Soluzione della prova di Matematica
per i Licei Scientifici
Prof. Luigi Verolino
Università Federico II di Napoli
22 giugno 2016
Ora per poi io preparo
Palindromo
Anche quest’anno, gli studenti del Liceo Scientifico hanno svolto, quale seconda
prova degli Esami di Stato 2015-2016, una traccia di Matematica, composta da
due problemi e dieci quesiti.
Il primo problema partiva da una situazione pratica, riguardante la
progettazione di un serbatoio di gasolio per un condominio, mentre il secondo
problema ed i quesiti avevano un’impronta più teorica. Per quanto riguarda i
quesiti di Matematica, sette su dieci sono legati ad argomenti di Geometria
Analitica o di Analisi, due sono relativi al calcolo delle probabilità ed un altro è di
Geometria Solida sul calcolo di un volume di un liquido in un recipiente.
La prova ha avuto inizio alle ore 8:30, quando il Miur ha comunicato la chiave
per aprire il plico telematico.
«Temi molto vicini alla realtà quotidiana, con un approccio operativo che aiuta
gli studenti a capire il valore pratico di ciò che studiano e la centralità che
potranno avere le competenze acquisite a scuola anche nella loro vita futura», ha
dichiarato il ministro dell’Istruzione, Stefania Giannini, commentando le tracce.
Nel complesso, il compito non è adatto ad un liceo scientifico, dato che presenta
esercizi e quesiti eccessivamente difficoltosi oppure troppo semplici. Inoltre, le
Indicazioni Nazionali sono completamente disattese, dato che è presente, un po’
dovunque, un eccesso di formalismi di calcolo.
Si spera che coloro che in futuro proporranno i problemi leggano con maggiore
attenzione le Indicazioni Nazionali per i licei scientifici, in maniera tale che gli
insegnanti possano disporre di una bussola da puntare verso gli obiettivi da
raggiungere nelle loro lezioni.
In questo scritto vengono riportate le soluzioni complete dei due problemi e dei
dieci quesiti.
Problemi
Problema 1
L’amministratore di un piccolo condominio deve installare un nuovo serbatoio
per il gasolio da riscaldamento. Non essendo soddisfatto dei modelli esistenti in
commercio, ti incarica di progettarne uno che risponda alle esigenze del
condominio.
Allo scopo di darti le necessarie informazioni, l’amministratore ti fornisce il
disegno di figura 1, aggiungendo le seguenti indicazioni:
la lunghezza del serbatoio deve essere pari a otto metri;
la larghezza del serbatoio deve essere pari a due metri;
l’altezza del serbatoio deve essere pari a un metro;
il profilo laterale (figura 2) deve avere un punto angoloso alla sommità,
per evitare l’accumulo di ghiaccio durante i mesi invernali, con angolo
;
la capacità del serbatoio deve essere pari ad almeno , in modo da
garantire al condominio il riscaldamento per tutto l’inverno effettuando
solo due rifornimenti di gasolio;
al centro della parete laterale del serbatoio, lungo l’asse di simmetria
(segmento in figura 2) deve essere installato un indicatore graduato
che riporti la percentuale di riempimento del volume del serbatoio in
corrispondenza del livello raggiunto in altezza dal gasolio.
1. Considerando come origine degli assi cartesiani il punto A in figura 2,
individua tra le seguenti famiglie di funzioni quella che meglio può descrivere il
profilo laterale del serbatoio per , intero positivo, motivando
opportunamente la tua scelta:
2. Determina il valore di che consente di soddisfare i requisiti richiesti
relativamente all’angolo er al volume del serbatoio.
3. Al fine di realizzare l’indicatore graduato, determina l’espressione che
associa al livello del gasolio (in metri) la percentuale di riempimento del
volume da riportare sull’indicatore stesso.
Quando consegni il tuo progetto, l’amministratore obietta che, essendo il
serbatoio alto un metro, il valore del livello di gasolio, espresso in centimetri,
deve corrispondere alla percentuale di riempimento: cioè, ad esempio, se il
gasolio raggiunge un livello pari a vuol dire che il serbatoio è pieno al
; invece il tuo indicatore riporta, in corrispondenza del livello , una
percentuale del .
4. Illustra gli argomenti che puoi usare per spiegare all’amministratore che il suo
ragionamento è sbagliato; mostra anche qual è, in termini assoluti, il massimo
errore che si commette usando il livello come indicatore della percentuale di
riempimento, come da lui suggerito, e qual è il valore di in corrispondenza del
quale esso si verifica.
Soluzione
Per brevità, nel seguito tutte le lunghezze verranno misurate in metri e tutti i
volumi in metri cubi, anche se non verrà esplicitamente indicato. Si porrà, ad
esempio, semplicemente
1. La prima funzione proposta
è la scelta corretta. Infatti, essa passa per i punti e e presenta
un punto angoloso in come richiesto. Inoltre, la pendenza in
corrispondenza del punto angoloso dipende dal valore di e quindi è regolabile.
La seconda funzione ha anch’essa un punto angoloso in , passa per il punto
e, con un opportuno valore di , può passare per gli altri due punti in
precedenza considerati. Tuttavia, la derivata in corrispondenza del punto
angoloso, vale a dire , vale in valore assoluto , essendo da una parte la
pendenza positiva e dall’altra negativa. L’inclinazione della funzione è allora pari
a , che non è compatibile con le richieste dell’amministratore.
La terza funzione, invece, pur passando per i tre punti dati, non presenta il punto
angoloso richiesto, perché è una funzione goniometrica infinitamente derivabile.
2. Per la funzione scelta, risulta immediato scrivere che
Segue che la pendenza della curva in corrispondenza del punto angoloso vale
Allora, il volume del serbatoio può essere calcolato come
Dunque, dato che si desidera che , si può scrivere che
A questa prima disuguaglianza ne segue un’altra, per imporre il vincolo
sull’angolo, per cui
Riassumendo, si può scrivere che
Dovendo essere un intero positivo, si conclude che l’unico intero possibile è
Con questa scelta il volume del serbatoio è pari a
e l’angolo in alto vale
3. Per determinare la funzione , cioè il volume occupato dal liquido in
funzione dell’altezza raggiunta, occorre svolgere un integrale sull’asse delle
ordinate e calcolare l’area della semi-sezione verticale del serbatoio, in
modo che
Per fare ciò, è necessario prima di tutto invertire la funzione : essa è
invertibile, essendo monotona, nell’intervallo , per cui
Segue allora che
in cui nell’integrale si è sostituito per evitare ogni ambiguità nella
notazione. Pertanto, il volume assoluto occupato vale
mentre quello relativo risulta pari a
4. Prima di tutto, si può sfruttare il dato numerico messo a disposizione nel testo
per verificare la correttezza della soluzione fino a questo punto. Infatti, se si
sostituisce nell’espressione appena ottenuta il valore , vale a dire
, si ha , come indicato.
L’errore nel ragionamento dell’amministratore è il seguente: egli sta
supponendo che il serbatoio abbia una sezione verticale a larghezza costante,
mentre nel caso in esame la larghezza varia proprio secondo la funzione .
Numericamente, l’errore può essere stimato come differenza tra il volume
predetto dalla funzione appena determinata e la funzione, molto più
semplice ed imprecisa,
In tal modo, ci si riconduce ad un normale problema di ricerca di massimi, da
svolgere mediante il calcolo della derivata prima
L’ultimo risultato ricavato è l’errore massimo che si commette utilizzando la
funzione anziché la funzione , che corrisponde a circa e si
verifica in corrispondenza di un valore di approssimativamente pari a
.
Si tratta di un problema di elevata difficoltà, ben incardinato nelle Indicazioni
Nazionali e contestualizzato in maniera forzata, dato che appare piuttosto
improbabile che un amministratore condominiale elabori ciò che è descritto nel
testo. Pur se l’argomento è presente nei diversi libri di testo, la formulazione
risulta piuttosto ambigua
Problema 2
Nella figura 1 è rappresentato il grafico della funzione ,
derivabile in , e sono indicate le coordinate di alcuni suoi punti.
È noto che è tangente all’asse in , che ed sono un punto di massimo e
uno di minimo, che è un punto di flesso con tangente di equazione
.
Nel punto la retta tangente ha equazione e per il grafico
consiste in una semiretta passante per . Si sa inoltre che l’area della regione
delimitata dall’arco , dall’asse e dall’asse vale , mentre l’area della
regione delimitata dall’arco e dall’asse vale .
1. In base alle informazioni disponibili, rappresenta indicativamente i grafici
delle funzioni
Quali sono i valori di e di ? Motiva la tua risposta.
2. Rappresenta, indicativamente, i grafici delle funzioni
specificando l’insieme di definizione di ciascuna di esse.
3. Determina i valori medi di e di nell’intervallo , il
valor medio di nell’intervallo ed il valor medio di
nell’intervallo .
4. Scrivi le equazioni delle rette tangenti al grafico della funzione nei suoi
punti di ascisse e , motivando le risposte.
Soluzione
1. Prima di iniziare ad entrare nel vivo della soluzione del problema, vale la pena
ricordare che, negli intervalli in cui la prima derivata è positiva, una funzione è
strettamente crescente; il contrario accade negli intervalli di stretta decrescenza.
Questo è tutto ciò che serve a determinare l’andamento della funzione
a partire da quello noto, almeno graficamente, della funzione .
A voler essere più precisi, bisogna mettere in evidenza che in la funzione è
tangente all’asse , vale a dire che
Percorrendo la curva da verso , essa cresce strettamente e, dunque, la
derivata è positiva. Il punto è un punto di massimo relativo ed allora la
derivata è ivi nulla. Poi, passando da ad , la curva decresce e, quindi, la sua
derivata prima è negativa; in , punto di minimo relativo, la derivata è di nuovo
nulla, mentre tra e è positiva fino a mantenersi costante al valore dopo .
Nei punti e sono note le tangenti inflessionali, che sono state riportate per
maggiore chiarezza. Il precedente grafico è stato ottenuto per interpolazione,
vale a dire è stata costruita una funzione che, tratto per tratto, potesse meglio
rappresentare i valori numerici assegnati. Si è preferito suddividere la curva in
diversi tratti, anche perché l’interpolazione non richiede conti assai onerosi e
può essere sviluppata senza l’uso di un elaboratore elettronico. Inoltre, nella
tabella che segue, oltre al tratto in esame ed alla funzione approssimante, si è
riportato anche il valore dell’area sottesa, che coincide con l’integrale solo se la
curva è positiva. La funzione approssimante è in ogni tratto una funzione
polinomiale, tranne nel primo, laddove la derivata infinita nell’origine, impone
una classe di funzione un poco più complicata e dipendente dal parametro
. La scelta di questo parametro è stata condizionata, come sarà
più chiaro in quel che segue, dal valore dell’area sottesa nei primi tre tratti, che è
stata scelta pari a , non come richiede il testo. In effetti, risulta che
Tratto Approssimante Area sottesa
Quanto in precedenza detto sulla derivata prima, basta per giustificare il grafico
di , riportato con qualche dettaglio in quel che segue. Si osservi che il
punto è stato impropriamente disegnato; tuttavia, per ricordare che esso
tende verso l’infinito, al suo fianco è stata apposta una piccola freccia. Il punto
non è un punto di minimo relativo per la funzione derivata prima, mentre è un
punto di flesso per questa funzione e per entrambi, a partire dalle tangenti
inflessionali date, si deducono immediatamente i valori delle due derivate
I punti e rappresentano i simmetrici di e rispetto all’asse delle ascisse
e la curva tratteggiata, assieme ai tratti continui positivi, rappresenta il grafico
della funzione valore assoluto della prima derivata
Questo grafico è, per la verità, richiesto nel secondo punto del problema, ma è
stato anticipato, vista l’immediatezza della soluzione grafica proposta.
Prima di ottenere il grafico dell’integrale
bisogna tuttavia fare alcune osservazioni al testo, che fornisce i seguenti valori
numerici delle due aree
Ebbene, si tratta di due numeri interi positivi che vanno interpretati come
approssimazioni dei valori veri, come prova un’attenta analisi del grafico della
funzione assegnata. Si consideri, allo scopo, la prima area e si
osservi la figura di seguito mostrata, che è una riproposizione della prima parte
del grafico fornito dal testo, nella quale sono tracciate in rosso alcune rette, utili
per determinare un limite inferiore e superiore per il valore dell’area in esame.
I tre punti e sono allineati e l’esame della figura suggerisce che l’area
non può valere , dato che essa è inferiore all’area del trapezio
rettangolo più esterno, che in certa misura contiene la porzione di grafico in
esame, ed è superiore all’area della figura geometrica in essa contenuta, per cui
su può scrivere
Pertanto, si assumerà
Similmente, l’altra area assegnata non può avere valore unitario, dato
che, come suggerisce la figura che segue, contiene il triangolo di base pari a
e di altezza pari a , per cui si può concludere che
Si assumerà, anche per questa seconda area, il valore
Ritornando al grafico dell’integrale, si può affermare che fin quando la funzione
è positiva, la sua primitiva
cresce sempre. In particolare, essa presenta un massimo relativo nel punto ,
laddove risulta
Appena la funzione integranda diventa negativa, l’integrale comincia a
decrescere, fino al minimo relativo nel punto
Infine, dato che vale la relazione lineare
la primitiva torna a crescere, seguendo la legge parabolica
2. Si è già riportato l’andamento di , osservando che basta un semplice
ribaltamento delle porzioni negative del grafico di , e l’insieme di
definizione non cambia, essendo sempre .
Nel grafico che segue, anche se non esplicitamente richiesto dal testo, si è
riportato l’andamento della funzione : si osserva che è stata ribaltata
la parte negativa del grafico di e che il nuovo punto rappresenta il punto
simmetrico di E rispetto all’asse delle ascisse. In altri termini, si può scrivere che
Il grafico di è stato presentato non solo perché tornerà utile nel seguito,
quando se ne dovrà determinare il valor medio, ma anche quale passo
intermedio, in preparazione del successivo, vale a dire della sua prima derivata
A questo punto non è difficile convenire con il grafico della funzione
mostrato di seguito, che rappresenta una funzione definita sull’intero semiasse
negativo delle ascisse, tranne i punti e , laddove la funzione esibisce
dei salti.
Infine, la figura che segue mostra in blu il grafico dell’inversa della funzione
, peraltro riportata tratteggiata in rosso. Si osservino i due asintoti verticali
in corrispondenza degli zeri della funzione
L’asse delle ascisse è diventato asintoto orizzontale destro e l’inversa presenta
dei minimi relativi, laddove la funzione di partenza aveva dei massimi relativi, e
viceversa. Così, ad esempio, il minimo relativo in della funzione di partenza si
trasforma in un massimo relativo per l’inversa. Negli intervalli in cui la funzione
cresce, la sua inversa decresce, dato che
3. Per il calcolo del valor medio della funzione nell’intervallo ,
basta adoperare il Teorema della media, per cui
Per contro, volendo determinare il valor medio della funzione sempre
nell’intervallo , si può scrivere che
Si osserva che, come era prevedibile, risulta
dato che, nel calcolo dell’integrale che definisce , bisogna considerare anche un
tratto negativo della funzione.
Ancora, il valor medio della funzione nell’intervallo è pari a
Infine, il valor medio della primitiva nell’intervallo vale
Ora, poiché risulta
essendo una costante di integrazione, si conclude che
e si può scrivere
4. Per è già noto che . Inoltre, si ottiene che
e, quindi, la retta cercata è data dall’equazione
Per , invece, è già noto che . Inoltre, risulta
e, quindi, la retta cercata è data dall’equazione
Come si è già avuto modo di osservare, in la funzione presenta un
minimo relativo e, dunque, una retta orizzontale corrisponde a quanto ci si
poteva attendere.
Questo problema è inutilmente laborioso, essendo pieno di calcoli e di grafici; il
calcolo del valor medio, utilizzando il Teorema della media, viene
frequentemente richiesto. Si spera che coloro che in futuro proporranno i
problemi leggano con maggiore attenzione le Indicazioni Nazionali per i licei
scientifici, che prescrivono di non eccedere con i formalismi di calcolo. Infine, il
problema appare perfettamente decontestualizzato.
Quesiti
1. È noto che
Stabilire se il numero reale , tale che
è positivo oppure negativo. Determinare inoltre i valori dei seguenti integrali,
motivando le risposte:
La funzione
è una funzione continua sull’intero asse reale e pari. Essa è sempre positiva,
assume un massimo relativo nell’origine ed ammette, quale asintoto orizzontale,
l’asse delle ascisse, per cui
Il suo andamento viene di seguito riportato. In realtà, si tratta di una particolare
funzione gaussiana
così chiamata in onore del grande Gauss, il principe dei matematici, per cui si è
scelto
Queste funzioni si collocano tra le funzioni speciali elementari e possono essere
introdotte nei primi corsi di Analisi Matematica. Mancano di integrali
elementari, in altre parole, i loro integrali non possono essere espressi mediante
composizioni semplici di funzioni elementari.
Tuttavia, i loro integrali impropri, dove l’integrazione è fatta su tutta la retta
reale, possono essere valutati esattamente, dato che si può dimostrare che vale
l’integrale
Johann Carl Friedrich Gauss
Braunschweig, 30 aprile 1777 – Gottinga, 23 febbraio 1855
Allora, si può scrivere, per la parità dell’integrando, che
Ciò comporta che deve essere positivo, dato che
per cui l’estremo superiore di integrazione deve aver superato l’origine. Non è
facile sapere quanto valga , ma si sa che esso è positivo.
Passando poi al calcolo dei tre integrali proposti, si può dire che il primo è nullo
essendo l’integrando una funzione dispari. Il secondo integrale, invece, diventa
Ora, dato che
si può concludere che
Infine, il terzo integrale, in forza del cambio di variabili , è pari a
Questo quesito è di media difficoltà ed è unanimemente ritenuto il migliore, dato
che verifica, con un argomento baricentrale del programma di ultimo anno,
conoscenze abilità e competenze dello studente.
2. Data una parabola di equazione
si vogliono inscrivere dei rettangoli, con un lato sull’asse , nel segmento
parabolico delimitato dall’asse . Determinare in modo tale che il rettangolo
sia di area massima sia anche il rettangolo di perimetro massimo.
Si tratta di un doppio problema di massimo e di minimo. La parabola
interseca l’asse delle ascisse nei punti
Indicando con l’ascissa del punto , che identifica un vertice del
rettangolo, si può scrivere che l’area del rettangolo vale
e stabilire che il suo valore cresce nell’intervallo
L’area del rettangolo presenta un massimo relativo per
Procedendo analogamente per il perimetro, si ottiene
che è massimo per
Mettendo a sistema le ascisse dei due massimi, risulta
La parabola cercata ha, in definitiva, equazione
mentre il perimetro e l’area massimi valgono, rispettivamente,
Quesito di media difficoltà, formulato correttamente, presente nei diversi libri di
testo, baricentrico rispetto alle Indicazioni Nazionali.
3. Un recipiente sferico con raggio interno è riempito con un liquido fino
all’altezza . Utilizzando il calcolo integrale, dimostrare che il volume del liquido
è dato da:
Si consideri nel piano cartesiano la circonferenza mostrata nella figura che
segue.
Essa ha centro nel punto e raggio , sicché la sua equazione è
Esplicitando il solo ramo del primo quadrante, si può scrivere
Facendo ruotare questo ramo attorno all’asse , si ottiene il volume cercato
Quesito di difficoltà non elevata, alla portata di tutti i candidati, correttamente
formulato e, di solito, svolto nelle classi.
4. Un test è costituito da domande a risposta multipla, con possibili risposte
di cui solo una è esatta. Per superare il test, occorre rispondere esattamente
almeno domande. Qual è la probabilità di superare il test, rispondendo a caso
alle domande?
La probabilità di rispondere esattamente ad una domanda vale
per cui quella di sbagliare la risposta è pari a
Sia il numero delle domande e il numero di risposte corrette. Allora, la
probabilità di rispondere esattamente ad almeno otto domande è pari alla
somma
Trattandosi di prove ripetute, ovvero di una distribuzione binomiale che
descrive il numero di successi in un processo di Bernoulli, si può scrivere
Sostituendo i valori numerici assegnati, si ottiene
una probabilità veramente piccola. Ciò vuol dire che, per superare i test, è meglio
prepararsi che tentare il caso.
Un quesito di modesta difficoltà, correttamente formulato, che pochi studenti
hanno affrontato, dato che lo studio della probabilità fatica viene ancora troppo
trascurato nei licei.
5. Una sfera, il cui centro è il punto , è tangente al piano avente
equazione . Qual è il punto di tangenza? Qual è il raggio della
sfera?
La retta, passante per e perpendicolare a , ha equazione
Questa retta interseca il piano, quando
vale a dire nel punto di coordinate
che rappresenta il punto di tangenza cercato. Pertanto, la distanza fornisce il
raggio della sfera
Quesito semplice, senza troppe pretese, che dovrebbe essere alla portata di tutti
gli studenti, ma che, di fatto, non lo è, dal momento che questi argomenti
vengono trattati troppo marginalmente.
6. Si stabilisca se la seguente affermazione è vera o falsa, giustificando la
risposta: “Esiste un polinomio tale che: ”.
Si osserva preliminarmente che il polinomio non può essere costante, dato
che è evidente che una costante non verifica sempre la disuguaglianza assegnata.
Escluso il caso costante, si può allora dire che l’affermazione proposta nel testo è
chiaramente falsa. Se esistesse, in effetti, un tale polinomio, dovrebbe sottostare
alle disuguaglianze
Proprio in ciò risiede l’assurdo: quale che sia il polinomio scelto, esso deve
asintoticamente divergere, mentre il minorante ed il maggiorante
restano sempre limitati.
Questo quesito è piuttosto difficile per studenti di liceo scientifico, dato che sono
scarsamente abituati a ragionamenti logici e sintetici, essendo più allenati ad
applicare procedure, magari anche piuttosto ricche di calcoli.
7. Una pedina è collocata nella casella in basso a sinistra di una scacchiera, come
in figura. Ad ogni mossa, la pedina può essere spostata o nella casella alla sua
destra o nella casella sopra di essa. Scelto casualmente un percorso di mosse
che porti la pedina nella casa d’angolo opposta , qual è la probabilità che essa
passi per la casella indicata con ?
Per raggiungere la casella , la pedina deve realizzare sette spostamenti verticali
e sette orizzontali. Tuttavia, vi sono dei percorsi che non coinvolgono la casella
e, pertanto, non vanno considerati. Ciò vuol dire che, per risolvere il problema,
occorre determinare il numero di percorsi totali possibili e quelli favorevoli, che
passano per . Per arrivare in , occorrono otto mosse: tre orizzontali e cinque
verticali. Pertanto, il numero di percorsi totali che portano in , non dipendendo
dall’ordine, è dato dalle combinazioni semplici, che sono espresse dal
coefficiente binomiale
Una volta che la casella sia stata raggiunta, si può ripetere lo stesso
ragionamento, per calcolare il numero di percorsi totali, congiungenti con .
Dato che per arrivare in occorrono sei mosse, precisamente quattro
orizzontali e due verticali, risulta
Pertanto, si può dire che il numero totale di percorsi favorevoli è pari al
prodotto
Per contro, tutti i possibili percorsi che terminano in sono
In definitiva, la probabilità che la pedina giunga in , passando per , in
quattordici mosse vale
Questo quesito, pur affrontando un argomento presente nelle Indicazioni
Nazionali, è piuttosto difficile e si ritiene che una percentuale veramente esigua
dei maturandi lo abbia affrontato. Inoltre, si tratta di un argomento non sempre
presente nei libri di testo.
8. Data la funzione definita in , , individuare la
primitiva di il cui grafico passa per il punto .
Per determinare una primitiva della funzione assegnata
basta integrare per parti, per cui risulta
Integrando una seconda volta per parti l’integrale al secondo membro
si ottiene il risultato
essendo una generica costante di integrazione. Per determinare il valore della
costante, basta imporre il passaggio per il punto , sicché
Si conclude che la primitiva richiesta vale
La figura che segue rappresenta l’andamento della primitiva appena trovata e la
retta parallela all’asse delle ascisse , su cui giace il punto assegnato .
Quesito semplice, chiaro, formulato correttamente ed alla portata di tutti i
maturandi.
9. Date le rette
ed il punto , determinare l’equazione del piano passante per e
parallelo alle due rette.
Si ponga il piano cercato nella forma generica
Imponendo il passaggio del punto , si può scrivere una prima
relazione
Forzando la perpendicolarità tra un vettore direttore della prima retta
ed un vettore che determina la giacitura del piano
si ricava una seconda condizione
Infine, dopo aver trasformato in forma parametrica la seconda retta
si può ricavare un suo vettore direttore
ed imporre la terza condizione, cioè l’ortogonalità con
Riassumendo, si è ottenuto il sistema di tre equazioni
dal quale si ricava immediatamente, sottraendo la seconda alla terza equazione,
che
e, quindi, una sua versione ridotta è
In definitiva, l’equazione del piano richiesto vale
Alternativamente, si sarebbe potuto osservare che, sostituendo le equazioni
parametriche della prima retta nel piano , cui appartiene la seconda
retta, si ottiene un’identità. Ciò vuol dire che le due rette sono complanari,
appartenendo entrambe a questo piano. Pertanto, l’equazione di un piano ad
esso parallelo si può scrivere nella forma
che, poiché deve contenere il punto , diventa
Vale quanto già scritto a proposito dei quesiti di Geometria Analitica nello
spazio.
10. Sia la funzione definita nell’intervallo
Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di nel punto di ascissa .
Dal momento che
l’equazione della retta tangente vale
Ebbene, poiché risulta
si può concludere che
Quesito di media difficoltà che, tuttavia, eccede nei formalismi di calcolo,
assegnando una funzione integrale composta.