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Prof.ssa Marina Cappucci - Corso Zacademy 2014

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PROJECT WORK

L’INTEGRALE INDEFINITO

“Non so come il mondo potrà giudicarmi ma a me sembra soltanto di essere un bambino che gioca sulla spiaggia, e di essermi divertito a trovare ogni tanto un sasso o una conchiglia più bella del solito, mentre l'oceano della verità giaceva insondato davanti a me.

Isaac Newton

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FINALITÀ DELLO STUDIO DELLA MATEMATICA

Lo studio della matematica, nel corso dei 5 anni di studi di scuola secondaria di secondo grado, contribuisce alla formazione culturale dell’alunno sviluppando quelle abilità richieste dalle figure professionali, in particolare la disciplina aiuta lo studente a

• Consolidare le capacità logiche, di analisi e di sintesi• Utilizzare processi di astrazione • Esercitare a ragionare sia in modo deduttivo che induttivo• Utilizzare un metodo di studio razionale e autonomo• Utilizzare e comprendere formalismi matematici• Applicare in contesti diversi le conoscenze acquisite• Acquisire nuove tecniche e utilizzarle consapevolmente.• Saper utilizzare un linguaggio tecnico appropriato.• Matematizzare la realtà, quindi analizzarla, interpretarla e

sistematizzarla in modelli utilizzando le tecniche acquisite.

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In classe: prospettive per il futuro

E DOPO LA SECONDARIA?

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MATERIALI E CONTESTO

QUINTO ANNO DI SCUOLA SECONDARIA DI SECONDO GRADO

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BREVE STORIA DELLE ORIGINI DELL'ANALISI MATEMATICA

Verso la fine del XVII secolo 2 grandissimi scienziati, il tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1717) e l'inglese Isaac Newton (1642-1727), si contesero il primato di chi avesse dato origine all'analisi infinitesimale.

In realtà, le vere origini di questa importantissima branca della matematica sono molto più antiche: i ragionamenti di Zenone d'Elea(molto celebre per il paradosso di Achille e la tartaruga), le dimostrazioni di Eudosso, i calcoli di Archimede e, successivamente, i lavori di Cavalieri, Galilei, Torricelli, Pascal e Fermat furono assolutamente determinanti per innestare le condizioni necessarie allo sviluppo di questa nuova disciplina, che inizialmente, prese la denominazione di Calcolo sublime.

Newton aveva introdotto il metodo delle flussioni per risolvere questioni di natura fisica, come il problema della velocità istantanea, mentre Liebniz aveva utilizzato il metodo delle differenze infinitesime per risolvere questioni specificamente matematiche, come il problema della tangente a una curva.

Dall'altro lato, Liebniz, aveva pubblicato il suo primo studio sul calcolo infinitesimale negli Acta eruditorum del 1684 e impostato il suo lavoro in maniera completamente originale: parlava di valori che erano "infinitamente piccoli", non pari a 0, ma comunque più piccoli di qualunque numero dato.

Liebniz, così come Newton, non riuscì tuttavia a spiegare il suo metodo di calcolo in maniera soddisfacente, tanto che i suoi amici, leggendo il suo primo scritto, commentarono: "Un enigma più che una spiegazione".

Dunque, in questa prima fase, i 2 scienziati si scambiarono lettere e segnali di reciproca stima.La situazione cambiò profondamente quando, nel 1695, Newton venne a conoscenza che in Europa si attribuiva il merito dell'invenzione del calcolo differenziale a Liebniz: da quel momento in poi i rapporti tra i 2 scienziati si interruppero violentemente.

È necessario specificare che certamente il lavoro di Newton era antecedente a quello di Liebniz, tuttavia l'inglese, come detto in precedenza, non pubblicò nulla.

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In effetti, ancora oggi, l'approccio alla differenziazione di Leibniz, ossia un approccio geometrico, è quello generalmente adottato nei corsi di calcolo infinitesimale in tutto il mondo e la notazione da egli utilizzata per la derivata è usata spesso anche oggi, mentre la notazione e l'approccio in termini di moto fisico preferiti da Newton, vengono di rado utilizzati al di fuori della fisica.

Si instaurò così una scottante questione, che mutò in aspra polemica: Liebniz era arrivato ad introdurre l'analisi infinitesimale autonomamente, oppure, aveva saputo del nuovo calcolo che Newton stava sviluppando e quindi aveva copiato? Liebniz respinse sempre le aspre accuse imputategli, rivendicando con fermezza l'autonomia delle proprie ricerche, anche se non mise mai in discussione il fatto che Newton avesse inventato per primo l'analisi infinitesimale.

La polemica continuò persino dopo la morte di Leibniz, comportando come conseguenza

l'interruzione, per diversi decenni, dello scambio scientifico tra la scuola inglese e quella continentale. Oggi non ha senso parlare del "vero padre" del calcolo infinitesimale: entrambi diedero contributi

fondamentali, che vennero ripresi e implementati dagli analisti successivi.Inoltre, bisogna osservare che in queste prime formulazioni del calcolo, e in generale per tutto il Settecento, era la derivazione ad esser considerata l'operazione principale, mentre l'integrazione non era vista come un'operazione indipendente, bensì solo come l'inversa della derivazione.

Il posto in secondo piano assunto dall'integrazione durò ben poco, visto che Augustin Louis

Cauchy e George Bernard Riemann svilupparono il concetto di integrale definito (indipendente dalla derivazione), importantissimo per calcolare lunghezze, aree e volumi.

Un'ulteriore significativa generalizzazione della teoria dell'integrazione venne da Henry Lebesgue, il quale nel 1902 propose una nuova definizione di integrale, la quale può essere considerata l'estensione della definizione di integrale fornita da Riemann.

Da questo momento, l'integrazione assunse la stessa importanza della derivazione, se non superiore.

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QUESITO

Che si risolve con il calcolo Integrale

La Matematica nella realtà quotidiana

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PREREQUISITI

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In classe – LAVORO DOCENTE -STUDENTI

Leggiamo insieme la presentazione in PPT dell’Integrale indefinito dalle Risorse per l’insegnante

Estrapoliamo le definizioni:

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Esempio di integrale indefinito

Lavoro docente - studenti

Osservazione dei grafici di semplici funzioni e delle loro derivate con Derive

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Osservazione: le operazioni di derivazione e integrazione sono l’una l’inversa dell’altra (a meno di una costante)

TEOREMA

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Dal grafico di una funzione a quello della sua derivata

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…e viceversa

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Notazione (da wikipedia)Il simbolo che rappresenta l'integrale nella notazione matematica fu introdotto da Leibniz alla fine del XVII secolo. Il simbolo si basa sul carattere ſ (esse lunga), lettera che Leibniz utilizzava come iniziale della parola summa, in latino somma, poiché questi considerava l'integrale come una somma infinita di addendi infinitesimali. Il simbolo di integrale nella letteratura (da sinistra) inglese, tedesca e russa. Esistono leggere differenze nella notazione dell'integrale nelle letterature di lingue diverse: il simbolo inglese è piegato verso destra, quello tedesco è dritto mentre la variante russa è piegata verso sinistra.

ED ORA UN Po’ DI ESERCIZI…

Nota di cultura

http://it.wikipedia.org/wiki/Esse_lunga

http://it.wikipedia.org/wiki/Lingua_latina

http://it.wikipedia.org/wiki/Inghilterra

http://it.wikipedia.org/wiki/Germania

http://it.wikipedia.org/wiki/File:Integral_Uprightness.svg