Pendolo
MATERIALE: Colonna, aste, morsetti, filo per il pendolo
Metro (precisione 1 mm)
Cronometro a fotocellula (0.1 ms)
PC con sistema Windows
……………………
… altro ?
cos
sin
0cos
sin
mg
mgma
mgF
mgFjmgmaF
x
y
x
Pendolo
-mg
X
Y
Lo spostamento su un arco di circonferenza
può essere scritto come
se l’angolo è sufficientemente piccolo allora
l’equazione che descrive dal pendolo
rx
)sin(
2
2
2
2
2
2
dt
dmr
dt
rdm
dt
xdmmaF xx
mgdt
dmr
2
2
mgmgmax sin
r
gtt
r
g
sinsin 00
g = 9,788966 m/s2
g = 9,801 m/s2
Notate:
- Angoli in radianti
- Approssimazione sen=
- Massa puntiforme
- Filo inestensibile
- Vincolo ideale
- No attrito
- …………….
INTRODUZIONE L’esperienza consiste nel realizzare uno strumento, il pendolo, adatto alla misura
dell’accelerazione di gravità, g. L’accelerazione di gravità può essere ricavata a partire dalla
misura del periodo di oscillazione e dalla lunghezza del pendolo secondo la relazione:
L’esperienza quindi richiede di eseguire la misura della lunghezza del pendolo e del suo periodo.
PROCEDURA SPERIMENTALE
Procediamo in due fasi successive: • la prima (fase 1a) in cui si cercherà di valutare:
• L’affidabilità della strumentazione
• Se il pendolo è stato realizzato correttamente
• Evidenti o possibili non idealità
E’ questo il primo passo di ogni attività di laboratorio: estrarre l’osservabile (anche in modo grossolano) e
stimare le possibili sorgenti di errore casuale o sistematico e ottimizzare l’apparato sperimentale
• La seconda (fase 1-b) in cui si svolgeremo misure accurate sul sistema secondo uno schema dato per:
• Meglio comprendere il nostro apparato strumentale
• Verificare o meno la validità della legge sperimentale g=4p2L/T2
• Misurare effettivamente l’accelerazione di gravità
Questa fase avviene dopo l’analisi dei dati presi nella prima fase.
2
24T
Lg p
Fase 1-a - Primo Test: l’apparato è in grado di fornire un valore di g verosimile ?
Montaggio pendolo
Pendolo – massa costante – angolo fissato – lunghezza fissata
Dataset-1 almeno15 oscillazioni
Questa prima parte serve per verificare che non ci sia un errore grossolano nel montaggio o nella
misura delle osservabili o del pendolo. In altre parole bisogna verificare se si ottiene una
accelerazione di gravità ragionevole (9.65 < g < 10 m/s2)
Cosa bisogna fare: a) Trasformare la massa appesa al filo in una ‘massa puntiforme
• Vedi lucidi successivi
b) Stimare l’errore ‘strumentale/sistematico’ sulla misura della lunghezza del pendolo
c) Stimare l’errore strumentale sulla misure del periodo
Impostare la presa dati in maniera da minimizzare gli errori (con una scelta opportuna di L e T)
usando la propagazione degli errori come ‘strumento predittivo’
La massa non è puntiforme
Devo identificare un punto in cui posso immaginare (in prima approssimazione) che tutta la
massa sia concentrata per poter estrarre la lunghezza del pendolo
Devo estrarre il baricentro / centro di massa del peso
L + L1+ L2
M1
M2
21
2211
MM
LMLMLLpendolo
L
M2
M1
L1
L2
21
2211
MM
LMLMLLpendolo
Lpendolo
M=M1+M2
Nota:
Le distanze L1 ed L2 devono avere la medesima origine, nel caso specifico del
pendolo dal nodo sul gancio. Verificate il baricentro mettendo il peso in equilibrio Verificate la corretta misura della lunghezza del pendolo misurando direttamente L
Fase 1-a - Primo Test: l’apparato è in grado di fornire un valore di g verosimile ?
Cosa bisogna fare: a) Trasformare la massa appesa al filo in una ‘massa puntiforme
• Fatto
b) Stimare l’errore ‘strumentale/sistematico’ sulla misura della lunghezza del pendolo
• Uso un pendolo semplice
• Uso un pendolo bifilare
• Oscillazione sul piano
• Misura di L ?
• Posso usare base e angolo .. È conveniente ?
L
D
k
a
Fase 1-a - Primo Test: l’apparato è in grado di fornire un valore di g verosimile ?
Cosa bisogna fare: a) Trasformare la massa appesa al filo in una ‘massa puntiforme
• Fatto
b) Stimare l’errore ‘strumentale/sistematico’ sulla misura della lunghezza del pendolo
• Potete farlo ora
c) Stimare l’errore strumentale sulla misure del periodo del pendolo
Il ‘reference sheet’ del photogate dice:
Detector rise time: < 500 ns errore trascurabile ( - come lo verifico ?)
Detector fall time: < 50 ns errore trascurabile ( - come lo verifico ?)
Parallax error: For an object passing within 1 cm of the detector, with a velocity less than 10
m/s, the difference between the true and effective length is less than 1 mm.
- Bisogna stimare la velocità del pendolo al momento della misura del periodo
- v = radq(2gL(1-cos()) m/s
- se v < 10 m/s allora l’errore sul periodo è inferiore a 0.001/v s
- Stimare l’errore sul periodo
- Una volta nota l’incertezza sulla misura del tempo e della lunghezza è opportuno trovare quali sono i
parametri sperimentali che minimizzano l’errore
- Come si fa ? Propagazione errori usando numeri realistici e come parametri L e T
Stima della
velocità in m/s
Usate i dati sperimentali
Incertezza sulla misura
del periodo in s
Attenzione
La trattazione teorica elementare ha alla base alcune ipotesi ‘semplificative’ che non
necessariamente si riscontrano in un pendolo reale. In particolare: Filo inestensibile e senza massa
Assenza di attrito o di alcuna influenza esterna
Massa puntiforme
Moto planare ed assenza di torsioni e/o rotazioni
Piccole oscillazioni (in particolare l’ipotesi che sen() ~ )
T T0 11
22sin
2
21
223
4
2
sin4
2...
Correzione alle piccole oscillazioni
E’ importante scrivere e disegnare tutto quello che avete fatto (misure, accorgimenti, trucchi, ..)
in un ‘diario’ o ‘log book’. Ogni dettaglio o procedura sperimentale applicata, se correttamente
scritta e documentata, può essere di fondamentale importanza per capire ed interpretare i dati
sperimentali che avete ottenuto. La procedura in se stessa può essere molto noiosa ma lo sforzo
vale assolutamente il risultato.
ATTENZIONE
1.000
1.005
1.010
1.015
1.020
1.025
1.030
0 10 20 30 40
Ampiezza di Oscillazione
Fa
tto
re d
i c
orr
ezio
ne
de
l p
eri
od
o
T T0 11
22sin
2
21
223
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2
sin4
2...
Correzione alle piccole oscillazioni
• T0 rappresenta il periodo che dovrei misurare se avessi un pendolo ideale
• T rappresenta il periodo che effettivamente misuro quando l’ampiezza di
oscillazione è pari a
Fattore di correzione = T/T0
Fase 1-b - Presa dati
E’ necessario modificare tutti i parametri sperimentali a disposizione (angolo di oscillazione,
lunghezza del filo, massa appesa) per verificare se la legge fisica usata sia corretta o adeguata alla
tipologia e precisione di misura che stiamo eseguendo
Sappiamo gia che di dovrebbe essere una dipendenza del periodo con l’angolo di oscillazione
Perche non è vera la approssimazione sen() = in quanto non può essere infinitesimo
Pendolo – massa costante – lunghezza fissata
Dataset-2 periodo in funzione dell’angolo ogni 5°
Problema da risolvere: Come arrivo all’angolo 0° ?
Se uso un angolo piccolo è più corretta l’approssimazione sen(q)=q
Se uso un angolo piccolo ho un errore maggiore sul periodo
Se uso un angolo piccolo sono più sensibile ad oscillazioni spurie
Problema da risolvere: qual’è è l’angolo massimo che posso usare ?
Confronto le misure di periodo corrette con quella attesa a 0°
Pendolo – massa costante – angolo fissato
Dataset-3 almeno 4 lunghezze (DL > 15 cm) – 10 oscillazioni
Pendolo – Lunghezza costante – angolo fissato (Facoltativo)
Dataset-4 Angolo fissato, Lunghezza fissata
Misurare 10 periodi con due masse differenti (non di poco)