Progetto di un telaio piano in c.a.: Progetto delle travi di
fondazione.
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
a cura di Enzo MartinelliBozza del 21/05/2008
Travi di Fondazione
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a cura di Enzo MartinelliBozza del 21/05/2008
Assunzioni di progetto
Per le combinazioni 2 e 3 i valori di calcolo delle sollecitazioni si ricavano assumendo glisforzi normali desunti dallanalisi ed i corrispondenti momenti resistenti amplificati per Rd.
)k(Ed,iN ( ))k(Ed,iRd)k(Ed,i NMM =
Combinazione 2 Combinazione 3
L
G
ei
=
==
+
=3
1i
)k(Ed,i
3
1i
)k(Ed,i
)k(Ed,i
3
1i
)k(Ed,i
)k(Ed
N
eNM
e
6
Le )k(Ed
+
=
=
L
e61
BL
N )k(Ed,i
3
1i
)k(Ed,i
)k(Ed,t
6
Le )k(Ed >
=
=
Be2
L3
N2
)k(Ed,i
3
1i
)k(Ed,i
)k(Ed,t
I momenti si intendono positivi se anti-orari sulla trave di fondazione
Progetto e Verifica delle armature
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Considerazioni Preliminari
Avendo progettato la sezione trasversale, possibile passare a valutarne le caratteristichedella sollecitazione considerando anche la sua rigidezza flessionale EI nellambito dellateoria delle travi elastiche su suolo elastico alla Winkler.
GyG
EI
pw4w 4IV =+
EI
Bk4 04 =
B
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Schema di Calcolo)k(
Ed,iN
)k(Ed,iM
)k(dg
fcls)k(
gt)k(
g)k(
d Agg ==
1 2 3 4 5
L0 L1 L2 L0
[1] [2] [3] [4]
Ad ogni nodo sono associate due componenti libere di spostamento:- traslazione verticale w;- rotazione j.
[ ]T5544332211 wwwww =s[ ]T5544332211 MVMVMVMVMV=F[ ]T5,05,04,04,03,03,02,02,01,01,00 MVMVMVMVMV=F
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Schema di Calcolo)k(
Ed,iN
)k(Ed,iM
)k(dg
1 2 3 4 5
L0 L1 L2 L0
[1] [2] [3] [4]
Nello spirito del metodo degli spostamenti possibile costruire una matrice di rigidezza che colleghi le azioni applicate agli spostamenti prodotti:
0FFKs =
Pr
o
g
e
t
t
o
e
V
e
r
i
f
i
c
a
d
e
l
l
e
a
r
m
a
t
u
r
e
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S
c
h
e
m
a
d
i
C
a
l
c
o
l
o
=K
1 2 3 4 5
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Matrice di rigidezza del generico elemento e.
i jx
z,w
i wj
i j
l
i j
Ti
MiTj
Mj
s = ( )jjii ,w,,w f = ( )jjii MTMT ,,, ( ) xxxxxxxx ceAseAceAseAxw 4321 +++=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxxxxxxxxx cseAcseAcseAcseAxwI +++= 4321
( )0wwi = ( )0Iwi =
( )lww j = ( )lw Ij =
s = G a
( ) ( ) ( ) ( )
++
lll
lll
lll
lll
ll
ll
ll
ll
csecsecsecse
cesecese
1010
a = G-1 s
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Matrice di rigidezza del generico elemento e.
i jx
z,w
i wj
i j
l
i j
Ti
MiTj
Mj
s = ( )jjii ,w,,w f = ( )jjii MTMT ,,,
f=
( )( )( )( )
=
=
=
=
lx
lx
x
x
II
III
0II
0III
w
w
w
w
EI H= 2EI ( ) ( ) ( ) ( )
++
ll
ll
ll
ll
lll
lll
lll
lll
s2e c2e s2e c2e
cs2- cs2- cs2- cs2
0 2- 0 2 2 2 2 2
f = H a =(H G-1) s = K s
( ) xx2xx2xx2xx2 seA2ceAseA2ceA2xw 4321II ++= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxx3xxx3xxx3xxx3 cseA2cseA2cseA2cseA2xw 4321III ++=
(e)
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Azioni di Incastro perfetto sul generico elemento
i jx
z,w
i wj
i j
l
i j
Ti
MiTj
Mj
=0s
( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
=
=
=
=
=
lp
lp 0p
0p
k1
w -
w
w -
w
I
I
I1
1
0I1
01
lx
lx
x
x
f0 = H a0 =H G-1 (-s0) = -K s0
f = K s - K s0 = K s + f0
(e)
(e)(e) (e)(e) (e)
Per lelemento generico vale la seguente relazione tra forze nodali e spostamenti nodali:
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Espressioni sintetiche della matrice di rigidezza localei jx
z,w
i wj
i j
l
i j
Ti
MiTj
Mj
=
3
2
2
3
3
5
2
4
2
31
2
46
3
5
2
4
3
2
2
3
2
46
2
31
)e(
22
22
2
2
22
2
2
K
( )l2a senl2a senhbk1 += 0 ( )l2a senl2a senhbk2 = 0 ( )l2a cosl2a coshbk3 = 0 ( )la senla senhbk4 = 0 ( )lcosalsenhala senlcoshabk5 = 0
( )lcosalsenhalsenalcoshabk26 += 0
2lcos2alcosh2a1
+
=
E possibile definire una matrice di rigidezza locale per ogni elemento in funzione di:- uguale per tutti;- l dipendente dai singoli elementi.
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Assemblaggio: elemento 1)k(
Ed,iN
)k(Ed,iM
)k(dg
1 2 3 4 5
L0 L1 L2 L0
=K
=
32
2
3
3
5
24
2
31246
3
5
24
32
2
3
246
2
31
)1(
22
22
2
2
22
2
2
K
l=L0
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Assemblaggio: elemento 1)k(
Ed,iN
)k(Ed,iM
)k(dg
1 2 3 4 5
L0 L1 L2 L0
[ ]=0F
l=L0
=0s
( )
( )( )
( )
=
=
=
=
=
0
q
0
q
k
1
w -
w
w -
w
lx
lx
x
x
I
1
1
0
I
1
01
a cura di Enzo Martinelli
[ ]T5,05,04,04,03,03,02,02,01,01,00 MVMVMVMVMV=F
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Vettore delle forze nodali applicate)k(
Ed,iN
)k(Ed,iM
)k(dg
1 2 3 4 5
L0 L1 L2 L0
[ ]T5544332211 MVMVMVMVMV=F
[ ]T)k(6,Ed)k(6,Ed)k(5,Ed)k(5,Ed)k(4,Ed)k(4,Ed)k( 00MNMNMN00=F
I momenti si intendono positivi se anti-orari sulla trave di fondazione a cura di Enzo Martinelli
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Assemblaggio)k(
Ed,iN
)k(Ed,iM
)k(dg
1 2 3 4 5
L0 L1 L2 L0
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Soluzione
a cura di Enzo Martinelli
[ ]01 FFKs = Soluzione del sistema globaleEstrazione delle componenti di spostamenti locale e calcolo delle costanti di integrazione:
[ ] [ ])e(0)e(1)e()e(0)e()e(def ssGaaa =+= i jx
z,w
i wj
i j
l
i j
Ti
MiTj
Mj
( ) xxxxxxxx ceAseAceAseAxw 4321 +++= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxxxxxxxxxx cseAcseAcseAcseAxwI +++= 4321( ) xx2xx2xx2xx2 seA2ceAseA2ceA2xw 4321II ++=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxx3xxx3xxx3xxx3 cseA2cseA2cseA2cseA2xw 4321III ++=
Esempio Numerico
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)k(Ed,iN
)k(Ed,iM
)k(dg
L0 L1 L2 L0
As=12.56 cm2
60
30
60
30
60
30
As=15.70 cm2 As=15.70 cm2
Combinazione 2kN 64.216N )2(Ed,4 =
)2(Ed,4cd
)2(4,c Nfyb8.0 =
mm 64.7933.113008.0
216640y )2(4,c =
=
s
sds
E
f00218.0
3064.79
0035.0' >=
=
( )( ) ( ) kNm 49.323303003911256264.794.030033.1164.793008.0
'd2
hfA2y4.0
2
hfyb8.0NMM sds
)2(4,ccd
)2(4,c
)2(Ed,4Rd
)2(Ed,4
=+=
=
+
==
kN 21.714N )2(Ed,5 = kN 10.524N)2(
Ed,6 =
kNm 00.471M )2(Ed,5 = kNm 23.382M)2(
Ed,6 =
Esempio Numerico
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)k(Ed,iN
)k(Ed,iM
)k(dg
L0=100 L1=460 L2=590 L0=100
GyG
100
50
30
70
25
Caratteristiche geometriche e meccaniche della sezione e della trave
cm 92.413025210050
15302525010050yG =
+
+=
( ) ( ) 42323G cm 56926281592.41302512
3025292.415010050
12
10050I =
+
++
=
MPa 18.2708510
f22000E
3.0ck
cm =
=
Nmm 105419.1105.69218.27085IEEI 1510Gcm ===
q
( ) m/kN 25.1600.250.250.3021.000.500.1qq tgd,t =+==2
m0 mm/N 0.14140001.0Bkk ===
1.8508107 9.25213106 1.8501107 9.25097106
9.25213106 6.16773106 9.25097106 3.0837106
1.8501107 9.25097106 1.8508107 9.25213106
9.25097106 3.0837106 9.25213106 6.16773106
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Assemblaggio: elemento 1)k(
Ed,iN
)k(Ed,iM
)k(dg
1 2 3 4 5
L0 L1 L2 L0
=K
=)1(
K
l=L0=1.0 m k=1.4x104 kN/m2
EI=1.542x106 kNm2 =0.2182 m-1
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Assemblaggio: elemento 1
=K
=0F
1.8508107 9.25213106 1.8501107 9.25097106 0 0 0 0 0 09.25213106 6.16773106 9.25097106 3.0837106 0 0 0 0 0 01.8501107 9.25097106 1.8508107 9.25213106 0 0 0 0 0 09.25097106 3.0837106 9.25213106 6.16773106 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
8.12491.354148.12491.35414
000000
213917. 452638. 181898. 428129.452638. 1.35367106 428129. 660744.181898. 428129. 213917. 452638.428129. 660744. 452638. 1.35367106
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Assemblaggio: elemento 2)k(
Ed,iN
)k(Ed,iM
)k(dg
1 2 3 4 5
L0 L1 L2 L0
=K
=)2(
K
l=L1=4.6 m k=1.4x10-8 kN/m2
EI=1.542x109 kNm2 =0.00003882 m-1
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Assemblaggio: elemento 2
=K
=0F
1.8508107 9.25213106 1.8501107 9.25097106 0 0 0 0 0 09.25213106 6.16773106 9.25097106 3.0837106 0 0 0 0 0 01.8501107 9.25097106 1.87219107 8.7995106 181898. 428129. 0 0 0 09.25097106 3.0837106 8.7995106 7.5214106 428129. 660744. 0 0 0 0
0 0 181898. 428129. 213917. 452638. 0 0 0 00 0 428129. 660744. 452638. 1.35367106 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
8.12491.3541445.290627.093737.165728.4478
0000
120446. 290894. 79763.8 251063.290894. 1.07224106 251063. 502626.79763.8 251063. 120446. 290894.251063. 502626. 290894. 1.07224106
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Assemblaggio: elemento 3)k(
Ed,iN
)k(Ed,iM
)k(dg
1 2 3 4 5
L0 L1 L2 L0
=K
=)3(
K
l=L2=5.9 m k=1.4x10-8 kN/m2
EI=1.542x109 kNm2 =0.00003882 m-1
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Assemblaggio: elemento 3
=K
=0F
1.8508107 9.25213106 1.8501107 9.25097106 0 0 0 0 0 09.25213106 6.16773106 9.25097106 3.0837106 0 0 0 0 0 01.8501107 9.25097106 1.87219107 8.7995106 181898. 428129. 0 0 0 09.25097106 3.0837106 8.7995106 7.5214106 428129. 660744. 0 0 0 0
0 0 181898. 428129. 334363. 161744. 79763.8 251063. 0 00 0 428129. 660744. 161744. 2.42591106 251063. 502626. 0 00 0 0 0 79763.8 251063. 120446. 290894. 0 00 0 0 0 251063. 502626. 290894. 1.07224106 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0
8.12491.3541445.290627.093784.386317.784547.220646.2323
00
1.8508107 9.25213106 1.8501107 9.25097106
9.25213106 6.16773106 9.25097106 3.0837106
1.8501107 9.25097106 1.8508107 9.25213106
9.25097106 3.0837106 9.25213106 6.16773106
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Assemblaggio: elemento 4)k(
Ed,iN
)k(Ed,iM
)k(dg
1 2 3 4 5
L0 L1 L2 L0
=K
=)4(
K
l=L0=1.0 m k=1.4x10-8 kN/m2
EI=1.542x109 kNm2 =0.00003882 m-1
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Bozza del 21/05/2008
Assemblaggio: elemento 4
=K
=0F
1.8508107 9.25213106 1.8501107 9.25097106 0 0 0 0 0 09.25213106 6.16773106 9.25097106 3.0837106 0 0 0 0 0 01.8501107 9.25097106 1.87219107 8.7995106 181898. 428129. 0 0 0 09.25097106 3.0837106 8.7995106 7.5214106 428129. 660744. 0 0 0 0
0 0 181898. 428129. 334363. 161744. 79763.8 251063. 0 00 0 428129. 660744. 161744. 2.42591106 251063. 502626. 0 00 0 0 0 79763.8 251063. 1.86284107 8.96124106 1.8501107 9.25097106
0 0 0 0 251063. 502626. 8.96124106 7.23997106 9.25097106 3.0837106
0 0 0 0 0 0 1.8501107 9.25097106 1.8508107 9.25213106
0 0 0 0 0 0 9.25097106 3.0837106 9.25213106 6.16773106
8.12491.3541445.290627.093784.386317.784555.345544.87818.12491.35414
Progetto e Verifica delle armature
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
Bozza del 21/05/2008
Vettore delle forze nodali)k(
Ed,iN
)k(Ed,iM
)k(dg
1 2 3 4 5
L0 L1 L2 L0
0, 0, N4Ed, M4Ed, N5Ed, M5Ed, N6Ed, M6Ed, 0, 0=F=F
[ ]01 FFKs = 0.00 0.00 216.64 -323.49 714.21 -471.00 524.10 -382.23 0.00 0.00
Progetto e Verifica delle armature
Corso di Tecnica delle Costruzioni I - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08
Bozza del 21/05/2008
Diagramma degli spostamenti
-6 -4 -2 2 4 6
-0.0175
-0.015
-0.0125
-0.01
-0.0075
-0.005
-0.0025
Trave elastica
Trave rigida
Progetto e Verifica delle armature
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Bozza del 21/05/2008
Diagramma del Taglio
-6 -4 -2 2 4 6
-400
-200
200
Trave elastica
Trave rigida
-6 -4 -2 2 4 6
-600
-400
-200
200
400
600
Progetto e Verifica delle armature
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Bozza del 21/05/2008
Diagramma del Momento Flettente
Trave elastica
Trave rigida