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Facoltà di Medicina e Chirurgia
Corso di Fisica
Il moto e le sue leggi
1Corso di Fisica - UdA
A.A 2011/12
Introduzione
La Meccanica è quella branca della Fisicache si occupa della descrizione dei motidei corpi e delle forze che sonoresponsabili dei moti stessi.Tradizionalmente si suole dividere laMeccanica in Cinematica, Statica eDinamica.
2
Dinamica.
Cinematica ! Descrizione dei moti a prescindere delle cause che li generano
Statica ! Condizioni di equilibrio
Dinamica ! Ricerca l’equazione del moto di un corpo quando si conoscono le forze ad esso applicate.
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Descrizione cinematica del moto
Si dice che un corpo si muove quando la sua posizione rispetto ad altri corpi, considerati come fissi, varia nel tempo. Il concetto di moto ha perciò sempre un significato relativo.
3
In meccanica, il moto di un corpo è sempre riferito ad un sistema di riferimento. Per descrivere poi lo stato di moto del corpo facciamo ricorso alle grandezze cinematiche spostamento, velocità, accelerazione.
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Posizione
La posizione di un punto nello spazio è identificata dal vettore posizione.
In uno spazio bidimensionale, il vettore posizione P è caratterizzato da due componenti PX e PY
In uno spazio tridimensionale, il vettore posizione è caratterizzato da
Y(m)5 PPY=4
4
vettore posizione è caratterizzato da tre componenti PX , PY e PZ
Se il punto si muove, le componenti varieranno nel tempo:
Px = Px(t)
Py = Py(t)
Pz = Pz(t)
X(m)5O
PX=3
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Traiettoria e legge oraria
Definiamo traiettoria del moto la linea descritta dal punto durante il suo moto. Se la traiettoria è nota, per descrivere completamente il moto, basta conoscere la posizione del punto lungo la traiettoria ad ogni istante.
5
ogni istante.
Se indichiamo con s il tratto di traiettoria percorso dal punto P nel tempo t, il moto è completamente descritto quando si conosce la relazione
s = s(t)
che prende il nome di legge oraria.
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Spostamento
La differenza di posizione tra due punti si chiama spostamento.
In generale, lo spostamento è una grandezza vettoriale.
La legge oraria (o legge del moto)
6Corso di Fisica - UdA
La legge oraria (o legge del moto) può quindi essere descritta mediante le tre funzioni del tempo:
x = x(t)
y = y(t)
z = z(t)
Moto unidimensionale
In un moto unidimensionale, una sola delle componenti varierà nel tempo, ad esempio Px.
In questo caso si possono trascurare le altre relazioni e considerare solo:
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considerare solo:
x = x(t)
Lo spostamento di un corpo è indicato dalla differenza di posizione tra due istanti di tempo successivi:
Δx = x(t1) – x(t0) = x1 – x0
Velocità
Se prendiamo un ∆∆∆∆t sempre più piccolo, a questo corrisponderà un
pos.(m)
Il rapporto tra la variazione della posizione e l’intervallo di tempo impiegato a percorrere tale distanza è chiamato velocità media:
vm = ∆∆∆∆x / ∆∆∆∆t (m/s)
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piccolo, a questo corrisponderà un ∆∆∆∆s sempre più piccolo e il rapporto rimarrà un numero finito; definiamo pertanto
Velocità istantanea:
v = lim (∆∆∆∆x /∆∆∆∆t) = dx/dt∆∆∆∆t→→→→0
10
30
20
10 20 30 40 t (s)
(m)
∆∆∆∆x1
∆∆∆∆x2
∆∆∆∆x3∆∆∆∆t
Interpretazione trigonometrica della velocità
Se AB è un tratto di legge oraria, dal grafico si evince che, considerando la corda AB, si ha:A
B
C
αααα
x2
x1
x
P
m12 vxxBC
====−−−−
−−−−====
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Se invece di B scegliamo un punto P via via più vicino ad A, il ∆∆∆∆t diminuisce e di conseguenza anche il corrispondente ∆∆∆∆x diminuisce. Per P che tende a coincidere con A, avremo che la corda AP tende a coincidere con la tangente alla curva in A. Quindi potremo definire la velocità istantanea nel punto A della legge oraria come:
v = tg αααα
t2t1 t
m12
vttAC
====−−−−
====
Un po’ di trigonometria
BCAB
αααα
BC = AB sin(αααα)
AC = AB cos(αααα)
B
10Corso di Fisica - UdA
AC
αααα AC = AB cos(αααα)A C
)()()(
)()(
αααααααα
αααα
αααα
αααα tgcossin
cosABsinAB
ACBC
===
Accelerazione
Analogamente a quanto fatto per la velocità definiamo l’accelerazione media come:
am = ∆∆∆∆v/∆∆∆∆t
Mentre definiamo l’accelerazione istantanea come:
11Corso di Fisica - UdA
a = lim ∆∆∆∆v/∆∆∆∆t = dv/dt∆∆∆∆t→→→→0
L’accelerazione si misura in (m/s)/s, ovvero in m/s2
Posizione costante
Il moto più semplice possibile è quello … che non c’è.
Se per un corpo a = 0 e v = 0:
v = Δx / Δt = 0 => Δx = 0
12Corso di Fisica - UdA
Δx = x1 - x0= 0
Oppure:
x1 = x0
La posizione del corpo rimane la stessa.
Moto rettilineo uniforme
Nel moto rettilineo uniforme a = 0 mentre v ≠ 0.
Poiché a = ∆∆∆∆v/∆∆∆∆t = 0 => Δv = 0 => v0 = v1
e dunque la velocità non varia.
La legge oraria del moto, cioè la posizione in funzione del tempo, si può determinare da:
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La legge oraria del moto, cioè la posizione in funzione del tempo, si può determinare da:
v = ∆∆∆∆x / ∆∆∆∆t => Δx = v ∆∆∆∆t => x1 – x0 = v (t1 – t0)
Usualmente si pone t0 = 0 e t1 = t, quindi
x1 = x0 + v t
Moto uniformemente accelerato
Nel moto uniformemente accelerato a = costante
Poiché a = ∆∆∆∆v/∆∆∆∆t => Δv = a ∆∆∆∆t => v1 = v0 + a t
Poiché la velocità varia non è possibile sfruttare l’espressionex1 = x0 + v t per calcolare la legge oraria del moto.
14Corso di Fisica - UdA
x1 = x0 + v t per calcolare la legge oraria del moto.
v1
v0
a > 0
a < 0
∆∆∆∆t t
v
Integrazione delle leggi del moto
Per trovare lo spazio percorso nel tempo t osserviamo che esso è dato dalla somma dei prodotti:
(∆∆∆∆x0 = v0 ∆∆∆∆t) + (∆∆∆∆x1 = v1 ∆∆∆∆t) + … + (∆∆∆∆xn = vn ∆∆∆∆t)
ovvero dalla somma delle aree definite dai rettangolini in figura. In definitiva tale somma approssima l’area del trapezio di base v0 e (v0 + at), e altezza t, ovvero l’area della porzione di piano racchiusa tra la retta e l’asse dei tempi.
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racchiusa tra la retta e l’asse dei tempi.
x(t) =
v0
v0 + at
t∆∆∆∆t
v
x(t) = v0t + ½ a t2
½ [v0 + (v0 + at)] t
v1v2
vn
Integrazione delle leggi del moto
In generale le equazioni del moto uniformemente acceleratosono:
s(t) = s0 + v0t + ½ a t2
v(t) = v0 + a t
16Corso di Fisica - UdA
v(t) = v0 + a t
ricavando t dalla seconda equazione e sostituendo nella prima si ricava:
v2(t) = v02 + 2a s
Moto naturalmente accelerato
17Corso di Fisica - UdA
g = 9.8 m/s2
Moto naturalmente accelerato
In questo caso le equazioni del moto divengono:
s(t) = s0 + v0t + ½ g t2
v(t) = v0 + g t
Combinando le due relazioni sopra, si ottiene:
18Corso di Fisica - UdA
Combinando le due relazioni sopra, si ottiene:
v2(t) = v02 + 2g s
In particolare se il corpo parte da fermo,dopo essere caduto per un dislivello h haacquistato una velocità pari a:
v = (2gh)1/2
Moto di un punto nello spazio
Se un punto materiale si muove nello spazio tridimensionale e non solo lungo una sola direzione, le equazioni del moto sono simili a quelle viste precedentemente, ma per indicare lo spazio percorso, la velocità e
s(t) = s0 + v0t + ½a t2
v(t) = v0 + a t
19Corso di Fisica - UdA
lo spazio percorso, la velocità e l’accelerazione bisogna usare dei vettori.Questo moto può essere scomposto nel moto lungo l’asse X, lungo l’asse Y e lungo l’asse Z
++=
++=
++=
2zoz0zz
2yoy0yy
2xox0xx
ttvS(t)SttvS(t)SttvS(t)S
a
a
a
212121
Composizione e decomposizione dei movimenti
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Composizione e decomposizione dei movimenti
yP
Py
Se il punto P si sposta in un piano,
possiamo individuarne la posizione nel
riferimento cartesiano di origine O
mediante il vettore OP.
OP può pensarsi come somma dei due
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O xPx
OP può pensarsi come somma dei due
vettori OPx ed OPy, che sono le sue
componenti lungo gli assi.
Il moto del punto P si riduce allo
studio di due movimenti rettilinei:
quelli di Px e Py, proiezioni
ortogonali di P.
Composizione e decomposizione dei movimenti
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Moto del proiettile
23Corso di Fisica - UdA
Moto del proiettile
O Px xv0
++=
++=2
yoy0
2xox0
ttvyy(t)ttvxx(t)
a
a
2121
=
==
0vvv
0y
00x0vr
=
== g
0y
x
aaa
24Corso di Fisica - UdA
y
Py Pv
•
= 0v0y = gya
Lungo l’asse x il moto è uniforme x = v0t
Lungo l’asse y il moto è uniformemente accelerato y = ½ gt2
====
====2
o
ty(t)
tvx(t)
g21
Moto del proiettile
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Moto del proiettile
26Corso di Fisica - UdA
Moto su traiettoria curvilinea
P1P2 = OP2 – OP1 vettore spostamento
A
B
t1
P1
t2
P2
se t2 = t1 + Δt, con Δt molto piccolo:
P2 è molto vicino a P1 e P1P2 ha circa la
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Allora
O
P2 è molto vicino a P1 e P1P2 ha circa la
direzione della tangente alla traiettoria
in P1 e le sua lunghezza ~ P1P2
tv
∆= 2PP1
r Direzione della tangente alla traiettoria
Verso del moto
Modulo uguale alla velocità scalare v
Moto su traiettoria curvilinea
t2
P2
Nello spostamento dal punto P1 al punto P2
la velocità del punto è variata.
Anche se il modulo della velocità è rimasto costante (cosa che avviene nel moto circolare uniforme), la direzione della velocità è diversa.
Una variazione della velocità implica
A
B
t1
P1
O
1vr 2vr
28Corso di Fisica - UdA
Se t2 = t1 + Δt, con Δt molto piccolo, al vettore si da’ il nome
accelerazione del punto P all’istante t:
In generale la direzione del vettore accelerazione non è quella dellatangente alla traiettoria!!
Una variazione della velocità implica sempre la presenza di un’accelerazione.
O
tv∆∆r
t
va∆
=∆r
r
Moto su traiettoria curvilinea
P1P2 = OP2 – OP1
P1
P2
v1
v2
•• P•
v
an
v1
v2
Δv
29Corso di Fisica - UdA
O
v1
v2
A
B
CΔvIn generale, per un moto curvilineo
non uniforme, a può pensarsi scomposto in due componenti at ed an
P•a
at
an
Nel moto circolare uniforme la variazione di velocità, e quindi l’accelerazione, è perpendicolare alla velocità stessa.
Moto su traiettoria curvilinea
O
v1
v2
A
B
CΔv Analizzando meglio la figura a fianco
osserviamo che il segmento
AB ≈≈≈≈ normale alla traiettoria,
mentre il segmento
BC ≈≈≈≈ |v2| – |v1| ≈≈≈≈ tangente alla traiettoria.
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Quindi, con buona approssimazione possiamo scrivere che:
BC/∆∆∆∆t = at e che at = (|v2|– |v1|) / ∆∆∆∆t rappresenta la componente dell’accelerazione che modifica il modulo del vettore velocità.
Mentre AB/∆∆∆∆t = an rappresenta la componente dell’accelerazione che modifica l’orientamento del vettore velocità.
Moto su traiettoria curvilinea
O
v1
v2
A
B
CΔv
31Corso di Fisica - UdA
Se at = 0 allora |v| = costante (il modulo della velocità non varia)
Se an = 0 allora v non cambia di direzione e la traiettoria è rettilinea
Moto circolare
Nel moto circolare un punto si muove lungo una circonferenza (!)
E’ conveniente descrivere la posizionedel punto lungo la circonferenza tramiteun angolo ( θ ).
r
Il moto del punto può essere descritto
32Corso di Fisica - UdA
CIl moto del punto può essere descritto dalla variazione nel tempo della posizione.In analogia a v = Δs / Δt, ω = Δθ / Δtrappresenta la velocità angolare del punto. ω si misura in s-1
E’ possibile anche definire un’accelerazione angolare α = Δω / Δt α si misura in s-2
ω = Δθ/Δt
θ
Moto circolare
Nel moto circolare le variabili angolari sono legate a quelle lineari (in modulo) dalle relazioni (valide nel limite di Δt -> 0)
Essendo Δs = Δθ r:
Δθ = ω Δt = Δs / r∆∆∆∆s
r
33Corso di Fisica - UdA
Δs / Δt = v = ω r
ω = v / r
∆∆∆∆s∆θ
r
C
Moto circolare uniforme
Nel moto circolare uniforme |v1| = |v2| = |v| = costante.
Questo è possibile solo se l’accelerazione tangenziale è nulla(at = 0 )
L’accelerazione normale (o centripeta)deve essere diversa da zero, in modo
v2
∆∆∆∆s
34Corso di Fisica - UdA
deve essere diversa da zero, in modotale che la velocità vari la sua direzione.
Ma quanto deve valere l’accelerazionenormale perché il moto sia effettivamentecircolare e non a spirale ?
r
Cv1
∆∆∆∆s
∆θ
r
C
Moto circolare uniforme
v1
v2
∆∆∆∆s
∆θ v1
v2
v1
v2
∆v
ω∆t
35Corso di Fisica - UdA
Quindi |Δv| / Δt = ω|v| = |v| / r ⋅ |v| = |v|2 / r = v2 / r
Per ∆∆∆∆t molto piccolo sarà ωΔt = |Δv| / |v|
In sostanza, perché |v| sia costante deve risultare:
|an| = |ac| = v2 / r (= ω2 r)
Moto armonico
v
ωωωωt
C
Py
y
Pac
ωωωωt
Se P si muove di moto circolare uniforme la sua proiezione Px si muove di moto armonico.
Sia t = 0 quando Px è in 0.Allora l’angolo al centro sottesoda PC è ωωωωt e
36Corso di Fisica - UdA
ωωωωt
or
A BPX
x
da PC è ωωωωt e
x = r sin(ωωωωt) r = ampiezzaωωωω = pulsazione
y = r cos(ωωωωt)
è la legge del moto armonico il cui diagramma orario è una sinusoide:
Moto armonico
x+r
-2ππππωωωω
-ππππωωωω
ππππωωωω
2ππππωωωω
t
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-r
Il periodo T = 2ππππ / ωωωω e la frequenza ν = ωωωω / 2ππππ sono quelli delmoto circolare uniforme corrispondente.
Il periodo si misura in secondi, la frequenza in Hz (s-1).
Moto armonico
v
ωωωωt
or
A
C
Py
x
y
Pac
ωωωωt
La velocità istantanea del moto èla proiezione di v su AB
vx = v cos(ωωωωt) = ωωωωr cos(ωωωωt)
38Corso di Fisica - UdA
oA BPX
x
Analogamente per l’accelerazione ax
che è la proiezione di ac su AB
ax = -|ac| sin(ωωωωt) = -ωωωω2 r sin(ωωωωt) = -ωωωω2x
Quindi nel moto armonico l’accelerazione è proporzionale allo spostamento e diretta sempre verso il centro del moto.
LEGGI FONDAMENTALI DELLA DINAMICA
Newton (1642-1727) descrisse le leggi (principi) della dinamica più di 300 anni fa, formulandole in modo che esse, e le loro conseguenze, fossero in accordo, entro le precisioni di misura, con le osservazioni sperimentali effettuate.
39Corso di Fisica - UdA
Nel tempo, nuovi fenomeni hanno richiesto la formulazione di nuove leggi (ad es. relatività speciale, meccanica quantistica) più accurate; ma le “vecchie” leggi di Newton sono rimaste sempre valide e sono alla base delle nuove.
Causa ed effetto del moto
» Forza (causa)
» Moto del corpo (effetto)
• L’esperienza mostra che l’effetto dipende dalla massa del corpo
• Il moto avviene nella direzione e verso della forza• Il moto avviene nella direzione e verso della forza
Corso di Fisica - UdA 40
Prima Legge o Principio d’inerzia
Se la forza risultante totale che agisce su un corpo è nulla, l’accelerazione del corpo è nulla ed esso si muove di moto rettilineo uniforme oppure conserva il suo stato di quiete.
41Corso di Fisica - UdA
Fris = 0 a = 0 v = cost
Possiamo dare una definizione “a posteriori” della forza come l’influenza capace di produrre una variazione dello stato di quiete o di moto di un corpo.
“Una forza impressa ad un corpo produce un’accelerazione parallela alla forza e ad essa proporzionale; il coefficiente di proporzionalità non dipende dalla forza, ma dalle proprietà intrinseche del corpo.”
F = m a
Seconda Legge
• richiede la conoscenza delle forze, a prescindere dal loro effettosul moto dei corpi;
• il coefficiente “m ” è la massa inerziale di un corpo;
• la massa non dipende dallo stato di quiete o di moto del corpo;
• la massa si mantiene costante nel tempo.
42Corso di Fisica - UdA
Additività delle forze (come vettori)
43Corso di Fisica - UdA
∑=i iris FFrr
Unità di Misura della Forza
[F] = [m] · [a] = [m · l · t -2 ]
si misura in Newton (SI)
1 N = 1 Kg · 1 m / 1 s 2
44Corso di Fisica - UdA
(1 dine = 1 g · 1 cm / 1 s 2 = 1 N / 10 5)
Conseguenze della seconda legge
La seconda legge di Newton implica che se un corpo è fermo, lasomma delle forze che agiscono su di esso è nulla.
Se un corpo inizialmente fermo si mette in moto è perché su di essohanno agito una o più forze.
45Corso di Fisica - UdA
Terza legge
“Quando un corpo A imprime una qualsiasi forza FAB su un corpo B,automaticamente il corpo B imprime su A una forza FBA uguale inmodulo ed opposta in verso” (Principio di azione e reazione).
F AB = -F BA
Es.: molti esempi pratici (nuoto, camminata, barche a remi, rimbalzo
46Corso di Fisica - UdA
Es.: molti esempi pratici (nuoto, camminata, barche a remi, rimbalzoecc.);
Nei sistemi “isolati”, ovvero quei sistemidove la somma vettoriale delle forzeesterne, se presenti, è uguale a 0, la sommavettoriale di tutte le forze interne (cioè laforza totale) è sempre nulla, perché tuttele forze tra corpi, comunque complicate, sicancellano due a due.
Sistemi di Riferimento Inerziali
Le leggi di Newton implicano il concetto di accelerazione, quindiquello di un sistema di riferimento rispetto al quale misurarel’accelerazione. Non tutti i sistemi di riferimento sono appropriati;
Definiamo sistemi inerziali tutti quelli in cui valgono le leggi diNewton.
Ad esempio una giostra che ruota NON è un sistema di
47Corso di Fisica - UdA
Ad esempio una giostra che ruota NON è un sistema diriferimento inerziale, in quanto un corpo “sembra” accelerareanche in mancanza di forze esterne.
Questa accelerazione apparente deriva dalla non inerzialità del sistema di riferimento. Notare come la superficie della terra – dato che questa ruota -NON è un sistema di riferimento inerziale.
Sistemi di Riferimento Inerziali (II)
Un sistema di riferimento inerziale o galileiano classico è quello collegato a delle stelle fisse. È inerziale ogni altro sistema non accelerato rispetto ad esso.
In effetti, ogni sistema di riferimento che si muove con velocità costante rispetto ad un sistema inerziale è anch’esso inerziale.
Corso di Fisica - UdA 48
F = ma F = mav
inerziale.
Prima Legge modificata
“Un corpo non soggetto ad interazioni permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, in un sistema di riferimento inerziale”.
In sostanza l’ultima frase limita la validità della prima legge, o meglio precisa che questa è valida solo se il sistema di riferimento è inerziale. Se non lo è bisogna tenere conto anche
49Corso di Fisica - UdA
riferimento è inerziale. Se non lo è bisogna tenere conto anche dell’accelerazione che il sistema di riferimento ha rispetto ad un sistema di riferimento inerziale.
Dato un sistema di riferimento inerziale, tutti i sistemi, in quiete o in moto rettilineo uniforme rispetto ad esso, sono anche essi dei sistemi di riferimento inerziali;
Dal punto di vista della dinamica, quiete e moto rettilineo uniforme sono equivalenti.
Ulteriori considerazioni
Dati due corpi di massa m1 ed m2 che siano “isolati”, cioè interagiscano solo tra loro, allora la risultante delle forze è zero:
F12 = -F21 ma m1a12 = -m2 a21
e considerando i moduli dell’accelerazione:
mFgrav
m2 = a1
m1 a2
Quindi le forze sono uguali e contrarie male accelerazioni sono inversamenteproporzionali alle masse.
Corso di Fisica - UdA 50
M
-Fgrav
TERRA
Forza Peso
Il peso è una forza.
FP = mg
con g = accelerazione di gravitàdel luogo dove si effettua la misura.
51Corso di Fisica - UdA
La massa di un corpo è legata alle quantità di materia del corpo,e rimane quindi invariata se quel corpo è posto, ad esempio,sulla Terra o sulla Luna. Il peso no.
Quindi sulla superficie della Terra un corpo di massa m = 1 kg ha un peso FP = 1 x 9.8 = 9.8 N, un uomo di massa 80 kg ha un peso FP = 784 N
Origine della Forza Peso:Legge di Gravitazione Universale
La forza peso è un aspetto dellaFORZA di GRAVITAZIONE UNIVERSALE
M2M1 r
F F
Due corpi di massa M1 e M2 si attraggono con una forza che è direttamente proporzionale al prodotto delle
52Corso di Fisica - UdA
1 2
che è direttamente proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra le masse stesse.
In modulo: F = G0 M1M2/r2
dove la forza si esercita tra i centri delle masse eG0 = 6.67 10-11 (N⋅m2)/kg2 è la costante di gravitazione universale.
Forze fondamentali in natura
FORZA GRAVITAZIONALEFORZA ELETTRICA (elettrostatica)
FORZA NUCLEARE DEBOLEFORZA NUCLEARE FORTE
Le forze di gravità ed elettriche sono responsabili di
53Corso di Fisica - UdA
Le forze di gravità ed elettriche sono responsabili di fenomeni su larga scala (esperienza quotidiana, corpi celesti).
• delle forze elettrostatiche parleremo all’inizio della sezione dedicata all’elettromagnetismo.
Le forze nucleari (debole e forte) sono responsabili dei fenomeni su scala nucleare.
• delle forze nucleari deboli e forti parleremo nella sezione dedicata alla Fisica Moderna.
La forza gravitazionale
Per ricavare la legge di gravitazione universale rivediamo insieme il ragionamento (ipotetico) di Newton.
I dati che Newton aveva a disposizione erano:
• la forza di gravità sulla terra provoca un moto dei corpi verso il basso. Questo moto è un moto accelerato con accelerazione costante (Galileo);
54Corso di Fisica - UdA
corpi verso il basso. Questo moto è un moto accelerato con accelerazione costante (Galileo);
• le tre leggi di Keplero
• dati astronomici sul sistema terra-luna: il periodo di rivoluzione della Luna (≈ 27.5 giorni), la distanza Terra-Luna (r ≈ 60 RT = 60 x 6.4 105 m = 3.84 108 m)
Leggi di Keplero
1° legge: L'orbita descritta daun pianeta è un ellisse,di cui il sole occupa unodei due fuochi.
b
sole perielio
a
55Corso di Fisica - UdA
a
sole
terra
perielioafelio
craggiovettore
Leggi di Keplero
2° legge: Il raggio vettore che unisce il centro del sole con il centro del pianeta descrive aree uguali in tempi soleterra raggio
vettore
56Corso di Fisica - UdA
aree uguali in tempi uguali.
solevettore
Leggi di Keplero
3° legge:I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti sono proporzionali ai cubi dei semiassi maggiori delle loro orbite.
costanteT
a2
3
====
57Corso di Fisica - UdA
T
La forza gravitazionale
L’intuizione di Newton fu quella di capire che la forza che sulla terra causa la caduta dei corpi verso il basso si estende fino alla luna e dunque è la stessa di quella che la lega alla terra.
Ma qual è l’espressione di questa
58Corso di Fisica - UdA
Ma qual è l’espressione di questa forza?
E’ compatibile con le osservazioni sperimentali della caduta dei corpi e del moto dei pianeti?
La forza gravitazionale
In questo caso la Luna si muove lungo una traiettoria curva (e non rettilinea) perché tenderebbe a “cadere” verso la Terra descrivendo un’orbita (quasi) circolare.
m
v
Nel moto circolare uniforme:
v = ωωωω r
Ma allora, l’accelerazione centripeta, corrispondente alla forza gravitazionale esercitata dalla Terra,
59Corso di Fisica - UdA
fc
C
v = ωωωω r
fc = m v2/r
ac = v2/r
esercitata dalla Terra, dovrebbe risultare essere una frazione della accelerazione di gravità g (opportunamente ridotta in proporzione alla distanza Terra-Luna).
La forza gravitazionale
R
rg
ac
A questo punto Newton ebbe un’intuizione:il valore di g è legato alla distanza del corpo che cade dal centro della Terra, distanza pari al raggio terrestre; quindi se immaginiamo che la forza
60Corso di Fisica - UdA
r / R = 60 RT / RT = 60
RT
g se immaginiamo che la forza gravitazionale sia esercitata dalla Terra come se la sua massa fosse tutta concentrata nel centro (forza centrale), allora la forza a distanza pari a quella Terra-Luna dovrebbe essere ridotta di un fattore:
La forza gravitazionale
rg
ac
In questo caso il valore dell’accelerazione centripeta vale
ac = g/60 ≈ 1.63 10-1 m/s2
61Corso di Fisica - UdA
RT valore troppo elevato rispetto a quello dedotto dalle osservazioni astronomiche per le quali:
v = 2πr/T ≈ 103 m/s
ac = v2/r = 4π2r/T2 ≈ 2.7 10-3 m/s2
La forza gravitazionale
La seconda intuizione fu quella di ipotizzare che la forza gravitazionale si comportasse secondo una legge simile a quella che regola l’emissione della luce da una sorgente luminosa, legge che egli stesso aveva formulato: la potenza luminosa diminuisce con
RT
rg
ac
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la potenza luminosa diminuisce con l’inverso del quadrato della distanza dalla sorgente.
Se questa regola valeva anche per la forza gravitazionale, allora g doveva essere ridotta di un fattore 1/(602) = 1/3600, alla distanza della Luna. Questa volta i conti tornarono e Newton fu in grado di formulare la Legge di Gravitazione Universale che regola le interazioni tra i corpi celesti e, più in generale, tra tutti i corpi dotati di massa.
Legge di gravitazione universale
M2M1 r
F F
Due corpi di massa M1 e M2 si attraggono con una forza
che è direttamente proporzionale al prodotto delle masse
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che è direttamente proporzionale al prodotto delle masse
e inversamente proporzionale al quadrato della distanza
tra le masse stesse.
In modulo:
F = G0 M1M2/r2
dove la forza si esercita tra i centri delle masse e G0 è la costante di gravitazione universale.
Esperimento di Cavendish
La costante di gravitazione universale G0 venne misurata verso la fine del 1700 dal fisico inglese Cavendish con un famoso esperimento (bilancia di torsione) che fornì un valore straordinariamente vicino al suo valore oggi misurabile.
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m
mM M
G0 = 6.67 10-11 (N⋅⋅⋅⋅m2)/kg2
Esperimento di Cavendish
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Massa della Terra
Se conosciamo g, possiamo utilizzare la legge di gravitazione universale per calcolare in modo semplice la massa della Terra. In prossimità della superficie terrestre possiamo scrivere che
Fgrav = G0mMT/RT2
con MT e RT massa e raggio della Terra rispettivamente.
Poiché deve valere anche che
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Poiché deve valere anche che
Fgrav = Fpeso = mg
Possiamo uguagliare i secondi membri delle due equazioni ottenendo:
MT = g RT2/G0 = 9.8 (6.4 106)2/6.67 10-11 ≈≈≈≈ 6 1024 Kg
Accelerazione di Gravità
Oppure, conoscendo la massa della terra, possiamo utilizzare la legge di gravitazione universale per calcolare in modo semplice l’accelerazione di gravità g.
In prossimità della superficie terrestre possiamo scrivere che
Fgrav = G0 mMT/RT2
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Fgrav = G0 mMT/RT
con MT e RT massa e raggio della Terra.
Poiché deve valere anche che
Fgrav = Fpeso = mg
Risulta g = G0MT/RT2 = 9.81 m/s2
Applicazioni delle leggi di Newton
Le leggi di Newton permettono di determinare il moto dei corpi, a patto di conoscere le forze che agiscono su di essi.
La forza peso è una forza che agisce su un qualsiasi corpo dotato di massa che si trova sulla superficie terrestre.
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corpo dotato di massa che si trova sulla superficie terrestre.
Altre forze possono essere delle forze esterne che noi applichiamo, oppure delle reazioni vincolari, oppure le forze di attrito.
Reazioni Vincolari
Nel caso in cui il corpo non è libero, ma condizionatoa muoversi con certe limitazioni, si parla di vincoli.
Esempi: tavoli, rotaie,fili inestensibili, pendolo...
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Il vincolo esercita sul corpo una forza (Reazione Vincolare) ortogonale al vincolo stesso, oppure lungo la direzione del vincolo nel caso di un filo.
Esempi di Reazioni Vincolari
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Il piano inclinato
FF
F
FF sinθ
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lungo il piano inclinato:
F sin θ = m gsin θ = m a
l’accelerazione a è pari a gsin θ, quindi minore rispetto a g di un fattore sin θ
Forze d’attrito
Quando due corpi sono tenuti in contatto, lungo le superfici di contatto si manifesta una forza che si oppone allo scorrimento di un corpo rispetto all’altro
NFAN
N
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tale forza di attrito è proporzionale alla reazione N perpendicolare al vincolo, si manifesta parallelamente alla superficie di contatto ed è diretta sempre in verso opposto allo scorrimento
FA
FA
Forze d’attrito
Esistono molti tipi di forza di attrito, come l’attrito radente, relativo allo scorrimento di due superfici, volvente, quando un corpo rotondo rotola su una superficie, ecc. Senza l’attrito volvente, ad esempio, non potremmo andare in bicicletta. Ci limiteremo a considerare ora solo il primo caso, ovvero l’attrito radente, nelle sue due forme statico e dinamico.
F
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FA
F
FA
F
attritodinamico
attritostatico
FAs
FAd
nessun moto scivolamento
Forze d’attrito
issaoh ... issa
attrito statico
genera una forza opposta a quella applicata quando questa non è sufficiente a mettere in movimento il corpo). L’intensità della forza è tale da bilanciare la forza esterna fino ad un valore massimo di:
Fstat (max) = µsN = µs mg
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Fstat (max) = µsN = µs mg
(NB: Questo è il modulo della forza).
Quando la forza esterna supera quella di attrito statico, il corpo si mette in moto. A questo punto però la forza di attrito vale:
Fd = µd N = µd mg (attrito dinamico)
Con Fd che ha la direzione e verso opposto a quella del moto.
Forze d’attrito
In generale la forza di attrito ha la forma
FA = µ N = µ mg
dove µµµµ è un coefficiente di attrito ed N è la forza normale che tiene schiacciate le due superfici .
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I coefficienti µs e µd hanno valori differenti ( µd < µs ) e dipendono dalle superfici dei corpi e dalla presenza di lubrificanti, polveri, etc. (cioè dalla presenza di asperità che impediscano lo scorrimento delle superfici) e NON dipendono dalla estensione delle superfici.
Il piano inclinato con attrito
FF
F
F sinθ
h
F
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FTOT = mgsinθ – µmgcosθ = ma
a = (gsinθ – µgcosθ) = g (sinθ – µcosθ)
F