Dicembre 2009 Modellistica Circuitale A.A 2009/2010 1
Progetto Di Filtri Attivi
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 2Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Outline
L'amplificatore OperazionaleFiltri a singolo poloSingle Amplifier Biquad (SAB)Filtri di Sallen e KeyCircuito di AntoniouConfigurazione ad anello con doppio
integratoreFiltri a capacità commutate
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 3Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Amplificatore operazionaleRichiami 1/9
L'amplificatore operazionale è un componente fondamentale per moltissimi circuiti elettronici. Nonostante sia costituito da diversi transistor viene generalmente trattato come un singolo elemento circuitale. In questo modo è possibile semplificare il suo utilizzo in circuiti come amplificatori, filtri, buffer e convertitori. L’amplificatore differenziale viene quindi realizzato e implementato in vari modi, ma il suo comportamento può essere descritto attraverso il modello di amplificatore operazionale ideale.
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010Dicembre 2009
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sim
o C
ampl
ani
Le principali caratteristiche del modello ideale dell’amplificatore operazionale sono:
Guadagno in tensione ad anello aperto infinito.Banda passante infinita.
L’amplificatore non assorbe corrente
L’uscita non risente dalla presenza del carico
( ) ∞≤≤∞ ω=ωAV 0
Amplificatore operazionaleRichiami 2/9
∞=Rin
0=Rout
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ampl
ani
Amplificatore operazionaleRichiami 3/9
L'amplificatore operazionale viene indicato negli schemi circuitali con il simbolo mostrato in figura.
Il morsetto di ingresso indicato con il segno – è detto morsetto invertente, il morsetto indicato con il segno + è detto morsetto non invertente. Vcc
e –Vcc
sono le alimentazioni ,
positiva e negativa, dell’amplificatore.La relazione ingresso uscita dell’amplificatore operazionale ideale è:
( ) inV12Vout VA=VVA=V −
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ampl
ani
Amplificatore operazionaleRichiami 4/9
L’amplificatore operazionale non è mai utilizzato ad anello aperto, ma viene generalmente inserita una catena di controreazione, che permette di sfruttare tutte le sue proprietà.In figura è riportato lo schema classico della controreazione
Dove A(s) è la funzione di trasferimento del sistema a ciclo aperto (l’amplificatore operazionale nel nostro caso) e t(s) la funzione di trasferimento della catena di controreazione. Le equazioni del sistema a ciclo chiuso sono riportate nella slide successiva.
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sim
o C
ampl
ani
Amplificatore operazionaleRichiami 5/9
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )sAst
sAXsAstX
XsA
XXXsA
XXXsA
XX
ii
i
fi
i
fi
i
s
o
+=
+
+=
+=
1
( )( )
fsi
of
io
XXX
XstXXsAX
−=
==
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 8Dicembre 2009
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ampl
ani
Amplificatore operazionaleRichiami 6/9
Le due configurazioni “classiche” dell’operazionale sono la configurazione invertente (guadagno negativo), e la configurazione non invertente. k è il guadagno a ciclo chiuse del sistema.
1
2
RR=k −
1
21RR+=k
L’espressione del guadagno a ciclo chiuso può essere facilmente ottenuta con un analisi delle correnti che scorrono nel circuito. Analizziamo per esempio la configurazione invertente (lo stesso si può fare per quella non invertente).
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ampl
ani
Amplificatore operazionaleRichiami 7/9
1. La differenza di potenziale tra i terminali di ingresso all’operazionale è nulla.
2. v1 =0
3. La corrente che scorre su R1 è pari a v1 /R1
4. L’operazionale non assorbe corrente
5. i2 =i1
6. vo = -v1
(R2 /R1
)
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ampl
ani
Amplificatore operazionaleRichiami 8/9
L’analisi e i risultati ottenuti precedentemente si basano sul concetto di massa virtuale. Sostanzialmente i due morsetti di ingresso dell'amplificatore hanno la stessa tensione, nonostante essi non siano cortocircuitati. Questo è vero solo nell'ipotesi in cui Av sia infinitamente grande (idealmente infinito).
∞≈≈ VV
0s A se 0
Ae=e
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ampl
ani
Amplificatore operazionaleRichiami 8/9
Un altra configurazione molto utilizzata è la configurazione ad inseguitore di tensione (o buffer) caratterizzata da guadagno unitario. In uscita dell’operazionale viene riportata la tensione di ingresso. Vantaggio di questa configurazione dovuto all’elevata resistenza di ingresso dell’operazionale è quello di minimizzare gli effetti di carico sul generatore
io VV =
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Amplificatore operazionale
Illustreremo ora alcuni dei più significativi effetti dovuti alle non idealità negli amplificatori operazionali reali. Effetti che modificano sensibilmente il comportamento dinamico degli amplificatori operazionali. Talvolta questi possono essere trascurati sotto talune ipotesi, ma è comunque necessario tenere conto di questi fenomeni in fase di progetto di circuiti elettronici come filtri etc.
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ampl
ani
Amplificatore operazionaleRisposta in frequenza 1/6
Il guadagno dell’amplificatore operazionale ha una risposta in frequenza a singolo polo di tipo passa basso. Questo ovviamente implica che maggiore è la frequenza di funzionamento del circuito in cui è inserito l’operazionale, minore è il guadagno dell’operazionale.
f0
f0 è la frequenza di taglioft (frequenza di taglio unitario) è la frequenza per la quale il modulo della risposta in ampiezza vale 0 db, ovvero l’amplificatore ha guadagno unitario.Chiameremo A(s)l’espressione che caratterizza il guadagno finito dell’operazionale
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ampl
ani
Amplificatore operazionaleRisposta in frequenza 2/6
( )
( )
( )| |ffjωA
ωA=ωjωωA=jωAωωSe
jω+ωωA=jωA
t
t
≈
>>
00
000
0
00
Posto
Come specifiche, generalmente vengonofornite f0e ft.
Se è verificata la condizione ft>>f0 si puòavere facilmente una stimadel guadagnodell'amplificatore.Chiaramente il valore finito e di tipo passa basso del guadagno dell’amplificatore comporta delle modifiche del guadagno a ciclo chiuso degli esempi precedenti
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Amplificatore operazionaleRisposta in frequenza 3/6
Analizziamo ora la risposta in frequenza dell’operazionale utilizzato in configurazione invertente. Nelle slide precedenti era stato calcolato un guadagno a ciclo chiuso pari a k=-R2/R1 considerando il modello dell’operazionale ideale.Sia A(s) il guadagno finito dell’operazionale discusso nelle slide precedenti:
( )s+ω
ks+ω
ωA=jωA0
0
0
00 =
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Amplificatore operazionaleRisposta in frequenza 4/6
( )[ ]
( )[ ])(//11)/(
)()(
)()/()(//11)(
)(/)()()()()(
)()()(
12
12
1
1212
21
22
sARRRR
sVsV
sVRRsARRsV
RR
sAsVsVsAsVRsI
sAsVsV
o
io
oiooo
++−
=
−=++
+−−=−−=
La tensione al nodo 1 può essere scritta così:
)()()(1 sA
sVsV o−=
Ottenendo quindi la tensione che scorre sulla resistenza R1
:
11
)(/)()()(R
sAsVsVsI oi +=
Da cui si ottiene l’espressione per V0 e il rapporto Vo
/Vi
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Amplificatore operazionaleRisposta in frequenza 5/6
Ora è possibile sostituire nell’equazione precedente il valore di A(s)
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )
( )
/1/1
//1Per
/1//111
/)(//11
/
12
12
120
1200
12
0
12
12
12
RR+ωs+
RR=sVsV
RR+ARR+ωA
s+RR+A
+
RR=sARR++
RR=sVsV
t
i
o
i
o
−>>
−−
( )12
3db /1 RR+ω=ω tLa funzione di trasferimento trovata è quella di un
sistema a singolo polo con pulsazione a 3db pari a:
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Amplificatore operazionaleRisposta in frequenza 6/6
Per il caso non invertente si ottiene invece:
( )( )
( )
( )120
12
12 /1per
/1/1
/1 RR+ω
RR+ωs+
RR+=sVsV
t
i
o >>
( )12
3db /1 RR+ω=ω tLa funzione di trasferimento trovata è quella di un
sistema a singolo polo con pulsazione a 3db pari a:
Il più semplice filtro passa basso (a singolo polo) può essere dunque realizzato con l'amplificatore in una delle configurazioni classiche, scegliendo opportunamente il rapporto R2 /R1
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Amplificatore operazionaleCaratteristica non lineare
L'operazionale si comporta come illustrato precedentemente se e solo se si lavora nella zona lineare della sua caratteristica. Come è possibile vedere in figura essa è limitata dalle tensioni di alimentazione.
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 20Dicembre 2009
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Amplificatore operazionaleSlew Rate 1/3
Un altro effetto di non idealità che comporta distorsioni non lineari è il fenomeno dello slew rate SR. Lo SR è definito come la massima velocità di variazione della tensione di uscita dell’amplificatore.
Questa specifica è in genere fornita dai costruttori in termini di V/μs.Come esempio supponiamo di sottoporre ad un amplificatore di tensione utilizzato come buffer, un gradino di ampiezza V.
maxdtdv
SR o=
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Amplificatore operazionaleSlew Rate 2/3
( )τ/1 to eVV −−=
V 1-δ=iV
Essendo Vi la tensione di ingresso, un
gradino di ampiezza V:
Considerata la funzione di trasferimento del buffer pari a:
/1
1
0ωsVV
i
o
+=
Si dovrebbe ottenere in uscita la tensione Vo
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 22Dicembre 2009
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Amplificatore operazionaleSlew Rate 3/3
Quando il segnale di ingresso assume un valore tale da richiedere una variazione dell’uscita più rapida di quella indicata nelle specifiche si verifica Il fenomeno dello slew rate. Nell’esempio la risposta desiderata (di tipo esponenziale) viene distorta e in uscita si ottiene una retta la cui pendenza è proprio pari al valore di SR presente nelle specifiche.Lo SR è dovuto sostanzialmente ai limiti imposti dai transistori dello stato di uscita che erogano la corrente sul carico.
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 23Dicembre 2009
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Amplificatore operazionaleLarghezza di banda a piena potenza 1/2
L’effetto dello slew rate può introdurre distorsione non lineare su forme d’onda di tipo sinusoidali. Nelle specifiche del costruttore viene spesso indicato il parametro fM
, detto larghezzza di banda a piena potenza, legato allo slew rate.Nel caso di onda sinusoidale lo SR può distorcerla, e trasformarla in un onda triangolare.
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 24Dicembre 2009
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Amplificatore operazionaleLarghezza di banda a piena potenza 2/2
fM è definita come la frequenza per la quale una sinusoide di ampiezza pari
all’ampiezza massima che può fornire l’operazionale Vomax , mostra distorsione
per il fenomeno dello slewrate.
tVdtvd
tsenVv ii
ii ωωω cos'' ==
Segnale sinusoidale Velocità variazione del segnale
Massima ampiezza della sinusoide di pulsazione ωo.
max2 oM V
SRfπ
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
o
Moo VV
ωω
max
E possibile ricavare un espressione che lega fM , la frequenza di funzionamento f0
e la tensione di ingresso V0 . In questo modo si può avere una stima di quale sia
la massima ampiezza del segnale di ingresso alla frequenza di lavoro f0 (o
viceversa).
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 25Dicembre 2009
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Amplificatore operazionaleProblemi in continua
Alcuni problemi dovuti alla non idealità dell’amplificatore differenziale, sono particolarmente rilevanti se si lavora in continua. L’effetto della tensione di offset VOS
dovuta allo sbilanciamento (sempre presente) dei circuiti integrati che compongono lo stadio differenziale dell’operazionale, può limitare fortemente l’escursione massima del segnale in ingresso allo stadio di amplificazione.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
1
21RRVV OSo
Una possibile soluzione, se l’applicazione non richiede di lavorare a basse frequenze, è connettere un condensatore in serie al resistore R1
,
in questo modo in uscita la tensione Vos
non verrà amplificata.
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 26Dicembre 2009
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Outline
L'amplificatore OperazionaleFiltri a Singolo PoloSingle Amplifier Biquad (SAB)Filtri di Sallen e KeyCircuito di AntoniouConfigurazione ad anello con doppio
integratoreFiltri a capacità commutate
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 27Dicembre 2009
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Filtri Attivi
Circuiti elettronici che implementano azioni filtranti di vario tipo sono utilizzati in moltissime applicazioni, nel campo delle telecomunicazioni, in sistemi di acquisizione dati, sistemi di potenza ecc.Per applicazioni alle alte frequenze (> 1 MHz) generalmente vengono utilizzati filtri composti da elementi passivi come induttori, capacitori e resistori. In un range di frequenza più basso (1KHz – 1MHz) i valori degli induttori diviene troppo grande, rendendo il componente difficile da rializzare (anche per ragioni economiche) e difficilmente utilizzabile.In questi casi si utilizzano circuiti in cui sono presenti amplificatori operazionali, capacitori e resistori.
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 28Dicembre 2009
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ani
Filtri a singolo polo
Analizziamo in questa sezione i circuiti filtranti più semplici che è possibili realizzare con amplificatori operazionale. Questi circuiti sono caratterizzati dalla presenza di un unico operazionale e da una funzione di traferimento a singolo polo.
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 29Dicembre 2009
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ampl
ani
Filtri a singolo polo
( )0
0
ω+sa=sHLP
( )0
1
ω+ssa=sHHP
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 30Dicembre 2009
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ampl
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Filtri a singolo poloI filtri a singolo polo si basano sostanzialmente sugli schemi classici con cui viene utilizzato l’amplificatore operazionale.La catena di controreazione può essere formata da due impedenze qualsiasi, non necessariamente due resistenze. In questo modo è possibile ottenere dei semplici filtri a singolo polo, con un unico stadio di amplificazione.
( )( )
( )( )sZsZ=
sVsV
1
2
i
o −
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 31Dicembre 2009
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ampl
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Filtri a singolo poloIntegratore di Miller e LPF 1/2
L'integratore di Miller è un integratore puro. Per frequenze nulle ha un guadagno infinito, e ciò lo rende instabile. Nella realizzazione pratica l'uscita satura al valore della tensione di alimentazione Vcc positiva.
( ) ( )
( )( )
( )( )
sCR=
VV
sZsZ=
sVsV
sCsZRsZ
i
o
i
o
1
1 ,
1
2
221
−
−
==
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 32Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Filtri a singolo poloIntegratore di Miller e LPF 2/2
Con questa soluzione si stabilizza il filtro, ma l'integratore non è ideale.
( ) ( )
( )( )
( )( )
F
F
i
o
i
o
f
f
sCR+RR
=VV
sZsZ=
sVsV
RsCsCR
sZRsZ
1
/1 ,
1
2
21
−
−
+==
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 33Dicembre 2009
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o C
ampl
ani
Filtri a singolo poloLPF con configurazione non invertente
Si può allo stesso modo ottenere un filtro LP utilizzando la configurazione non invertente, come mostrato in figura
( )
1
,
11
11
+=
−==
RsCVV
RVVI
sCIV
inx
xinx
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
3
2
113
2 11
1 , 1RR
RsCVV
RRVV
in
outxout
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 34Dicembre 2009
Mas
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o C
ampl
ani
Filtri a singolo poloEsempio progetto LPF
Scelto il valore di C, si possono facilmente determinare i valori di R e Rf in modo
tale da rispettare le specifiche. Per esempio scegliendo C=45nF, si ottiene Rf=3.38KΩ e R=667Ω.
s+CRRC
sCR+RR
=VV
FF
F
i
o
1/
1
1−=−( )
0
0
ω+sa=sHLP
CRCRω
RRωagain
ff
fDC
33
0
0
0
1021 /1102
2.0 5
⋅=⇒=⋅=
=⇒==
ππ
Si consideri il circuito in figura e si progetti un filtro LPF con guadagno in tensione pari a 5 (in modulo) e f0
=1kHz
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 35Dicembre 2009
Mas
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o C
ampl
ani
Filtri a singolo poloDerivatore e HPF 1/2
Il circuito mostrato in figura è un derivatore puro, ovvero si comporta come un filtro passa alto con frequenza di taglio infinita. Anche questo filtro presenta problemi di stabilità. In generale viene posto in serie al condensatore un resistore.
( ) ( )
( )( )
( )( )
sCR=VV
sZsZ=
sVsV
RsZsC
sZ
i
o
i
o
−
−
==
1
2
21 ,1
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 36Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Filtri a singolo poloDerivatore e HPF 2/2
Filtro passa alto a singolo polo realizzato con un unico stadio di amplificazione
( ) ( )
( )( )
( )( )
11
2
1
2
2211
/1
,1
CR+ss
RR=
VV
sZsZ=
sVsV
RsZRsC
sZ
i
o
i
o
⋅−
−
=+=
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 37Dicembre 2009
Mas
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o C
ampl
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Filtri a singolo poloHPF con configurazione non invertente
Si può allo stesso modo ottenere un filtroHP utilizzando la configurazione non invertente, come mostrato in figura
( )
inx
xinx
VRsC
RsCV
sCVVIRIV
1
,
11
11
11
+=
−==
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
3
2
11
11
3
2 11
, 1RR
RsCRsC
VV
RRVV
in
outxout
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 38Dicembre 2009
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Outline
L'amplificatore OperazionaleFiltri a Singolo PoloSingle Amplifier Biquad (SAB)Filtri di Sallen e KeyCircuito di AntoniouConfigurazione ad anello con doppio
integratoreFiltri a capacità commutate
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 39Dicembre 2009
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o C
ampl
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Filtri del secondo ordine
In letteratura sono presenti numerosi esempi di modelli di filtri del secondo ordine (o filtri biquadraditici) ottenibili attraverso l'utilizzo di elementi attivi quali gli amplificatori operazionali.Un filtro del secondo ordine è caratterizzato dalla seguente funzione di trasferimento:
( )( )
( )20
021,
200
201
22
4Q11jω2Qω=pp
ω+sQω+sa+sa+sa=sH
/
/
−− m
I poli della funzione di trasferimento sono:
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 40Dicembre 2009
Mas
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o C
ampl
ani
Filtri del secondo ordineLow Pass Filter
( )( )
20002
002
200 con
/ωHa
ω+sQω+sωH=sH =
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 41Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
( )( ) 022
002
20 con
/Ha
ω+sQω+ssH=sH =
Filtri del secondo ordineHigh Pass Filter
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 42Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
( ) ( )( )
( )QωHaω+sQω+s
sQωH=sH /con /
/0012
002
00 =
Filtri del secondo ordineBand Pass Filter
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 43Dicembre 2009
Mas
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ani
Filtri SABIntro 1/2
I filtri biquadratici ad amplificatore singolo SAB sono composti da un unico stadio di amplificazione.
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 44Dicembre 2009
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Filtri SABIntro 2/2
I filtri biquadratici ad amplificatore singolo SAB sono composti da un unico stadio di amplificazione, e quindi sono particolarmente adatti per applicazioni che richiedono bassi consumi di energia. D'altro canto questi filtri sono notevolmente influenzati dalla larghezza di banda finita dell'amplificatore e risultano essere molto sensibili alle tolleranze degli elementi passivi utilizzati nella catena di controreazione.Questo tipo di filtro viene dunque utilizzato in genere in applicazioni con specifiche poco stringenti con fattori di merito Q < 10.
La sintesi dei filtri SAB consiste in due passi fondamentali:
Scelta della rete di controreazione per ottenere i poli della funzione di trasferimento in modo tale da rispettare le specifiche su .Scelta dei morsetti di ingresso per determinare gli zeri della funzione di trasferimento
Qeω 0
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 45Dicembre 2009
Mas
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o C
ampl
ani
Filtri SABCatena di controreazione 1/4
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )sAst
sAXsAstX
XsA
XXXsA
XXXsA
XX
ii
i
fi
i
fi
i
s
o
+=
+
+=
+=
1
( )( )
fsi
of
io
XXX
XstXXsAX
−=
==
( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )sAst
sAXsAstX
XsA
XXXsA
XXXsA
XX
ii
i
fi
i
fi
i
s
o
+=
+
+=
+=
1
( )( )
fsi
of
io
XXX
XstXXsAX
−=
==
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 46Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Filtri SABCatena di controreazione 2/4
E' possibile dimostrare che per valori elevati del guadagno dell'operazionale (teoricamente infiniti), i poli del sistema a ciclo chiuso sono gli zeri della rete di controreazione:
( ) ( )( ) sDsN=st
Le più semplici reti che hanno una coppia di radici complesse coniugate al numeratore della loro funzione di trasferimento sono le reti bridget-T
Funzione di trasferimento
della rete di controreazione
I poli del sistema a ciclo
chiuso si possono ottenere da:
( )( ) 0 Se
1 01
=st=KK
=st=sKt+
p
p
∞
−)(
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 47Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Filtri SABCatena di controreazione 3/4
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 48Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Filtri SABCatena di controreazione 4/4
Consideriamo la prima delle reti mostrate nella figura precedente, come detto i poli del sistema a ciclo chiuso sono gli zeri della funzione di trasferimento della catena di controreazione. E’ possibile quindi trovare due relazioni che legano le specifiche di progetto (Q e ω0
) e i componenti della rete di controreazione.
( )4321321
2200
2
RRCC1+
R1
C1+
C1s+s=ω+sQω+s ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛/
Il valore dei componenti può essere facilmente determinato se si sceglie per primo il valore delle capacità:
1
213
4321
43210
11 1−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛C
+CR
RRCC=Q
RRCC=ω
4Q con
2Q ottiene si 111
243
03
21
=mmR=RR,=Rposto
ω=RC
C=
C=
C
,/
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 49Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Filtri SABEsempi 1/5
Determinati i poli del sistema a ciclo chiuso, dobbiamo stabilire dove applicare l'ingresso. Infatti modificando il punto su cui applicare l’ingresso si ottengono differenti zeri nella funzione di trasferimento del sistema a ciclo chiuso. L'ingresso del sistema può essere collegato a qualunque nodo connesso a massa, in questo modo non vengono modificati i poli del sistema.Per esempio un filtro passa banda può essere ottenuto con la rete (a) con il seguente circuito:
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 50Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Filtri SABEsempi 2/5
La funzione di trasferimento di filtri SAB può essere facilmente ottenuta con una analisi nodale.
0
0
2345
44112
=−−
=−−∑eYeY :3 Nodo
eYEYeY :2 Nodo j
3443215
31
1
2
24
)()()()(
YYYYYYYYY=
sEsVsH
Ve
++++−=
= :ottiene si imponendo
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 51Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Filtri SABEsempi 3/5
Applicando la funzione di trasferimento trovata al circuito passa banda mostrato precedentemente si ottiene infatti:.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
−
21435435
2
41
11111
1
)(
RRCCRCCRss
sCR=sH
( )
qualità di fattore 1/ con
05
001
001
43
CQR
CHQQR
CHQR
CCCQ
sssH=sH
ωω
ω
αωαω
αω
2,2
)(
2
200
200
=−
=
=
===
++
Un’altra possibile scelta dei componenti può essere la seguente
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 52Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Un filtro passa basso invece può essere ottenuto con il seguente circuito:
52434312
2
5231
1111
1
)(
CCRRRRRCss
CCRR=sH+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
−
Filtri SABEsempi 4/5
( )
qualità di fattore 1/ con
0
41
43
04
25
HRR
kCRR
kH
CR
kCCCCQ
ssH=sH
==
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +−±=
===
++
,1
14112
,
)(
220
0
200
2
200
ω
αωα
αωαω
ω
Un’altra possibile scelta dei componenti può essere la seguente
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 53Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Un esempio di filtro passa alto può essere il seguente:
43524343
1
5
2
2
4
1
111)(
CCRRCCCCC
Rss
sCC
=sH+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
−
Filtri SABEsempi 5/5
( )
C/Hqualità di fattore 1/ con
0
05
02
031
CHR
HCR
CCCQ
sssH=sH
αω
ωα
αωαω
1212
,
)(
0
4
200
2
20
+=
+=
===
++
Un’altra possibile scelta dei componenti può essere la seguente
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 54Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Outline
L'amplificatore OperazionaleFiltri a Singolo PoloSingle Amplifier Biquad (SAB)Filtri di Sallen e KeyCircuito di AntoniouConfigurazione ad anello a doppio integratoreFiltri a capacità commutate
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 55Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Filtri di Sallen e KeyIntro 1/2
Attraverso un amplificatore operazionale in configurazione non invertente è possibile realizzare un generatore di tensione controllato in tensione (VCVS) con guadagno K
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 56Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Filtri di Sallen e KeyIntro 2/2
La struttura dei filtri di Sallen e Key è mostrata in figura:
))1(()()()()(
321443215
41
1
2
YYKYYYYYYYYKY=
sEsVsH
+−+++++−=
= :ottiene si Ve imponendo 24
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 57Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Filtri di Sallen e KeyEsempio 1/3
Un filtro passa basso invece può essere ottenuto con il seguente circuito:
212122211
2
2121
1111)(
CCRRK
CRK
RRCss
CCRRK
=sH+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
( )
-3K otteniamo C,1/R R imponiamo se
2 qualità di fattore 1/ con
21
02
21
21
αω
αωα
ω
αωαω
ω
===
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −++=
=
>====
++
0
20
20
0
200
2
200
24112
1,
)(
HC
R
CRR
HKCCCQ
ssH=sH
Per rispettare le specifiche i componenti possono essere scelti con queste equazioni di progetto
Qeω 0
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 58Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Filtri di Sallen e KeyEsempio 2/3
Un esempio di filtro passa alto può essere il seguente:
2121112212
2
2
111)(
CCRRK
CRK
CRCRss
Ks=sH+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+++
( )
( )
-3K otteniamo C,1/R R imponiamo se
qualità di fattore 1/ con
21
00
2
01
21
αω
αω
ωαα
αωαω
===
−+=
−++=
===
++
0
2
0
2
200
2
20
184
218
)(
HCR
CH
R
CCCQ
sssH=sH
Per rispettare le specifiche i componenti possono essere scelti con queste equazioni di progetto
Qeω 0
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 59Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Filtri di Sallen e KeyEsempio 3/3
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+++++
212132211122123
2
!1
1111111)(
RRCCRK
CRK
CRCRCRCRss
sRC
K
=sH
1213
1
)( 200
200
−−
=
==
==++
−
QQK ottiene si
CRR
CCC
ss
sH=sH
011
21
ω
ωαωαω
Un esempio di filtro passa banda può essere il seguente:
Per rispettare le specifiche i componenti possono essere scelti con queste equazioni di progetto
Qeω 0
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 60Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Filtri di ordine elevatoE’ possibile realizzare filtri di ordine elevato utilizzando in cascata le celle elementari studiate. Il grosso vantaggio dei filtri attivi ottenuti con operazionali è quello di poter essere connessi in cascata senza rilevanti effetti di carico.
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 61Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Filtri di ordine elevato
)()()(0)()(
)()()(
)()(
)()(
)(
12
12
112
22
1
3
sHsHsHsZosZse
sHsZsZ
sZsH
sVsV
sH
ui
ui
i
==∞=+
==
H(s) è la funzione di trasferimento del sistema complessivo costituito da due celle in cascata. Questa è data dal prodotto delle due celle se la resistenza di uscita del primo blocco è pari a 0 o la resistenza di ingresso è pari a . Essendo comunque questa una condizione di idealità, se è rispettato Zi2
>>Zu1
la funzione di trasferimento totale è
approssimabile come il prodotto delle due funzioni di trasferimento.
∞
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 62Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Outline
L'amplificatore OperazionaleFiltri a Singolo PoloSingle Amplifier Biquad (SAB)Filtri di Sallen e KeyCircuito di AntoniouConfigurazione ad anello con doppio
integratoreFiltri a capacità commutate
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 63Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Circuito di AntoniouRisonatore RLC 1/2
Il risonatore RLC può essere utilizzato per ottenere circuiti che realizzano funzioni filtranti del secondo ordine. Applicando il segnale di ingresso nei diversi punti (x,y,z), si ottengono differenti funzioni filtranti, caratterizzate tutte dagli stessi poli caratteristici del sistema.
)()()()(
12
2
sZsZsZsH
+=
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 64Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Circuito di AntoniouRisonatore RLC 2/2
)/1()/1(/1)( 2 LCCRssLCsH++
=
)/1()/1()/1()( 2 LCCRss
CRssH++
=
)/1()/1()( 2
2
LCCRssssH
++=
CRQ
LC1
1
0
0
=
=
ω
ω
In tutti i casi si ottiene:
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 65Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Circuito di AntoniouSostituzione induttore
In letteratura sono presenti molti modelli di filtri che basano il loro funzionamento sulla sostituzione dell’induttore nel classico circuito RLC, con una rete RC e amplificatori operazionali. Uno dei circuiti che garantisce le migliori prestazioni è il circuito di Antoniou; il quale risulta poco sensibile alle non idealità degli amplificatori operazionali.
2
5314
RRRRCL =
2R
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 66Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Circuito di AntoniouRisonatore RLC
Si può dunque utilizzare l’induttore così ottenuto in un classico circuito RLC. E’ possibile inoltre inserire un blocco di guadagno k ottenuto con un amplificatore operazionale in configurazione non invertente per evitare qualsiasi effetto di carico.
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 67Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Circuito di AntoniouEquazioni di progetto
Il Risonatore mostrato precedentemente è caratterizzato da:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
==
531
2
4
66660
25316460 /
11
RRRR
CCRRCQ
RRRRCCLC
ω
ω
Una scelta che può essere fatta per rispettare le specifiche del filtro sui parametriè la seguente:
QRRedRR=R=R=RCRC=C=C
===
6
064 /1 posto ottiene si scelta
5321
ω
Qeω 0
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 68Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Circuito di AntoniouLPF
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 69Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Circuito di AntoniouHPF
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 70Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Circuito di AntoniouBPF
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 71Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Circuito di AntoniouTabella riassuntiva
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 72Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Outline
L'amplificatore OperazionaleFiltri a Singolo PoloSingle Amplifier Biquad (SAB)Filtri di Sallen e KeyCircuito di AntoniouConfigurazione ad anello con doppio
integratoreFiltri a capacità commutate
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 73Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Configurazione ad anello con doppio integratoreIntro 1/2
In questa sezione verranno illustrati alcuni tipi di filtri attivi basati sostanzialmente su due integratori connessi in cascata. Prendiamo in considerazione la funzione di trasferimento di un filtro biquadratico di tipo passa alto.
hphpihpi
hp Vs
VsQ
VHVQsssH
VV
2
200
0200
2
20 1
)/(ωω
ωω−−=⇒
++=
L’espressione trovata per Vhp può essere facilmente descritta dal seguente schema a blocchi.
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 74Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Configurazione ad anello con doppio integratoreIntro 2/2
E’ possibile verificare facilmente come l’uscita del sommatore, l’uscita del primo integratore e l’uscita del secondo integratore siano rispettivamente una funzione passa alto, una funzione passa banda e una funzione passabasso.
ihp
hp
ihp
hp
Vs)s(ωs
H)Vs-(ω
)Vs-(ωUscita
Vs)s(ωssH
s)V-(ω
s)V-(ωUscita
200
2
20022
0
220
200
200
0
0
//
/
//
/
ωω
ωω
++=
°
++=
°
:eintegrator II
:eintegrator I Si può concludere che il circuito biquadratico ad anello con doppio integratore può essere utilizzato per ottenere le azioni filtranti di tipo LP, HP e BP contemporaneamente.
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 75Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Configurazione ad anello con doppio integratoreFiltro KHN 1/2
Una possibile implementazione del filtro ad anello con doppio integratore può essere ottenuta mediante il filtro biquad Kerwin-Huelsman-Newcomb (biquad KHN).
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 76Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Configurazione ad anello con doppio integratoreFiltro KHN 2/2
L’analisi diretta del circuito ci porta a scrivere:
0
02
3
1
00
2
20
1
0
132
2
132
3
2
200
0
121
11
1
ω
ω
ωω
ωω
=
=−==
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+=
−−=
CR1 scelto avendo
(1/Q)-2
: e , su specifiche delle funzione in progetto di equazioni semplici le ottengono si cui da
HQRR
RR
QH
VsR
RV
sRR
RRR
VRR
RRR
V
Vs
VsQ
VHV
f
hpf
hpf
if
hp
hphpihp
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 77Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Configurazione ad anello con doppio integratoreFiltro Tow-Thomas 1/3
Il filtro biquad di Tow-Thomas è un’altra possibile implementazione del filtro a doppio integratore, in questo caso tutti gli amplificatori sono utilizzati in maniera single-ended. In questo caso però non è più disponibile l’uscita passa alto del segnale.
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 78Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Configurazione ad anello con doppio integratoreFiltro Tow-Thomas 2/3
Per ovviare a questo problema, il filtro di Tow-Thomas può essere utilizzato con schema a feedforward. In questo modo è possibile ottenere tutte le funzioni filtranti del secondo ordine
222
22
31
12
0
11
111
RCQCRss
RRCRRr
RCs
CCs
VV
i ++
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
=
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 79Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Configurazione ad anello con doppio integratoreFiltro Tow-Thomas 3/3
Le equazioni di progetto sono molto semplici e sono riassunte in tabella, specificatii componenti possono essere facilmente scelti come indicato in tabella:
All cases C,r= arbitrario, R=1/ω0 C
LP C1 =0, R1
=∞, R3 =∞, R2
=R/Gdc
Positive BP C1 =0, R1
=∞, R2 =∞,
R3 =Qr/Gcentrobanda
Negative BP C1 =0, R2
=∞, R3
=∞,R1 =R/Gcentrobanda
HP C1 =CxGhf
, R1 =∞, R2
=∞, R3 =∞
Qeω 0
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 80Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Outline
L'amplificatore OperazionaleFiltri a singolo poloSingle Amplifier Biquad (SAB)Filtri di Sallen e KeyCircuito di AntoniouConfigurazione ad anello con doppio
integratoreFiltri a capacità commutate
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 81Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Filtri a capacità commutate
I principali svantaggi dei circuiti fin qui mostrati sono sostanzialmente dovuti all’impossibilità che essi possano essere inseriti in un unico circuito integrato monolitico e alla necessità di precise costanti di tempo RC per rispettare le specifiche di progetto. Dobbiamo considerare inoltre che i componenti in commercio assumono solo alcuni valori standard e con ben determinate tolleranze. Una soluzione a questi problemi è data dai circuiti a capacità commutata. Essi si basano sul concetto per cui una capacità a cui è collegato un interrutore può comportarsi come una resistenza se la velocità di commutazione dell’interruttore è sufficientemente alta.
2R
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 82Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Filtri a capacità commutateSe la frequenza fc con cui viene azionato l’interruttore è molto maggiore della frequenza del segnale di ingresso (sul morsetto A), il quale durante il tempo di commutazione Tc può essere considerato costante allora è possibile scrivere:
CTCf-VC(VT
-VC(VΔQ
ccBA
c
BA
//1/1
===Δ===
eqcc
c
R scrivere possiamo cui da )fQfIf :necommutazio di frequenza
) :spostata carica di quantita
1
2c2eq C
CTCR ==τ
Il vantaggio principale è dovuto al fatto che la costante di tempo dipende da un rapporto di capacità. In questo modo l’incertezza sul valore della costante di tempo è molto minore rispetto a quella che si ottiene con un classico circuito RC.
Modellistica Circuitale A.A. 2009/2010 83Dicembre 2009
Mas
sim
o C
ampl
ani
Filtri a capacità commutate
Segnale di clock che pilota gliinterruttori
Transistor usati comeinterruttori