Analisi matematica I Monotonia e punti di estremo
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Calcolo differenziale
2
Monotonia e punti di estremo
Teorema di Rolle
Teorema di Lagrange
Prima formula dell’incremento finito
Seconda formula dell’incremento finito
Monotonia e punti di estremo
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Monotonia e punti di estremo
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Teorema di Rolle
f : [a, b] R
(a, b)f
f(a) = f(b)
∃x0 ∈ (a, b) : f 0(x0) = 0
→ continua
derivabile in ⇒
⇒
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Teorema di Rolle
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Dimostrazione
Per il Teorema di Weierstrass risulta
tali che
f([a, b]) = [m,M ] ⇒ ∃xm, xM ∈ [a, b]
f(xM) =M = maxx∈[a,b]
f(x)
f(xm) = m = minx∈[a,b]
f(x)
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Dimostrazione
Se alloraDunque m =M f(x) = cost ,
f 0(x) = 0 , ∀x ∈ (a, b)
∀x ∈ [a, b]
8
Dimostrazione
Se allora oppureDunque
m < M f(a) = f(b) < Mm < f(a) = f(b).
xM ∈ (a, b)
xm ∈ (a, b)
f 0(xM) = 0
f 0(xm) = 0
oppure ⇒ oppure
Teorema di Fermat
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Monotonia e punti di estremo
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Teorema di Lagrange
f : [a, b] R
(a, b)f
→ continua
derivabile in⇒
⇒ ∃x0 ∈ (a, b) : f 0(x0) =f(b)− f(a)b− a
è detto punto di Lagrangex0
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Teorema di Lagrange
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Dimostrazione
Consideriamo la funzione ausiliaria definita su
g(x) = f(x)− f(b)− f(a)b− a (x− a)
[a, b]
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Dimostrazione
Risulta g : [a, b] R→ continua
g derivabile su (a, b) con
g0(x) = f 0(x)− f(b)− f(a)b− a
g(a) = f(a) = g(b)
14
Dimostrazione
Teorema diRolle
∃x0 ∈ (a, b) : g0(x0) = 0
0 = g0(x0) = f0(x0)−
f(b)− f(a)b− a
f 0(x0) =f(b)− f(a)b− a
⇒
⇒
⇒
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Monotonia e punti di estremo
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Prima formula dell’incremento finito
Sia derivabile in Allora f x0.
f 0(x0) = limx→x0
f(x)− f(x0)x− x0
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Prima formula dell’incremento finito
cioè
f(x)− f(x0)− f 0(x0)(x− x0) = o(x− x0) ,
f(x) = f(x0) + f0(x0)(x− x0) + o(x− x0) , x→ x0
x→ x0
limx→x0
µf(x)− f(x0)x− x0
− f 0(x0)¶= 0
limx→x0
f(x)− f(x0)− f 0(x0)(x− x0)x− x0
= 0⇔
⇔
⇔
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Prima formula dell’incremento finito
Posto
la formula
può essere riscritta come
∆x = x− x0 , ∆f = f(x)− f(x0)
x→ x0f(x) = f(x0) + f0(x0)(x− x0) + o(x− x0) ,
∆f = f 0(x0)∆x+ o(∆x) , ∆x→ 0
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Seconda formula dell’incremento finito
Sia derivabile su intervallo aperto in siano con Allora ècontinua in e derivabile in
f I, Rx1, x2 ∈ I x1 < x2. f
[x1, x2] (x1, x2)
Teorema di Lagrange
⇒ ∃x ∈ (x1, x2) : f 0(x) =f(x2)− f(x1)x2 − x1
⇒ f(x2)− f(x1) = f 0(x)(x2 − x1) ,x ∈ (x1, x2)
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Seconda formula dell’incremento finito
Se la formula diventa ∆x = x− x0 , ∆f = f(x)− f(x0)
∆f = f 0(x)∆x ,
x ∈ (x, x0) x ∈ (x0, x)oppure
f(x2)− f(x1) = f 0(x)(x2 − x1) , x ∈ (x1, x2)
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Proprietà
Sia derivabile su intervallo aperto in I,f R.
è costante su f 0(x) = 0 ,I ∀x ∈ If ⇔
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Dimostrazione
Ricordiamo che
f è costante su I ⇔ f(x1) = f(x2) , ∀x1, x2 ∈ I⇒ Vero dalla definizione di derivata
⇐
= 0 · (x2 − x1) = 0f(x2)− f(x1) = f 0(x)(x2 − x1) =
x1 < x2, ∃x ∈ (x1, x2) :∀x1, x2 ∈ I con
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Dimostrazione
Ricordiamo che
f è costante su I ⇔ f(x1) = f(x2) , ∀x1, x2 ∈ I⇒ Vero dalla definizione di derivata
⇐ x1 < x2, ∃x ∈ (x1, x2) :
= 0 · (x2 − x1) = 0f(x2) = f(x1)
con
f(x2)− f(x1) = f 0(x)(x2 − x1) =
⇒
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Proprietà
Sia derivabile su intervallo aperto in I,f R.
f 0(x) ≥ 0 , ∀x ∈ I I⇔ è crescente suf
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Ricordiamo che è crescente su se
Dimostrazione
f I ∀x1, x2 ∈ I ,x1 < x2 f(x1) ≤ f(x2)⇒
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Dimostrazione
∀x1, x2 ∈ I x1 < x2, ∃x ∈ (x1, x2) :con
f(x2)− f(x1) = f 0(x)(x2 − x1) ≥ 0f(x2) ≥ f(x1)⇒
Per la seconda formula dell’incremento finito⇒
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Dimostrazione
⇐ Sia crescente sux0 ∈ I ; f I
⇒ x− x0 f(x)− f(x0)e hanno lo stessosegno
⇒∆f
∆x=f(x)− f(x0)x− x0
≥ 0 , ∀x ∈ I
⇒ limx→x0
f(x)− f(x0)x− x0
= f 0(x0) ≥ 0
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Osservazione
Analogamente, vale:
Sia derivabile su intervallo aperto in I,f R
ff 0(x) ≤ 0 , ∀x ∈ I I⇔ è decrescente su
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Proprietà
Sia derivabile su intervallo aperto in
Attenzione: non vale il viceversa!Ad esempio è strettamente crescente su ma
I,f R
f
∀x ∈ II
f 0(x) > 0 , ⇒
è strettamente crescente su
f(x) = x3
Rf 0(x) = 2x2 f 0(0) = 0e
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Dimostrazione
Ricordiamo cheè strettamente crescente su se
Per la seconda formula dell’incremento finito, con
f I
f(x2) > f(x1)
∀x1, x2 ∈ I , x1 < x2
> 0
∃x ∈ (x1, x2) :
∀x1, x2 ∈ I ,x1 < x2 f(x1) < f(x2)⇒
⇒
f(x2)− f(x1) = f 0(x)(x2 − x1)
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Proprietà
Sia derivabile su intervallo aperto in Sia con
Se in e in
f I,x0 ∈ I f 0(x0) = 0.
R.
f 0(x) ≥ 0 I−r (x0) f 0(x) ≤ 0 I+r (x0)
⇒ x0 fè punto di massimo (relativo) per
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Proprietà
Sia derivabile su intervallo aperto in Sia con
Se in e in
f I,x0 ∈ I f 0(x0) = 0.
R.
f 0(x) ≤ 0 I−r (x0) f 0(x) ≥ 0 I+r (x0)
⇒ x0 fè punto di minimo (relativo) per
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Esempio
Consideriamo
Risulta
dom f = Rf(x) = x2e−x ,
x1 = 0 , x2 = 2
f 0(x) = 2xe−x − x2e−x = x(2− x)e−xpunti critici per f
f 0(x) > 0 x(2− x) > 0 0 < x < 2⇔ ⇔
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Esempio
Consideriamo
Risulta
dom f = Rf(x) = x2e−x ,
x1 = 0 , x2 = 2
f 0(x) = 2xe−x − x2e−x = x(2− x)e−xpunti critici per f
f 0(x) > 0 x(2− x) > 0 0 < x < 2⇔ ⇔crescente inf [0, 2]
f decrescente in e(−∞, 0] [2,+∞)
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Esempio
punto di minimo assoluto conx1 = 0
x2 = 2 f(2) = 4/e2punto di massimo assoluto con
f(0) = 0
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Esempio