Probabilità 03 - 1 / 41
Lezione 4Probabilità
Probabilità 03 - 2 / 41
Nella prima parte ...
La definizione classica della probabilità:
n
sE P
La definizione frequentista della
probabilità: N
nE E
N limP
La definizione assiomatica della
probabilità:
assiomi diKolmogoroff
11 i
i
i
i EE PP
1
0
S
EEPP
A
Probabilità 03 - 3 / 41
Nella seconda parte…
Una funzione di probabilità P è una funzione di insieme che:– ha per dominio lo spazio degli eventi A ,– ha per codominio l’intervallo [ 0, 1 ] ,– soddisfa i 3 assiomi di Kolmogoroff
11 i
i
i
i EE PP
1
0
S
EEPP
A•
•
• se E1 , E2 , … , En , ... è una sequenza di eventi mutamente esclusivi
dello spazio degli eventi A e se l’evento unione di tali eventi appartiene allo spazio degli eventi A, allora la probabilità dell’evento unione è pari alla somma delle probabilità dei singoli eventi:
Probabilità 03 - 4 / 41
Variabile casuale
definizione:
La variabile casuale X è una funzione avente come dominio
lo spazio campione S e come codominio la retta reale, fissato
che sia lo spazio di probabilità ( S, A, P [ ● ] ) in cui si opera.
requisito:
l’insieme di tutti gli elementi
s S tali che la loro
immagine X(s) sia minore
di un determinato x R deve essere un evento.
x2 E = { s1, s3 }
Probabilità 03 - 5 / 41
Variabile casuale
“Mappatura” di S
(C,C) 0
(T,C) 1
(C,C) 2
Probabilità 03 - 6 / 41
Popolazione oggetto
• Si definisce “popolazione oggetto” l’insieme di tutti quegli elementi che hanno in comune almeno una caratteristica.
• Una popolazione oggetto può essere finita o infinita a seconda che sia composta da un numero finito o infinito di elementi (persone, oggetti, misure, osservazioni, …)
• Limitiamo il nostro interesse a quelle caratteristiche comuni agli elementi della popolazione oggetto che sono classificabili come “grandezze misurabili” (numerali, razionali, strumentali, selettive, complesse).
Probabilità 03 - 7 / 41
Dalla popolazione oggetto alla variabile casuale
Caratteristica comune dellapopolazione
oggetto
Misure della caratteristicacomune della
popolazione oggetto
con dimensione fisica
con unità di misura
adimensionaleValori della
variabile casuale X
Probabilità 03 - 8 / 41
Dallo spazio campione alla retta reale
tramite la variabile casuale
definizione:
La variabile casuale X è una funzione avente come dominio lo
spazio campione S e come codominio la retta reale,
fissato che sia lo spazio di probabilità ( S, A, P [ ● ] ) in cui si opera.
convenzione:
Indicheremo con X(s) la variabile casuale e con
x i valori che
essa assume
Probabilità 03 - 9 / 41
Sommario
• I modelli della popolazione oggetto– grandezza caratteristica – introduzione ai modelli della popolazione oggetto
• funzione “di probabilità cumulativa”• funzione “densità di probabilità”
– variabili casuali discrete– variabili casuali continue
• I parametri dei modelli– i valori attesi– i quantili
• La distribuzione normale– la distribuzione di Gauss– la distribuzione normale “standardizzata”
Probabilità 03 - 10 / 41
parte 3 (segue)Le funzioni di
probabilità
Probabilità 03 - 11 / 41
Modelli della popolazione oggetto
Le funzioni di probabilità, cioè la
– densità di probabilità fX ( x ) e la
– distribuzione cumulativa di probabilità FX ( x ),
sono “modelli matematici” con cui si cerca di descrivere la popolazione
oggetto per quanto è attinente al
valore (della misura) della caratteristica comune.
Probabilità 03 - 12 / 41
Variabili casualicontinue
Probabilità 03 - 13 / 41
Funzione di distribuzione cumulativa
La “funzione di distribuzione cumulativa FX ( x )” può essere concepita sia con riferimento a variabili casuali discrete, sia con riferimento a variabili casuali continue.
In entrambi i casi la FX ( x ):
• ha per dominio l’asse reale,• per codominio l’intervallo chiuso [ 0 , 1 ],• ed è definita come:
FX ( x ) = P [ X x ] = P [ { s : X ( s ) x } ]
Probabilità 03 - 14 / 41
Funzione di distribuzione cumulativa
• La funzione di distribuzione cumulativa FX ( x ), nel caso di una
variabile casuale X di tipo continuo, presenta un andamento
diverso da quello già visto nel caso discreto:
Probabilità 03 - 15 / 41
Funzione di densità di probabilitàdefinizione:
Data una variabile casuale continua X si dice
“ funzione di densità di probabilità di X ” o “ funzione di densità ” quella funzione fx ( x ) per cui:
duufx
X
FX (x)
ricordiamo che se X è discreta:
la funzione di distribuzione cumulativa FX ( x ) è legata alla funzione
di densità discreta fX dalla relazione:
xxj
jX
j
xf:
FX (x)
Probabilità 03 - 16 / 41
Funzione di densità di probabilità
• La funzione di densità di probabilità fX ( x ) è
una funzione da R nell’intervallo chiuso [ 0,1 ] che gode delle seguenti proprietà:
•
•
R xxf X ,0
1
dxxf X
Probabilità 03 - 17 / 41
I parametri dei modelli della
popolazione oggetto
Probabilità 03 - 18 / 41
Modello della popolazione
• Le funzioni di densità di probabilità fX ( x ) e distribuzione
cumulativa FX ( x ) sono “modelli matematici” con cui si cerca di descrivere la popolazione per quanto è attinente alla caratteristica comune.
Probabilità 03 - 19 / 41
Parametri della distribuzione
• Questi parametri, di regola legati a quelli che si definiscono “valori attesi”, rivestono grande importanza nella caratterizzazione della forma della distribuzione.
• I principali parametri di una distribuzione sono:– la media– la varianza
• Le funzioni di densità di probabilità fX ( x ) e distribuzione
cumulativa FX ( x ), oltre ad essere funzione della variabile X,
dipendono anche da altri parametri.
Probabilità 03 - 20 / 41
Media
definizione:
Si definisce “media” (o “valore atteso”) della variabile casuale X la funzione:
N
j
jX
j
jXjX
XX
N
x
xfx
dxxfx
1
1
• X variabile casuale continua
con funzione di densità fX ( x )
• X variabile casuale discreta con punti massa x1 , x2 , … , xn , …
e con funzione di densità discreta fX
• X variabile casuale discreta con punti massa x1 , x2 , … , xn , … equiprobabili
Probabilità 03 - 21 / 41
Varianza
definizione:
Data una variabile casuale X con media X si definisce “varianza” la funzione:
N
j
Xj
j
jXXj
XX
N
xX
xfxX
dxxfxX
1
2
1
2
2
var
var
var • X variabile casuale continua con
funzione di densità fX ( x )
• X variabile casuale discreta con
punti massa x1 , x2 , … , xn , …e funzione di densità discreta fX
• X variabile casuale discreta con
punti massa x1 , x2 , … , xn , …
equiprobabili
Probabilità 03 - 22 / 41
Scarto quadratico medio
definizione:
si definisce “scarto quadratico medio” o “deviazione standard”
la radice quadrata (positiva) della varianza:
XX var
Probabilità 03 - 23 / 41
Quantili
definizione:
il quantile q-esimo xq di una variabile casuale continua X
è il più piccolo valore x R tale che F X (xq) = q
Probabilità 03 - 24 / 41
Quantili
il quantile q-esimo xq di una variabile casuale continua X
è il più piccolo valore x R tale che F X (xq) = q
la definizione specifica che il quantile è “il più piccolo …”
e non “il valore …” per poter avere validità
sia con le variabili casuali continue sia con quelle discrete.
Probabilità 03 - 25 / 41
Quartili, percentili
tra i quantili più comunemente usati vi sono i tre quartili Q1, Q2 e Q3 che
hanno la caratteristica di suddividere l’area sottesa dalla funzione di densità
in quattro parti uguali, di modo che ciascuna di queste parti rappresenta il
25% del totale.
i percentili (o, più semplicemente, “centili”) sono quei quantili che
suddividono l’area in cento parti uguali.
Probabilità 03 - 26 / 41
Distribuzione normale o “di Gauss” ( o “di Laplace” o di “De Moivre” )
Probabilità 03 - 27 / 41
Distribuzione normale o “di Gauss”
definizione “classica”:
una popolazione con media e varianza 2 ha
distribuzione normale se la sua densità fX ( x )
può essere espressa nella forma:
2
2
1exp
2
1 xxf X
Probabilità 03 - 28 / 41
Distribuzione normale o “di Gauss”
definizione “semantica”:
una popolazione con media e varianza 2 ha
distribuzione gaussiana se la sua densità fX ( x )
può essere espressa nella forma:
2
2
1exp
2
1 xxf X
Probabilità 03 - 29 / 41
Distribuzione normale
una popolazione distribuita in modo normale
su cui viene definita una variabile casuale continua X
con media e varianza 2 può essere modellata mediante una
funzione di densità di probabilità fX ( x ) espressa nella forma:
2
2
1exp
2
1 xxf X
Probabilità 03 - 30 / 41
Distribuzione normale
al variare del valore della media la fX ( x ) trasla indeformata
la media e varianza 2 ( o la sua radice quadratache viene
indicata come scarto quadratico medio ) costituiscono i parametri di forma della distribuzione normale in quanto
l’andamento della densità fX ( x ) viene condizionato dai valori
di tali parametri:
Probabilità 03 - 31 / 41
Distribuzione normale
al variare del valore della varianza 2 la fX ( x ) si deforma
la media e varianza 2 ( o la sua radice quadratache viene
indicata come scarto quadratico medio ) costituiscono i parametri di forma della distribuzione normale in quanto
l’andamento della densità fX ( x ) viene condizionato dai valori
di tali parametri:
Probabilità 03 - 32 / 41
Dalla distribuzione normale alla “normale standard”
• teorema 2.x:
se X è una variabile casuale con distribuzione normale,
media e varianza 2 , allora la variabile casuale Z
ha distribuzione normale, con media nulla e varianza unitaria.
La densità della Z è pertanto espressa dalla:
2exp
2
1 2zzfZ
X
Z
Probabilità 03 - 33 / 41
Dalla distribuzione normale alla “normale standard”
• teorema 2.x:
se X è una variabile casuale con distribuzione normale,
media e varianza 2 , allora la variabile casuale Z
ha distribuzione normale, con media nulla e varianza unitaria.
X
Z
Probabilità 03 - 34 / 41
Dalla distribuzione normale alla “normale standard”
• se X è una variabile casuale con media , varianza 2 ed ha distribuzione normale
• allora la nuova variabile casuale Z che assume valore
risulta avere:
– media Z = 0,
dxxfdxxfx
dxxfdxxfxdxxfx
XX
XXXZ
1
xx
z
Probabilità 03 - 35 / 41
Dalla distribuzione normale alla “normale standard”
• se X è una variabile casuale con media , varianza 2 ed ha distribuzione normale
• allora la nuova variabile casuale Z che assume valore
risulta avere:
– media Z = 0,
xx
z
0
1
dxxfdxxfx
dxxf
dxxfx XX
Z
X
X
Probabilità 03 - 36 / 41
Dalla distribuzione normale alla “normale standard”
• se X è una variabile casuale con media , varianza 2 ed ha distribuzione normale
• allora la nuova variabile casuale Z che assume valore
risulta avere:
– media Z = 0, varianza var [ Z ] = 1,
xx
z
2
2
2
2
22 0var
dxxfx
dxxfx
dxxfx
dxxfzZ
X
X
XXz
Probabilità 03 - 37 / 41
Dalla distribuzione normale alla “normale standard”
• se X è una variabile casuale con media , varianza 2 ed ha distribuzione normale
• allora la nuova variabile casuale Z che assume valore
risulta avere:
– media Z = 0, varianza var [ Z ] = 1,
xx
z
1var
var
var
2
2
22
Zdxxfx
Z
Xdxxfx
X
X
Probabilità 03 - 38 / 41
Glistimatori
Probabilità 03 - 39 / 41
Popolazione oggetto
• Si definisce “popolazione oggetto” l’insieme di tutti quegli elementi che hanno in comune almeno una caratteristica.
• Una popolazione può essere finita o infinita a seconda che sia composta da un numero finito o infinito di elementi (persone, oggetti, misure, osservazioni, …)
• La caratteristica comune agli elementi della popolazione oggetto viene, nella maggior parte dei casi, espressa da un numero che ne rappresenta il valore. Studieremo quindi popolazioni costituite da insiemi di numeri che rappresentano i valori ottenuti mediante la misurazione della caratteristica comune agli elementi della popolazione oggetto, valori che risultano
distribuiti con una densita f [ ·].
Probabilità 03 - 40 / 41
Misurazione della caratteristica comune
• Il valore della caratteristica che accomuna gli elementi della popolazione campione può essere determinato con le più diverse procedure di misurazione: quando le misure non sono tali da procurare danni agli elementi misurati si può ipotizzare una prova “a tappeto”, ma quando le prove possono danneggiare i dispositivi la prova deve essere condotta “su di un campione”.
Probabilità 03 - 41 / 41
Gli “stimatori”
• Quando non è possibile individuare il valore di un parametro atteso dall’esame della distribuzione o dall’esame dell’intera popolazione retta da quella distribuzione si ricorre ad una sua stima esaminando un campione di numerositàlimitata con l’ausilio di una funzione matematica detta “stimatore”.