1
PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE O
INTEGRALE INDEFINITO
1. DEFINIZIONE DI PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE
2. L'INSIEME INFINITO DELLE PRIMITIVE
3. INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI E FONDAMENTALI
4. PROPRIETA' DI LINEARITA' DELL'INTEGRALE INDEFINITO
5. ALCUNI IMPORTANTI METODI DI INTEGRAZIONE
a. Integrazione per sostituzione
b. metodo “per parti”
c. Integrazione delle funzioni razionali fratte
2
1. DEFINIZIONE DI PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE
Definizione: data una funzione f(x), definita in un intervallo I R, diciamo che una funzione F(x) definita pure in I, è primitiva della funzione f(x) sull'intervallo I, se F(x) è derivabile in I, con F'(x) = f(x) , x I e si scrive:
Si legge: integrale indefinito della f(x) in dx ; f(x) è la funzione integranda e dx è il differenziale della variabile indipendente x.
xFdxxf
: teoremaseguente dal spiegato vieneconcetto importante Questo
cxFdxxf
:scrive si e infinite ammette ne allora primitiva, una ammette funzione una se che Osserva
Rc x2
1D anche :N.B
x2
1D perchè dx
x2
1
Rc x4
1D anche :N.B x
4
1D perchè
4
1dxx
:esempioPer
343443
cxxx
xcxx
3
c. costante qualunque una F(x) alla oaggiungend tutteottengono si che infinite, ammette ne allora
F(x), funzione la primitiva come I intervalloun in ammette funzione una se che segue teoremaDal
c. G(x)-F(x) e , I x costante è H(x) I xe x 0xfxfxGxFxHxx
)H(x)H(x
che talex;x xpuntoun almeno Lagrange di teoremailper
; G(x)-F(x)H(x) funzione la e xcon x I, xe xmoconsideria :oneDimostrazi
2 1000'
0'
0'
12
12
210
2121
2. L'INSIEME INFINITO DELLE PRIMITIVE
Teorema : se F(x) e G(x) sono due primitive di f(x) sull'intervallo I, allora esiste una costante c R tale che F(x) = G(x) + c x ( F(x) - G(x) = c ).
Teorema: una funzione f(x) continua nell'intervallo I, ammette primitiva in tale intervallo.
4
22
22
22
22
x
0x
11
22
1
1D perchè dx
1
1 10.
x1
1D perchè dx
x1
1 .9
1cos
1D perchè 1dx
cos
1 .8
cosD perchè cosxdx .7
cosD perchè cossenxdx .6
dxe
logD perchè 1-Racon logdxa .5
1ln:0
11ln:0
lD perchè ldxx
1 4.
1
1D perchè 1con
1
1dxx .3
2
1D perchè
2
1xdx .2
1D perchè 1dx dx .1
xcarctgxcarctgx
x
carcsenxcarcsenx
xtgx
ctgxctgxdxxtgx
xcsenxcsenx
senxcxcx
ceeparticolarin
aceacea
xcxDx
xxcxDx
cxncxn
xcxRcx
xcxcx
cxcx
x
xa
xa
x
3. INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI E FONDAMENTALI
5
4. PROPRIETA' DI LINEARITA' DELL'INTEGRALE DEFINITO
... infatti cx10
77elog327cx
173
111elog327dxx11dx327dxx11327
35x2xc3xx2
5x
3
2D infatti c3xx
2
5x
3
2dx3xdx5dxx2dx35x2x
3x20cosxcx2
320senxD infatti cx
2
320senxxdx3cosxdx20dx3x20cosx
5x cx2
5D infatti cx
2
15xdx55xdx
:Esempi
funzioni.n ad estende si teoremail Ovviamente
c.v.d. xβgxαfdxxgβDdxxfαDdxxgβdxxfαD
anche ma , xβgxαfdxxβgxαfD
xfdxxfD che osservare basta onedimostrazi laper : oneDimostrazi
dxxgβdxxfαdxxβgxαf
:ha si R β α, allora , I intervallonell' primitive ammettono che funzioni due g(x) e f(x) siano :Teorema
7 103
x1
7
3
3x7
3x7 3x
2232322
22
22
6
5.a INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE
1° CASO
cxF xdφ xφfdxxφ xφf : sintetico metodo
cxFctFdttfdxxdt
xtdxxφ xφf
dxxdt
xt:nesostituzio seguente la con procede si xφ xφf tipo del è integranda funzione la Se
.dx xf xdf :f(x) funzione una di aledifferenzi di edefinizion la Ricordare
'
'
'
'
'
'
ccosxlncosxdcosx
1dx
cosx
senxtgxdx
ccosxlnctlndtt
1
senxdxdt
cosxtdx
cosx
senxtgxdx :es.
cxfln ctlndtt
1dxxf
xf
1 2.
cxsen4
1senxdxsencosxdxxsen
cxsen4
1ct
4
1dtt
cosxdxdt
senxtcosxdxxsen:es.
-1)(α c xf1α
1 ct
1α
1dttdxxf xf 1.
sintetico metodo il applica si o indicata nesostituzio la sempre effettua si :notevoli Esempi
'
433
4433
1α1αα'α
7
c senx2
1xdcosx
2
1dxcosxx
c senx2
1csent
2
1costdt
2
1
2xdxdt
xtdxcosxx:es.
cxf-cosc-cost sentdtdxxf xfsen 4.
2222
22
2
'
c2exde2dxx
e
c2ec2edte2
x2
1dt
xtdx
x
e:es.
celogacelogadtadxfa 3.
xxx
xttx
axf
att'xf
dx
x
ctg3x3
73xd
3xcos
1
3
7dx
3xcos
7
ctg3x3
7ctgt
3
7dt
tcos
1
3
7
3dxdt
3xtdx
3xcos
7 :es.
cxftgctgtdttcos
1dxxf
xfcos
1 5.
22
22
2'
2
cxsenarctgxsend xsen1
1dx
xsen1
cosx
csenxarctgcarctgtdtt1
1
cosxdxdt
senxtdx
xsen1
cosx:es.
cxfarctgcarctgtdtt1
1dxxf
xf1
1 8.
cxln5arccosxlndxln-1
15dx
xln-1x
5-
cxln5arccosc5arccostdtt-1
15
dxx
1dt
lnxtdx
xln-1x
5- :es.
cxfarcsencarcsentdtt-1
1dxxf
xf-1
1 7.
c1-2x2cotg1-2xd1-2xsen
1
2
4dx
1-2xsen
4
c1-2x-2cotgc2cotgtdttsen
1
2
4
2dxdt
1-2xtdx
1-2xsen
4 :es.
cxfcotgccotgtdttsen
1dxxf
xfsen
1 6.
2222
22
2'
2
22
22
22
2
'
2
22
22
2'
2
9
INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE
2° CASO
cttdtttdt
t
tt
c
dtt
dtdtt
tdt
t
ttdt
t
tt
x12x13
22
3
212
12
2tdtdttφdx
1tφxx1tdx
x1
x .3
carcsenecarcsentdtt
1
t1
t
dtt
1dttφdx
lnttφxetdx
e1
e 2.
xarctgx2carctgtt2
1
12
1
112
122
12tdtdttφdx
tφxxtdx
x1
x 1.
:Esempi
dt tφdx
tφxxφt :nesostituzio lacon procede si quindi
I,x 0xφcon e derivabile e,invertibil xφ interna funzione una integranda funzione nella Individuo
3322
'1
21
x
2'1
1x
2x
x
22
2
2
2
2'1
21
'1
1
'
10
21
t
1
2t
1
5
1xf
5
2B1;2B
2
A5
2A B;A
21
t2t
2B2A
tBA
2
1
21
t
B
2t
A
2
1
21
t2t2
1
23t2t
1xf *
2-2x
tg
12x
2tgln
2-t
12tln
2-t
12tln
5
1
c12tln2tln5
1dt
12t
12dt
2t
1
5
1*dt
23t2t
1
2
55
2
ccc
dttt
dtt
t
t
t
t 464
2
1
2
1
14
1
23
1
dtt1
2dx 2arctgt; x;
2
xtgt
2x
tg1
2x
tg1cosx ;
2x
tg1
2x
2tgsenx
dx4cosx3senx
1 .4
22
2
2
22
2
2
2
11
INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE
3° CASO
cxxcttdtt
dtdtt
tdt
t
t
tdtdx
xttx
cxxt
Esempi
1ln21ln21
12
1
112
12
2x1
dx 2.
0.costcon quindi , ;-con t arcsenx, tdi dominio il anche è che , 1;1D :NB
1arsenx2
1sen-1sentt
2
1
costsentt2
1csen2t
2
1t
2
1dtcos2t dt
2
1dt
2
cos2t1dtt cosNB
costdtcostcostdttsen1costdtdttφdx
arcsenxtsenttφxdxx1 1.
:
dttφdx
tφx :nesostituzio lacon procede si quindi I,t 0tφcon e
derivabile e,invertibil tφ funzione opportunaun' integranda funzione della denteindipenden e variabilalla oSostituisc
2
2π
2π
f
22
2
2'
2
''
12
5.b INTEGRAZIONE PER PARTI
dx xgxfxgxfdx xgxf
dx xgxfdx xgxfDdx xgxf ha si integrando quindi
xgxfxgxfDxgxf xgxfxgxfxgxfD : oneDimostrazi
dx xgxfxgxfdx xgxf
finito fattore del derivata xg ; derivato fattore del primitivaxf
finito fattore xg ; derivato fattorexf
I.in derivabili e continue funzioni due g(x) e f(x)con , " xgxf " tipodel è
integranda funzione la quando applica si parti"per " neintegraziodell' metodo Il
''
''
''''
''
'
'
'
cxx 1ln dx xlnxdxx
1xxlnxdxlnxxxlnxdxlnx xdxlnx .1
. ... senx, , a dirette funzioni le derivato fattore come econsiderar conviene mentre , ...arcsenx x,log come
inverse funzioni le finito fattore econsiderar conviene solito di " xf x" tipodel integrande funzioni lePer N.B.
: Esempi
''
xa
n
13
cc
dxex
dxexdxex
x
xx
cosxsenxe 2
1 dx cosxe ecosxesenx dx cosxe2
cui da , cosecosxesenx dx cosxe quindi
cosecosxesenxcosecosxesenx dxesenxesenx dx cosxe 5.
cxx9
1lnxxx
3
1 dx1x
3
1lnxxx
3
1 dx
x
1xx
3
1lnxxx
3
1 dx lnx1x 4.
c22xxec2e2xeexdxexe2 e xdxe2xexdxex 3.
cx1ln2
1ct1ln
2
1dt
t1
1
2
1
2xdxdt
xtdx
x1
x A
cx1ln2
1arctgxx dx
x1
xarctgxx dx arctgxxdxarctgx 2.
xxxxx
xxx
xxxx
ff
x
fd
x
fdff
x
332333
fffd
2
2xxxx2xxx2xx2
fd
x
ff
2
22
2
2
(A)
2fffd
'
14
5.c INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI FRATTE
2x
1
1x
1-xf
1
1
1B-2A-
0BA
2x1x
2
2x
B
1x
A
2x1x
1xf ;2x1x23x x#
1
2ln2ln1ln
2x
1
1x
1-#
23x
1 :es.
cxxBlnxxAlna
1dx
x-x
Bdx
x-x
A
a
1 *
xx
B
x-x
Aa1
xxx-x
1a1xf xxx-xacbxax 0Δ a.
:casi 3 presentano si *dx cbxax
1 .2
c32xln2
1dx
32x
1:es. ln
1dx
bax
1 1.
2
2
2121
212121
2
2
B
A
BAxBA
cx
xcxxdxdx
x
cbaxa
15
.aimmaginari parte della coeff. 4
7n ; reale parte
4
1m
4
7i
4
1inmz
4
7i
4
1
4
711-
4
711-
4
71-
4
811-z 0;1x2x:es.
inmxinmxa zxzxa cbxax
:così scompone si c"bxax" trinomioil quindi , z complessi numeri dei
aimmaginari parte in"" e reale parte detta m""con ,in mz coniugati complessi
numeri due i sono 0cbxax equazionedell' soluzioni le contesto in tale
; i1- anche o 1,i che taleI, i aimmaginari unitàl' dointroducen
, IRC C;R C complessi numeri dei insiemenell' ragionare deve si 0Δ c.
c32x2
1c
2t
1dt
t
1
2
1
2dxdt
32xtdx
32x
1dx
912x-4x
1:es.
kdcxc
1k
ct
1dt
t
1
c
1
cdxdt
dcxtdx
dcx
1 *
dcx
1xf dcxcbxax 0Δ b.
1,2
1,2
1,2
2
212
21,2
2
2
222
22
222
16
c7
14xarctg
7
2
4741
xarctg
72
4
4
7n
4
1m
dx1x2x
1 :es.
cn
mxarctg
an
1carctgt
an
1dx
1t
1
an
n
dn
1dt
n
mxt
dx
1n
mx
1
an
1 *
1n
mxan
1xf 1
n
mxan
nmxainmxinmxainmxinmxacbxax
: modo seguente nel iamo trasformla e xf integranda funzione alla Torniamo
2
2222
22
22
222
x
17
144x
44841
4484
132x
44α3β4
1α
3β4α
28αβ4α x8αβ48xα32x 48x14x4xD *
c12x
2c
t
2dtt2dt
t
1
2
4
dx2dt
12xt dx
1-2x
4 (B)
c14x4xln4
1clnt
4
1dt
t
1
4
1
dx48xdt
14x4xt (A)
c12x
214x4xln
4
1
dx14x4x
4 dx
14x4x
48x
4
1dx
14x4x
448x41
*dx14x4x
32x :es.
αbdβ
2a
cα
βαb2aαadcx βb2axαdcx b2axcbxaxD *
cdxcbxax
βcbxaxαln
dxcbxax
βdx
cbxax
b2axαdx
cbxax
βb2axα* dx
cbxax
dcx 3.
2
2
222
22
2
(B)
2
(A)
222
2
22
2222
x
xxfx
18
2
12
1
12
0
2
2
2
2
22
1
2xx
1 #
2ln2
1ln
2
1
2
1
2
11
2
1
22
1
2
1#
2xx
1 B
ln2
12ln
2
33ln2ln
2
172xxln8
2xx
117
2xx
228
2xx
17228
2xx
116x
17β ; 1β2α
8α ; 162α β2α x2α116x β22xα116x 22x2xxD A
ln2
12ln
2
338
3
1
2xx
116x82xx
2xx
116x82xxxfdx
2x
1x4x :es.
cbxaxcbxax
k...dxcxxf *
cbxax * 2ncon dx
cbxax
k...dxcx 4.
2
2
2
B
2222
2
23
A
22
22
2
24
22
1-nn
22
1-nn
B
A
A
BA
xx
AxBA
xx
BxAAx
x
B
x
A
xx
cxxx
dxx
dxxx
dx
cxxxx
dxdxx
dxx
dx
cxxxxx
dxdxx
xRxQ
dxxR
dxxQ