Teoria dei segnali Sviluppo in serie di Fourier
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Introduzione ai segnali determinati
Titolo unitàSviluppo in serie di Fourier
2
Sviluppo in serie di Fourier
Introduzione e richiami sulle basi di spazivettorialiSerie di Fourier di segnali a supporto limitatoSpettro di un segnaleSerie di Fourier di segnali a supporto illimitato
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Sviluppo in serie di Fourier
Titolo unitàIntroduzione e richiami sulle basi di spazi vettoriali
4
Serie di Fourier
Storicamente: proposta da Joseph Fourier all’accademia francese nel 1807Concetto principale: è possibile costruire un segnale, anche discontinuo, come somma di infinite funzioni continue oscillanti a frequenzediverse
… =
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Serie di Fourier
Concetto di scomposizione di un segnale in unabaseConcetto di base trigonometrica e calcolo deicoefficienti della scomposizioneConcetto di spettro di un segnaleEsempi di calcolo
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Basi di funzioni
Dalla geometria, un vettore si può scomporre in una base come:
dove:
La stessa notazione si può usare per funzioni e basi di funzioni: i vettori diventano funzioni del tempo (segnali)
v=v0s0 + v1s1 + … + vnsn
vi=<v,si> e <.,.> indica un prodotto scalare
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Basi di funzioni
Iniziamo a considerare uno spazio di funzionicomplesse ad energia finita definite nell’intervallo(-T/2,T/2) ( )tx
t
2T
−2T
8
Basi di funzioni
Ci chiediamo se esiste una “base” di questospazio di funzioni
un insieme di segnaliuna definizione di prodotto scalare
La base viene utilizzata per “scomporre” ilsegnale come
s(t)=v0s0(t) + v1s1(t) + … + vnsn(t)
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Serie di Fourier
Organizzazione:base di Fourierserie di Fourier di un segnale a supporto limitatoconcetto di frequenza e spettroserie di Fourier di un segnale a supporto illimitato
Segnale a supporto limitato: è nullo al di fuori di un certo intervallo. Per esempio:
x(t) = 0 per t ∉ (-T/2,T/2)
10
Base trigonometrica
Scelta della base per l’analisi dei segnali: le funzioni di base devono evidenziarecaratteristiche importanti del segnale
Diverse applicazioni possono richiedere diverse definizioni della base
analisi armonica: base di funzioni sinusoidalicompressione: base di funzioni con supportotemporale diversorilevazione di segnali: base progettata in funzionedelle caratteristiche del segnale da rilevare
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Base trigonometrica
Funzioni di base: sinusoidi ed esponenzialicomplessi, del tipo
Prodotto scalare:
2( ) etj n T
ns t π=
/ 2 2
/ 2
1( ), ( ) ( )e
T tj n Tn T
x t s t x t dtT
π−
−= ∫
12
Osservazioni
La base trigonometrica contiene segnalidi durata infinitacontenenti una singola componente di oscillazionea frequenza n/T
Il prodotto scalare misura quale componente del segnale sn(t) è presente nel segnale
2( ) e
tj n Tns t
π=
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Sviluppo in serie di Fourier
Titolo unitàSerie di Fourier di segnali a supporto limitato
14
Sviluppo in serie
Premessa
( )ts0
( )ts1
( )ts2
( )ts3
( )ts4
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15
Sviluppo in serie
Premessa
( )ts0
( )ts1
( )ts2
( )ts3
( )ts4
+ ( )tx
16
Sviluppo in serie
Premessa
+ ( )tx
( )ts0
( )ts1
( )ts2
( )ts3
( )ts4
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17
Sviluppo in serie
Premessa
( )ts0
( )ts1
( )ts2
( )ts3
( )ts4
18
Sviluppo in serie
Premessa
1
0.1
0.5
-2.5
3
( )ts0
( )ts1
( )ts2
( )ts3
( )ts4
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19
Sviluppo in serie
Premessa
1
0.1
0.5
-2.5
3
( )ts0
( )ts1
( )ts2
( )ts3
( )ts4
+( )tx
20
Sviluppo in serie
Premessa
1
0.1
0.5
-2.5
3
+( )tx
( )ts0
( )ts1
( )ts2
( )ts3
( )ts4
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Sviluppo in serie
È possibile invertire il processo?
22
Sviluppo in serie
È possibile invertire il processo?
+( )tx
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Sviluppo in serie
È possibile invertire il processo?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+( )tx
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Serie di Fourier
Segnale realenella forma trigonometrica:
dove:
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Serie di Fourier
Segnale realenella forma trigonometrica:
dove:
( ) 01
2 2cos sinn nn
x t a a n t b n tT Tπ π∞
=
= + + ∑ ( )2, 2t T T∈ − +
26
Serie di Fourier
Segnale realenella forma trigonometrica:
dove:
( )/ 2
0/2
1 T
T
a x t dtT −
= ∫ ( )/ 2
/ 2
2 2cosT
nT
a x t n t dtT T
π
−
= ∫
( )/ 2
/2
2 2sin
T
nT
b x t n t dtT T
π
−
= ∫
( ) 01
2 2cos sinn nn
x t a a n t b n tT Tπ π∞
=
= + + ∑ ( )2, 2t T T∈ − +
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27
Serie di Fourier
Segnale complessonella forma esponenziale:
dove:
nota:
28
Serie di Fourier
Segnale complessonella forma esponenziale:
dove:
nota:
( )2jn tT
nn
x t eπ
µ+∞
=−∞
= ∑ ( )2, 2t T T∈ − +
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Serie di Fourier
Segnale complessonella forma esponenziale:
dove:
nota:
( )/ 2 2
/2
1 Tjn t
Tn
T
x t e dtT
π
µ−
−
= ∫
( )2jn tT
nn
x t eπ
µ+∞
=−∞
= ∑ ( )2, 2t T T∈ − +
30
Serie di Fourier
Segnale complessonella forma esponenziale:
dove:
nota:
cos sinje jα α α= +
( )/ 2 2
/2
1 Tjn t
Tn
T
x t e dtT
π
µ−
−
= ∫
( )2jn tT
nn
x t eπ
µ+∞
=−∞
= ∑ ( )2, 2t T T∈ − +
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Sviluppo in serie di Fourier
Titolo unitàSpettro di un segnale
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Sviluppo in serie
Serie trigonometrica
T
( )tx
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Sviluppo in serie
Serie trigonometrica
T
calcolo deicoefficienti
( )tx
34
Sviluppo in serie
Serie trigonometrica
T
( )tx
1
0.1
0.5
-2.5
3
( )ts0
( )ts1
( )ts2
( )ts3
( )ts4
calcolo deicoefficienti
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Il concetto di frequenza
τ (periodo)
T
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Il concetto di frequenza
τ (periodo)
τ1=f (frequenza)
T
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Il concetto di frequenza
τ (periodo)
τ1=f (frequenza)
continua
fondamentale
prima armonica
seconda armonica
terza armonica
0=cf
Tf 10 =
01 22 fTf ==
02 33 fTf ==
03 44 fTf ==
T
38
Rappresentazione in frequenza
0=cf
Tf 10 =
01 22 fTf ==
02 33 fTf ==
03 44 fTf ==T
1
0.1
0.5
-2.5
3
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Rappresentazione in frequenza
0=cf
Tf 10 =
01 22 fTf ==
02 33 fTf ==
03 44 fTf ==T
fcf 0f 1f
2f
3f
1
0.1
0.5
-2.5
3
40
Sviluppo in serie Fourier
( ) ∑+∞
−∞=
=i
tTi
j
ietxπ
µ2
ijyii eµµ =
0iffi =T
f1
0 =
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Sviluppo in serie Fourier
( ) ∑+∞
−∞=
=i
tTi
j
ietxπ
µ2
ijyii eµµ =
0iffi =T
f1
0 =
iy
pianocomplesso
42
Sviluppo in serie Fourier
( ) ( )ii
ii ytftx += ∑ πµ 2cos( )tx reale
( ) ∑+∞
−∞=
=i
tTi
j
ietxπ
µ2
ijyii eµµ =
0iffi =T
f1
0 =
iy
pianocomplesso
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Rappresentazione in frequenza
( ) ∑=i
tTi
j
ietxπ
µ2
ijyii eµµ =
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Rappresentazione in frequenza
( ) ∑=i
tTi
j
ietxπ
µ2
ijyii eµµ =
cf 0f 02 f
iµ iy
cf 0f 02 ff f
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Rappresentazione in frequenza
( ) ∑=i
tTi
j
ietxπ
µ2
ijyii eµµ =
cf 0f 02 f
iµ iy
cf 0f 02 ff f
Sviluppo in serie di Fourier
Titolo unitàSerie di Fourier di segnali a supporto illimitato
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Allargando la finestra...
il segnale
T=100
rappresentazionein frequenza
01.01 ==∆T
f
48
Allargando la finestra...
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49
Allargando la finestra...
T=100
rappresentazionein frequenza
01.0=∆f
005.0=∆fT=200
il segnalenel tempo
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Allargando la finestra...
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Allargando la finestra...
T=100
T=200
T=400
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Segnali a supporto illimitato
Cosa succede se considero il caso T→∞ ?
Le funzioni sono periodiche di periodoT/n. Ci chiediemo se la funzione w(t) siaanch’essa periodica, e di che periodo
( )2jn tT
nn
x t eπ
µ+∞
=−∞
= ∑ ( )2, 2t T T∈ − +
( )2jn tT
nn
w t eπ
µ+∞
=−∞
= ∑ ( ),t ∈ −∞ +∞
Ttnj π2e
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Segnali a supporto illimitato
Si mostra facilmente che w(t) è periodica diperiodo T:
Nell’intervallo (-T/2,T/2) w(t)=x(t), e al di fuoricontiene repliche di x(t) spaziate di TQuindi w(t) è un segnale periodicizzato a partireda x(t)La serie di Fourier su tutto l’asse dei tempi permette di descrivere segnali periodici
( )2 2( ) 2 ( )
jn t T jn t j nT Tn n
n n
w t T e e e w tπ π
πµ µ+∞ +∞+
=−∞ =−∞
+ = = =∑ ∑
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In sintesi…
Spettro: andamento “in frequenza” del segnale, ovvero descrizione delle sue componentiarmonicheSerie di Fourier: descrive lo spettro di un segnalea supporto limitato; va guardata in (-T/2,T/2)Serie di Fourier al di fuori dell’intervallo (-T/2, T/2): descrive un segnale periodico ottenutoreplicando il segnale fondamentale in (-T/2,T/2)Descrizione di un segnale non periodico in (-∞,+ ∞): trasformata di Fourier
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Esempio di calcolo – supporto limitato
x(t)=pA(t) con A<T
L’inviluppo dello spettro è una funzione sinc, chedescrive i vari contenuti armonici della porta. Alcuni di questi coefficienti possono essere nulli, p. es. se A=T/2Il segnale è di tipo “passabasso”
/2 / 22 2
/2 / 2
1 1( ) e e
sinc
T At tj n j nT Tn AT A
p t dt dtT T
A nAT T
π πµ − −
− −= = =
=
∫ ∫
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Esempio di calcolo – supporto limitato
x(t)=cos(4πf0t) con f0=1/T
Gli unici coefficienti µn diversi da zero sono per n=±2, corrispondenti alle frequenze ±2f0
( )( ) ( )n2sinc
21
n2sinc21
dteee2T1
dtt)ecos(4poT1
µT/2
T/2T
tj2p2j4p4ptj4p4pt
T/2
T/2T
tj2p20n
++−=
=+
==
∫∫
−
−−
−
−