrazione del Teorema dei
cinque colori.
Il principio ispiratore nella scelta dei teoremi da dimostrare e delle dimostrazioni
proposte รจ che non vi รจ posto perenne per la Matematica brutta.
63
Appendice: dimostrazione della somma adoperata
Si comincia ad osservare che la funzione โ(๐ฅ) = cot2 ๐ฅ definisce una
corrispondenza biunivoca nellโintervallo
๐ฝ = {๐ฅ: 0 < ๐ฅ < ๐/2} .
Questa affermazione รจ evidente, se si considera il grafico della funzione
cotangente al quadrato per ๐ฅ โ ๐ฝ, riportato nella figura che segue, in cui si mostra
il suo andamento strettamente monotono.
Un dimostrazione piรน formale รจ ora sviluppata. Si supponga che esistano due
valori, detti ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐ฝ, per cui cot2 ๐ฅ = cot2 ๐ฆ. Dato che la funzione cotangente non
รจ mai negativa in ๐ฝ, si ha pure che
cot ๐ฅ = cot ๐ฆ con ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐ฝ .
64
Ora, sempre nellโintervallo considerato, la funzione cotangente รจ strettamente
crescente, per cui si puรฒ affermare che ๐ฅ = ๐ฆ.
Detto ciรฒ, una maniera per dimostrare che
โ cot2๐๐
2๐ + 1
๐
๐=1
=๐(2๐ โ 1)
3 ,
รจ quella di partire dalla ben nota formula per il calcolo della potenza nel campo
complesso, dovuta al matematico francese Abraham de Moivre, per cui
cos(๐๐ฅ) + ๐ sin(๐๐ฅ)
sin๐ ๐ฅ=
(cos ๐ฅ + ๐ sin ๐ฅ)๐
sin๐ ๐ฅ= (cot ๐ฅ + ๐)๐ โ๐ฅ โ โ ,
in cui ๐ rappresenta lโunitร immaginaria e ๐ รจ un intero positivo.
Abraham de Moivre
Vitry-le-Franรงois, 26 maggio 1667 โ Londra, 27 novembre 1754
65
La potenza ๐ โesima puรฒ essere sviluppata secondo la formula del binomio di
Newton, per cui
cos(๐๐ฅ) + ๐ sin(๐๐ฅ)
sin๐ ๐ฅ=
(cos ๐ฅ + ๐ sin ๐ฅ)๐
sin๐ ๐ฅ= โ (
๐๐
) ๐๐ cot๐โ๐ ๐ฅ
๐
๐ =0
.
Ora, considerandone la sola parte immaginaria, si puรฒ scrivere la seguente
espansione
sin(๐๐ฅ)
sin๐ ๐ฅ= (
๐1
) cot๐โ1 ๐ฅ โ (๐3
) cot๐โ3 ๐ฅ + โฏ .
Si supponga poi che ๐ sia un intero dispari, cioรจ si immagini che ๐ = 2๐ + 1 , in
modo che lโultima relazione si possa scrivere nella forma equivalente
sin[(2๐ + 1)๐ฅ]
sin2๐+1 ๐ฅ= โ (
2๐ + 12๐ โ 1
) (โ1)๐โ1 cot2๐+2โ2๐ ๐ฅ
๐+1
๐=1
.
Valutando questa espressione in corrispondenza di uno zero non nullo ๐ฅ๐ โ 0
della funzione seno al primo membro, essa diventa
0 = โ (2๐ + 12๐ โ 1
) (โ1)๐โ1 cot2๐+2โ2๐ ๐ฅ๐
๐+1
๐=1
.
Se poi si scelgano soltanto gli zeri appartenenti nel primo quadrante, sicchรฉ
0 < ๐ฅ๐ =๐๐
2๐ + 1<
๐
2 con ๐ = 1, 2, โฏ , ๐ ,
66
si puรฒ affermare che, essendo il quadrato della cotangente una funzione
invertibile nellโintervallo ๐ฝ, la sequenza
๐ก๐ = cot2๐๐
2๐ + 1
assume un valore diverso per ogni valore di ๐ = 1, 2, โฏ , ๐. Si introduce allora un
polinomio di grado ๐, definito come
๐(๐ก) = โ (2๐ + 12๐ โ 1
) (โ1)๐โ1 ๐ก๐โ๐+1 ,
๐+1
๐=1
le cui ๐ radici sono tutte reali e distinte e coincidono proprio con le precedenti
๐ก๐ . Siccome รจ ben noto che, per un generico polinomio di grado ๐(โฅ 1)
๐(๐ก) = ๐๐๐ก๐ + ๐๐โ1๐ก๐โ1 + โฏ + ๐1๐ก + ๐0 con ๐๐ โ 0 ,
la somma delle sue radici, contando le molteplicitร , รจ pari a
somma delle radici = โ๐๐โ1
๐๐ ,
nel caso in esame, si ottiene
โ ๐ก๐
๐
๐=1
= โ cot2๐๐
2๐ + 1
๐
๐=1
=(
2๐ + 13
)
(2๐ + 1
1)
=๐(2๐ โ 1)
3 ,
che era precisamente quanto si desiderava dimostrare.