Problema retta tangente:Come definiamo la retta tangente in un punto
ad una curva?
Nel caso di alcune curve, come la circonferenza, diremmo:“La retta tangente è quella retta che ha un solo punto, o meglio, due coincidenti, in comune con la curva”
Questa definizione però non è sempre accettabile:
Una retta può essere tangente in un punto della curva e secante in un altro!
P
Q
La retta è tangente in P e secante in Q.
Come fare allora?
AB BB B=A
Consideriamo due puntiA e B e la retta secante alla curva in A e B.
Quando B coinciderà con A che retta avrò ottenuto?
La retta ottenuta è la tangente alla curva nel punto A
Quindi immaginiamo di tenere fisso A e di avvicinare B ad A, ritracciando di volta in volta le rette secanti.
Nuova definizione di retta tangente
AB BB
“La retta tangente ad una curva in un suo punto A è la posizione limitedella secante AB al tendere del punto B al punto A”
NB:perché la chiamo posizione limite?
Ci serviamo delle nostre conoscenze di analisi per determinare l’equazione della tangente ad una curva
Sia y=f(x) una funzione.Prendiamo un punto A sulla curva :A( c ; f(c) )poi un punto B B ( c+h ; f(c+h) )
h
cfhcf
xx
yym
AB
ABAB
)()(
Chi è il coefficiente angolaredella retta secante AB?
A
B
h
cfhcf
x
y )()(
Tale rapporto si indica con
e prende il nome di RAPPORTO INCREMENTALE della funzione relativo a c .
A
B
Significato geometrico: il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta secante passante per A(c,f(c)) e B(c+h,f(c+h)).
Alla luce della nuova definizione, chi sarà la retta tangente alla curva nel punto A?
Graficamente otteniamo la retta tangente avvicinando B ad A, ovvero riducendo la distanza h tra l’ascissa di A e l’ascissa di B
A
B
A B
BA
A
Qual è l’equazione di tale retta tangente?
Per conoscere la retta tangente dovremmo conoscere un punto per cui passa e il suo coefficiente angolare.
La retta tangente passa per A(c ; f(c) )Ma chi è il suo coefficiente angolare ?
)( AtA xxmyy
Se la retta tangente si ottiene come posizione limite della secante al tendete di B ad A, cioè riducendo la distanza h, lo stesso vale per il coefficiente angolare:
Il coefficiente angolare della tangente si ottiene calcolando il limite del coefficiente angolare della secante per h che tende a zero.
h
cfhcfm
ht
)()(lim
0
Una funzione si dice derivabile in punto c del suo dominio se esiste il limite finito del rapporto incrementale della funzione nel puto c per h che tende a zero. Tale limite prende il nome di DERIVATA PRIMA della funzione nel punto c e si scrive
h
cfhcfcf
h
)()(lim)('
0
Significato geometrico: la derivata prima della funzione nel punto c è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto (c; f(c)).