Trasformata e Wavelet di HaarQuarto incontro del Progetto Lauree Scientifiche 2010
Stefano De Marchi
Dipartimento di Matematica Pura ed ApplicataUniversita di Padova
http://www.math.unipd.it/~demarchi
Piove di Sacco, 16 aprile 2010
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Segnali discreti
E una funzione del tempo i cui valori si ottengono in corrispondenza adistanti finiti di tempo
f = (f1, . . . , fN), N ∈ 2N, fi ∈ R
Ad esempio, fi = g(ti ), con g segnale analogico campionato negli istantitemporali equispaziati ti = t1 + (i − 1)h, i = 1, ...,N.Esempi.
.wav (audio files su un PC)
valori dell’intensita di un suono memorizzati su un CD
g sia un elettrocardiogramma
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Segnali discreti
E una funzione del tempo i cui valori si ottengono in corrispondenza adistanti finiti di tempo
f = (f1, . . . , fN), N ∈ 2N, fi ∈ R
Ad esempio, fi = g(ti ), con g segnale analogico campionato negli istantitemporali equispaziati ti = t1 + (i − 1)h, i = 1, ...,N.Esempi.
.wav (audio files su un PC)
valori dell’intensita di un suono memorizzati su un CD
g sia un elettrocardiogramma
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Segnali discreti
E una funzione del tempo i cui valori si ottengono in corrispondenza adistanti finiti di tempo
f = (f1, . . . , fN), N ∈ 2N, fi ∈ R
Ad esempio, fi = g(ti ), con g segnale analogico campionato negli istantitemporali equispaziati ti = t1 + (i − 1)h, i = 1, ...,N.Esempi.
.wav (audio files su un PC)
valori dell’intensita di un suono memorizzati su un CD
g sia un elettrocardiogramma
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Segnali trasformati
Dato il segnale f, esso viene trasformato
f = t + d
con t che indica la tendenza (in inglese, trend) e d che indica il dettaglioo differenza (in inglese, difference). t, d sono sotto-segnali di lunghezzameta del segnale originale.Se indichiamo con tk e fk , la tendenza e il dettaglio al (passo) livello k,allora al primo livello
t1i =
f2i−1 + f2i
2
√2, d1
i =f2i−1 − f2i
2
√2, i = 1, . . . ,N/2 .
Si moltiplica per√
2, come vedremo, per la conservazione dell’energia delsegnale.
Esempio. f=(4,6,10,12,8,6,5,5). Avremo t1 = (5√
2, 11√
2, 7√
2, 5√
2),
d1 = (−√
2,−√
2,√
2,0).
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Segnali trasformati
Dato il segnale f, esso viene trasformato
f = t + d
con t che indica la tendenza (in inglese, trend) e d che indica il dettaglioo differenza (in inglese, difference). t, d sono sotto-segnali di lunghezzameta del segnale originale.Se indichiamo con tk e fk , la tendenza e il dettaglio al (passo) livello k,allora al primo livello
t1i =
f2i−1 + f2i
2
√2, d1
i =f2i−1 − f2i
2
√2, i = 1, . . . ,N/2 .
Si moltiplica per√
2, come vedremo, per la conservazione dell’energia delsegnale.
Esempio. f=(4,6,10,12,8,6,5,5). Avremo t1 = (5√
2, 11√
2, 7√
2, 5√
2),
d1 = (−√
2,−√
2,√
2,0).
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Segnali trasformati
Dato il segnale f, esso viene trasformato
f = t + d
con t che indica la tendenza (in inglese, trend) e d che indica il dettaglioo differenza (in inglese, difference). t, d sono sotto-segnali di lunghezzameta del segnale originale.Se indichiamo con tk e fk , la tendenza e il dettaglio al (passo) livello k,allora al primo livello
t1i =
f2i−1 + f2i
2
√2, d1
i =f2i−1 − f2i
2
√2, i = 1, . . . ,N/2 .
Si moltiplica per√
2, come vedremo, per la conservazione dell’energia delsegnale.
Esempio. f=(4,6,10,12,8,6,5,5). Avremo t1 = (5√
2, 11√
2, 7√
2, 5√
2),
d1 = (−√
2,−√
2,√
2,0).
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Trasformata di Haar
Definizione
Si chiama Trasformata di Haar la sequenza di passi o livelli, tendenza +dettaglio
f −→︸︷︷︸H1
(t1|d1) −→︸︷︷︸H1
(t2|d2|d1) · · ·
Proprieta fondamentale: piccole fluttuazioni nel vettore dettagli.
Proposizione
∑Ni=1 |fi |N
�∑N/2
i=1 |d1i |
N/2(1)
Esercizio. Prendendo la funzioneg(x) = 20x2(1− x)4 cos(12πx), x ∈ [0, 1), la si campioni su 210 punti(equispaziati o random). Calcolare t1, su [0, 1/2) e d1 su [1/2, 1).Facendone i plot si notera come d1 abbia valori quasi nulli mentre t1
assomigliera al vettore iniziale.
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Trasformata di Haar
Definizione
Si chiama Trasformata di Haar la sequenza di passi o livelli, tendenza +dettaglio
f −→︸︷︷︸H1
(t1|d1) −→︸︷︷︸H1
(t2|d2|d1) · · ·
Proprieta fondamentale: piccole fluttuazioni nel vettore dettagli.
Proposizione
∑Ni=1 |fi |N
�∑N/2
i=1 |d1i |
N/2(1)
Esercizio. Prendendo la funzioneg(x) = 20x2(1− x)4 cos(12πx), x ∈ [0, 1), la si campioni su 210 punti(equispaziati o random). Calcolare t1, su [0, 1/2) e d1 su [1/2, 1).Facendone i plot si notera come d1 abbia valori quasi nulli mentre t1
assomigliera al vettore iniziale.
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Trasformata di Haar
Definizione
Si chiama Trasformata di Haar la sequenza di passi o livelli, tendenza +dettaglio
f −→︸︷︷︸H1
(t1|d1) −→︸︷︷︸H1
(t2|d2|d1) · · ·
Proprieta fondamentale: piccole fluttuazioni nel vettore dettagli.
Proposizione
∑Ni=1 |fi |N
�∑N/2
i=1 |d1i |
N/2(1)
Esercizio. Prendendo la funzioneg(x) = 20x2(1− x)4 cos(12πx), x ∈ [0, 1), la si campioni su 210 punti(equispaziati o random). Calcolare t1, su [0, 1/2) e d1 su [1/2, 1).Facendone i plot si notera come d1 abbia valori quasi nulli mentre t1
assomigliera al vettore iniziale.
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Trasformata di Haar
Definizione
Si chiama Trasformata di Haar la sequenza di passi o livelli, tendenza +dettaglio
f −→︸︷︷︸H1
(t1|d1) −→︸︷︷︸H1
(t2|d2|d1) · · ·
Proprieta fondamentale: piccole fluttuazioni nel vettore dettagli.
Proposizione
∑Ni=1 |fi |N
�∑N/2
i=1 |d1i |
N/2(1)
Esercizio. Prendendo la funzioneg(x) = 20x2(1− x)4 cos(12πx), x ∈ [0, 1), la si campioni su 210 punti(equispaziati o random). Calcolare t1, su [0, 1/2) e d1 su [1/2, 1).Facendone i plot si notera come d1 abbia valori quasi nulli mentre t1
assomigliera al vettore iniziale.
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Soluzione dell’esercizio assegnato nella slide precedente
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Trasformata di Haar
La Proposizione 1 e importante nella compressione di un segnale, ovverola sua trasmissione con meno informazione (bit). Come realizzare questo?
Esempio. Supponiamo di spedire solo il trend t, considerando i valori delvettore d come zero. Pertanto otteremo un’approssimazione del segnaleoriginale con lunghezza meta del segnale f e quindi con una compressionedel 50%.
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Trasformata di Haar
La Proposizione 1 e importante nella compressione di un segnale, ovverola sua trasmissione con meno informazione (bit). Come realizzare questo?
Esempio. Supponiamo di spedire solo il trend t, considerando i valori delvettore d come zero. Pertanto otteremo un’approssimazione del segnaleoriginale con lunghezza meta del segnale f e quindi con una compressionedel 50%.
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Energia di un vettore
Definizione
Energia di un segnale f.
Ef := f 21 + f 2
2 + · · ·+ f 2N . (2)
Ef si chiama energia perche in fisica la somma di quadrati indica sempreun’energia.
Esempio
Una particella di massa m con vettore velocita v=(v1, v2, v3), ha energia
cinetica E = 12 m∑3
i=1 v 2i . L’energia cinetica risulta proporzionale
all’energia Ev = v 21 + v 2
2 + v 23 del vettore velocita.
Esempio
Sia f = (4, 6, 8, 10, 12, 8, 6, 5, 5). Allora Ef = 446. Essendo(t1|d1) = (5
√2, 11√
2, 7√
2, 5√
2| −√
2,−√
2, 0√
2, 0) eEt1 = 25 · 2 + 121 · 2 + 49 · 2 + 25 · 2 = 440 Ed1 = 2 + 2 + 2 + 0 = 6.Allora Ef = Et1 + Ed1 .
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Energia di un vettore
Definizione
Energia di un segnale f.
Ef := f 21 + f 2
2 + · · ·+ f 2N . (2)
Ef si chiama energia perche in fisica la somma di quadrati indica sempreun’energia.
Esempio
Una particella di massa m con vettore velocita v=(v1, v2, v3), ha energia
cinetica E = 12 m∑3
i=1 v 2i . L’energia cinetica risulta proporzionale
all’energia Ev = v 21 + v 2
2 + v 23 del vettore velocita.
Esempio
Sia f = (4, 6, 8, 10, 12, 8, 6, 5, 5). Allora Ef = 446. Essendo(t1|d1) = (5
√2, 11√
2, 7√
2, 5√
2| −√
2,−√
2, 0√
2, 0) eEt1 = 25 · 2 + 121 · 2 + 49 · 2 + 25 · 2 = 440 Ed1 = 2 + 2 + 2 + 0 = 6.Allora Ef = Et1 + Ed1 .
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Energia di un vettore
Definizione
Energia di un segnale f.
Ef := f 21 + f 2
2 + · · ·+ f 2N . (2)
Ef si chiama energia perche in fisica la somma di quadrati indica sempreun’energia.
Esempio
Una particella di massa m con vettore velocita v=(v1, v2, v3), ha energia
cinetica E = 12 m∑3
i=1 v 2i . L’energia cinetica risulta proporzionale
all’energia Ev = v 21 + v 2
2 + v 23 del vettore velocita.
Esempio
Sia f = (4, 6, 8, 10, 12, 8, 6, 5, 5). Allora Ef = 446. Essendo(t1|d1) = (5
√2, 11√
2, 7√
2, 5√
2| −√
2,−√
2, 0√
2, 0) eEt1 = 25 · 2 + 121 · 2 + 49 · 2 + 25 · 2 = 440 Ed1 = 2 + 2 + 2 + 0 = 6.Allora Ef = Et1 + Ed1 .
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Energia di un vettore
Definizione
Energia di un segnale f.
Ef := f 21 + f 2
2 + · · ·+ f 2N . (2)
Ef si chiama energia perche in fisica la somma di quadrati indica sempreun’energia.
Esempio
Una particella di massa m con vettore velocita v=(v1, v2, v3), ha energia
cinetica E = 12 m∑3
i=1 v 2i . L’energia cinetica risulta proporzionale
all’energia Ev = v 21 + v 2
2 + v 23 del vettore velocita.
Esempio
Sia f = (4, 6, 8, 10, 12, 8, 6, 5, 5). Allora Ef = 446. Essendo(t1|d1) = (5
√2, 11√
2, 7√
2, 5√
2| −√
2,−√
2, 0√
2, 0) eEt1 = 25 · 2 + 121 · 2 + 49 · 2 + 25 · 2 = 440 Ed1 = 2 + 2 + 2 + 0 = 6.Allora Ef = Et1 + Ed1 .
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Conservazione dell’energia
Proposizione
La trasformata di Haar di 1-livello conserva l’energia. Ovvero
Ef = Et1 + Ed1 . (3)
Altra cosa interessante e la redistribuzione dell’energia del segnalerispetto ai sotto-segnali, tendenza e dettaglio. Questo fenomeno sichiama la compattazione dell’energia.
Esempio
Sia f = (4, 6, 8, 10, 12, 8, 6, 5, 5). Essendo Ef = 446, Et1 = 440 e
Ed1 = 6. AlloraEt1
Ef≈ 98, 7% e
Ed1
Ef≈ 1, 3%.
Proposizione
L’energia del vettore trend rappresenta la percentuale maggioredell’energia di (t1|d1).
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Conservazione dell’energia
Proposizione
La trasformata di Haar di 1-livello conserva l’energia. Ovvero
Ef = Et1 + Ed1 . (3)
Altra cosa interessante e la redistribuzione dell’energia del segnalerispetto ai sotto-segnali, tendenza e dettaglio. Questo fenomeno sichiama la compattazione dell’energia.
Esempio
Sia f = (4, 6, 8, 10, 12, 8, 6, 5, 5). Essendo Ef = 446, Et1 = 440 e
Ed1 = 6. AlloraEt1
Ef≈ 98, 7% e
Ed1
Ef≈ 1, 3%.
Proposizione
L’energia del vettore trend rappresenta la percentuale maggioredell’energia di (t1|d1).
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Conservazione dell’energia
Proposizione
La trasformata di Haar di 1-livello conserva l’energia. Ovvero
Ef = Et1 + Ed1 . (3)
Altra cosa interessante e la redistribuzione dell’energia del segnalerispetto ai sotto-segnali, tendenza e dettaglio. Questo fenomeno sichiama la compattazione dell’energia.
Esempio
Sia f = (4, 6, 8, 10, 12, 8, 6, 5, 5). Essendo Ef = 446, Et1 = 440 e
Ed1 = 6. AlloraEt1
Ef≈ 98, 7% e
Ed1
Ef≈ 1, 3%.
Proposizione
L’energia del vettore trend rappresenta la percentuale maggioredell’energia di (t1|d1).
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Conservazione dell’energia
Proposizione
La trasformata di Haar di 1-livello conserva l’energia. Ovvero
Ef = Et1 + Ed1 . (3)
Altra cosa interessante e la redistribuzione dell’energia del segnalerispetto ai sotto-segnali, tendenza e dettaglio. Questo fenomeno sichiama la compattazione dell’energia.
Esempio
Sia f = (4, 6, 8, 10, 12, 8, 6, 5, 5). Essendo Ef = 446, Et1 = 440 e
Ed1 = 6. AlloraEt1
Ef≈ 98, 7% e
Ed1
Ef≈ 1, 3%.
Proposizione
L’energia del vettore trend rappresenta la percentuale maggioredell’energia di (t1|d1).
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Trasformata di Haar: piu livelli
La procedura e:
f −→︸︷︷︸H1
(t1|d1) −→︸︷︷︸H1
(t2|d2|d1) −→︸︷︷︸H1
(t3|d3|d2|d1) · · ·
Esempio
Sia f = (4, 6, 8, 10, 12, 8, 6, 5, 5). Avremo
t1 = (5√
2, 11√
2, 7√
2, 5√
2)
t2 = (16, 12)
Con d1 che deriva da f e d2 da t1:
d2 = (−6, 2) .
Pertanto la trasformata di secondo livello, H2, del segnale originale e
(t2|d2|d1) = (16, 12| − 6, 2| −√
2,−√
2,√
2, 0) .
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Trasformata di Haar: piu livelli
La procedura e:
f −→︸︷︷︸H1
(t1|d1) −→︸︷︷︸H1
(t2|d2|d1) −→︸︷︷︸H1
(t3|d3|d2|d1) · · ·
Esempio
Sia f = (4, 6, 8, 10, 12, 8, 6, 5, 5). Avremo
t1 = (5√
2, 11√
2, 7√
2, 5√
2)
t2 = (16, 12)
Con d1 che deriva da f e d2 da t1:
d2 = (−6, 2) .
Pertanto la trasformata di secondo livello, H2, del segnale originale e
(t2|d2|d1) = (16, 12| − 6, 2| −√
2,−√
2,√
2, 0) .
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Esercizi
Esercizio
Calcolare tra trasformata di terzo livello del segnalef = (4, 6, 8, 10, 12, 8, 6, 5, 5).
Verificare che Et3 = 392 e che l’energia di t3 e circa 88% di quella dif nonostante il t3 sia lungo solo otto volte di meno di f.
Esercizio
Si prenda un generico segnale f e si costruisca la trasformata disecondo livello H2 del segnale.
Costruire la sequenza, detta profilo cumulativo dell’energia, sia delsegnale f che della trasformata H2. Nel caso del segnale f, taleprofilo e ovvero (
f 21
Ef,
f 21 + f 2
2
Ef, . . . , 1
).
Cosa si nota?
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Soluzione dell’esercizio assegnato nella slide precedente
Esercizio. Prendiamo in considerazione la seguente funzione non banale
h(x) =
50x2(1− x)6 cos(12πx) , x ∈ [0, 1)
80(1− x)2(2− x)8 sin(20πx) , x ∈ [1, 2]
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Wavelets di Haar
Le wavelets di Haar di primo livello sono definite come segue
W 11 =
(1√2,− 1√
2, 0, . . . , 0
)W 1
2 =
(0, 0,
1√2,− 1√
2, 0, . . . , 0
)...
...
W 1N/2 =
(0, . . . , 0,
1√2,− 1√
2
)Alcune proprieta.
1 Hanno tutte energia uguale a 1.
2 Consistono della fluttuazione dei valori ±1/√
2 con media nulla.Ecco da dove deriva il nome wavelet o ondina.
3 Come si nota, sono tutte ottenute per traslazione di W 11 in avanti di
un numero pari di intervalli.
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Wavelets di Haar
Le wavelets di Haar di primo livello sono definite come segue
W 11 =
(1√2,− 1√
2, 0, . . . , 0
)W 1
2 =
(0, 0,
1√2,− 1√
2, 0, . . . , 0
)...
...
W 1N/2 =
(0, . . . , 0,
1√2,− 1√
2
)Alcune proprieta.
1 Hanno tutte energia uguale a 1.
2 Consistono della fluttuazione dei valori ±1/√
2 con media nulla.Ecco da dove deriva il nome wavelet o ondina.
3 Come si nota, sono tutte ottenute per traslazione di W 11 in avanti di
un numero pari di intervalli.
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Wavelets di Haar
Le wavelets di Haar di primo livello sono definite come segue
W 11 =
(1√2,− 1√
2, 0, . . . , 0
)W 1
2 =
(0, 0,
1√2,− 1√
2, 0, . . . , 0
)...
...
W 1N/2 =
(0, . . . , 0,
1√2,− 1√
2
)Alcune proprieta.
1 Hanno tutte energia uguale a 1.
2 Consistono della fluttuazione dei valori ±1/√
2 con media nulla.Ecco da dove deriva il nome wavelet o ondina.
3 Come si nota, sono tutte ottenute per traslazione di W 11 in avanti di
un numero pari di intervalli.
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Wavelets di Haar
Le wavelets di Haar di primo livello sono definite come segue
W 11 =
(1√2,− 1√
2, 0, . . . , 0
)W 1
2 =
(0, 0,
1√2,− 1√
2, 0, . . . , 0
)...
...
W 1N/2 =
(0, . . . , 0,
1√2,− 1√
2
)Alcune proprieta.
1 Hanno tutte energia uguale a 1.
2 Consistono della fluttuazione dei valori ±1/√
2 con media nulla.Ecco da dove deriva il nome wavelet o ondina.
3 Come si nota, sono tutte ottenute per traslazione di W 11 in avanti di
un numero pari di intervalli.
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Wavelets di Haar
Le wavelets di Haar di primo livello sono definite come segue
W 11 =
(1√2,− 1√
2, 0, . . . , 0
)W 1
2 =
(0, 0,
1√2,− 1√
2, 0, . . . , 0
)...
...
W 1N/2 =
(0, . . . , 0,
1√2,− 1√
2
)Alcune proprieta.
1 Hanno tutte energia uguale a 1.
2 Consistono della fluttuazione dei valori ±1/√
2 con media nulla.Ecco da dove deriva il nome wavelet o ondina.
3 Come si nota, sono tutte ottenute per traslazione di W 11 in avanti di
un numero pari di intervalli.
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Wavelets di Haar e vettore dettaglio
Ricordando che il prodotto scalare di due vettori f e g di lunghezza N, e
(f, g) = f1g1 + · · ·+ fNgN =N∑
i=1
figi .
Allora il vettore dettaglio d1, che ha N/2 componenti, di , si ottengonousando le wavelets W 1
i :
di = (f,W 1i ), i = 1, 2, . . . ,N/2 .
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Wavelets di Haar e vettore dettaglio
Ricordando che il prodotto scalare di due vettori f e g di lunghezza N, e
(f, g) = f1g1 + · · ·+ fNgN =N∑
i=1
figi .
Allora il vettore dettaglio d1, che ha N/2 componenti, di , si ottengonousando le wavelets W 1
i :
di = (f,W 1i ), i = 1, 2, . . . ,N/2 .
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Wavelets di Haar e vettore del trend
I vettori
V 11 =
(1√2,
1√2, 0, . . . , 0
)V 1
2 =
(0, 0,
1√2,
1√2, 0, . . . , 0
)...
...
V 1N/2 =
(0, . . . , 0,
1√2,
1√2
)si chiamano segnali scalati di Haar. Usando questi vettori, possiamoottenere le componenti del trend t1 come segue:
ti = (f,V 1i ), i = 1, 2, . . . ,N/2 .
Osservazione. I segnali scalati di Haar sono simili alle wavelets di Haar:
hanno energia uguale a 1 e supporto che consiste ancora di 2 intervalli
consecutivi. Ora la media non e piu zero!
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Wavelets di Haar e vettore del trend
I vettori
V 11 =
(1√2,
1√2, 0, . . . , 0
)V 1
2 =
(0, 0,
1√2,
1√2, 0, . . . , 0
)...
...
V 1N/2 =
(0, . . . , 0,
1√2,
1√2
)si chiamano segnali scalati di Haar. Usando questi vettori, possiamoottenere le componenti del trend t1 come segue:
ti = (f,V 1i ), i = 1, 2, . . . ,N/2 .
Osservazione. I segnali scalati di Haar sono simili alle wavelets di Haar:
hanno energia uguale a 1 e supporto che consiste ancora di 2 intervalli
consecutivi. Ora la media non e piu zero!
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Wavelets di Haar e vettore del trend
I vettori
V 11 =
(1√2,
1√2, 0, . . . , 0
)V 1
2 =
(0, 0,
1√2,
1√2, 0, . . . , 0
)...
...
V 1N/2 =
(0, . . . , 0,
1√2,
1√2
)si chiamano segnali scalati di Haar. Usando questi vettori, possiamoottenere le componenti del trend t1 come segue:
ti = (f,V 1i ), i = 1, 2, . . . ,N/2 .
Osservazione. I segnali scalati di Haar sono simili alle wavelets di Haar:
hanno energia uguale a 1 e supporto che consiste ancora di 2 intervalli
consecutivi. Ora la media non e piu zero!
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Wavelets di Haar e vettore del trend
I vettori
V 11 =
(1√2,
1√2, 0, . . . , 0
)V 1
2 =
(0, 0,
1√2,
1√2, 0, . . . , 0
)...
...
V 1N/2 =
(0, . . . , 0,
1√2,
1√2
)si chiamano segnali scalati di Haar. Usando questi vettori, possiamoottenere le componenti del trend t1 come segue:
ti = (f,V 1i ), i = 1, 2, . . . ,N/2 .
Osservazione. I segnali scalati di Haar sono simili alle wavelets di Haar:
hanno energia uguale a 1 e supporto che consiste ancora di 2 intervalli
consecutivi. Ora la media non e piu zero!
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Wavelets di Haar: secondo livello
Definiamo i vettori N dimensionali V 2i ,W
2i , i = 1, . . . ,N/4
V 21 =
(12 ,
12 ,
12 ,
12 , 0, . . . , 0
)W 2
1 =(
12 ,
12 ,−
12 ,−
12 , 0, . . . , 0
)V 2
2 =(0, 0, 0, 0, 1
2 ,12 ,
12 ,
12 , 0, . . . , 0
)W 2
2 =(0, 0, 0, 0, 1
2 ,12 ,−
12 ,−
12 , 0, . . . , 0
)...
...V 2
N/4 =(0, . . . , 0, 1
2 ,12 ,
12 ,
12
)W 2
N/4 =(0, . . . , 0, 1
2 ,12 ,−
12 ,−
12
)Allora i vettori t2 e d2, che hanno N/4 componenti, si ottengono comesegue:
t2 =(
(f,V 21 ), . . . , (f,V 2
N/4))
d2 =(
(f,W 21 ), . . . , (f,W 2
N/4))
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Wavelets di Haar: secondo livello
Definiamo i vettori N dimensionali V 2i ,W
2i , i = 1, . . . ,N/4
V 21 =
(12 ,
12 ,
12 ,
12 , 0, . . . , 0
)W 2
1 =(
12 ,
12 ,−
12 ,−
12 , 0, . . . , 0
)V 2
2 =(0, 0, 0, 0, 1
2 ,12 ,
12 ,
12 , 0, . . . , 0
)W 2
2 =(0, 0, 0, 0, 1
2 ,12 ,−
12 ,−
12 , 0, . . . , 0
)...
...V 2
N/4 =(0, . . . , 0, 1
2 ,12 ,
12 ,
12
)W 2
N/4 =(0, . . . , 0, 1
2 ,12 ,−
12 ,−
12
)Allora i vettori t2 e d2, che hanno N/4 componenti, si ottengono comesegue:
t2 =(
(f,V 21 ), . . . , (f,V 2
N/4))
d2 =(
(f,W 21 ), . . . , (f,W 2
N/4))
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Analisi MultiRisoluzione (MRA)
Ci servono due operazioni sui vettori f e g.
Addizione e sottrazione: f + g = (f1 + g1, . . . , fN + gN),f − g = (f1 − g1, . . . , fN − gN).
Moltiplicazione per una costante: cf = (cf1, . . . , cfN).
Usando le due operazioni possiamo scrivere
f = (f1, 0, . . . , 0) + · · ·+ (0, . . . , fN)
f = f1(1, 0, . . . , 0) + · · ·+ fN(0, . . . , 1)
Se definiamo V 01 = (1, 0, . . . , 0), . . . ,V 0
N = (0, 0, . . . , 1) allora
f =N∑
i=1
fiV0i . (4)
La (4) e l’espansione naturale di un segnale nella base naturale
V 01 , . . . ,V
0N .
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Analisi MultiRisoluzione (MRA)
Ci servono due operazioni sui vettori f e g.
Addizione e sottrazione: f + g = (f1 + g1, . . . , fN + gN),f − g = (f1 − g1, . . . , fN − gN).
Moltiplicazione per una costante: cf = (cf1, . . . , cfN).
Usando le due operazioni possiamo scrivere
f = (f1, 0, . . . , 0) + · · ·+ (0, . . . , fN)
f = f1(1, 0, . . . , 0) + · · ·+ fN(0, . . . , 1)
Se definiamo V 01 = (1, 0, . . . , 0), . . . ,V 0
N = (0, 0, . . . , 1) allora
f =N∑
i=1
fiV0i . (4)
La (4) e l’espansione naturale di un segnale nella base naturale
V 01 , . . . ,V
0N .
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Analisi MultiRisoluzione (MRA)
Ci servono due operazioni sui vettori f e g.
Addizione e sottrazione: f + g = (f1 + g1, . . . , fN + gN),f − g = (f1 − g1, . . . , fN − gN).
Moltiplicazione per una costante: cf = (cf1, . . . , cfN).
Usando le due operazioni possiamo scrivere
f = (f1, 0, . . . , 0) + · · ·+ (0, . . . , fN)
f = f1(1, 0, . . . , 0) + · · ·+ fN(0, . . . , 1)
Se definiamo V 01 = (1, 0, . . . , 0), . . . ,V 0
N = (0, 0, . . . , 1) allora
f =N∑
i=1
fiV0i . (4)
La (4) e l’espansione naturale di un segnale nella base naturale
V 01 , . . . ,V
0N .
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Analisi MultiRisoluzione (MRA)
Facciamo vedere che la MRA con wavelets di Haar consente di esprimere un segnale f come somma delle waveletsdi Haar e segnali scalati di Haar.
1
f =
(t1√
2,
t1√2,
t2√2,
t2√2, . . . ,
tN/2√2,
tN/2√2
)︸ ︷︷ ︸
T1
+
(d1√
2,−
d1√2,
d2√2,−
d2√2, . . . ,
dN/2√2,−
dN/2√2
)︸ ︷︷ ︸
D1
ovvero f = T 1 + D1, con T 1 che indica la prima media del segnale e D1 il primo dettaglio del segnale.
2
T 1 =
N/2∑i=1
ti V1i =
N/2∑i=1
(f , V 1i )V 1
i (5)
D1 =
N/2∑i=1
di W1i =
N/2∑i=1
(f ,W 1i )W 1
i (6)
... che dicono: T 1 e la combinazinone di segnali scalati di Haar con i valori del primo trend mentre D1 e lacombinazione dei wavelets di Haar con coefficienti che sono i valori della prima fluttuazione.
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Analisi MultiRisoluzione (MRA)
Facciamo vedere che la MRA con wavelets di Haar consente di esprimere un segnale f come somma delle waveletsdi Haar e segnali scalati di Haar.
1
f =
(t1√
2,
t1√2,
t2√2,
t2√2, . . . ,
tN/2√2,
tN/2√2
)︸ ︷︷ ︸
T1
+
(d1√
2,−
d1√2,
d2√2,−
d2√2, . . . ,
dN/2√2,−
dN/2√2
)︸ ︷︷ ︸
D1
ovvero f = T 1 + D1, con T 1 che indica la prima media del segnale e D1 il primo dettaglio del segnale.
2
T 1 =
N/2∑i=1
ti V1i =
N/2∑i=1
(f , V 1i )V 1
i (5)
D1 =
N/2∑i=1
di W1i =
N/2∑i=1
(f ,W 1i )W 1
i (6)
... che dicono: T 1 e la combinazinone di segnali scalati di Haar con i valori del primo trend mentre D1 e lacombinazione dei wavelets di Haar con coefficienti che sono i valori della prima fluttuazione.
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Analisi MultiRisoluzione (MRA)
Facciamo vedere che la MRA con wavelets di Haar consente di esprimere un segnale f come somma delle waveletsdi Haar e segnali scalati di Haar.
1
f =
(t1√
2,
t1√2,
t2√2,
t2√2, . . . ,
tN/2√2,
tN/2√2
)︸ ︷︷ ︸
T1
+
(d1√
2,−
d1√2,
d2√2,−
d2√2, . . . ,
dN/2√2,−
dN/2√2
)︸ ︷︷ ︸
D1
ovvero f = T 1 + D1, con T 1 che indica la prima media del segnale e D1 il primo dettaglio del segnale.
2
T 1 =
N/2∑i=1
ti V1i =
N/2∑i=1
(f , V 1i )V 1
i (5)
D1 =
N/2∑i=1
di W1i =
N/2∑i=1
(f ,W 1i )W 1
i (6)
... che dicono: T 1 e la combinazinone di segnali scalati di Haar con i valori del primo trend mentre D1 e lacombinazione dei wavelets di Haar con coefficienti che sono i valori della prima fluttuazione.
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Analisi MultiRisoluzione (MRA): esempio
Sia f=(4,6,10,12,8,6,5,5). Avremo
1 t1 = (5√
2, 11√
2, 7√
2, 5√
2) eT 1 = (5, 5, 11, 11, 7, 7, 5, 5) = 5
√2V 1
1 +11√
2V 12 +7√
2V 13 +5√
2V 14 .
NB: la posizione dei valori ripetuti corrisponde precisamente colsupporto dei segnali scalati
2 d1 = (−√
2,−√
2,√
2, 0) eD1 = (−1, 1,−1, 1, 1,−1, 0, 0) = −
√2W 1
1 −√
2W 12 +√
2W 13 +0W 1
4 .
3 Infine
f = T 1 + D1 = (5, 5, 11, 11, 7, 7, 5, 5) + (−1, 1,−1, 1, 1,−1, 0, 0) .
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Analisi MultiRisoluzione (MRA): esempio
Sia f=(4,6,10,12,8,6,5,5). Avremo
1 t1 = (5√
2, 11√
2, 7√
2, 5√
2) eT 1 = (5, 5, 11, 11, 7, 7, 5, 5) = 5
√2V 1
1 +11√
2V 12 +7√
2V 13 +5√
2V 14 .
NB: la posizione dei valori ripetuti corrisponde precisamente colsupporto dei segnali scalati
2 d1 = (−√
2,−√
2,√
2, 0) eD1 = (−1, 1,−1, 1, 1,−1, 0, 0) = −
√2W 1
1 −√
2W 12 +√
2W 13 +0W 1
4 .
3 Infine
f = T 1 + D1 = (5, 5, 11, 11, 7, 7, 5, 5) + (−1, 1,−1, 1, 1,−1, 0, 0) .
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Analisi MultiRisoluzione (MRA): esempio
Sia f=(4,6,10,12,8,6,5,5). Avremo
1 t1 = (5√
2, 11√
2, 7√
2, 5√
2) eT 1 = (5, 5, 11, 11, 7, 7, 5, 5) = 5
√2V 1
1 +11√
2V 12 +7√
2V 13 +5√
2V 14 .
NB: la posizione dei valori ripetuti corrisponde precisamente colsupporto dei segnali scalati
2 d1 = (−√
2,−√
2,√
2, 0) eD1 = (−1, 1,−1, 1, 1,−1, 0, 0) = −
√2W 1
1 −√
2W 12 +√
2W 13 +0W 1
4 .
3 Infine
f = T 1 + D1 = (5, 5, 11, 11, 7, 7, 5, 5) + (−1, 1,−1, 1, 1,−1, 0, 0) .
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Analisi MultiRisoluzione (MRA): esempio
Sia f=(4,6,10,12,8,6,5,5). Avremo
1 t1 = (5√
2, 11√
2, 7√
2, 5√
2) eT 1 = (5, 5, 11, 11, 7, 7, 5, 5) = 5
√2V 1
1 +11√
2V 12 +7√
2V 13 +5√
2V 14 .
NB: la posizione dei valori ripetuti corrisponde precisamente colsupporto dei segnali scalati
2 d1 = (−√
2,−√
2,√
2, 0) eD1 = (−1, 1,−1, 1, 1,−1, 0, 0) = −
√2W 1
1 −√
2W 12 +√
2W 13 +0W 1
4 .
3 Infine
f = T 1 + D1 = (5, 5, 11, 11, 7, 7, 5, 5) + (−1, 1,−1, 1, 1,−1, 0, 0) .
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MRA: idea generale
L’idea generale della MRA e la seguente
Un segnale f e la somma di un segnale a risoluzione inferiore, omediato, T 1 e un segnale di dettagli, D1.
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
MRA: livelli successivi
L’algoritmo della MRA continua finche il segnale puo dividersi per 2.
1 Il passo 2 e. f = T 2 + D2 + D1 con T 1 = T 2 + D2 e
T 2 = (f ,V 21 )V 2
1 + · · ·+ (f ,V 2N/4)V 2
N/4 ;
D2 = (f ,W 21 )W 2
1 + · · ·+ (f ,W 2N/4)W 2
N/4 .
2 Il passo generale k .
f = T k + Dk + · · ·+ D2 + D1 .
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MRA: livelli successivi
L’algoritmo della MRA continua finche il segnale puo dividersi per 2.
1 Il passo 2 e. f = T 2 + D2 + D1 con T 1 = T 2 + D2 e
T 2 = (f ,V 21 )V 2
1 + · · ·+ (f ,V 2N/4)V 2
N/4 ;
D2 = (f ,W 21 )W 2
1 + · · ·+ (f ,W 2N/4)W 2
N/4 .
2 Il passo generale k .
f = T k + Dk + · · ·+ D2 + D1 .
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MRA: livelli successivi
L’algoritmo della MRA continua finche il segnale puo dividersi per 2.
1 Il passo 2 e. f = T 2 + D2 + D1 con T 1 = T 2 + D2 e
T 2 = (f ,V 21 )V 2
1 + · · ·+ (f ,V 2N/4)V 2
N/4 ;
D2 = (f ,W 21 )W 2
1 + · · ·+ (f ,W 2N/4)W 2
N/4 .
2 Il passo generale k .
f = T k + Dk + · · ·+ D2 + D1 .
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Ancora sull’esercizio
Sia f=(4,6,10,12,8,6,5,5). Allora t2 = (16, 12) e
T 2 = 16(1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 0, 0, 0, 0) + 12(0, 0, 0, 0, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2) = (8, 8, 8, 8, 6, 6, 6, 6)
Inoltre, d2 = (−6, 2) e
D2 = −6(1/2, 1/2,−1/2,−1/2, 0, 0, 0, 0)+2(0, 0, 0, 0, 1/2, 1/2,−1/2,−1/2) = (−3,−3, 3, 3, 1, 1,−1,−1) .
Verificare che f = T 2 + D2 + D1.
Esercizio. Si campioni un segnale su N = 210 punti. Sicostruiscano i 10 livelli della MRA. Dopo 10 passi, T 10 consisteradi un singolo valore ripetuto N volte con valore corrispondente allamedia di tutti i N = 210 valori del segnale.
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar
Ancora sull’esercizio
Sia f=(4,6,10,12,8,6,5,5). Allora t2 = (16, 12) e
T 2 = 16(1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 0, 0, 0, 0) + 12(0, 0, 0, 0, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2) = (8, 8, 8, 8, 6, 6, 6, 6)
Inoltre, d2 = (−6, 2) e
D2 = −6(1/2, 1/2,−1/2,−1/2, 0, 0, 0, 0)+2(0, 0, 0, 0, 1/2, 1/2,−1/2,−1/2) = (−3,−3, 3, 3, 1, 1,−1,−1) .
Verificare che f = T 2 + D2 + D1.
Esercizio. Si campioni un segnale su N = 210 punti. Sicostruiscano i 10 livelli della MRA. Dopo 10 passi, T 10 consisteradi un singolo valore ripetuto N volte con valore corrispondente allamedia di tutti i N = 210 valori del segnale.
Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar