Parte prima: Gli obiettivi della politica economica (SEGUE)
Capitolo 4: Le scelte pubbliche: gli obiettivi secondo la funzione del benessere sociale
• Misure, regole, funzione del benessere sociale di Bergson-Samuelson e altri criteri
• Il teorema dell’impossibilità di Kenneth-Arrow
• La scelte pubbliche e gli obiettivi della politica economica
2
La funzione di benessere sociale
z1, z2, .., zn
Stati del mondo
W(z1, z2, .., zn) W: n
Per fare questo:
• rappresentazione delle preferenze individuali• ipotesi sulla loro misura• ipotesi sulla possibilità di effettuare confronti• definire la regola di aggregazione W
3
La rappresentazione delle preferenze individuali
Gli operatori di preferenza:
• preferenza stretta: xPy (x > y)
• indifferenza: xIy (x = y)
• preferenza debole: xRy (x y)
Proprietà di un ordinamento:
1) Forte• completezza: per ogni (x, y) devo
potere dire se xRy, yRx, xRy & yRx => xIy
• transitività: xRy & yRz => xRz
2) Debole• quasi-transitività: xPy & yPz =>
xPz
• aciclicità: xPy & yPz => xRz
4
Ipotesi sulla misura delle preferenza
Definizione di una funzione di utilità U(.)
• utilità cardinale: la misura ammette tutte le operazioni numeriche fondamentali
U: n• utilità ordinale: la misura
ammette solamente valutazioni di maggiore, minore o uguale
U(x) U(y) sse xRy
In termini algebrici:• cardinale in scala assoluta: U(.)
non ammette alcuna trasformazione
• cardinale in scala relativa:
U’(x) = U(x) se U’(x) = kU(x), k > 0
• cardinale:
U’(x) = U(x) se U’(x) = kU(x) + h,
k > 0
• ordinale:
U’(x) = U(x) se U’(x) = f(U(x)),
f ’ > 0
5
Ipotesi sul confronto (interpersonale) delle preferenze
• confrontabilità piena (o assoluta): possiamo confrontare i livelli di utilitàdegli individuiUA(.) vs UB(.) con vs = (>, < , =)
• confrontabilità parziale (o relativa): si possono confrontare solo gli incrementidi utilità ma non i livelliUA(.) vs UB(.) con vs = (>, < , =)
• inconfrontabilità: nessuna informazione sulle utilità di due individui è confrontabileUA(.) vs UB(.), UA(.) vs UB(.) ecc. con sv =(?)
6
Il senso della ricerca teorica
I modelli che assumono le ipotesi più forti giungono a conclusioni che sono più deboli, mentre i modelli che assumono le ipotesi più deboli giungono a conclusioni che devono essere accreditate come più forti
Il senso della ricerca è di indebolire le ipotesi per cercare conclusioni forti, le ipotesi più deboli sonole funzioni di utilità ordinali & l’inconfrontabilitàinterpersonale
7
Le regole di aggregazione delle preferenze
• Il criterio di Vilfredo Pareto• Il criterio di Nicholas Kaldor• La funzione di benessere sociale di Bergson-
Samuelson• La funzione di benessere sociale di Bernoulli-
Nash• La funzione di benessere sociale di Rawls• Il teorema di Kenneth Arrow (impostazione assiomatica)
• Il teorema di Amartya Sen (impostazione assiomatica)
8
Il criterio di Pareto
I presupposti: individualismo etico; misura ordinale delle utilità; inconfrontabilità personaleEnunciazione: debole: un insieme di persone migliora la propria soddisfazione mutando situazione se tutti gli individui hanno livelli più alti di utilità (cfr. la regola dell’unanimità in senso forte)forte: un insieme di persone migliora la propria soddisfazione mutando situazione se almeno un individuo sta meglio mentre nessuno sta peggio (cfr. la regola dell’unanimità in senso debole)
UA
UB
a
b
c
d
e
fNB: Il criterio consente solo un ordinamento parziale:dPa , ePa
b, f, c vs a con vs = (?)d vs e con vs = (?)
9
Il criterio di Kaldor (principio della compensazione)
ae
UA
UB
Il passaggio da a ad e:
UB < 0 & UA > 0è irresolubile per Pareto
Enunciazione: si introduce l’ipotesi di un indennizzo da A verso B(T), se il vantaggio di A è così grande che può risarcire B e rimanere con un vantaggio netto, allora ePa.
UB + TUB = 0 & UA - TUA > 0 ePa
NB: il principio dell’indennizzo è un criterio “intellettuale” che non risolve problemi “distributivi”
10
La funzione di Bergson-Samuelson
Principio di utilità (utilitarismo di Bergson): gli stati del mondo x,y .. (definiti su n variabili zi) vengono valutati per l’utilità che inducono nei soggetti, Ui(z1,
z2, .., zn) con U:n
W = W(U1 ; U2 ; ... ; UN), W:NW(U1(x), U2(x) ... ; UN(x)) > W(U1(y), U2(y) ... ; UN(y)) sse xPy
Funzione di benessere sociale rispetto della condizione W/Ui 0 Principio della somma: che può essere
•semplice: W = U1 + U2 + … + U3 = i=1N Ui
•ponderata: W = a1U1 + a2U2 + ... + aNUN = i=1N aiUi , ai 0
NB: Chi sceglie ai 0? Se il dittatore è benevolente
ai = 1
11
La funzione di Samuelson comporta la comparazioneinterpersonale delle utilità
Esempio: il gioco delle 6 mele
x = {(6,0) (5,1) (4,2) (3,3) (2,4) (1,5) (0,6)} con x = (qA , qB )
W = UA(x) + UB(x) quindi W = UA(qA) + UB(qB ) con qA + qB = 6
max W ==> dW/dqA = dUA/dqA + dUB/dqB dqB/dqA = 0
ma dqB/dqA = - 1 ===> dUA/dqA - dUB/dqB = 0
Il problema può essere risolto solo tramite una comparazione delle utilità di A & B.
NB: La regola di aggregazione della funzione di benessere sociale è una regola debole poiché implica delle ipotesi forti sulla misura e sul confronto delle utilità
12
Altre funzioni di benessere sociale
• La funzione Bernoulli-Nash propone il principio del
prodotto, che può essere:• semplice:
W = U1 U2 ... UN = i=1N Ui
• ponderato:
W = i=1N (Ui)a
i
Esempio: max W =>
(dUA/dqA):UA - (dUB/dqB):UB = 0comporta un confronto delle utilità,
in senso relativo
NB: Chi sceglie ai 0?
• La funzione di Rawls
la valutazione di uno stato sociale dipende solo dal benessere dell’individuo che si trova nella situazione peggiore
W (U1; U2; ... ; UN) = min (Ui)
NB: La visione del mondo è quella del più sfortunato
13
L’impostazione assiomatica (Arrow & Sen)
Sia X = (x1, x2, .., xn) l’insieme degli stati del mondo, con n 3Sia C una collettività di N individui, con N 2
Sia Ri un ordinamento di preferenza per l’individuo i.mo
Si dice profilo di preferenza ogni N-pla [R1, R2, …, RN]
Una regola di scelta collettiva (RSC) è una relazione funzionale funzionale che specifica una, e soltanto una, relazione di preferenza sociale R per ogni profilo di preferenza, ossia per ogni insieme di ordinamenti individuali ==> R = F([Ri])
• Una funzione del benessere sociale (FBS ) è una regola di scelta collettiva RSC il cui codominio è ristretto alle R che generano degli ordinamenti
• Una funzione di decisione sociale (FDS) è una regola di scelta collettiva RSC il cui codominio è ristretto alle R che generano una funzione di scelta.
di cui
14
Gli assiomi di Arrow:
• Condizione T di completezza della relazione binaria di preferenza sociale debole R (xRy o yRx oppure entrambe) e di transitività di R (xRy e yRz allora xRz)• Condizione U del dominio universale: il dominio della funzione f deve comprendere tutti gli ordinamenti individuali possibili; la società dovrebbe darsi una struttura normata per risolvere tutte le possibili controversie• Condizione P del principio di Pareto debole o dell’unanimità: se ciascun individuo preferisce strettamente x ad y, allora anche la società deve preferire x ad y• Condizione I dell’indipendenza dalle alternative irrilevanti: la scelta sociale tra ogni coppia di alternative deve dipendere dagli ordinamenti individuali su quelle due alternative soltanto, e non anche dagli ordinamenti individuali sulle altre alternative. Questo assioma è stato imposto da Arrow soprattutto per un'esigenza di “economia” di informazioni• Condizione D di non-dittatorialità: non deve esserci alcun individuo la cui preferenza stretta su ogni coppia di alternative sia sistematicamente rispecchiata nella relazione sociale di preferenza stretta.
15
Teorema dell’impossibilità di Arrow:
prima versione: Non esiste alcuna funzione del benessere sociale (FBS) che soddisfi le condizioni T, U, P, I, Dseconda versione: Qualunque funzione del benessere sociale (FBS) che soddisfi le condizioni T, U, P, I pone un agente nelle condizioni di essere un dittatore.
Alef: xPuPvPy
Bet:vPyPxPu
v
y
x
u
x
u
w
y
v
z
xPu & uPv & vPy => xPy
unanimità
NeutralitàuPv => xPy
Bet
Alef
Q1Q2
Q3
Q4
x
Alef è il dittatore
16
L’indebolimento degli assiomi di Arrow:poiché il teorema di Arrow è vero, non è possibile scappare da esso se non rigettando o indebolendo alcuni assiomi.
I più discussi: condizione U (eccessiva, poiché non tutte le situazioni sono ugualmente probabili); condizione I (eccessiva, poiché troppo restrittiva); condizione T (si propongono indebolimenti, quasi-transitività, aciclicità).Altra strada: richiedere che la RSC sia una FDS (non una FBS)
• Teorema della possibilità di Sen: Per un insieme di stati sociali finito, esiste una funzione di decisione sociale (FDS) che soddisfa le condizioni U, I, P, D e la transitività della sola relazione di preferenza sociale stretta P.
Inoltre, un teorema più generale che ritorna all’ideologia di un’oligarchia (caso più generale della dittatura):
Teorema di Gibbard: Ogni funzione di decisione sociale (FDS) che genera una R quasi transitiva e che soddisfa le rimanenti condizioni di Arrow, deve essere oligarchica.
17
Teorema dell’impossibilità di Sen: gli assiomi di Sen:
•Aciclicità ==> FDSCondizione P di unanimità: se ogni individuo preferisce l'alternativa x all'alternativa y, allora la società deve preferire x ad y•Condizione U di dominio non ristretto: ogni insieme logicamente possibile di ordinamenti individuali è incluso nel dominio della regola di scelta collettiva (RSC)•Condizione L del liberalismo: per ogni individuo i, esiste almeno una coppia di alternative (x, y) in X tale che, se questo individuo preferisce x a y, allora la la società deve preferire x a y, e se questo individuo preferisce y a x, allora la la società deve preferire y a x
Teorema dell'impossibilità di Sen: non esiste alcuna funzione di decisione sociale (FDS), che possa soddisfare simultaneamente le condizioni P, U e L
18
Un solo volume: Amante di Lady Chatterly, Alef il puritano, Bet il libertinox: Alef legge il libro y: Bet legge il libroz: nessuno legge il libro
Principio liberale (L) : ogni individuo è libero di leggere ciò che vuole
Dimostrazione:z P x per il principio liberale (L) applicato ad Alef
y P z per il principio liberale (L) applicato a Bet
x P y per la condizione di unanimità (P)
Alef: z P x P yBet: x P y P z
x P y & y P z ==> x P zma il principio liberale è in contraddizione con ilprincipio di Pareto
19
UN COROLLARIO: la scelta sociale può essere “coerente” (non ciclica)se un principio morale (ideologia) verrà imposto per tutta la collettività
•se prevale l’integralismo di Alef : z P x per la collettività
z P x & x P y ==> z P y la società pone all’indice il libro impedendo la lettura a Bet
•se prevale l’ideologia lasciva di Bet: y P z per la collettività
x P y & y P z ==> x P z la società costringe Alef a leggere il libro
20
Dalle scelte pubbliche agli obiettivi
X v X C(v)
Agenda fissa (v = X) OBIETTIVI FISSI
Agenda variabile OBIETTIVI FLESSIBILI
funzione
corrispondenza
21
Esempio: burro Q = 20 Lq , quindi Lq = 20-2 Q2
esercito E = Le
Lq + Le = 100
possibilità di produzione (curva di trasformazione): E = 100 - 20-2 Q2 = T(Q)
A) Agenda fissa v* = (E,Q) | E T(Q) ==> obiettivo fisso C(v*)
B) Agenda variabile v X = (E,Q) E Em e Q Qm ==> obiettivo flessibile W = F(E, Q)
Q
E
W°
T
C(v*)
P = max W
W
Q
E
F: 2
22
I teoremi “fondamentali” del dittatore benevolente
A) L’ottimo sociale del mercato di concorrenza perfetta
W° = a1R + a2 , con a1 , a2 > 0 = Profitto del produttore
R = Rendita del consumatore
W = q f(x) dx - pq + (pq - C(q)) con = a2 /a1 0
max W ===> dW/dq = 0 cioè p = C’ + f ’q (1 - )/
= 1 ==> p = C’ > 1 ==> p > C’ < 1 ==> p < C’ ==> p + f’q = C’ , Rma= C’
NB: il teorema dell’efficienzadella concorrenza perfetta èsostenuto dall’ipotesi deldittatore benevolente
23
B) L’ottimo sociale del sistema economia-ambiente
W° = a1B(q) - a2C(q) B= beneficio privato del consumo di q
C = esternalità pubblica del consumo di q
W = B(q) - C(q)
max W ==> dW/dq = 0 ==> B’(q) = C’(q)
= 1 ==> B’(q*) = C’(q*), q* = livello ottimo del consumo sociale > 1 ==> B’ < C’, q < q* < 1 ==> B’ > C’ , q > q*
NB: Il teorema del consumoottimo del sistema economico-ambientaleè sostenuto dall’ipotesi del dittatorebenevolente
A) e B) dimostranoA) e B) dimostranoche l’ideologia èche l’ideologia èdeterminante!determinante!
24
Le (più usate) funzioni di preferenza sociale
x = x1 , x2, …, xn W: n
• lineare: W(x) = q0 + i=1n qi xi
• quadratica generale: W(x) = q0 + i=1n qi xi + i=1
n j=1n qij xi xj
• quadratica particolare: W(x) = q0 + i=1n qi xi + ½ i=1
n qii xi2
• cubica particolare: W(x) = q0 + i=1n qi xi + ½ i=1
n qii xi2 + 1/3 i=1
n rii xi3
• esponenziale: W(x) = q0 + i=1n e q
ix
i
• logaritmica: W(x) = q0 + i=1n qi log xi
• integrale, ecc.
W(x) = q0 + q’x + x’Qx
eclettiche
q0 0qi, qii, qij ponderazionidella politica
25
Le funzioni di perdita: P(x) = (x - x*)’Q (x - x*)x* valori dello state of bliss
Esempio: P = ½(v - v*)2 + ½(u - u*)2 , valori desiderati (u*, v*)
NB: le funzioni di preferenza possono essere obiettivi flessibili di massimo (benessere, profitti) o di minimo (costi sociali); le funzioni di perdita sono sempre obiettivi flessibili di minimo
State ofbliss
u
v
u*
v*
S
u*u**
v*
26
obiettivoUomo economicoFunzioni di utilità
Uomo politicoFunzioni di preferenza
?A) perché i politici non sempresono capaci di esplicitarleB) perché non hanno quasi mai convenienza da esplicitarle
Metodi1) metodo diretto ==> intervista “fittizia”,desunta dai programmi2) metodo indiretto ==> “indotta” dalle azioni (funzione di reazione) Problema duale
dell'economiapolitica
della politicaeconomica