CONTROLLI AUTOMATICI I Prof. Francesco BASILE
SINTESI DEI SISTEMI DI CONTROLLO ATEMPO CONTINUO
Requisiti e specifiche
Approcci alla sintesi
Esempi di progetto
Principali reti stabilizzatrici
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REQUISITI E SPECIFICHE
� Schema di un sistema di controllo
� Sintesi = nota�������
, progettare � ����� : sistema di controllo ca-ratterizzato da determinate prestazioni� ����� soddisfa le condizioni di applicabilita del criterio di
Bode ( � � e diagramma di Bode di � ������� � attraversauna sola volta l’asse a � dB)
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Requisiti principali
� Stabilita in condizioni nominali���� � , ��� � �
� Stabilita in condizioni perturbate valori elevati di � � e � � non eccedere nella scelta di
��(attenzione: ritardi di tempo)
� Precisione statica aumentare tipo e/o guadagno d’anello � (riduzione � �
per � e � canonici)
� Precisione dinamica allargare la banda passante di � ����� (
� �sufficientemente
elevata) smorzamento minimo ai poli dominanti di � ����� ( ��� suffi-
cientemente elevato)
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� Attenuazione dell’effetto del disturbo � � ������� ��� � nello spettro del disturbo (vincolo sul minimo
di���
)
� Attenuazione dell’effetto del disturbo � per � confinato in alta frequenza: vincolo sul massimo di
� �
� Moderazione della variabile di controllo � � ������� � limitato per
� � � �(unico requisito discriminante
tra � ����� e�������
)
� Realizzabilita del regolatore � ����� propria ( � ����� � �� )
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Rappresentazione grafica dei vincoli
� Regione di ammissibilita per il diagramma di Bode di � ������� �M
odul
o (d
B)
0
w
–gmin
–kmin
wcmin wcmax
vincoli su � � presumibilmente soddisfatti per funzionid’anello a fase minima (pendenza � � )
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� Esempio di progetto: regolatore per�������
asintoticamente sta-bile di tipo � e grado relativo
�
� Requisiti
a) � � � per � �������� � �b) risposta � per variazione � a scalino: �� �� � � � , ��� � � �c) disturbo � con componenti spettrali in [0,0.1] attenuato di
almeno� � dB
d) disturbo � con componenti spettrali in [10,100] attenuato dialmeno
� � dB
� Scelte progettuali
a) �� �
b) � ������� � � ��� ��� (sistema retroazionato assimilabile asistema con polo dominante in
� � � � ); � ��"! #%$ � � �� � � ���&#c) �'� ������� �)(+* � � � � per
� , - ��. ��� �0/1� � ������� �)(+* � � �(��� � ��� � : gia garantito)
d) � � ������� �)(+* � � � � per�2,3- � ��. � � �4/5� � ������� �)(+* � � � �
(non in conflitto con la specifica su� �
)
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� Regione di ammissibilita per il diagramma di Bode di � ������� �
w10
–110
–210
210
010
1
–60
–50
–40
–30
–20
–10
0
10
20
30
40
–1
–2
Mod
ulo
(dB
)
vincolo su � � da verificare a parte
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Altri requisiti
� Evitare regolatori di ordine elevato (se possibile, proporzionali)
� Regolatori asintoticamente stabili (comportamenti indesideratiin caso di malfunzionamenti)
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APPROCCI ALLA SINTESI
� Sintesi per tentativi si comincia a considerare come candidati alla soluzione
regolatori molto semplici si complicano, se necessario, in modo da rispettare tutte le
specifiche di progetto lettura dei diagrammi di Bode di ������� a ogni tentativo
� Funzione di trasferimento del regolatore
� ����� � � ����� ��� �����
parte statica
� � ����� ������
parte dinamica (rete stabilizzatrice)
� � ����� ��� � ��� � ���� � � �� � � ���
� Progetto statico: scelta del tipo � e del guadagno ��� (a volte indeter-
minato) dinamico: possibilita di � � ������� � per assicurare asintotica
stabilita + rispetto di altri vincoli
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ESEMPI DI PROGETTO
� Controllo di un sistema a fase minima
������� � �� � � � ��� � � # ��� � � ���
� Specifiche
a) � � � � � ��� � per � � � ������� � � e � � � � ����� � � con�)� � � � e ��� � � #
b)��� � ��� �
c) ��� � � ���
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� Progetto statico regolatore di tipo � � e guadagno � � � � , � e � di
ampiezza massima e segno discorde:
� � � � ��� � � � � � ��� ��# ���
per garantire robustezza:
� � ����� ��
regolatore di tipo � �
� � ����� ����
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� Progetto A ( � � ����� �� )
����� �� ����� ��� �����
� ����� � � ����� ������� � �� � � � ��� � � # ��� � � ���
primo tentativo: � � ����� � diagrammi di Bode
� � ! � , ��� � ��� (instabile!)
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��� ����� : rete stabilizzatrice che anticipi in vicinanza della� �
desiderata funzione d’anello di tentativo �� ����� : ��� ��� � , pendenza� �
� ����� � �� �� � # � ��� � � ����� ��� � � ��� ! ��� � . � � ! � � �
�
��� ����� �� ����� � �����
� � � � ��� � �3# ��� � � ���� � � # � ��� � � ����� ��� �
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� Progetto B il precedente regolatore dinamico opera per cancellazione soluzione piu leggera (rinunciando a cancellare il polo ad
alta frequenza di�������
)
� � ����� � �� � � ��� � �3# ���� � � # � ��� � � ����� ��� � � � !���� � . ��� !2� � �
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� Progetto C in assenza di controindicazioni su un ampliamento smode-
rato della banda passante
� ����� �� �3# ��� � � ���� � ��� � � ��� �
����� � �� �� � � ��� � � ��� � � ��� � � ��� ! � ����. � � ! � � �
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possibili inconvenienti in termini di moderazione dell’azionedi controllo e di robustezza nei confronti di fenomeni dina-mici in altra frequenza non modellizzati
potrebbe non reagire in maniera cosı veloce a una variazionedi disturbo (
� ����� �� �������� �����con �
�����a poli lenti)
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� Progetto D ( � � ����� � � $ � ) primo tentativo: � � ����� � diagrammi di Bode ( � ����� ������� $ � , ����� � � � ����� )
� ! ��� � � : massimo valore di� �
a fronte di � � � � ��� (conscelta opportuna di � � )
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zero che cancella il polo lento (� � ��� � )
� ����� � � � �� � � ����
diagrammi di Bode ( � ����� � ����� ������� $ ��� : linea a tratti)���ancora troppo bassa
aggiunta di un altro zero che cancella il polo in� � ��� � e
di un altro polo (fisica realizzabilita)
� ����� ��� � �� � � ��� � �3# ���� � �� ���
per � � ���� � � #�� ��� !���� � � e � � ! � � �
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� Confronto tra i regolatori progettati
soluzione C (migliori prestazioni dinamiche): piu critica perla moderazione del controllo
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risposte a uno scalino di riferimento �
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andamenti della variabile di controllo ad uno scalino diriferimento � (curva C scalata di � ��� !)
regolatore�
unico a garantire errore nullo a transitorioesaurito (dotato di azione integrale)
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robustezza nei riguardi di ritardi non modellizzati
��� �������
� � � !���� ���
��� ! � ��� � ��� ! � ��� � ����! � �&# � robustezza nei riguardi di incertezze sul guadagno
� ��� ! � # ��� � � �� ! � ��� � � � �� ! � � �&# # � ����! � ��� �
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dinamica oscillatoria associata a coppia di poli con��� �
e� ���� � , non portata in conto in fase di progetto
regolatore C produce un sistema instabile risposta ad uno scalino di �
regolatore D risente meno (modulo della funzione d’anellopiu basso in
� �)
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disturbo sul trasduttore � � � 2����� � � � risposta ad uno scalino di �
regolatore D capace di garantire la maggiore attenuazionedel disturbo
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� Possibile strategia di progetto per sistemi a fase minima ( � ��e grado relativo � )
� ����� ��������� �
� � � � ������� � � � � � � � ��
poli aggiuntivi per il vincolo di realizzabilita funzione d’anello
����� ���
� � � � ��� ��� � � � � ! ��� . ��� !�� � �
prestazioni scadenti in termini di moderazione del controllo,robustezza nei confronti di dinamica in alta frequenza nonmodellizzata, sensitivita rispetto ai disturbi sulla linea diretroazione
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� Controllo di un sistema a fase non minima
������� ��� � � � � � ���� � �� � � ��� � � ��� � ���
� Specifiche: � � � � ��� con massima� �
zero a ��� � � e polo nell’origine non sono cancellabili �massima
���ottenibile non potra eccedere di molto
� ���&#(sfasamento dovuto a polo e zero: � � � # � )
primo tentativo: � ����� � �
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diagrammi di Bode di���������
����� ��������� � � � ��� in� ! ��� � �%#
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introduzione di un anticipo di fase
� ����� � � � �� � � ���� ��� � �
funzione di anello ����� � � � ����� ( � ������� linea a tratti)
� ����� ��� � � � � � ���� � �� ��� � ��� �
����� � ������� � � � ��� in� ! ����� � per � � ������� �%! � � � dB
( ��� ! � �&# )� � ! � ��� : stabilita poco robusta nei confronti di eventualiperturbazioni sul guadagno d’anello
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� Controllo di un sistema con ritardo di tempo
������� � � ���� �� ��� �
� Specifiche
a) � � � � � in presenza di una variazione a scalino del riferi-mento
b)� � � ��� �
c) � � � � ���� Scelte progettuali
azione integrale per a) � sfasamento negativo di � � � � ��� � � ��$ �
massimo valore di� �
che garantisce la asintotica stabilita:��� � $ � ! ����� per b):
� � , - ��� � . ����� / regolatore
� ����� ��� �� � � � ! ��� � . ��� ! � � �
aggiunta di uno zero
� ����� ��� � � � ���� � � � ! ��� � . ��� ! � � �
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� Controllo di un sistema del terzo ordine
������� #� � ��� � � ��� � � � ��� � � � � �
� Specifiche
a) � � � ��� ��� �%# quando � � � 2����� � �b) ��� � � #%�c) � � � �
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� Progetto A
a) azione integrale oppure regolatore di tipo zero con � � �� ��$ # : � � �
diagrammi di Bode associati a � ����� ��������
regolatore del primo ordine:� ��� �%# � valori di
� �molto
inferiori a� �
polo a bassa frequenza:� � ��� �
� ����� ��� � � � � � � ! � � � ��. ��� ! � � � . � � ! � � � �
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introduzione di uno zero per aumentare il margine di fase:attenzione a pulsazione inferiore a
� � � picco di risonanzavicino all’asse a � dB (riduzione del margine di guadagno)
� ����� �� � � $ � ��� � � � � ��� ! # � � . � � ! � � � �
capacita di attenuare l’effetto del disturbo�� : � ����� ������� � ����� , � ����� � � ����� � � �
diagrammi di bode di � � ������� �
componenti a bassa e ad alta frequenza vengono attenuate
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risposta a uno scalino di��
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 33
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robustezza in presenza di incertezze su� �
: relativa insensi-bilita poiche a frequenza elevata rispetto a
�� risposta a uno scalino di � (
� � � � , � � � � : linea atratti)
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� Progetto B
regolatore di ordine piu elevato (cancellazione dei poli delsistema a basso
�)
� ����� �� � ��� � � � ��� � � � � �� �� ��� � � # ��� �
diagrammi di Bode di � ������� (filtro a spillo)
funzione d’anello
����� � �� � ��� � �� ��� � � # ��� � �
� � ! �������%# . ��� ! � � �4.� � ! � � � �
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azione filtrante nei confronti del disturbo (linea a tratti pre-cedente)
� �����ha le radici di � ����� e i poli complessi coniugati di������� � risposta a uno scalino di
�� con oscillazioni moltopoco smorzate (linea a tratti precedente)
scarsa robustezza nei confronti di eventuali incertezze su� �
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PRINCIPALI RETI STABILIZZATRICI
� Uso di regolatori di struttura semplice, riconducibile a una pre-cisa tipologia
Rete anticipatrice (lead network)
� Funzione di trasferimento
� ����� ��� � � ���� � �
��� � ��. � � ��. � � � � �
diagrammi di Bode
anticipo di fase massimo per�� � $ � � � � � (punto medio
tra pulsazioni � $ � e ��� � )
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� scelto in modo che��
nei pressi di��
desiderata � effettostabilizzante (margini di fase piu elevati)
azione piu efficace riducendo � � maggiore amplificazionead alta frequenza (effetti negativi sulle prestazioni in terminidi moderazione del controllo, robustezza e attenuazione deidisturbi di misura in alta frequenza)
� ��� � : zero e polo a distanza di una decade (buon com-promesso: anticipo massimo di # # �
attenzione a non aumentare troppo� �
: inefficaciadell’anticipo di fase (stabilita pregiudicata)
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� Effetto tipico dell’introduzione di una rete anticipatrice
caso limite: � �� (regolatore PD)
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Rete ritardatrice (lag network)
� Funzione di trasferimento
� ����� � � �� � ��� � � �
� � � ��. � � ��. � � �
diagrammi di Bode
ritardo di fase massimo per�� � $ � � � � �
impiego per migliorare la precisione statica (aumento delmodulo della funzione d’anello a bassa frequenza)
� � � $ ��� per evitare di pregiudicare il valore di � � (ad es.�� � ��$ ��� � sfasamento negativo a
� �inferiore a � �
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� Effetto dell’introduzione di una rete ritardatrice ( � � � : com-portamento in alta frequenza inalterato)
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� Effetto dell’introduzione di una rete ritardatrice ( � � � : utileper abbassare il diagramma di � ������� � in modo da ridurre lapulsazione di attraversamento e migliorare il margine di fase)
caso limite: � � (regolatore PI)
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Rete a sella (lead-lag network)
� Funzione di trasferimento
� ����� ���� � � � ��� � � � � ���� �� � � ��� � � � � ���
��� � ��. � � � � � � � � � � � � �
diagrammi di Bode
spesso � � � � � � ��� : � � ������� � � � per���
�
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 43
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� Effetto dell’introduzione di una rete a sella ( � � � � $ ��� � � �per beneficiare dell’anticipo di fase)
struttura analoga a quella di un regolatore PID
Illustrazioni dal Testo di Riferimento per gentile concessione degli Autori 44