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Analisi matematica I Simboli di Landau
© 2006 Politecnico di Torino 1
Analisi matematica I
2
Confronto locale di funzioni
Simboli di Landau
Infinitesimi ed infiniti
Analisi matematica I Simboli di Landau
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Confronto locale di funzioni
4
Simboli di Landau
Definizioni dei simboli di Landau
Proprietà dei simboli di Landau
Confronto di monomi
Algebra degli ‘o’ piccolo
Simboli di Landau e limiti fondamentali
Principio di sostituzione
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Simboli di Landau
6
uno dei simboli
funzioni definite in
c = x ,x ,x , ,+ − +∞ −∞0 0 0
f ,g I c c}( ) \ {
g x , x I c \ c( ) ≠ ∀ ∈ ( ) { }0
limx c
f xg x→
( )∃ =
( )l
Simboli di Landau
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7
Definizione
Se si dice che,∈l R
è controllata da per
e si scrive
f g x c→
f O g , x c= ( ) →
8
Se si dice che
Definizione
\ ,∈ { }0l R
è dello stesso ordine di grandezza di per
e si scrive
f g x c→
f g, x c→
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Definizione
Se si dice che,= 1l
è equivalente a per
e si scrive
f g x c→
f g, x c→∼
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Definizione
Se si dice che,= 0l
è trascurabile rispetto a per
e si scrive
f g x c→
= ( ) →f o g , x c
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Osservazione 1
Se si considera,= ∞l
lim x c
g xg o f , x c
f x→
( )= ⇒ = ( ) →
( )0
12
Osservazione 2
I simboli sono detti O, , ,o∼
simboli di Landau
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13
equivale a
equivale a
infatti
Esempi
sinlimx
xx→
=0
1
sinlimx
xx→+∞
= 0
sin tan x o x , xπ
= ( ) →2
sin x x, x → 0∼
sin x o x , x= ( ) → +∞
= 0lim cos→
=x /
xπ 2
sinlimtan→x /
xxπ 2
14
infatti
Esempi
cos x x , xπ
π− →22
coslim→ −x /
xxπ π2 2
= −12
sinlim→
= −t
tt0 2
coslim→
( + )=t
t /tπ
0
22
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Simboli di Landau
16
Per si ha
Proprietà
→x c
f g = ( )f O g⇒f g∼ ⇒ = ( )f O g= ( )f o g ⇒ = ( )f O g
f g∼ f g⇒
f g ⇒ lf g∼
lim→
( )= ≠
( )x c
f xg x
0
infatti
lim→
( )⇒ =
( )x c
f xg x
1⇒ ∼f g
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Per si ha
Proprietà
→x c
= + ( )f g o g⇔f g∼
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Risulta
Dimostrazione
f g∼ lim→
( )⇔ =
( )x c
f xg x
1 lim→
( )⇔ − =
( )x c
f xg x
1 0
lim→
( )− ( )⇔ =
( )x c
f x g xg x
0 ⇔ − = ( )f g o g
⇔ = + ( )f g o g
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Sia Per si ha
Proprietà
→x c.∈ R \λ 0{ }( ) = ( ),o f o fλ ( ) = ( )O f O fλ
( ) = ( ),o f o fλ ( ) = ( )O f O fλ
20
Dimostrazione prima uguaglianza
Poniamo Allora= ( ) →g o f , x c.λ
= ( )g o fλ lim→
( )⇔ =
( )x c
g xf xλ
0
lim→
( )⇔ =
( )x c
g xf x
0
⇔ = ( ) →g o f , x c
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Osservazione 1
= ( ) →f o , x c1 lim lim→ →
( )⇔ = ( ) =
x c x c
f xf x 0
1
= ( ) →f O , x c1 lim→
⇔ ( ) ∈ Rx cf x
è limitata in⇒ ( ) { }f I c \ c
22
Osservazione 2
continua in f x 0 lim→
⇔ ( ) = ( )x xf x f x
00
lim→
⇔ ( )− ( ) = 0x xf x f x
00
⇔ ( )− ( ) = ( ) →f x f x , x xο0 01
⇔ ( ) = ( )+ ( ) →f x f x , x xο0 01
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Simboli di Landau
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Confronto monomi per e
i)
ii)
Confronto monomi
→x 0 → ±∞x n mx o x , x n m= ( ) → ⇔ >0
n mx o x , x n m= ( ) → ±∞ ⇔ <
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Dimostrazione
= ( ) →n mx o x , x 0 lim→
⇔ =n
mx
xx0
0
lim −
→⇔ =n m
xx0
0 ⇔ − >n m 0
= ( ) → ±∞n mx o x , x lim→±∞
⇔ =n
mx
xx
0
m n⇔ − > 0limm nx x −→±∞
⇔ =1
0
i)
ii)
Simboli di Landau
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Algebra degli ‘o’
n n no x o x o x( )± ( ) = ( )
mincon n m po x o x o x , p n,m( )± ( ) = ( ) = ( )
m n m nx o x o x +( ) = ( )m n m no x o x o x +( ) ( ) = ( )
se è limitata in un intorno di
n nx o x o x ,x
ϕ ϕ( ) ( ) = ( )= 0
per ogni ( ) = ( ) ∈ {0}Rn no x o x , \λ λ
Consideriamo ; si ha →x 0
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Limiti fondamentali
Si ricordi che, per
f ∼ g ⇐⇒ f = g + o(g)
x→ c ,
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Limiti fondamentali
limx→0
sinx
x= 1 sinx ∼ x , x→ 0⇐⇒
⇐⇒ x→ 0sinx = x+ o(x) ,
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Limiti fondamentali
cosx = 1− 12x2 + o(x2) , x→ 0
limx→0
1− cosxx2
=1
2
x→ 01− cosx = 1
2x2 + o(
1
2x2) ,
⇐⇒
⇐⇒
32
Limiti fondamentali
log(1 + x) ∼ x ,⇐⇒ x→ 0
log(1 + x) = x+ o(x) , x→ 0⇐⇒
limx→0
log(1 + x)
x= 1
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Limiti fondamentali
⇐⇒
⇐⇒
limx→1
log x
x− 1 = 1
⇐⇒ log x ∼ x− 1 , x→ 1
x→ 1log x = x− 1 + o(x− 1) ,⇐⇒
34
Limiti fondamentali
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
⇐⇒
x→ 0
x→ 0ex = 1 + x+ o(x) ,
ex − 1 ∼ x ,
limx→0
ex − 1x
= 1
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Limiti fondamentali
limx→0
(1 + x)α − 1x
= α
\α ∈ {0}R
⇐⇒ x→ 0(1 + x)α − 1 ∼ αx ,
(1 + x)α = 1 + αx+ o(x) ,⇐⇒ x→ 0
Sia , allora
36
Esempio 1
Consideriamo la funzione
Dallo sviluppo
con la sostituzione si ha
t→ 0 ,
t = 3x2
x→ 0
et = 1 + t+ o(t) ,
= 1 + 3x2 + o(x2)
f(x) =e3x2
e3x2
= 1 + 3x2 + o(3x2)
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Consideriamo la funzione
Dallo sviluppo
con la sostituzione e ponendo
si ha
Esempio 2
t→ 0 ,
t = −5x(1 + t)α = 1 + αt+ o(t) ,
α =1
2
= 1− 52x+ o(x) , x→ 0
√1− 5x = (1− 5x)1/2 = 1 +
1
2(−5x) + o(−5x)
f(x) =√1− 5x
38
Consideriamo la funzione
Dallo sviluppo
con la sostituzione si ha
Esempio 3
t→ 0 ,log(1 + t) = t+ o(t) ,
t = −2x3
x→ 0= −2x3 + o(x3) ,
log(1− 2x3) = −2x3 + o(−2x3)
f(x) = log(1− 2x3)
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Consideriamo la funzione
Dallo sviluppo
con la sostituzione si ha
Esempio 4
sin t = t+ o(t) , t→ 0 ,
t = 4x
= 4x2 + o(x2) , x→ 0
x sin 4x = x¡4x+ o(4x)
¢
f(x) = x sin 4x
= x¡4x+ o(x)
¢
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Se e per
e
Principio di sostituzione
f1 ∼ f g1 ∼ g x→ c ⇒
limx→c
f(x)
g(x)= limx→c
f1(x)
g1(x)
limx→c
f(x) g(x) = limx→c
f1(x) g1(x)
42
Dimostrazione prima uguaglianza
limx→c
f(x)
g(x)= limx→c
f(x)
f1(x)· f1(x)g1(x)
· g1(x)g(x)
= limx→c
f(x)
f1(x)limx→c
f1(x)
g1(x)limx→c
g1(x)
g(x)
= limx→c
f1(x)
g1(x)
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Calcoliamo
Esempio 1
L = limx→0
sin2 2x
1− cos 3x
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Esempio 1
sin2 2x ∼ (2x)2 , x→ 0
ossia sin2 2x ∼ 4x2 , x→ 0
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45
Esempio 1
1− cos 3x ∼ 12(3x)2 , x→ 0
ossia 1− cos 3x ∼ 92x2 , x→ 0
46
Esempio 1
1− cos 3x ∼ 92x2 , x→ 0
quindi
sin2 2x ∼ 4x2 , x→ 0Riassumendo:
=8
9L = lim
x→04x2
92x
2
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Calcoliamo
Esempio 2
L = limx→0
3 log(1 + x2)√1 + 2x− 1
3 log(1 + x2) ∼ 3x2 , x→ 0
quindi
x→ 0= x ,
√1 + 2x− 1 = (1 + 2x)1/2 − 1
∼ 12· 2x
L = limx→0
3x2
x= 0= lim
x→03x
48
Calcoliamo
Esempio 3
x→ 0e5x − 1 ∼ 5x ,
quindi
e5x − 1L = lim
x→0 tanx3
x→ 0tanx3 =sinx3
cosx3∼ sinx3 ∼ x3 ,
L = limx→0
5x
x3= +∞= lim
x→05
x2
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Calcoliamo
Esempio 4
L = limx→+∞
x
Ã3
r1 +
1
x2− 1!
quindi
x→ +∞=1
3x2,
3
r1 +
1
x2− 1 =
µ1 +
1
x2
¶1/3− 1
∼ 13· 1x2
L = limx→+∞
x · 1
3x2= limx→+∞
1
3x= 0
50
Se e per
Proprietà
f1 = o(f) g1 = o(g) x→ c ⇒
limx→c
f(x) + f1(x)
g(x) + g1(x)= limx→c
f(x)
g(x)
limx→c
¡f(x) + f1(x)
¢¡g(x) + g1(x)
¢=
= limx→c
f(x) g(x)
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Poiché
la proprietà segue dal Principio di sostituzione
Dimostrazione
x→ c
f + f1 = f + o(f)
∼ g ,e g + g1 = g + o(g)
x→ c∼ f,
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Calcoliamo
Esempio 1
L = limx→0
2x2 − 5 log(1 + 3x3)x2 + 2 sinx
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Esempio 1
−5 log(1 + 3x3) = o(2x2) , x→ 0
infatti
limx→0
−5 log(1 + 3x3)2x2
= limx→0
−5 · 3x32x2
= 0= limx→0
¡− 152x¢
54
Esempio 1
x2 = o(2 sinx) , x→ 0
infatti
limx→0
x2
2 sinx= limx→0
x2
2x= limx→0
x
2= 0
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Esempio 1
quindi
Riassumendo:
x2 = o(2 sinx) , x→ 0
−5 log(1 + 3x3) = o(2x2) , x→ 0
L = limx→0
2x2
2 sinx= limx→0
x2
x= limx→0
x = 0
56
Si noti che se in generale non è vero
che
Ad esempio, siano
allora
Osservazione
f ∼ f1limx→c
(f(x)± g(x)) = limx→c
(f1(x)± g(x))
g(x) =√x2 − 1f(x) =
√x2 + 2x,
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Osservazione
limx→+∞
¡px2 + 2x−
px2 − 1
¢= lim
x→+∞(x2 + 2x)− (x2 − 1)√x2 + 2x+
√x2 − 1
= limx→+∞
2x+ 1
x³q
1 + 2x +
q1− 1
x2
´ = 1
58
Osservazione
Posto si haf1(x) = x ,
x→ +∞f(x) =√x2 + 2x ∼ x = f1(x) ,