Valori Medi
2/3
LE MEDIE
La media aritmetica
La media geometrica
La mediana
La moda
I percentili
3/3
Introduzione
Medie di posizione
non richiedono operazioni
algebriche sulle modalità- Moda- Mediana-
Quantili
Medie analitiche
calcolate con operazioni
algebriche sulle modalità, richiedono dei caratteri quantitativi
Media aritmetica- Media armonica - Media geometrica - Media quadratica
MkMMMxxx k *......21
La media aritmetica è quel valore che sostituito alle singole osservazioni ne lascia inalterata la SOMMA
k
x
M
k
ii
1
5/3 La Media Aritmetica
tempo impiegato (min.) tempo impiegato (min.)
giorno auto metro giorno auto metro
1 23 22 7 28 24
2 32 24 8 33 28
3 44 22 9 45 32
4 21 33 10 34 31
5 36 26 11 29 37
6 30 31 12 31 24
)auto(xa
Tempo impiegato per raggiungere il posto di lavoro
(23+32+44+21+36+30+28+33+45+34+29+31)/12 = =386/12 = 32,17
(22+24+22+33+26+31+24+28+32+31+37+24)/12 = 334/12 = 27,83 )metro(xa
6/3
Media aritmetica
n
iina x
nx...xx
n 121
11x
Se il carattere X è quantitativo discreto e conosciamo la sua distribuzione di frequenza:
K
jjja nx
n 1
1x
K
jjja fx
1x
La media aritmetica di un insieme di n valori x1, x2, … xn di un carattere
quantitativo X è data da:
Esempio
Esempio 1. In un campione di 30 studenti si rileva il voto di maturità. Si riporta la distribuzione di frequenze assolute:
x i ni xi*ni
62 2 12466 2 13270 3 21073 3 21975 4 30076 4 30479 1 7981 2 16283 3 24986 2 17292 1 9294 3 282
Totale 30 2325Media aritmetica 77.5
x i ni fi fi% xi*fi xi*fi%62 2 0.067 6.7 4.13 413.333366 2 0.067 6.7 4.40 44070 3 0.100 10.0 7.00 70073 3 0.100 10.0 7.30 73075 4 0.133 13.3 10.00 100076 4 0.133 13.3 10.13 1013.33379 1 0.033 3.3 2.63 263.333381 2 0.067 6.7 5.40 54083 3 0.100 10.0 8.30 83086 2 0.067 6.7 5.73 573.333392 1 0.033 3.3 3.07 306.666794 3 0.100 10.0 9.40 940
Totale 30 1.000 100.0 77.50 7750.00
5.7730:2325
*
1
1
k
ii
k
iii
n
nx
M 5.77*1
k
iii fxM
5.77100
7750
100
%*1
k
iii fx
M
8/3
Valore centrale della classeNel caso di una distribuzione di frequenze per un carattere X suddiviso in classi, possiamo approssimare la media utilizzando il valore centrale della classe cj
K
jjjna
1x nc
1
9/3
Prezzi di farmaci e quantità acquistate da unospedale
v.c. Prezzo a confezione
(€)
Numero Confezioni(migliaia)
Ammontare carattere
(costo) ml. (€)
25 20 – 30 11 25*11= 275.0
32.5 30 – 35 5 32.5*5= 162.5
37.5 35 – 40 15 37.5*15= 562.5
45 40 – 50 9 45*9 = 405.0
Totale 40 1405
= 1405/40 = 35.72 € (a confezione) (approssimato)
Esempio
ax
10/3
Media aritmetica ponderata
k
jj
k
jjj
k
kka
p
px
ppppxpxpx
1
1
21
2211x
La media aritmetica ponderata di un insieme di n valori osservati di un carattere
quantitativo X con pesi non negativi, è data da:
11/3
Considerazioni
La Media aritmetica dipende da tutti i valori osservati e quindi risente dei valori estremi (valori anomali);
La Media aritmetica sintetizza la distribuzione di un carattere con un solo valore;
Proprietà della media aritmetica
1) La somma dei valori osservati è uguale al valore medio moltiplicato per il numero di unità ;
2) La somma delle differenze tra i valori e la loro media aritmetica, è pari a zero;
3) La somma degli scarti al quadrato dei valori da una costante c è minima quando c è uguale alla media aritmetica;
4) Se un collettivo viene suddiviso in L sottoinsiemi disgiunti, allora la media aritmetica generale si può ottenere come media ponderata delle medie dei sottoinsiemi con pesi uguali alle loro numerosità.
xnx i
k
ii
1
k
ii xx
1
0
k
iii nxx
1
0
k
ii
k
ii cxxx
1
2
1
2
Proprietà della media aritmetica
5) E’ associativa x1+ (x2+x3)=(x1+x2).+x3
7) È invariante per traslazioni, cioè per cambiamenti dell’origine:
x1, x2….xk M=
x1+b, x2+b,….xk+b M= + b
8) È invariante per cambiamenti dell’unità di misura:
x1, x2….xk M=
x1b, x2b,….xkb M= b
9) la media è sempe un valore compreso tra il valore minimo e massimo della distribuzione;
nggggn XXXXxxx *...***...** 21
La media geometrica è quel valore che sostituito alle singole osservazioni ne lascia inalterato il PRODOTTO
15/3
La media geometrica calcolo sulla distribuzione unitaria
nng xxxx 21
K
K
fK
ffg
oppure
n nK
nng
.... xxxx
... xxxx
21
21
21
21
calcolo sulla distribuzione di frequenze
16/3
Proprietà della media geometrica
1)
2)
ngn x x xx 21
n
iig )(xlog
nxlog
1
1
Un modo semplice per calcolare la mediageometrica si ottiene dalla proprietà 2)
Valori medi
La media geometrica può essere anche calcolata anche ricorrendo ai logaritmi, essendo equivalente alla quantità:
PROPRIETA’
a) La media geometrica è non superiore alla media aritmetica (Mg≤M)
b) E’ non esterna all’intervallo (x1, xk), ossia compresa tra il valore
minimo e massimo della distribuzione
c) Non è invariante per le traslazioni
d) E’ invariante per cambiamenti dell’unità di misura:
x1, x2….xk Mg=
x1b, x2b,….xkb Mg= b con b>0
N
xnxnxnM kk
g
log...logloglog 2211
Esempio: i numeri Indice A base fissa: consentono di confrontare tutte le osservazioni di una serie storica ( o
geografica) con un’unica osservazione di riferimento
1000
x
xI t
La variazione relativa= I-1
Per calcolare la variazione media nel periodo 2000-2008 occorre calcolare la Mg degli 8 indici a base fissa
R.O. Indice Variazione %2000 123 1 -2001 143 1.162601626 16.262002 143 1.162601626 16.262003 134 1.089430894 8.942004 115 0.93495935 -6.502005 162 1.317073171 31.712006 140 1.138211382 13.822007 132 1.073170732 7.322008 139 1.130081301 13.01
Media geometrica1.121523041Varizione media 12.2
Esempio: i numeri Indice A base mobile: consentono di confrontare ciascuna osservazione di una serie storica ( o
geografica) con la precedente, assunta come osservazione di riferimento
1001
t
t
x
xI
La variazione relativa= I-1
Per calcolare la variazione annuale media nel periodo 2000-2008 occorre calcolare la Mg degli 8 indici a base mobile
R.O. Indice Variazione %2000 123 - -2001 143 1.1626 0.1626016262002 143 1 02003 134 0.9371 -0.062937062004 115 0.8582 -0.141791042005 162 1.4087 0.4086956522006 140 0.8642 -0.135802472007 132 0.9429 -0.057142862008 139 1.053 0.053030303
media geometrica 1.015403629 1.13
20/3
E’ la modalità presentata dall’unità centrale del collettivo. Essa divide il collettivo in due
sottoinsiemi di uguale numerosità: uno con modalità di ordine più basso e l’altro con
modalità di ordine più alto.
Il calcolo della mediana è possibile solo per caratteri quantitativi o qualitativi ordinabili.
La Mediana
Esempio
Esempio 2. Distribuzione secondo la spesa delle Unità sanitarie. Calcolare la spesa media
Classe di spesa (in migliaia di euro)
(valore centrale classe) xi
N. Unità sanitarie ni
xi *ni
0-3 1,5 7.976 11.964
3-6 4,5 8.763 39.433,5
6-9 7,5 4.130 30.975
9-15 12 1.176 14.112
15-25 20 297 5.940
25-50 37,5 105 3.937,5
50-100 75 18 1.350
Oltre 100 125 3 325
Totale 22.468 108.087
M = 108.087 : 22.468 = 4,81 mila reddito medio
Si ipotizza che tutte le unità di
ogni classe siano equidistribuite al’interno della
classe
Tuttavia si perde
informazione
Esempio
Esempio 2 bis. Distribuzione secondo il reddito dei dichiaranti dei redditi percepiti. Calcolare il reddito medio
Classe di spesa (in migliaia di euro)
N. Unità ni Ammontare spesa Xi
(in migliaia di euro)
Reddito medio
0-3 7.976 12.792 1,60
3-6 8.763 40.650 4,64
6-9 4.130 29.320 7,10
9-15 1.176 12.932 11,0
15-25 297 5.580 18,79
25-50 105 3.405 32,43
50-100 18 1.172 65,11
Oltre 100 3 532 177,33
Totale 22.468 106.383
iii nXx
Non è necessaria nessuna ipotesi,
perché si conosce
l’ammontare totale della
classe
Il valore del reddito medio è
più preciso
M= 106.383 : 22.468 = 4,73 mila diverso dal reddito medio calcolato nell’es. 2
Carattere - Voto
Frequenza assoluta
Frequenza cumulata
Frequenza relativa
Frequenza relativa cumulata
62 2 2 0.067 0.06766 2 4 0.067 0.13370 3 7 0.100 0.23373 3 10 0.100 0.33375 4 14 0.133 0.46776 4 18 0.133 0.60079 1 19 0.033 0.63381 2 21 0.067 0.70083 3 24 0.100 0.80086 2 26 0.067 0.86792 1 27 0.033 0.90094 3 30 0.100 1.000
Totale 30 1.000Mediana = 76
Esempio
Mediana
Distribuzione per classi di valori del carattere osservato (classi della stessa ampiezza). Si può individuare la classe mediana oppure ipotizzando la distribuzione uniforme all’interno dell’intervallo si calcola il valore puntuale della mediana.
Quindi:
Dove x(r) e x(r+1) sono gli estremi inferiore e superiore della classe
mediana ed nr la frequenza assoluta della classe mediana. Se N è pari,
si deve sostituire a (N+1)/2 una volta N/2 e una volta (N/2+1) e poi fare la semisomma dei due valori mediani.
L’ultimo termine della formula rappresenta la frequenza cumulata della classe che precede la classe mediana.
1
1
)1()( 2
1 r
ii
r
rrr n
N
n
xxxMe
Distribuzione per classi di valori
Voto x i ni fi Fi
60-|70 7 0.233 0.23370-|80 12 0.400 0.63380-|90 7 0.233 0.86790-|100 4 0.133 1.000
30 1.000
Distribuzione per classi di valori
70 Me 80
.50.23 .63
)23.50(.:23.63.70:7080 Me
23.05.04.0
708070
Me
Equivale alla formula:Con la proporzione:
Moda
La moda di un collettivo è quella modalità del carattere alla quale è associata la massima frequenza.
Se la distribuzione è per classi di valori del carattere osservato
(tutte della stessa ampiezza) la classe modaleclasse modale è quella con la
maggiore frequenza. Se le classi hanno diversa ampiezza, si divide
la frequenza per l’ampiezza della classe e si sceglie il valore
massimo dei quozienti ottenuti, detti densità di frequenza
Se la distribuzione presenta una sola moda, è detta unimodale.
Se vi sono due mode è detta bimodale, se ve sono tre è trimodale,…
La moda può essere individuata anche graficamente.
Ad es.: in un grafico a colonne o a nastri, la colonna più alta o il nastro più lungo individua la moda della distribuzione.
27/3
La moda fornisce informazioni solo su una modalità del carattere;
La moda dipende solo dalle frequenze;
La moda acquista validità solo se vi è una netta prevalenza di una modalità/intensità;
La moda si calcola su tutti i tipi di caratteri;
Considerazioni sulla moda
28/3
Tipologia di farmaco Numero reparti Frequenze %
Antidolorifico 100 25
Antibiotico 200 50
Antiblastico 80 20
Altro 20 5
Totale 400 100
Consumi ml.(€)
N. reparti
10 20
12 80
31 90
40 140
52 70
Totale 400
Consumi ml.(€)
N. reparti Ampiezza classe
Densità frequenza
5 – 25 100 20 100/20 = 5
25 – 35 90 10 90/10 = 9
35 – 60 210 25 210/25 = 8.4
Totale 400
La moda La moda è la è la
modalità modalità prevalente prevalente
del del caratterecarattere
La moda
Distribuzione uni-modale
0
5
10
15
20
25
Distribuzione bi-modale
0
5
10
15
20
25
30
Classi) Frequenze Densità di frequenza
<3 3138 1046
3-6 4084 1361
6-10 5740 1435
10-20 10269 1027
20-30 6302 630
30 e oltre 3237 324
Si sceglierà il valore max tra le
densità di frequenza.
La classe modale è 6-10 anni
ES. Distribuzione per classi
Calcolo della moda
Quantili
Quantili
Un quantile-p, dove p[0,1] è quel valore che divide una distribuzione statistica in p parti uguali, ognuna delle quali contiene la p-esima parte della numerosità della distribuzione totale
E’ un numero più grande del 100 x p % dei valori osservati e più piccolo del restante 100 (1-p) %.
Es. Un quantile di 0,1 deve essere un valore che lascia a sinistra il 10% delle osservazioni e a destra il rimanente 90%
Quantili
Se p= 4 Quartili: dividono la distribuzione in quattro parti uguali
Se p=10 Decili: dividono la distribuzione in dieci parti uguali Se p=100 Percentili: dividono la distribuzione in cento parti
uguali
In generale si definisce -percentile quel valore a destra del quale cade (1- )% dei casi e a sinistra l’ % dei casi.
(p=0,01, 0,02…..0,99) La mediana si può considerare il 2° quartile e il 50° percentile.
Quartili
Le quattro distribuzioni individuate dai quartili contengono ognuna il 25% della numerosità totale.
Così il 1° quartile contiene il 25% e la distribuzione rimanente è il 75% del totale
Capacità di informazione delle medie
Tutte le medie sono capaci di fornire la stessa quantità di informazione sulla distribuzione o la capacità informativa è diversa da una media all’altra?
Scala di misura del Carattere
Misura di tendenza
Capacità di informazione
Robustezza
Nominale Moda
Ordinale Mediana
Intervallo/
Rapporti
Media
Studente M MeX 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 30 30 30 30 30 30 30 30 23.65 18Y 18 18 18 18 18 18 18 18 18 30 30 30 30 30 30 30 30 30 24.35 30Z 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30W 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18
Cautela nell’utilizzo della mediana
La mediana non va bene quando la differenza tra due popolazioni è rilevante proprio nel centro della distribuzione ordinata delle modalità
Il box plot
mediana
1° quartile
3° quartile
Q3+1.5IR
Q1-1.5IR
è un grafico caratterizzato da tre elementi principali:1. Una linea o un punto, che indicano la posizione del centro della distribuzione (mediana);2. Un rettangolo (box) la cui altezza indica la variabilità dei valori “prossimi” alla media (IR= terzo quartile-primo quartile);3. Due segmenti (baffi) che partono dai lati minori del rettangolo e che terminano in corrispondenza del più piccolo e del più grande valore non outlier.4. Dei punti, detti outliers, che giacciono 1,5*IR al di sotto del primo quartile e 1,5*IR al di sopra del terzo quartile
Il box plot
Rapporti statistici
1. di composizione: esprimono il rapporto tra la quantità relativa ad una modalità e l’ammontare complessivo. Si applica alle distribuzioni di quantità
2. di coesistenza: esprime il rapporto tra la frequenza (quantità) relativa ad una modalità e la frequenza (quantità) relativa ad una altra modalità. Esempio: rapporto di mascolinità Pm/Pf*100; indice di vecchiaia P>=65/P<=14*100
3. di derivazione o tasso: numero di casi di un evento che si verifica in un determinato periodo di tempo rapportato alla popolazione totale di quel periodo. Esempi: tasso di mortalità M/P*1000; quoziente di natalità N/P*1000; tasso di abortività ab/P*1000; tasso di mortalità infantile M0-365/NV*1000