Scattering in Meccanica Classica
F. Bianchi 2
Sommario• Scattering• Diffusione Thomson e Rayleigh• Sezione d’urto in meccanica classica• Attenuazione• Scattering da una sfera rigida• Sezione d’urto di Rutherford
F. Bianchi 3
Scattering (1)• Mezzo sperimentale per eccellenza per ottenere
informazioni sulla struttura del sistemi fisici.– Usato ampiamente anche dalla natura.
• Archetipo di tutti gli esperimenti di scattering: Visione– Sorgente di luce– Oggetto– Rivelatore di luce
• La luce visibile, generata dalla sorgente (Sole, lampada, LED, laser,..), viene diffusa dall’oggetto e raccolta dal rivelatore (Occhio, lastra fotografica, CCD, fotomoltiplicatore,..).
F. Bianchi 4
Scattering (2)• Elemento fondamentale di ogni processo di scattering, sia
corpuscolare sia ondulatorio: Collisione– Es: Scattering di Onde elettromagnetiche/Fotoni
• Effetti della collisione dipendenti da forma, dimensione e struttura interna del bersaglio.
• Descrizione della collisione fortemente dipendente dal tipo di bersaglio e dal rapporto fra lunghezza d’onda e dimensioni del bersaglio.
• Diffrazione: Forma/Dimensioni di uno schermo/apertura– Trattazione classica
• Scattering: Forma/Dimensioni/Struttura di un bersaglio– Trattazione classica sufficiente in qualche caso (Es Antenne)– Trattazione quantistica necessaria a livello microscopico
F. Bianchi 5
Scattering di Onde Elettromagnetiche• Collisione con oggetti macroscopici, risposta
coerente:– d/l >> 1 ottica geometrica– d/l ~ 1 ottica fisica
• Collisione con oggetti microscopici, risposta incoerente:– d ~ 0 scattering Thompson (su elettroni liberi)– d/l << 1 scattering Rayleigh (su elettroni legati)– d/l ~ 1 scattering Mie
F. Bianchi 6
Scattering Thomson (1)• Diffusione di un onda elettromagnetica su un elettrone libero• Onda elettromagnetica incidente lungo la direzione dell’asse z: onda
piana, polarizzata linearmente lungo l’asse x.• L’elettrone oscilla sotto l’azione di E e B.
– Si puo’ trascurare B se ve << c
• Risultato: moto armonico -> dipolo oscillante -> emissione di radiazione sotto forma di onde sferiche
F. Bianchi 7
Scattering Thomson (2)
F. Bianchi 8
Scattering Thomson (3)• Potenza media incidente per unita’ di
superficie:
• Forza agente sull’elettrone:
• Accelerazione media dell’elettrone:
• Potenza mediata temporalmente irraggiata per unita’ di angolo solido da una particella accelerata non relativistica:
• Potenza media diffusa per unita’ d’angolo solido
2002
1 cEI
EeamF
2
20
2
2
222
2mEe
mEea
23
0
22
sin16 c
aeddP
2
200
2
20
2
sin24cE
mce
ddP
F. Bianchi 9
Scattering Thomson (4)• Sezione d’urto (m2/sr)
• Sezione d’urto totale (m2)
• Raggio classico dell’elettrone
• sT indipendente da frequenza ed ampiezza della radiazione incidente
s
2222
20
22
2
20
2
2200
2
20
2
200
cossinsin4
sin4
sin24
21
mce
mce
cEmce
cEddP
Idd
22
20
2222
4
2
20
2
38
438sincossinsin
4 eT rmcedd
mce
s
20
2
4 mcere
F. Bianchi 10
Scattering Rayleigh (1)• Scattering su atomi e molecole: Elettroni legati
– Nuclei pesanti, non risentono del campo elettrico dell’onda
• Modello supersemplificato della forza di legame:– Termine elastico + Termine di smorzamento
– Equivale a:
• L’equazione del moto dell’elettrone:
• Con:
• Una possibile soluzione e’:
F. Bianchi 11
Scattering Rayleigh (2)• Sostituendo x(t) e le
sue derivate nell’equazione del moto dell’elettrone:
• L’accelerazione quadratica media dell’elettrone e’:
• Potenza irraggiata dall’elettrone
2
20
2
22220
2
42
2)( mEea
2200
2
20
2
22220
2
4
sin24)(cE
mce
ddP
F. Bianchi 12
Scattering Rayleigh (3)• La sezione d’urto (m2/sr):
Thomson
dd
mce
mce
cEmce
cEddP
Idd
s
s
22220
2
4
2222
20
2
22220
2
4
22
20
2
22220
2
4
2200
2
20
2
22220
2
4
200
)(
cossinsin4)(
sin4)(
sin24)(
21
F. Bianchi 13
Scattering Rayleigh (4)• L a sezione d’urto totale (m2) dipende fortemente dalla
frequenza dell’onda incidente.
• Massimo sezione d’urto:
• Se • Sezione d’urto di Rayleigh
– Il cielo appare blu perche’ le molecole dell’aria diffondono preferibilemente le lunghezze d’onda piu’ corte.
– Al tramonto la luce del sole appare rossa perche’ attraversa un maggior spessore d’aria
Thomsons
s 22220
2
42
22220
2
4
)()(38
eT r
Thomsonss 4
00
T
Thomsonss 20
0
T
F. Bianchi 14
Scattering Rayleigh (5)
F. Bianchi 15
Scattering in Meccanica Classica• Ogni singolo evento e’ definito in modo deterministico:
– Per ogni singolo urto, note le forze in gioco, gli angoli di deflessioni (,) sono determinati dal parametro d’urto e dalla velocita’ relativa.
• Caso macroscopico: conoscenza completa dei parametri che fissano le caratteristiche della collisione.– Es.: cometa e sole
• Caso microscopico:– Parametri dell’insieme dei proiettili e’ noto
• Fascio di particelle incidenti– Stato dell’insieme dei bersagli e’ noto– Parametro d’urto (ed altre caratteristiche) di ogni singola collisione
non sono in generale noti.• NB: in meccanica classica si tratta di una impossibilita’ pratica, in meccanica
quantistica e’ una impossibilita’ di principio (Principio di Indeterminazione).– E’ necessario un approccio statistico.
F. Bianchi 16
Sezione d’Urto• Grandezze misurabili:
– F -> flusso di particelle incidenti, si misura in particelle m-2 s-1
– R -> flusso di particelle diffuse in un certo angolo solido d , si misura in particelle sr-1 s-1
• Trascurando effetti cumulativi (particelle con >1 interazioni,..):
• ds/d e’ una costante di proporzionalita’ che ha le dimensioni di un’area e prende il nome di sezione d’urto differenziale.
• Sezione d’urto totale:
F
ddR s
ss4
ddd
F. Bianchi 17
Sezione d’Urto ed Attenuazione (1)• Fascio di proiettili di flusso F che attraversa un volume
contenente N particelle per unita’ di volume.– Consideriamo perduti i proiettili che interagiscono con un
bersaglio.• Decremento del fascio dopo uno spessore dx (k costante):
• Introducendo r (densita’ di massa, g/cm3) ed A (massa molecolare, g):
• Naturale identificare k con s. Integrando:
F. Bianchi 18
Sezione d’Urto ed Attenuazione (2)• Quantita’ spesso usate:
• l-> cammino libero medio• m-> coefficiente di attenuazione lineare del
fascio• Per un singolo proiettile (F0 =1):
F. Bianchi 19
Ancora sulla Sezione d’Urto (1)
• In Meccanica Classica la sezione d’urto ci dice qual’e’ la probabilita’ statistica di osservare un’interazione se spariamo un proiettile contro un bersaglio.– N.B.: non siamo in grado di dire cosa accade in ogni singolo evento per motivi
pratici.
• La sezione d’urto totale s e’ una misura della probabilita’ totale d’interazione tra proiettile e bersaglio integrata su tutti i valori del parametro d’urto b.
• La sezione d’urto differenziale ds/d e’ una misura della probabilita’ differenziale di avere un’interazione che causa una deflessione nell’elemento di angolo solido d.– Legata ad un particolare valore del parametro d’impatto b.
• Questi concetti si applicano anche al caso in cui il risultato dell’interazione non sia solo una deflessione del proiettile, ma anche:– Ridristibuzione dell’energia cinetica tra proiettile e bersaglio.– Modifiche alla struttura interna di proiettile e bersaglio.– Produzione di nuove particelle (fenomeno quantistico e relativistico).
F. Bianchi 20
Interpretazione Classica della Sezione d’Urto
• Fascio di particelle incidenti di flusso F che urta un centro diffusore con distribuzione continua di parametri d’urto.
• Particelle deflesse in d (con angolo polare fra e +d, angolo azimutale fra f e f+df): Sono quelle che incidono in ds ( con par.d’urto fra b e b+db, angolo azimutale fra f e f+df)
s
fsf
f
fs
ddb
senb
dd
ddsenddbdbd
bdbdI
ddsenddR
F
F
• Sezione d’urto: Superficie (totale o differenziale) trasversale alla velocita’ relativa fra proiettile e bersaglio.• Parametri d’urto inferiori al raggio della superficie -> Interazione
F. Bianchi 21
Scattering da Sfera Rigida• Barriera di potenziale
infinita per r<a.• Per il proiettile vale la
legge della riflessione.
2
2
42sin2
2cos2
sin2
2cos
2sin2sin
2cos
sin
2sin2
2cos
2sinsin
2
a
aaaaa
ddbb
dd
addb
aaab
s
s
b
F. Bianchi 22
Sezione d’Urto di Rutherford (1)• Classico problema a due corpi con un potenziale
centrale repulsivo.
• Per ricavare la sezione d’urto:
• Occorre ricavare la relazione che c’e’ tra il parametro d’impatto b della particella incidente e l’angolo di scattering
• Prendiamola un po’ alla lontana…
s
ddb
senb
dd
F. Bianchi 23
La Lagrangiana di un sistema a due corpi di massa m1 ed m2 che interagiscono con un potenziale centrale:
e’:Introducendo le coordinate:
Si puo’ riscrivere come:
Sezione d’Urto di Rutherford (2)
F. Bianchi 24
Sezione d’Urto di Rutherford (3)• Introducendo:
• La Lagrangiana diventa:
• Non dipende dalle coordinate del baricentro (coordinate cicliche) e quindi i loro momenti coniugati (le componenti dell’impulso del baricentro) si conservano.– Abbiamo ritrovato che il baricentro di un sistema in assenza di
forze esterne si muove di moto rettilineo uniforme
• La lagrangiana del moto relativo e’:
F. Bianchi 25
Sezione d’Urto di Rutherford (4)• In coordinate polari:
• e’ una coordinata ciclica, il suo momento coniugato (il momento angolare) si conserva:
• Anche l’energia si conserva:
F. Bianchi 26
Sezione d’Urto di Rutherford (5)• Da cui:
• Separando le variabili:
• Integrando con la condizione iniziale :
• Sostituendo r(t) con :
F. Bianchi 27
Sezione d’Urto di Rutherford (6)• A questo punto sono note r(t) e (t). E’
possibile ricavare l’equazione della traettoria:
• Integrando:
• Consideriamo ora il caso:
F. Bianchi 28
Sezione d’Urto di Rutherford (7)• L’equazione della trettoria diventa:
• Questo e’ un integrale del tipo:
• Con:
F. Bianchi 29
Sezione d’Urto di Rutherford (8)• La soluzione e’:
• Ritornando ad r:
• Infine:
• Definendo:
F. Bianchi 30
Sezione d’Urto di Rutherford (9)
2
222
2
2
2
2
'21
)'(21
cos1'1
2
')(
eZZEb
eZZmEl
lemZZ
r
mEbbmvlreZZ
rrV
inc
m
m 00
22sin
2cos1 f
cosec
f/2
F. Bianchi 31
Sezione d’Urto di Rutherford (10)
2sin
12'
41
2sin
1sin2
2'
21
sin
2sin
12'
21
22'
'2
21
'21
2
112
2sin
2sin1
2sin
2cos
2
4
22
2
22
2
22
2
2
22
22
2
2
2
2
2
s
EeZZ
ctg
EeZZ
ddbb
dd
EeZZ
ddbctg
EeZZb
eZZEbctg
eZZEbctg
ctg cosec
Sezione d’urto totale e’ divergenteConseguenza del range infinito di V(r)
F. Bianchi 32
Estensione a Processi Qualunque (1)• Finora abbiamo discusso lo scattering elastico da
potenziale:
F. Bianchi 33
Estensione a Processi Qualunque (2)