Produzione di particelle in Produzione di particelle in collisioni Pb Pbcollisioni Pb Pb
Parte 1:Parte 1:Molteplicità di particelle non Molteplicità di particelle non
identificateidentificate
3
Produzione di particelle in Produzione di particelle in collisioni di ionicollisioni di ioni
Molteplicità = numero di particelle prodotte in una collisione
La molteplicità in collisioni nucleari contiene informazioni su: Entropia del sistema creato nella collisione
Come l’energia iniziale disponibile nella collisione viene ridistribuita per produrre particelle nello stato finale.
Densità di energia nello stato iniziale (formula di Bjorken) Meccanismi di produzione delle particelle Geometria (centralità) della collisione
Quindi, si possono ottenere informazioni importanti sulla collisione “semplicemente” contando il numero di particelle prodotte Analisi che non richiede identificazione di particelle, quindi viene
normalmente effettuata nei primi giorni di presa dati A RHIC il primo articolo è apparso 7 giorni dopo aver acceso il fascio
4
E’ semplice contare le particelle?E’ semplice contare le particelle?
In collisioni PbPb centrali all’SPS si creano più di 1000 particelle !!!
5
E’ semplice contare le particelle?E’ semplice contare le particelle?
In collisioni AuAu centrali alla massima energia RHIC si creano circa 5000 particelle !!!
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Molteplicità e detector designMolteplicità e detector designIl numero di particelle prodotte nella collisione è un parametro importante per progettare esperimenti con ioni L’ “occupazione” di un rivelatore (es. la frazione di pixel in cui
passa una particella) è legata alla densità di particelle (es. il numero di particelle per cm2 sul sensore) e quindi alla molteplicità
Il danneggiamento da radiazione è legato al numero di particelle che attraversano il volume del rivelatore o dell’elettronica
Al momento della progettazione di ALICE all’LHC i dati sulle molteplicità a RHIC non erano disponibili ALICE è stato progettato sulla base delle molteplicità date da
simulazioni Monte Carlo delle collisioni PbPbI valori di dN/dy attesi a midrapidity variavano tra 2000 e 8000 particelle per
unità di rapidità a seconda del modello di produzione di particelle implementato in un particolare Monte Carlo
I rivelatori di ALICE sono stati progettati per avere buone performances fino a valori di densità di particelle dN/dy = 8000
7
Molteplicità e centralitàMolteplicità e centralitàIl numero di particelle prodotte è legato alla centralità (parametro di impatto) della collisione
Le collisioni di nuclei sono descritte come sovrapposizione di collisioni elementari tra i nucleoni (es. modello di Glauber)
Il numero di collisioni tra nucleoni ( Ncoll ) e il numero di nucleoni partecipanti ( Npart ) dipendono dal parametro di impatto b
Ogni collisione/partecipante contribuisce alla produzione di particelle e quindi alla molteplicità
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Produzione di particelle - HardProduzione di particelle - HardProcessi Hard =
processi ad alto momento trasferito piccole distanze Interazioni a livello partonico La produzione di particelle avviene su scale di tempi brevi La costante di accoppiamento è piccola, quindi sono calcolabili
con tecniche perturbative (pQCD)Sono processi rari (con piccola sezione d’urto hard)
Scalano con il numero di collisioni
collhard
ABhard
ABhard
ABABhard
hardAB
N
bABT
bTAB
bTbp
)(
)(11
)(11)(
9
Produzione di particelle - SoftProduzione di particelle - SoftProcessi Soft =
processi a basso momento trasferito grandi distanze Non sono in grado di risolvere la struttura partonica dei
nucleoni La costante di accoppiamento è grande, l’approccio
perturbativo non funziona richiedono l’uso di modelli fenomenologici non perturbativi
99.5% soft
Il 99.5% (“bulk”) degli adroni prodotti è soft (pT< 1 GeV)
La molteplicità di particelle prodotte in processi soft è prevista scalare con il numero di partecipanti Wounded nucleon model
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Wounded nucleon model (I)Wounded nucleon model (I)Basato sull’osservazione sperimentale (inizio anni ’70) che le molteplicità misurate in collisioni protone-nucleo scalano come:
v è il numero medio di collisioni elementari tra nucleoni (=Ncoll)
Quindi:
2
1
2
1
ppch
pAch
N
NR
pppart
pApart
pAcollpA
collppch
pAch
N
NNN
N
NR
2
1
2
1
2
1
ricordando che in pp: Npart = 2 e in pA: Npart= Ncoll+1
11
Wounded nucleon model (II)Wounded nucleon model (II)Motivazione: la molteplicità “soft” è prevista scalare con Npart perché si assume che la produzione di particelle soft avvenga in questo modo: Un nucleone quando subisce una collisione passa in uno stato
eccitato a vita media lunga Le eventuali collisioni successive non alterano significativamente
questo “baryon-like object” La lunga vita media e la dilatazione lorentziana dei tempi fanno sì
che il “baryon-like object” attraversi tutto il nucleo bersaglio prima di decadere
In altre parole, il tempo di formazione ( = ħ/E ) delle particelle soft è sufficientemente lungo che la loro materializzazione avviene fuori dal nucleo
La produzione di particelle soft quindi: Avviene al di fuori dei nuclei collidenti E’ indipendente dal numero di collisioni subite da ciascun
nucleone Dipende solo dal numero di nucleoni che hanno subito almeno
una collisione passando in uno stato eccitato, cioè da Npart
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Misurare la molteplicitàMisurare la molteplicitàSperimentalmente si misura la molteplicità di: particelle cariche (ionizzanti) particelle in una certa regione spaziale coperta dai rivelatori
(accettanza)Problema: è difficile confrontare risultati di esperimenti con accettanze diverse
Per questo motivo, le molteplicità vengono comunemente espresse in termini di densità di particelle cariche in un certo intervallo di angolo polare Normalmente si usa il numero di particelle cariche in un’unità di
(pseudo)rapidità intorno a midrapidity: Nch(||<0.5) o Nch(|y|<0,5)
Inoltre, le distribuzioni dN/d (dN/dy) contengono altre informazioni sulla dinamica dell’interazione
La pseudorapidità è più facilmente accessibile sperimentalmente perché richiede di misurare una sola quantità (l’angolo ) e non richiede identificazione di particelle e misura di momenti
Distribuzioni dN/dDistribuzioni dN/d e dN/dy e dN/dy
14
Rapidità a RHIC (collider)Rapidità a RHIC (collider)Prima della collisione: pBEAM=100 GeV/c per nucleone EBEAM=(mp
2+pBEAM2)=100.0044 per
nucleone =0.999956, BEAM≈100
Dopo la collisione: I nucleoni del proiettile e del bersaglio (in
verde) sono rallentati e si trovano a valori di y (e di e di ) più bassi di quelli iniziali
Le particelle prodotte (in rosso) sono distribuite nella regione cinematica compresa tra le rapidità iniziali di proiettile e bersaglio
La massima densità è nella regione di rapidità centrale (midrapidity) :0
2
TARGETPROJ
MID
yyy
8.10
36.51
1ln
2
1ln
2
1
TARGETPROJ
BEAMBEAM
BEAMBEAMTARGETPROJ
yyy
pE
pEyy
15
Rapidità a SPS (targhetta fissa)Rapidità a SPS (targhetta fissa)Prima della collisione: pBEAM=158 GeV/c , =0.999982
pTARGET=0 , TARGET=0
Midrapidity
La distribuzione dN/dy nel sistema del centro di massa si ottiene da quella misurata nel laboratorio con una traslazione y’ = y - yMID
La distribuzione dN/d invece non ha questa proprietà
82.5
01ln2
1
82.51
1ln
2
1ln
2
1
TARGETPROJ
TARGET
BEAMBEAM
BEAMBEAMPROJ
yyy
y
pE
pEy
91.22
PROJMID
yy
16
PseudorapiditàPseudorapiditàRegione di midrapidity Particelle con pT>pL prodotte
ad angoli intorno a 90°
Formula di Bjorken per stimare la densità di energia nel caso in cui ci sia un plateau a midrapidity invariante per boost di Lorentz
pL>>pT pL>>pT
pT = pL
= 45 (135) degrees = ±0.88
pT>pL
Regioni di frammentazione Particelle con pL>>pT
prodotte nella frammentazione dei nuclei collidenti ad angoli intorno a 0° e 180°
0
yf
TBJ dy
dN
Ac
m
17
Collisioni PbPb all’SPSCollisioni PbPb all’SPSPb-Pb at 40 GeV/c (√s=8.77 GeV) Pb-Pb at 158 GeV/c (√s=17.2 GeV)
La posizione del picco si
sposta (midrapidity = ybeam/2 )La densità di particelle al picco
aumenta con l’energia
centrali
periferiche
18
Collisioni AuAu a RHICCollisioni AuAu a RHIC
centrali
centrali
perifericheperiferiche
energia s
19
Molteplicità per coppia di Molteplicità per coppia di partecipantipartecipanti
Si introducono le variabili:
che sono la densità di particelle a mid-rapidity e la molteplicità totale per coppia di partecipanti
Motivazione Semplice verifica dello scaling con Npart
Se la produzione di particelle scala come Npart , queste variabili (o una delle due) devono mostrare un andamento piatto in funzione della centralità della collisione
Semplice confronto con le collisioni pp in cui Npart=2
2/
/0
partN
ddN
dd
dNNcon
N
Nch
part
ch
2/
20
Dipendenza dalla centralitàDipendenza dalla centralitàdN/d a midrapidity La densità per coppia di
partecipanti cresce di ≈25% dalle collisioni AuAu periferiche a quelle centrali
Molteplicità totale Nch proporzionale a Npart
Nch per coppia di partecipanti diverso rispetto a collisioni pp
21
DipendenzaDipendenza da da ss
Molteplicità totale Andamento diverso in
collisioni pp e AA Estrapolazione per LHC
(s=5.5 TeV) Nch ≈ 25000-30000
dN/d a midrapidity dN/d in collisioni centrali di
ioni pesanti cresce come ln s Andamento diverso in collisioni
pp e AA Estrapolazione a LHC (s=5.5
TeV) dN/d|=0 ≈ 1100-1500
22
ConclusioniConclusioniDalla misura della molteplicità delle particelle cariche (non identificate) e della loro distribuzione in pseudorapidità (=angolo polare) si impara che: La produzione di particelle segue semplici leggi di scaling al variare
della centralità e dell’energiaLa molteplicità totale scala come Npart produzione di particelle dominata da processi soft
La densità di particelle dN/d a midrapidity cresce come il logaritmo di s
Se si usa la formula di Bjorken per calcolare la densità di energia partendo dalle dN/dy (dN/d) misurate alla massima energia di RHIC si ottengono valori di:
ben al di sopra della densità critica (c≈1 GeV/fm3) previsti dalla lattice QCD per la transizione di fase
1.12
3700
fm145
/GeV6.0
02
2
00
c
c
dy
dN
Ac
m
y
TBJ
≈15 GeV/fm3 (0= 0.35 fm/c)
≈5 GeV/fm3 (0= 1 fm/c)
Parte 2:Parte 2:Molteplicità delle varie specie Molteplicità delle varie specie
adronicheadroniche
24
IntroduzioneIntroduzioneLa misura delle molteplicità di particelle della varie specie adroniche (= quanti pioni, quanti kaoni, quanti protoni …), cioè della composizione chimica dopo l’adronizzazione, permette di rispondere ad alcune domande sullo stato del sistema al momento del chemical freeze-out La fireball era in equilibrio termico e chimico al momento del freeze-out ?
Qual era la temperatura Tch al momento del chemical freeze-out?
Qual era il contenuto barionico della fireball
Note: Equilibrio termico:
a livello macroscopico: temperatura T della fireball definita e uniforme
a livello microscopico: distribuzione di velocità delle particelle descritta da una distribuzione tipo Maxwell-Boltzmann con un unico parametro, la temperatura T
Equilibrio chimico:a livello macroscopico: densità ni delle varie specie di particelle uniformi all’interno della
fireball
a livello microscopico: molteplicità di particelle delle varie specie adroniche dipende solo dalle masse e dalla temperatura
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Molteplicità di particelle identificate (I)Molteplicità di particelle identificate (I)
Pioni vs protoni A basse energie (s<5
GeV) la fireball è dominata dai nucleoni che provengono dai nuclei collidenti (alto stopping power)
I pioni (prodotti nell’interazione) dominano per alte energie (s>5 GeV)
La diminuzione dell’abbondanza di protoni la crescere di s indica un aumento della trasparenza dei nuclei collidenti al crescere dell’energia
26
Molteplicità di particelle identificate (II)Molteplicità di particelle identificate (II)
Pioni Sono i più abbondanti
tra gli adroni prodotti (perché sono quelli con massa minore e soglia di produzione più bassa)
La differenza tra le abbondanze di + e - a basse energie è dovuta alla conservazione dell’isospinL’alto stopping power che si
ha a basse energie forma una fireball dominata dai nucleoni dei nuclei collidenti eccesso di neutroni (N > Z per i nuclei pesanti) isospin totale negativo
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Molteplicità di particelle identificate (III)Molteplicità di particelle identificate (III)
Antiprotoni Sono particelle
prodotte nella collisioneDiversamente dai protoni
per i quali nella fireball ci sono sia quelli prodotti sia quelli “stoppati” dai nuclei collidenti
Forte dipendenza da s (onset of production) alle energie SPS
Alle energie di RHIC il numero di antiprotoni è ≈ a quello di protoniNet-protons ≈ 0Il numero di protoni
“stoppati” dai nuclei collidenti è piccolo
28
Molteplicità di particelle identificate (IV)Molteplicità di particelle identificate (IV)
Kaoni (e iperoni ) Il numero maggiore di
K+ e rispetto alle rispettive particelle (K- e bar) a basse energie è dovuto al contenuto di quark di questi adroniIl K+ (u+anti-s) e la
(u+d+s) richiedono solo la produzione del quark strano, mentre i quark leggeri sono presenti nei nucleoni stoppati
Il K- (anti-u+s) e la bar richiedono invece la produzione di 2 o 3 quark nuovi
Produzione associata di K+ e (coppie s anti-s)
29
Molteplicità di particelle identificate (V)Molteplicità di particelle identificate (V)
Kaoni (e iperoni ) La differenza tra K+ e
K- (e tra L e Lbar) diminuisce al crescere di s perché con il diminuire dello stopping power diminuisce il peso dei quark “stoppati” rispetto a quelli “prodotti”
Le abbondanze di bar e di antiprotoni (entrambi formati da 3 quark “prodotti” e con masse simili) sono molto simili
30
Molteplicità di particelle identificate (VI)Molteplicità di particelle identificate (VI)
Conclusioni Basso s (< 5 GeV):
fireball dominata dalle particelle stoppate
Alto contenuto barionico
Importanza dell’isospin e dei quark “stoppati” dai nuclei collidenti
Alto s (> 20 GeV):Fireball dominata dalle
particelle prodotte
Basso contenuto barionico
Gerarchia in massa ( N > NK > Np )
Modelli statistici di Modelli statistici di adronizzazioneadronizzazione
32
Modelli statistici: assunzioni di baseModelli statistici: assunzioni di baseIl sistema (fireball) creato in una collisione di ioni pesanti si trova in equilibrio termico e chimico al momento del freeze-out chimico Si può scrivere una funzione di partizione del sistema e usare la
meccanica statisticaIdea originale: Fermi (1950s), Hagedorn (1960s): la produzione di adroni in
sistemi eccitati avviene secondo una legge puramente statistica
Per collisioni di ioni si usa l’ensemble grande canonico
Il sistema adronico è descritto come un gas ideale di adroni e risonanze ideale = non interagenti
33
Modelli statistici: noteModelli statistici: noteL’equilibrio termico e chimico è POSTULATO come ipotesi di lavoro Con questa assunzione si può prevedere la molteplicità di
adroni delle varie specie (quanti pioni, quanti kaoni, quanti protoni…) che si fissano al momento del freeze-out chimico del sistema
Dal confronto delle molteplicità previste con quelle misurate sperimentalmente si può verificare la validità dell’ipotesi di equilibrio chimico e termico
Non si fanno assunzioni sulla presenza o assenza di una fase partonica
Non si dice niente su COME e QUANDO il sistema raggiunge l’equilibrio chimico e termico Però: se si forma un sistema partonico in equilibrio chimico e
termico (= il QGP) a un tempo QGP, ci si aspetta che l’equilibrio venga mantenuto nella successiva evoluzione della fireball fino al freeze-out e che quindi il sistema sia in equilibrio al momento dell’adronizzazione
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Perché ensemble gran-canonico?Perché ensemble gran-canonico?I calcoli sono più semplici perché l’energia e le cariche sono conservate “in media” su un volume grande (e non esattamente e localmente come in un sistema canonico) E’ una buona approssimazione per un sistema di molte particelle
La “slice” di fireball a midrapidity (quella di cui si misurano le abbondanze di particelle) è un sistema che scambia particelle e energia con un “serbatoio” esterno ( = le altre particelle prodotte nella collisione)Per sistemi più piccoli (cioè collisioni di ioni a basse energie, collisioni periferiche o collisioni elementari pp e e+e-) si deve usare: l’ensemble canonico
in cui l’energia è conservata “in media” nel sistema mentre le cariche sono conservate esattamente e localmente
l’ensemble microcanonicoin cui energia e cariche sono conservate esattamente
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Gas di adroni e risonanzeGas di adroni e risonanze
Nei modelli statistici di adronizzazione si usa solitamente un gas di adroni e risonanze non interagenti che contiene i contributi di: Tutti i mesoni noti con masse <≈ 1.8 GeV Tutti i barioni noti con masse <≈ 2 GeV
In questo range di massa:
Lo spettro adronico e’ ben conosciuto e misurato con precisione
Le catene di decadimento delle particelle e delle risonanze sono noti
I limiti di massa limitano la validità del modello a temperature T<190 MeV circa. Per temperature superiori il contributo di risonanze più pesanti non è più trascurabile In ogni caso, al di sopra della temperatura critica per la
transizione di fase (≈160-200 MeV) non avrebbe senso parlare di gas di adroni
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Perché gas di adroni e risonanze?Perché gas di adroni e risonanze?Per densità e temperature non troppo alte contiene tutti i gradi di libertà di un sistema confinato e fortemente interagente Le interazioni che portano alla formazione di risonanze sono
incluse implicitamente nell’hamiltoniana (Hagedorn) Si approssima un gas di adroni che interagiscono tra loro
scambiandosi delle risonanze con un gas di adroni e risonanze che non interagiscono
E’ consistente con l’equazione di stato che risulta da calcoli di QCD su reticolo al di sotto della temperatura critica
Quindi: il gas di adroni e risonanze è un “modello effettivo” di un sistema fortemente interagente
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Ensemble gran canonicoEnsemble gran canonico
La funzione di partizione per il caso di gas non interagente è data dal prodotto delle funzioni di partizione (indipendenti tra loro) delle varie specie adroniche:
Dove l’indice i indica la specie adronica (pione, kaone, protone …)
T è la temperatura e V il volume del sistema
i è il potenziale chimico che garantisce la conservazione in media del numero di particelle di specie i
Può essere diverso per le varie specie adroniche: ad esempio la conservazione del numero barionico influisce sui protoni, ma non sui pioni
Passando ai logaritmi
i
iGCi
GC VTZVTZ ),,(),,(
i
iGCi
GC VTZVTZ ),,(ln),,(ln
38
Potenziale chimico Potenziale chimico Il potenziale chimico è il parametro che nell’ensemble gran-canonico garantisce la conservazione “in media” delle cariche ed è dato da:
Qj sono le cariche (numeri quantici) conservate
Qj sono i potenziali chimici che garantiscono che le cariche Qi siano conservate “in media” nell’intero sistema
= energia necessaria per aggiungere al sistema una particella con numeri quantici Qj
In un gas adronico (=governato da interazioni forti) limitato a masse <1.8 GeV (= senza charm, bottom e top) ci sono 3 cariche conservate: Carica elettrica Q (o terza componente I3 dell’isospin)
Numero barionico B Stranezza S
Quindi per una particella di specie i con isospin I3i, numero barionico Bi e stranezza Si si ha:
j
jQ Qj
iSiBiIi SBI 33
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Statistiche quantistiche (I)Statistiche quantistiche (I)Funzione di partizione gran-canonica:
s sono gli stati del sistema di particelle identiche di specie i l’energia e il numero di particelle dipendono dallo stato (Es e Ns) =1/T (se T è misurata in MeV)
Per un sistema quantistico: Lo stato |s> è definito dai numeri di occupazione degli stati |>
di particella singola ( es. : |s> = |1,0,0,3,5…> = |n1, n2, n3 … > = |{n
(s)}> ) Il numero di particelle e l’energia dello stato s sono dati da:
sono gli autostati (di energia E) dell’hamiltoniana di particella singola (= livelli energetici con degenerazione di spin)
s
NEi
GCi
siseVTZ )(),,(
EnEnN ss
ss
)()(
40
Statistiche quantistiche (II)Statistiche quantistiche (II)Inseriamo Es e Ns nella funzione di partizione:
Usiamo le proprietà dell’esponenziale: ex+y=ex·ey e exy=(ex)y
avendo definito:
Esplicitando sommatorie e produttorie:
)(
)()()( )()(
),,(s
si
si
s
n
nE
s
nEn
iGCi eeVTZ
)(
)(
)(
)()(),,(s
s
s
si
n
n
n
nEi
GCi XeVTZ
)( iEeX
n
n
n
n
n
n
n n
nni
GCi XXXXXVTZ )(......),,(
2
2
1
1
1 2
212121...
41
Statistica di Fermi-DiracStatistica di Fermi-Dirac
Vale il principio di esclusione di Pauli: il numero di occupazione per uno stato di particella singola puo’ essere solo 0 o 1
ricordando che si era definito:
)(1
0
11)(),,( iE
n
ni
GCi eXXVTZ
)( iEeX
42
Statistica di Bose-EinsteinStatistica di Bose-EinsteinIl numero di occupazione per uno stato di particella singola puo’ assumere qualunque valore intero n = 0, 1, 2, 3, …
ricordando che si era definito:
1)(
0
11
1)(),,( iE
n
ni
GCi e
XXVTZ
Nota: la somma della serie geometrica xn converge a 1/(1-x) solo nel caso in cui x < 1, che nel nostro caso si traduce in un vincolo su i:
0)( 0)(1 EEEe iii
E i
)( iEeX
43
Funzione di partizione gran canonicaFunzione di partizione gran canonicaLa funzione di partizione per l’i-esima specie adronica si può quindi scrivere come:
gas ideale di particelle identiche (gas di Bose o gas di Fermi) il + vale per i fermioni e il – per i bosoni
sono gli autostati (di energia E) dell’hamiltoniana di particella singola
= livelli energetici con degenerazione di spin
Passando al logaritmo:
1)(1),,( iE
iGCi eVTZ
44
Funzione di partizione gran canonicaFunzione di partizione gran canonicaLimite macroscopico: dalla somma sugli stati di particella singola si passa all’integrale sui momenti:
dove gi=2s+1 è il fattore di degenerazione di spin
Sostituendo nell’espressione di lnZGC si ricava (ħ=c=1):
Dove si è introdotta la fugacità i definita come:
0
22
0
)(22
1ln2
1ln2
),,(ln
Ei
i
Eii
GCi
edppVg
edppVg
VTZ i
iei
dppgh
Vdpps
h
Vpds
h
Vi
23
23
33
44)12()12(
45
Densità di particelleDensità di particelleLa densità ni di particelle di specie i si ricava come:
in cui Ni è il numero totale di particelle di specie i nel sistema
Sostituendo l’espressione della funzione di partizione si ricava:
che sono le distribuzioni di Fermi-Dirac (+) e di Bose-Einstein (-)
i
GCii
iZT
VV
Nn
)ln(1
0 )(
2
2
0
)()(
22
0
)(22
12
)(1
1
2
1ln2
),(
i
i
i
i
Ei
EE
i
E
i
iii
e
dppg
ee
dppTg
edppTg
Tn
46
Integrazione della funzione di Integrazione della funzione di partizione (I)partizione (I)
L’espressione analitica della molteplicita’ Ni di adroni di specie i si ottiene integrando la funzione di partizione
Sviluppando il logaritmo in serie di Taylor si ottiene:
Nota: lo sviluppo di Taylor si può fare se:
0
2
12
01
22
0
22
)1(
2
)1(
2
1ln2
),,(ln
dpepk
Vg
ek
dppVg
edppVg
VTZ
Ek
k
ki
ki
k
kEki
ki
Ei
ii
GCi
Eeee iEE
ii 1
47
Integrazione della funzione di Integrazione della funzione di partizione (II)partizione (II)
Integrando per parti si arriva a:
ricordando che:
10
3
2
0
3
0
3
12
0
2
12
)(3
)1(
2
)(33
)1(
2
)1(
2),,(ln
k
Ekki
ki
EkEk
k
ki
ki
Ek
k
ki
ki
iGCi
E
pke
pdp
k
Vg
dp
dEke
pdpe
p
k
Vg
dpepk
VgVTZ
E
pp
mpmp
dp
d
dp
dEmpE
i
ii
)2(2
1
22
2222
48
Integrazione della funzione di Integrazione della funzione di partizione (III)partizione (III)
Cambiando variabile di integrazione (da p a E) si ha:
ricordando che:
1
2/322
2
1
322
2
10
3
2
)(3
)1(
2
)(3
)1(
2
)(3
)1(
2),,(ln
km
Ekiki
ki
km
Eki
ki
ki
k
Ekki
ki
iGCi
i
i
kemE
dEk
Vg
E
pke
mE
dEp
E
k
Vg
E
pke
pdp
k
VgVTZ
i
i
mEp
dpE
pdEmpE
0
22
49
Integrazione della funzione di Integrazione della funzione di partizione (IV)partizione (IV)
Introducendo la variabile x=kE si ha:
1222
2/322222
2
133
2/32222
2
133
2/3222222
2
1
2/322
2
3
)1(
2
3
)1(
2
3)(
)1(
2
)(3
)1(
2),,(ln
kmk
x
i
iiki
ki
kmk
xiki
ki
kmk
Ekiki
ki
km
Ekiki
ki
iGCi
i
i
i
i
emk
mkxdx
k
m
k
Vg
ek
mkxdx
k
Vg
ek
mkEkEkd
k
Vg
kemE
dEk
VgVTZ
50
Integrazione della funzione di Integrazione della funzione di partizione (V)partizione (V)
Introducendo w=kmi si riscrive come:
1
2/3
2
22
22
12
2/3
2
23
2
22
12
2/3222
22
1222
2/322222
2
13
1)1(
2
3
1)1(
2
3
)1(
2
3
)1(
2),,(ln
kw
xiki
ki
kw
xiki
ki
kw
xiki
ki
kmk
x
i
iiki
ki
iGCi
ew
xdxw
m
k
Vg
ew
w
xw
dxm
k
Vg
ew
wxdx
m
k
Vg
emk
mkxdx
k
m
k
VgVTZ
i
51
Integrazione della funzione di Integrazione della funzione di partizione (VI)partizione (VI)
Introducendo y=x/w si ricava:
Il termine tra parentesi quadre coincide con la seguente rappresentazione integrale delle funzioni di Bessel modificate:
11
2/3222
2
11
2/322
2
1
2/3
2
22
22
13
1)1(
2
13
1)1(
2
13
1)1(
2),,(ln
k
wyiki
ki
k
wyiki
ki
kw
xiki
ki
iGCi
eydywk
m
k
Vg
eywdywk
m
k
Vg
ew
xdxw
m
k
VgVTZ
1
2/12
2
11
2!)()( tyn
n
n eydyt
ntK
52
Integrazione della funzione di Integrazione della funzione di partizione (VII)partizione (VII)
Ri-sostituendo w=kmi e 1/T si conclude:
12
222
12
2
22
12
2
22
11
2/3222
2
)1(
2
)()1(
2
)()1(
2
13
1)1(
2),,(ln
k
ii
ki
ki
ki
iki
ki
k
iki
ki
k
wyiki
ki
iGCi
T
kmKm
k
TVg
mkKm
k
Vg
wKm
k
Vg
eydywk
m
k
VgVTZ
53
Densità di particelle di specie iDensità di particelle di specie i
La densità ni di particelle di specie i si ricava come:
12
22
12
222
2
12
222
2
)1(
2
)1(
2
)1(
2
)ln(1),,(),(
k
ii
ki
ki
k
ii
T
k
i
ki
k
ii
i
ki
ki
i
GCiii
ii
T
kmKm
k
Tg
T
kmKme
k
Tg
T
kmKm
k
Tg
ZT
VV
VTNTn
i
54
Correzioni (I)Correzioni (I)Catene di decadimento Il numero delle particelle di specie i misurate (es. pioni) è dato
dalla produzione “thermal” (Ni) + il contributo dei decadimenti delle particelle a vita breve che non vengono misurate (ed es. le che decadono in pioni)
Ad alte temperature
e/o alti B, la molteplicità
degli adroni leggeri è
dominata dal contributo del
decadimento delle risonanze
j
THERMijiji
THERMii
MEASi VTNBRVTNVTN ),,(),,(),,(
n+
tota
l /
n+
the
rma
l
55
Correzioni (II)Correzioni (II)
Per alte densità di particelle (cioè alti T e/o B) bisogna inserire nella funzione di partizione le interazioni repulsive a piccole distanze che si osservano tra gli adroni Si introduce una repulsione “hard-core” di tipo Van der Waals
assegnando ad ogni adrone un volume
(“Excluded volume correction”)Il raggio R viene normalmente posto a 0.3 fm (che corrisponde al volume di
hard-core misurato in scattering nucleone-nucleone) per tutti i tipi di adrone
3
3
44 RVeigen
56
Correzioni (III)Correzioni (III)
Larghezza delle risonanze Si inserisce nella funzione di partizione un’ulteriore
integrazione sulla massa con una distribuzione Breit-Wigner
Fattore s (<1) di soppressione di stranezza Tiene conto del fatto che il quark strano per la sua massa
maggiore potrebbe non aver raggiunto l’equilibrio chimico. Per riprodurre i dati PbPb a SPS e AuAu a RHIC non c’è bisogno
di introdurre questo S, cioè S=1 che indica equilibrio chimico anche per le particelle strane)
Per sistemi con poche particelle (p-p e collisioni di nuclei a basse energie) si trova invece S<1
0 ))((
2
22
2
2 14/)(
1
2),(
ii mEii
i
BW
iii
e
dpp
mmdm
N
gTn
57
Parametri liberi del modelloParametri liberi del modello
Ci sono 5 parametri liberi: T, B, S, I3 e V La conoscenza di carica elettrica (=terza componente
dell’isospin), numero barionico e stranezza dello stato iniziale (= i protoni ZS e i neutroni NS “stoppati” dai nuclei collidenti) permette di fissare il volume della fireball V, e i potenziali chimici S e I3
Restano quindi 2 parametri liberi: T e B
12
22
)1(
2),,(),,(
k
ii
ki
ki
iiii T
kmKm
k
TVgVTnVVTN
33/ ,con IiSiBiiT
i ISBe i
023
i
iiSSi
iiSS
ii SnVNZBnV
NZInV
i
Fit alle abbondanze di Fit alle abbondanze di particelle misurateparticelle misurate
59
Fit ai rapporti di particelleFit ai rapporti di particellePerché usare i rapporti di particelle ? Si cancellano alcuni errori sistematici sulle misure sperimentali Si rimuove la dipendenza dal volume V (la cui determinazione
è affetta dall’incertezza sullo stopping power e sulla correzione di “excluded volume”) nei calcoli del modello teorico
Si ricavano i valori di T e B che minimizzano lo scarto tra i rapporti di di particelle previsti dal modello statistico e quelli misurati. Si minimizza una quantità 2 definita come:
Riexp e Ri
model sono i rapporti misurati sperimentalmente e quelli previsti dal modello
i è l’errore (statistico + sistematico) sui punti sperimentali
i2
2model.exp2
i
ii RR
60
Rapporti di particelle all’AGSRapporti di particelle all’AGSAuAu - Ebeam=10.7 GeV/nucleon - s=4.85 GeV
Minimum of 2 for: T=124±3 MeV B=537±10 MeV
2 contour lines
61
Rapporti di particelle all’SPSRapporti di particelle all’SPSPbPb - Ebeam=40 GeV/ nucleon - s=8.77 GeV
Minimum of 2 for: T=156±3 MeV B=403±18 MeV
2 contour lines
62
Rapporti di particelle a RHICRapporti di particelle a RHICAuAu - s=130 GeV
Minimum of 2 for: T=166±5 MeV B=38±11 MeV
2 contour lines
63
Fit alle molteplicitàFit alle molteplicitàSe si usano le molteplicità anziché i rapporti di particelle Un parametro libero (il volume V) in più Maggiori incertezze sistematiche (sia nel modello che nei dati)
T e B in accordo con i risultati dei fit ai rapporti, ma 2 peggiore
Freeze-out chimicoFreeze-out chimico
65
Parametri del modello termico vs. Parametri del modello termico vs. ssLa temperatura T aumenta rapidamente con s fino a raggiungere i 170 MeV (≈ temperatura critica per la transizione di fase) per s≈7-8 GeV e poi rimane costante
Il potenziale chimico B diminuisce al crescere di s in tutto il range di energia esplorato dall’AGS a RHIC
66
Freeze-out chimico sul diagramma Freeze-out chimico sul diagramma delle fasidelle fasi
I parametri del modello di adronizzazione statistica si possono rappresentare sul piano T, B
E’ interessante confrontarli con la linea prevista con calcoli di QCD sul reticolo per la transizione di fase (“phase boundary”) da materia adronica a QGP
67
Freeze-out chimico e Freeze-out chimico e transizione di fasetransizione di fase
Lattice-QCD Stat.Thermal Model
T
b
SPS
RHIC
T
b
SPS
RHIC
T
b
SPSRHIC
AGS
Caso 1: (T,B) molto al di sotto del “phase boundary ” Lunga fase adronica dopo la transizione di fase? Il sistema non raggiunge mai il “phase boundary” ?
Caso 2: (T,B) al di sopra del “phase boundary ” Errore nel modello di adronizzazione statistica
Cade l’ipotesi del gas di adroni e risonanze
Errore nel calcolo del “phase boundary” in Lattice QCD
Caso 3: (T,B) molto vicini al “phase boundary ” Rapido freeze-out chimico immediatamente dopo la
transizione di fase ? Gli adroni “nascono” in equilibrio termico e chimico ?
68
Freeze-out chimico e Freeze-out chimico e transizione di fasetransizione di fase
La linea della transizione di fase viene raggiunta alle energie SPS (s≈ 8-10 GeV)Per energie più alte il freeze-out chimico è molto vicino alla transizione di fase predetta dalla QCD sul reticolo
69
Freeze-out chimico e Freeze-out chimico e freeze-out termicofreeze-out termico
Freeze out termico Cessano le interazioni
elastiche Si fissa la dinamica delle
particelle (“momentum spectra”)
Tfo (RHIC) ~ 110-130 MeV
Freeze-out chimico Cessano le interazioni
inelastiche Si fissano le abbondanze
delle particelle (“chemical composition”)
Tch (RHIC) ~ 170 MeV
70
ConclusioniConclusioniI modelli di adronizzazione statistica permettono di ricavare la temperatura T e il potenziale chimico barionico B della fireball al momento del chemical freeze-out a partire dai rapporti misurati tra le abbondanze delle varie specie adroniche L’accordo tra le abbondanze di particelle misurate e quelle
previste dal modello ci dice che il processo di adronizzazione avviene seguendo leggi statistiche (= massimizzazione dell’entropia) e che il sistema si trovava all’equilibrio chimico e termico al momento del freeze-out
La linea di freeze-out chimico raggiunge quella della transizione di fase calcolata con la QCD sul reticolo per energie s ≈ 8-10 GeV (nel range di energie dell’SPS) Indicazione per un freeze-out chimico immediatamente
successivo alla transizione di fase da QGP a gas di adroni ?
Tecniche sperimentaliTecniche sperimentali
72
Inner Tracking System (ITS)
Momentum, dE/dx
Time Projection Chamber (TPC)
momentum, dE/dx
Time of Flight (TOF)
Identificazione di particelle in ALICEIdentificazione di particelle in ALICE
73
Inner Tracking System (ITS)Inner Tracking System (ITS)
L= 97.6 cm
Silicon Pixel Detectors (2D)
Silicon Drift Detectors (2D)
Silicon Strip Detectors (1D)
R= 43.6 cm
Layer
Technology
Radius
(cm)
±z (cm)
Spatial resolution
(m)
r z
1 Pixel 4.0 14.1 12 100
2 Pixel 7.2 14.1 12 100
3 Drift 15.0 22.2 38 28
4 Drift 23.9 29.7 38 28
5 Strip 38.5 43.2 20 830
6 Strip 43.6 48.9 20 830
6 strati cilindrici di rivelatori al silicio Punti ricostruiti con alta
precisione spaziale vicino al vertice di interazione
Identificazione di particelle tramite dE/dx misurato nei layers di drift e strip
74
ITSITS
PIXELS
STRIPS
DR
IFTS
75
Time Projection Chamber (TPC)Time Projection Chamber (TPC)Principale rivelatore traccianteCaratteristiche: Rin 90 cm
Rext 250 cm
Length (active volume) 500 cm Pseudorapidity coverage: -0.9 < <
0.9 Azimuthal coverage: 2 # readout channels ≈560k Maximum drift time: 88 s Gas mixture: 90% Ne 10%
CO2
Fornisce Molti punti ricostruiti in 3D per ogni
traccia Identificazione delle particelle basata
sulla dE/dx
76
Identificazione attraverso dE/dxIdentificazione attraverso dE/dxdE/dx estratta dal segnale generato dalla particella nell’attraversare i rivelatori
Momento estratto dal raggio di curvatura della traccia nel campo magnetico B ][][3.0]/[ mRTBcGeVp
...ln1 2
2z
A
Z
dx
dE
77
Time Of FlightTime Of Flight
TOFMultigap Resistive Plate Chambers per l’identificazione di pioni, kaoni e
protoni basata sulla misura del tempo di volo (efficiente fino a pT≈2.5 GeV/c)
Caratteristiche: Rin 370 cm
Rext 399 cm
Length (active volume) 745 cm # readout channels ≈160k Pseudorapidity coverage: -0.9 < <
0.9 Azimuthal coverage: 2
Dalla misura del tempo di volo si calcola la massa come:
1111
2
22
2
L
tcppp
pm TOF