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Archi, volte e cupole
Da
“L‟arte del costruireTra conoscenza e scienza”
di Salvatore di Pasquale
“La meccanica nell‟architettura- La Statica”di Antonino Giuffrè
“The stone skeleton”di Jaques Heyman
“Le strutture in Architettura”di Mario Salvadori e Robert Heller
2/222
Aspetti base del comportamento strutturale
I sistemi costruttivi: Ora ci sono tre grandi architetture nel mondo, e
non potrebbero essere di più, corrispondenti a ognuno dei tre sistemi fondamentali di coperture dello spazio … che fanno capo ai tre ceppi originari:
a) greco: architettura della traveb) romanico: architettura dell‟arco a pieno centroc) gotico: architettura del tetto inclinato […]2.
2J.Ruskin “The Stones of Venice”.
3/222
Aspetti base del comportamento strutturale
I 3 sistemi derivano dalle tre possibilità di coprire un intervallo tra 2 appoggi:
Architrave
Arco a pieno centro
Arco acuto.
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Le origini dell‟arco
Micene: nella Porta dei Leoni si rintracciano le
origini dell‟arco e della cupola.
Porta dei Leoni
Questo sistema è una estensione del principio dell‟architrave:
La portata di un unico architrave viene ridotta mediante una successione di elementi in aggetto l‟uno sull‟altro.
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Le origini dell‟arco
La parte appoggiata deve essere sufficientemente caricata per evitare il ribaltamento del concio
La parte in aggetto non deve produrre rottura
per flessione.
Ingresso del Tesoro di Atreo
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Le origini dell‟arco
La struttura spingente semplice: le tombe di Populonia
In queste tombe si trova la struttura spingente più elementare che si può ottenere con il numero minimo di elementi distinti e disarticolabili
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La struttura spingente semplice
Meccanismo di rottura: Rotazione intorno ai punti A, B, C
I blocchi possono ruotare l‟uno rispetto all‟altro senza scivolare
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La struttura spingente semplice
Equilibrio alla rotazione dei blocchi:
Equilibrio al punto A:
Momento ribaltante: MR = H (f + h)
Momento stabilizzante:
MS = P2 (a + b) + P1 b/2
Equilibrio: H (f + h) = P2 (a + b) + P1 b/2
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La struttura spingente semplice
Equilibrio alla rotazione dei blocchi:
Equilibrio al punto A:
Equilibrio Stabile:
H (f + h) < P2 (a + b) + P1 b/2
Equilibrio Instabile:
H (f + h) > P2 (a + b) + P1 b/2 Rotazione
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L‟arcoAspetti base del comportamento strutturale
Trazione
Compressione
Trave appoggiata (sistema trilitico)
Arco
Isostatiche dicompressione
Isostatiche di trazione
Trazione
Compressione
Compressione
Trasmissione di sole azioni verticali
Trasmissione di azioni verticali e orizzontali (spinte)
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L‟arcoAspetti base del comportamento strutturale
Reazione orizzontale
Reazione verticale
Curva di pressione o “funicolare”
L‟arco è un elemento strutturale in grado di incanalare, con la sua traiettoria curvilinea, le sollecitazioni prodotte dai carichi trasformandole in forze prevalenti di compressione.
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L‟arcoAspetti base del comportamento strutturale
Reazione orizzontale
Reazione verticale
Curva di pressione o “funicolare”
La sollecitazione di compressione rappresenta praticamente l‟unica sollecitazione cui la pietra e la muratura sono in grado di resistere.
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Stabilità
ottenuta per
compressione
Verifica dell’equilibrioGEOMETRIA e DISTRIBUZIONE
delle masse garantiscono il corretto
flusso delle forze nelle sezioni resistenti
Verifica di resistenzaLe sollecitazioni nelle sezioni devono
essere minori delle resistenze dei materiali
Il materiale pietra
Proprietà principali:
Scarsa resistenza a trazione
Fragile
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Situazione ideale
Compressione uniforme
Situazione compatibile
Carico eccentrico
Sezione compressa
Situazione limite
Sezione parzializzata
Superamento della resistenza
Situazione instabile
Risultante fuori base
RIBALTAMENTO
Equilibrio e resistenza
d/3
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Equilibrio e resistenza
La sezione rettangolare è tutta compressa se il centro di pressione cade all‟interno del terzo medio
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Equilibrio e resistenza
Nel caso di due corpi appoggiati l‟uno sull‟altro con vincolo di semplice contatto non può sussistere equilibrio se il risultante cade fuori dalla sezione.
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L‟arco nell‟antichità
Nato forse in Mesopotamia nel 4000 a.C.
I mattoni venivano cotti al sole
Qualche secolo dopo anche in Egitto
Nel 3000 a.C. le prime pietre sagomate
Gli Etruschi tagliavano le pietre a cuneo
Già nel 500 a.C. i Romani costruivano ponti ad arco di grande luce.
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Vitruvio e l‟arco
Vitruvio (ca. 30 a.C.) non fornisce regole per il progetto dell‟arco
Il problema è: come portare la porzione di parete sovrastante un‟apertura?
“Si deve scaricare il carico della parete mediante archi composti da conci con i giunti che convergono verso il centro”
Quasi tutti gli archi romani sono infatti semicircolari con i giunti “centrati”.
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L‟arco semicircolare
Il termine “centina”, che denota la casseratura usata per la costruzione fino alla posa del concio di chiave, deriva da questa impostazione.
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Gli studi sull‟arcoIl Medioevo
Regola geometrica per il dimensionamento dei piedritti:
si suddivide l'arco in tre porzioni di uguale lunghezza
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Gli studi sull‟arcoIl Medioevo
Regola geometrica per il dimensionamento dei piedritti:
si traccia la semicirconferenza di raggio pari a tale lunghezza e centro all'imposta dell'arco
24/222
Gli studi sull‟arcoIl Medioevo
Regola geometrica per il dimensionamento dei piedritti:
la verticale passante per l'estremità esterna della circonferenza corrisponde alla delimitazione esterna del piedritto
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Gli studi sull‟arcoIl Medioevo
Regola geometrica per il dimensionamento dei piedritti:
questa regola impone un diverso dimensionamento dei piedritti al variare della geometria dell'arco
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Leon Battista Alberti La spiegazione dell‟Alberti sul funzionamento degli
archi a tutto sesto è la prima a comparire nella trattatistica architettonica: “… non si vede in che modo esso (arco) possa sconnettersi
per conto proprio; salvoché l‟un concio spinga fuori l‟altro; quand‟anche fossero disposti a tentare di scalzarsi a vicenda,
la presenza stessa dei pesi … basta ad impedirlo il concio posto in cima … non si vede come possa trovare la
forza di spingere in fuori i conci che lo fiancheggiano; … quelli che fanno seguito ad essi, occupando i fianchi
dell‟arco, verranno tenuti agevolmente … dall‟equilibrarsi dei pesi;
infine, i conci posti alle due estremità inferiori, non si comprende come possano spostarsi una vola che gli altri, posti sopra di essi, restino fermi al loro posto
Pertanto gli archi interi non abbisognano di corda poiché essi sono in grado di mantenersi da se.
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Leon Battista Alberti
Dalla forma dell‟arco e dei conci di cui è composto nasce l‟idea della loro somiglianza al cuneo (una delle macchine semplici studiate da Aristotele ed Erone)
Parti di cunei con le facce rivolte verso il centro dell‟arco ed individuate da piani perpendicolari alle superfici di intradosso e di estradosso
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Leon Battista Alberti
L‟azione che ciascun concio (cuneo) esercita su quelli adiacenti si manifesta, per l‟Alberti, con l‟allontanamento delle parti
L‟azione esercitata dai conci d‟imposta è contrastata dai sostegni
Per questo, per l‟Alberti, gli archi “interi” non necessitano di catene
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Leon Battista Alberti
L‟idea del cuneo sarà sviluppata in seguito (De la Hire, De Belidor) con un linguaggio appropriato alla descrizione del comportamento meccanico
Senza questi strumenti le cause sono solo intuite
E‟ la conoscenza degli effetti che genera l‟apparato di regole cui deve sottostare chi costruisce
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Leonardo da Vinci
“Arco non è altro che una fortezza causata da due debolezze imperoché l'arco negli edifiti è composto di due quarti di circulo, i quali quarti circuli ciascuno debolissimo per sé desidera cadere e oponendosi alla ruina l'uno dell'altro, le due debolezze si convertono in un'unica fortezza”
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Leonardo da Vinci
Studia le fratture ed i meccanismi che si generano in un arco sottoposto a determinate condizioni di carico: Arco a tutto sesto caricato in chiave
Se l‟arco è intero (fatto di un solo pezzo) si romperà solo quando sarà raggiunta la resistenza del materiale
Allora si avrà la formazione di fratture e la trasformazione della struttura in meccanismo
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Leonardo da Vinci
“l'arco non si romperà, se la corda dell'archi di fori non toccherà l'arco di dentro”
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Leonardo da Vinci
Arco a tutto sesto soggetto al peso proprio e a un carico concentrato in una delle reni
Sequenza della formazione delle cerniere:
Cerniera in o
Cerniera in d
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Metafore, analogie e modelli In nessuno dei trattati scritti fino alla fine del XVII
secolo il problema può essere descritto in termini matematici come era stato fatto per le macchine semplici
Nessuno fino ad allora era riuscito ad individuare nella rottura di un arco il meccanismo delle leve che si creava e di tradurre tutto in equazioni
Il meccanismo di rottura che si innesca in un arco al momento del suo crollo richiede per essere descritto la definizione del momento di una forza
A questa definizione si giunge solo dopo la metà del XVII secolo
Il principio di simmetria introdotto da Archimede per dimostrare la legge della leva non può essere utilizzato in quanto in gioco entrano anche le forze orizzontali.
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Archi in muratura
Il primo testo sul calcolo delle imposte degli archi fu pubblicato nel 1717 da Gautier, che affrontò 5 temi fondamentali:1. Lo spessore delle imposte
2. Lo spessore delle pile interne in rapporto alla luce degli archi
3. Lo spessore dell‟arco
4. La forma dell‟arco
5. Le dimensioni dei muri di sostegno
Il problema 1 necessita di conoscere la spinta dell‟arco, la quale dipende da 3 e 4.
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Robert Hooke
In realtà il problema era già stato affrontato e in parte risolto da Hooke nel 1675
Il clima competitivo fra gli scienziati dell‟epoca lo obbligò a nascondere le sue scoperte fra anagrammi: Ut pendet continuum flexile, sic stabit
contiguum rigidum inversum
Riconobbe la corrispondenza matematica fra il ponte sospeso e l‟arco in muratura.
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La catenaria
Risolvendo il difficile problema della catenaria, si sarebbe risolto anche il problema dell‟arco
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La catenaria
Risolvendo il difficile problema della catenaria, si sarebbe risolto anche il problema dell‟arco
… che per la verità Leibniz, Huygens e Bernoulli avevano già risolto, tenendolo però segreto …
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L‟intuizione di Gregory (1697)
In un testo aperto dice: “… e quando un arco di forma qualsiasi si
tiene in piedi, è perché nel suo spessore si è formata una qualche catenaria …”
Questa affermazione contiene il teorema fondamentale della meccanica strutturale, che deve attendere il XX secolo per la dimostrazione matematica! E‟ sufficiente provare che una struttura può
stare in piedi; se può farlo, lo farà.
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La linea delle pressioni
Linea delle pressioni in un arco semicircolare
Esistono infiniti modi in cui un arco può portare il proprio peso
Le equazioni di equilibrio non sono sufficienti per determinare l‟esatta posizione della linea delle pressioni.
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La linea delle pressioni
E‟ necessario imporre altre due condizioni: Meccanica: legame forze – deformazioni
Geometrica: condizioni al contorno: Sulle forze o sulle deformazioni
Linea delle pressioni in un arco semicircolare
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La linea delle pressioni
E‟ l‟inverso della catenaria
Rappresenta il percorso delle forze di compressione che si trasmettono attraverso i conci fino alle imposte
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La linea delle pressioni
La funicolare si muove fra due estremi
Minima spinta se l‟arco si apre
Massima spinta se l‟arco si chiude
Minima spinta
Massima spinta
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La linea delle pressioni
Gli studi condotti nel corso del XVIII riguardarono:
L‟individuazione della linea delle pressioni all‟interno di un arco
La definizione del concetto di cerniera:
Per l‟ipotesi di che nell‟arco si formano cerniere la linea delle pressioni è nota.
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L‟arco a tre cerniere
La spinta dell‟arco sulle spalle ne causa lo spostamento
Ipotesi: materiale rigido con infinita
resistenza a compressione e nulla a trazione
assenza di scorrimento tra i conci
indeformabilità dei conci
l‟arco può seguire le imposte solo se si fessura (formazione di cerniere).
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L‟arco a tre cerniere
L‟arco è comunque stabile
E‟ una struttura isostatica
Per risolverlo sono sufficienti le equazioni di equilibrio
Conoscendo la posizione delle cerniere, la funicolare è nota.
cerniere
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L‟arco a tre cerniere
L‟arco è staticamente determinato anche se le cerniere si formano lontano dalle imposte.
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L‟arco a tre cerniere
Quando la funicolare cade fuori dal terzo medio, i conci si aprono
Perché la malta ha scarsa resistenza a trazione
Questo può accadere, ad es., quando, per la spinta laterale dell‟arco, le imposte si allontanano, oppure in archi di spessore ridotto.
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Gli studi sull‟arco
Gli studi sull‟arco condotti nel XVIII e XIX sec. si possono dividere in due filoni: Lo studio dello spessore dell‟arco
necessario a prevenire l‟attivazione di un meccanismo di collasso per carichi permanenti
La forma da dare all‟arco per assicurare la centratura degli sforzi normali di compressione sulle superfici di contatto tra due conci contigui.
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De La HireLa teoria del cuneo
De La Hire individua nell'arco l'azione di una macchina semplice: il cuneo.
Il funzionamento dell'arco è interpretato come la risultante dell'azione mutua di corpi rigidi infinitamente resistenti (i conci dell'arco) supposti agire come cunei posti uno sull'altro e mantenuti in equilibrio per azione mutua del proprio peso e delle azioni reciproche scambiate con i conci limitrofi.
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De La HireLa teoria del cuneo
L'ipotesi fondamentale che caratterizza l'interazione in De La Hire è l'assenza di attrito tra i conci, assunzione nella quale è individuabile il limite della sua interpretazione statica.
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De La HireLa teoria del cuneo
De La Hire affronta il problema dell‟equilibrio dell‟arco
Partendo dal concio in chiave, la cui dimensione è stabilita:
Impone l'equilibrio di ogni concio applicando nel baricentro le due forze trasmesse dai conci limitrofi e normali ai giunti e la forza peso.
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De La HireLa teoria del cuneo
Lo spessore dei rimanenti conci è l'incognita del problema
Viene determinata concio per concio imponendo l'equilibrio
58/222
De La HireLa teoria del cuneo
Se l'imposta dell'arco è orizzontale, l'equilibrio del concio di imposta non è possibile
In esso l'azione verticale della forza peso e della reazione all'imposta non possono equilibrare la forza scambiata con il concio che su di esso si appoggia
De La Hire deve quindi ammettere che nella realtà il concio all'imposta può essere equilibrato solo dall'azione delle forze di attrito.
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De La HireIl dimensionamento del piedritto
Lo schema strutturale di De La Hire contiene le ipotesi meccaniche di comportamento alle quali applica l‟algoritmo di calcolo
Il modello meccanico che egli utilizza è strettamente condizionato dagli strumenti di calcolo che De La Hire ha a disposizione
Egli tratta il problema dell‟equilibrio dell‟arco mediante la legge della leva
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De La HireLa teoria del cuneo
Il problema della statica degli archi compare per la prima volta nel “Traitè de la mecanique” di Philippe De La Hire (1640-1718)
De La Hire studia l‟equilibrio dell‟arco nella situazione di rottura descrivendo prima il meccanismo di collasso:
La parte centrale dell‟arco compresa tra due raggi a 45° rimane integra e scivola verso il basso esercitando un‟azione di cuneo sulle parti restanti dell‟arco spingendole in fuori promuovendone il ribaltamento senza scorrimento
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De La HireIl dimensionamento del piedritto
L‟ipotesi è che la parte centrale dell‟arco si comporti come un cuneo tra superfici lisce
Una superficie priva di attrito costituisce un vincolo in grado di esercitare solo reazioni ad essa ortogonali
Il piedritto tende a ruotare intorno allo spigolo esterno alla base (punto C in figura).
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De La HireIl dimensionamento del piedritto
Nella rotazione intorno a C il punto A si porta in A’ Il peso Q del cuneo centrale viene scomposto nelle due
componenti RA ed RZ ortogonali alle due superfici di rottura
De La Hire individua la leva ACD e scompone la forza RA esercitata dal cuneo centrale nelle componenti F ed H applicate al braccio della leva AC.
lD
RA
FA
H
P
C D
lA
RA Q/2De la Hire inaugura l'approccio che individua nel comportamentodella muratura l'azione reciproca di corpi rigidi.
63/222
De La HireIl dimensionamento del piedritto
Per l‟equilibrio della leva il momento ribaltante F lA deve essere uguale al momento stabilizzante P lD (essendo P il peso del
piedritto e della parte di arco ad esso aderente)
Il peso del piedritto necessario per l‟equilibrio è fornito dalla espressione:
A
D
lP F
l
lD
RA
FA
H
P
C D
lA
RA Q/2
64/222
De BelidorIl dimensionamento del piedritto
Qualche anno dopo De Belidor ripropose gli studi di De La Hire
Egli suppose che la reazione dell‟arco fosse applicata a metà spessore anziché all‟intradosso
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De BelidorLa teoria del cuneo
La reazione che il cuneo centrale esercita sulla sezione di scorrimento è fornita dalla relazione:
1
2 cos
QF
xG
F
A
P
C D
lA
Q/2
yA
xA
x
y
dF
yAtg
66/222
De BelidorLa teoria del cuneo
Egli considera la leva angolare ECD:
Braccio della forza F: dF = (yAtg – xA)cos
Condizione di uguaglianza dei momenti rispetto a C:
( )
2
A AF G
G
y tg xQFd Px P
x
xG
F
A
P
C D
Q/2
yA
xA
x
y
dF
yAtg
E
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CoupletIl collasso flessionale
Nel “Seconde partie de l'examen de la poussee des voutes” del 1730, ammette l'importanza fondamentale dell'azione dell'attrito tra i conci che impedisce l'attivazione di scorrimenti relativi
Affronta il problema dello spessore minimo di un arco a tutto sesto caricato con il solo peso proprio
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CoupletIl collasso flessionale
La soluzione è ottenuta da Couplet ipotizzando un meccanismo di collasso a cinque cerniere, collocate all'estradosso in chiave e all'imposta e all'intradosso in
posizione rialzata a 45° rispetto all'orizzontale
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CoulombIl principio dei Massimi e Minimi
Charles Coulomb nel “Essai sur une application de maximis et minimis a quelques problemes de statique, relatifs a l'Architecture” del 1773, affronta il problema dell'equilibrio delle volte in presenza di coesione ed attrito tra i conci
Per la prima volta l'obiettivo è la determinazione delle sollecitazioni che insorgono in una volta di assegnate dimensioni e figura
Il problema fondamentale che Coulomb si pone è questo: In una volta per la quale siano assegnate la curva interna AB e la
curva esterna ab, sono dati anche i giunti Mm perpendicolari agli elementi della curva interna; si richiedono i limiti della forza orizzontale S che sostiene questa volta, supponendo che essa sia sollecitata dal proprio peso, e sia trattenuta dalla coesione e dall'attrito
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CoulombIl principio dei Massimi e Minimi
Coulomb considera una porzione di arco compresa tra la sezione in chiave e un generico giunto assunto come critico.
Individua quattro modalità di collasso: lo scorrimento relativo tra le facce nelle due direzioni l'apertura del giunto per rotazione all'intradosso e
all'estradosso
M
m
S
Q
b
a
B
A
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CoulombIl principio dei Massimi e Minimi
Impone l'equilibrio limite di scorrimento nelle due direzioni, ottenendo un valore minimo ed uno massimo della risultante S agente sulla sezione in chiave.
Analogo procedimento è utilizzato imponendo l'equilibrio limite alla rotazione nelle due direzioni.
M
m
S
Q
b
a
B
A
72/222
CoulombIl principio dei Massimi e Minimi
La massima reazione di attrito è assunta proporzionale all'azione normale sul giunto attraverso un opportuno coefficiente
I valori massimi e minimi di S vengono ricercati al variare della posizione ϕ del giunto critico sull'arco
Il risultato finale fornisce un limite inferiore ed uno superiore di S entro i quali l'equilibrio della volta è garantito
M
m
S
Q
b
a
B
A
73/222
CoulombIl principio dei Massimi e Minimi
Coulomb scopre e accetta l'indeterminatezza del problema dimostrando che in un certo intervallo ammissibile tutte le soluzioni sono ugualmente accettabili.
M
m
S
Q
b
a
B
A
74/222
Il calcolo a rottura di Mascheroni
Mascheroni idealizza i meccanismi di rottura dell'arco individuati da De la Hire e da Coulomb a sistemi di aste rigide e ne determina le condizioni limite di equilibrio
Egli propone lo studio di due dei possibili meccanismi di rottura dell‟arco: Rottura per scivolamento del cuneo centrale con
punto di rotazione posto all‟intradosso dell‟arco (De La Hire)
Rottura multipla con formazione di cerniere all‟intradosso ed alle reni
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Il calcolo a rottura di Mascheroni
Nella condizione di rottura si può vedere l‟arco come sistema articolato di corpi rigidi vincolati a cerniera internamente e con l‟esterno
1
2
1'
2'
A A'
76/222
Il calcolo a rottura di Mascheroni Il sistema è labile:
Numero dei gdl: 4 corpi x 3 g.d.l = 12
Numero dei vincoli: 2 gdl vincolati x 5 cerniere = 10
Possono esistere condizioni di carico che
rispettano l‟equilibrio
77/222
Il calcolo a rottura di Mascheroni
Si analizza metà arco
Per la simmetria del sistema la reazione offerta dalla cerniera in B non può che essere orizzontale
xG
A
P
C
Q/2
xA
H
yA
f
'
H
l
G2
G1
B
78/222
Il calcolo a rottura di Mascheroni
Il peso Q/2 del tratto di arco AB, passante per il baricentro G2 dovrà essere equilibrato da una forza orizzontale passante per B e da una forza passante per A
xG
A
P
C
Q/2
xA
H
yA
f
'
H
l
G2
G1
B
79/222
Il calcolo a rottura di Mascheroni
Costruito il triangolo dell‟equilibrio si trova l‟azione che il corpo AB esercita sul corpo AC attraverso la cerniera in A.
xG
A
P
C
Q/2
xA
H
yA
f
'
H
l
G2
G1
B
80/222
Il calcolo a rottura di Mascheroni L‟azione che il corpo AB esercita sul corpo AC
ha:
componente verticale V = Q/2
componente orizzontale H = (Q/2)tg‟, tg‟=l/f
xG
A
P
C
Q/2
xA
H
yA
f
'
H
l
G2
G1
B
V
81/222
Il calcolo a rottura di Mascheroni
L‟equazione di equilibrio dei momenti intorno al punto C fornisce la relazione:
( ' )0
2 2
A AA A G
G
y tg xQ QHy x Px P
x
xG
A
P
C
Q/2
xA
H
yA
f
'
H
l
G2
G1
B
82/222
Il calcolo a rottura di Mascheroni L‟equazione è analoga a quella di De La Hire e
De Belidor, la differenza è nell‟angolo ‟ che in essa compare
xG
A
P
C
Q/2
xA
H
yA
f
'
H
l
G2
G1
B
83/222
Il calcolo a rottura di Mascheroni
Se > ‟ il peso P necessario per evitare lo scorrimento del cuneo centrale è maggiore di quello necessario per evitare la formazione delle cerniere per cui questo meccanismo risulta più pericoloso per l‟arco
Mascheroni considera tutte le sezioni come possibilmente critiche, non solo quella a 45°.
84/222
Il ruolo dell‟attrito
Nella maggioranza dei casi risulta > ‟ per cui la rottura avverrebbe per scorrimento piuttosto che per formazione di cerniere
In realtà le superfici tra un concio e l‟altro non sono prive di attrito come ipotizzato
La reazione che le superficie del giunto offre al cuneo centrale non è ortogonale al giunto stesso ma inclinata di un angolo nel verso opposto a quello del moto.
85/222
Cono di
attrito
Il ruolo dell‟attrito Un vincolo scabro è in grado di fornire, oltre
alla reazione Rv una reazione Rt ortogonale ad essa, diretta secondo lo spostamento che esso consente.
86/222
Il ruolo dell‟attrito
L‟entità della componente Rt non può superare un‟aliquota della reazione principale Rv:
Rt f RvCono di
attrito
87/222
Il ruolo dell‟attrito
Il coefficiente di attrito f si può esprimere come:
f =Rt / Rv = tg
Cono di
attrito
88/222
Il ruolo dell‟attrito
Cono di
attrito
Il vincolo è in grado di equilibrare una forza inclinata rispetto alla direzione ortogonale al piano di scorrimento < f (interna al cono di attrito)
89/222
Il ruolo dell‟attrito
L‟equazione di equilibrio diventa:
con ‟‟=
( '' )
2
A AF G
G
y tg xQFd Px P
x
xG
F
A
P
C D
Q/2
yA
xA
x
y
dF
yAtg
xG
F
A
P
C D
Q/2
yA
xA
x
y
''
dF
yAtg''
''
''
90/222
Il ruolo dell‟attrito
L‟ipotesi di mancanza di attrito fa ritenere più pericoloso un meccanismo che di fatto non si realizza
Si nota l‟importanza dei parametri fisici che entrano nel modello per la corretta interpretazione della realtà
91/222
La teoria elastica
Il XIX secolo è segnato dai tentativi di interpretazione dell'arco in muratura nell'ambito della teoria della trave elastica ad asse curvilineo
Furono affrontati i problemi irrisolvibili nell'apparato concettuale del corpo rigido: l'effettiva capacità di sopportare certi stati di
sollecitazione
l'effettivo andamento della curva delle pressioni all'interno dell'arco
92/222
La teoria elastica
Nel XVIII secolo era possibile trattare rigorosamente solo strutture ipostatiche o isostatiche
Erano note solo le condizioni di equilibrio
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La teoria elastica
Un arco considerato come elemento monolitico è una struttura iperstatica
Per essere risolto è necessario tenere conto della deformabilità del materiale di cui è composto
Spetta a Hooke la sperimentazione sulla deformabilità dei materiali e la definizione del legame che porta il suo nome
94/222
La teoria elasticaNavier
Gli studi di Navier si basano sulle ipotesi di:
Legame elastico forze deformazioni
Determinate condizioni al contorno
Se l‟arco è considerato rigido non è possibile determinare la linea delle pressioni
Se si considera deformabile divengono disponibili ulteriori equazioni che consentono di risolvere il problema iperstatico
95/222
La teoria elasticaNavier
Navier propose di effettuare le verifiche di stabilità condotte da Coulomb imponendo che le sezioni rimanessero interamente reagenti con tensioni massime di compressione inferiori alle tensioni massime di rottura del materiale rilevate sperimentalmente
96/222
La teoria elasticaNavier Navier ipotizzò che, per avere solo sforzi di compressione, la
linea delle pressioni doveva passare, in corrispondenza dei „giunti di rottura‟, al massimo per il terzo medio della sezione resistente
In questo modo si ha la condizione limite di diagramma triangolare delle tensioni di compressione all‟interno della sezione, con un valore nullo in corrispondenza del punto in cui ha inizio lo scorrimento in caso di rottura.
97/222
La teoria elastica Mèry
Partendo dagli studi di Navier Mèry mostrò che il problema della determinazione del regime statico di un arco poteva essere risolto utilizzando un poligono di equilibrio a passaggio obbligato per due punti: il terzo medio inferiore nella sezione di imposta e il terzo medio superiore nella sezione in chiave, con retta d‟azione orizzontale (per arco simmetrico e simmetricamente caricato e vincolato)
In questo modo noti i carichi esterni, era possibile ottenere l‟andamento della curva delle pressioni.
98/222
La teoria elastica Mèry
La verifica dell‟arco consiste nell‟accertare che nelle sue sezioni non siano presenti forze di trazione
Per un arco con sezione trasversale rettangolare, bisogna verificare che la curva delle pressioni sia contenuta all‟interno della fascia delimitata dal terzo medio di tutte le sezioni trasversali (nocciolo centrale d‟inerzia).
S
6P curva delle pressioni
4P
P6
5P
1P
P3
2P
S
H Q
H
S
P5
P4
P3
P2
P1
99/222
Metodo di Mèry Si determinano i carichi agenti sull‟arco, considerando le parti di
sovrastruttura che competono ad ogni singolo concio ed applicando la forza nel baricentro della regione relativa.
PP
PP
P P12
3
4
5
6
100/222
Metodo di Mèry Essendo l‟arco simmetrico e simmetricamente caricato e
vincolato, si può limitare lo studio a metà di esso, applicando nella sezione di chiave la forza trasmessa dalla restante parte.
P6
5P
4P 3
P 2P 1
P
S
6P curva delle pressioni
4P
P6
P
1P
P3
2P
S
H Q
H
S
P5
P4
P3
P2
P1
1
2
3
4
6
5 5
101/222
Metodo di Mèry Tale forza ha retta d‟azione orizzontale (ortogonale alla sezione
cui è applicata) e si considera applicata al terzo medio superiore della sezione stessa.
P6
5P
4P 3
P 2P 1
P
S
6P curva delle pressioni
4P
P6
P
1P
P3
2P
S
H Q
H
S
P5
P4
P3
P2
P1
1
2
3
4
6
5 5
102/222
Metodo di Mèry Costruito il poligono funicolare dei carichi esterni relativa a metà
arco, il problema si risolve utilizzando un poligono di equilibrio a passaggio obbligato per due punti: il terzo medio inferiorenella sezione di imposta e il terzo medio superiore nella sezione in chiave.
P6
P5
P4
P3
P2 1
P
R
H
S
6P1
P
P2
O
R
P3
P4
P5
P6 S
P5
P4
P3
P2
P1
Poligono delle forze
Poligono funicolare
K
103/222
Metodo di Mèry Per l‟equilibrio il poligono dei vettori deve risultare chiuso e le
rette d‟azione devono concorrere in un medesimo punto (K) La retta d‟azione della reazione d‟imposta deve passare per K e
per il terzo medio inferiore della sezione stessa.
K
S
6P curva delle pressioni
4P
P6
5P
1P
P3
2P
S
H Q
H
S
P5
P4
P3
P2
P1
Q
104/222
Metodo di Mèry Si può costruire la curva delle pressioni, utilizzando il poligono
funicolare costruito sul polo Q Il poligono funicolare costruito utilizzando il polo Q
rappresenta il poligono delle successive risultanti, cioè la curva delle pressioni.
S
6P curva delle pressioni
4P
P6
5P
1P
P3
2P
S
H Q
H
S
P5
P4
P3
P2
P1
Q
105/222
La verifica di stabilità dell‟arco La linea delle pressioni descrive le azioni scambiate
tra conci adiacenti
Se non passa per i baricentri delle sezioni si hanno sollecitazioni composte di forza assiale, taglio e flessione.
106/222
La verifica di stabilità dell‟arco
La verifica di stabilità richiede che siano verificate le condizioni: T f N
M/N = e h/2
f = tg è il coefficiente di attrito
e = eccentricità della forza assiale rispetto al baricentro:
Se e h/6 la sezione è interamente compressa
Se e > h/6 la sezione è parzializzata
Se e > h/2 l‟equilibrio è impossibile.
107/222
Metodo di Mèry
Lo spostamento della risultante dei carichi verso le imposte comporta una riduzione della reazione orizzontale.
110/222
Trovare la “giusta” curva delle pressioni
Il tracciato della linea delle pressioni è un indice della stabilità dell‟arco
Quanto più si discosta dalla linea d‟asse dell‟arco tanto maggiore deve essere lo spessore dell‟arco
111/222
Trovare la “giusta” curva delle pressioni
Domanda: la curva delle pressioni trovata è quella giusta (data la scelta arbitraria del polo H)?
112/222
Esercizio
P1 = 10 kN
P2 = 20 kN = P3 = P4 = P5
Scala: 10 kN = 1 cm
Proviamo due poli diversi!
Trovare la “giusta” curva delle pressioni col metodo del Mèry
116/222
Interpretazione: “Se il progettista è così furbo da trovare
un polo che dia luogo ad una curva delle pressioni
interna all’arco e prossima alla massima eccentricità
ammissibile, allora l’arco sarà altrettanto furbo da
trovarne una per proprio conto!”
Aspetti base del comportamento strutturale
Teorema di minimo di J. Heymans:
“Se è possibile trovare un campo di tensioni nella
struttura che sia ovunque equilibrato internamente e
con i carichi esterni, senza violare la condizione di
rottura, tali carichi esterni saranno portati dalla
struttura in sicurezza.”
117/222
La forma dell‟arco
Il profilo più adatto per un arco è quello la cui linea d‟asse si dispone secondo la funicolare dei carichi ad esso applicati.
Distribuzione dei carichi che genera compressione uniforme per le diverse direttrici
118/222
La forma dell‟arco
Se un arco è funicolare per un insieme di carichi, non può esserlo per tutti gli altri sistemi di carichi cui può essere assoggettato
In ogni arco si ha in genere una combinazione di compressione e di flessione
Nell‟arco in muratura la forma è, in genere, funicolare del peso proprio e l‟arco è soggetto a flessione per i carichi accidentali.
119/222
La teoria elastica Castigliano
Castigliano (1879) applica il suo teorema di minimo dell'energia elastica per determinare l'andamento della linea delle pressioni di un arco mediante un procedimento iterativo che consente di tenere conto della non resistenza a trazione della muratura.
Calcolata una prima curva di tentativo nell'ipotesi di sezione elastica: verifica se è contenuta nel terzo medio dell'arco; se ciò avviene, le sezioni sono compresse e la teoria elastica è
applicabile; se invece la curva non è completamente interna al terzo medio,
riduce la dimensione delle sezioni eliminando la porzione soggetta a trazione e procede quindi alla determinazione di una nuova curva basandosi sulla geometria modificata della sezione.
il procedimento iterativo è arrestato quando tutte le sezioni così modificate sono interamente compresse.
120/222
La teoria plastica
La soluzione elastica del problema della definizione del regime statico di un arco è sensibile alle variazioni delle condizioni al contorno
L‟analisi plastica non si basa sulla conoscenza dello stato effettivo in cui la struttura si trova ma sull‟esame delle condizioni in cui essa può collassare e sulla verifica che la struttura abbia un sufficiente margine di sicurezza rispetto al collasso
Lo stato di equilibrio analizzato nella teoria plastica non è lo stato reale in cui si trova ma uno stato possibile
Se il progettista riesce a trovare un modo in cui la struttura si comporta soddisfacentemente allora essa sicuramente ci riuscirà.
123/222
Danneggiamento degli archi
• Assestamento dell’imposta
• Dimensionamento insufficiente
• Forze concentrate / carico eccessivo del
riempimento
124/222
Danneggiamento degli archi
• Assestamento dell’imposta
• Dimensionamento insufficiente
• Forze concentrate / carico eccessivo del riempimento
• Degradazione dei mattoni/malta e
allentamento/scorrimento dei conci
Roma (via S. Vito)
125/222
• modifica delle condizioni, ad es. cambiamento
di destinazione d’uso
Danneggiamento degli archi
• Assestamento dell’imposta
• Dimensionamento insufficiente
• Degradazione dei mattoni/malta e
allentamento/scorrimento dei conci
• Forze concentrate / carico eccessivo del riempimento
132/222
InterventoMiglioramento dell‟attrito
Colla o inserimento di elementi trasversali
Collegamento dei conci con spinotti
136/222
Sicurezza
Può essere definita come la distanza fra lo stato corrente ed un dato stato limite
139/222
La volta a botte
La volta a botte si può considerare generata dalla traslazione di un arco lungo una direttrice ad esso ortogonale
Se la volta poggia con continuità lungo i bordi longitudinali il comportamento di ciascuna sezione è del tipo ad arco
I muri laterali devono essere sufficientemente larghi per contenere le spinte
140/222
La volta a botte
Se la volta non poggia con continuità si determina un comportamento a trave
141/222
Le spinte nella volta Le volte a botte possono essere studiante utilizzando
la teoria delle membrane
Una membrana è una superficie curva il cui spessore è piccolo se comparato alle altre dimensioni della struttura in grado di trasmettere solo sforzi interni giacenti sul piano tangente
Ciascun elemento della volta è sollecitato da tensioni
normali (trazione e compressione) e taglio
142/222
Lesioni dovute a spostamento dei piedritti
Tale meccanismo di rottura si manifesta con la depressione del settore centrale dovuta all‟allontanamento dei piedritti causato della loro rotazione verso l‟esterno
Si sviluppa il meccanismo di rottura a 3 cerniere: una cerniera lineare si forma in prossimità della chiave e 2 alle reni
143/222
Le volte a crociera
Tagliando una volta a botte su pianta rettangolare con due piani verticali passanti per i vertici opposti del rettangolo di base si ottengono 4 elementi:
2 cappe o manti
2 unghie o fusi
146/222
Le volte a crociera La volta a crociera deriva dall‟intersezione di 2
volte a botte tra loro ortogonali
Gli archi che si formano all‟intersezione delle 2 volte possono essere integrati nella volta (spigoli) o risaltare all‟intradosso (costole diagonali)
147/222
Le volte a crociera
Se sui piani verticali passanti per il perimetro della pianta sono presenti nervature queste si chiamano: Costole trasversali: se comuni a due volte
adiacenti
Se si trovano su una muratura terminale: Archi di testa: se comprese nella muratura
Costole di testa: se in risalto rispetto alla muratura
148/222
Le volte a crociera
Le volte a crociera possono essere realizzate:
Per intersezione di volte a botte semicilindriche uguali (pianta quadrata)
Per intersezione di volte a botte semicilindriche con diversa campata e altezza (pianta rettangolare)
L‟intersezione delle 2 botti nei costoloni creava un problema nel taglio delle pietre:
Una semplificazione si ebbe costruendo i costoloni come archi indipendenti sui quali poggiavano i pannelli delle volte
149/222
Le volte a crociera
L‟esecuzione delle strutture ad arco o voltate avveniva per fasi: realizzazione di imposte aggettanti
solidali coi piedritti
realizzazione dell‟elemento di chiusura
realizzazione delle pareti d‟ambito a buona presa avvenuta e in presenza di un idoneo carico stabilizzante
Con le tecniche relative a pietra da taglio o a mattoni potevano essere realizzate volte senza cassaforma: occorrevano soltanto delle centinature
disposte secondo le costolature.
150/222
Le volte a crociera
Con lo schema architettonico romano con archi di testa a tutto sesto si presentava un problema:
gli spigoli diagonali, intersezioni di due cilindri circolari risultavano delle ellissi
frazionando un ellisse in conci si sarebbero avuti conci diversi tra loro.
151/222
Le volte a crociera
Il problema venne risolto dai costruttori gotici: Partendo dagli archi corrispondenti
agli spigoli diagonali (semicirconferenze con diametro uguale alla diagonale del quadrato di base)
gli archi di testa sono di forma ellittica approssimati con archi a sesto acuto
a parità di dimensioni di base la volta si slancia
a parità di pesi le spinte sui piedritti si riducono di circa il 30%.
152/222
Le spinte nella volta
L‟intersezione delle volte in corrispondenza delle costole determina una concentrazione di forze dovuta all‟improvviso cambio di direzione delle tensioni
Le costole svolgono la funzione di irrigidimento della volta: Nelle volte con forti cambi di curvatura hanno
anche funzione di rinforzo
153/222
Le spinte nella volta
Le tensioni radiali Nq variano secondo la funzione Nq = -wacosq (w = peso per unità di superficie)
154/222
Le spinte nella volta
L‟equilibrio alla rotazione di una porzione di volta richiede che le spinte bilancianti dei contrafforti agiscano ad una distanza z dal piano di imposta della volta
155/222
Le spinte nella volta
E‟ essenziale realizzare dei rinfianchi alla volta che forniscano un percorso alle spinte quando queste fuoriescono dalle costole diagonali
157/222
Le spinte nella volta
Le volte a costoloni devono essere sostenute da contrafforti
I capimastri delle cattedrali gotiche realizzarono contrafforti esterni costituiti da archi rampanti
158/222
Le spinte nella volta
Gli archi rampanti contrastano le spinte della volta senza indurre trazione nella muratura
Per ridurre le dimensioni dei pilastri e ridurre le spinte spesso si usarono 2 archi rampanti posti l‟uno sull‟altro
159/222
Le spinte nella volta
Pesanti guglie venivano aggiunte sui pilastri esterni per aumentare con il carico la compressione e ridurre la flessione
160/222
Le tavole di Ungewitter
Ungewitter realizzò delle tabelle per il calcolo delle spinte nella volta in funzione di alcuni parametri: Rapporto freccia/campata Spessore della volta
161/222
Le patologie della volta quadripartita
Pol Abraham identificò (1934) le possibili lesioni in una volta quadripartita: Lesioni nelle volte principali in
chiave (formazione di cerniere)
Lesioni parallele alle costole murarie con una completa separazione del pannello della volta (dette fissures de Sabouret)
Lesioni che separano i pannelli della volta dai muri
162/222
Lesioni dovute a spostamento dei contrafforti
Tale meccanismo di rottura si manifesta con la depressione del settore centrale dovuta all‟allontanamento dei piedritti causato della loro rotazione verso l‟esterno
La linea delle spinte passa attraverso i rinfianchi e si scarica sui contrafforti
163/222
Lesioni dovute a spostamento dei contrafforti
Il sistema fessurativo trasforma la volta in 3 blocchi:
Fessure si formano in prossimità e in adiacenza al muro perimetrale
Una cerniera lineare si forma vicino alla chiave
Le lesioni si generano perché la muratura non è sufficiente a contenere le spinte
164/222
Lesioni dovute a spostamento dei contrafforti
Le fessure di Sabouret e quelle murarie comportano completa separazione della muratura
Nessuna forza può più essere trasmessa attraverso queste fessure
Le forze di compressione corrono parallelamente alle fessure
165/222
Le cupole
Nella copertura del Tesoro di Atreo a Micene si rintraccia l‟origine della cupola
Pseudo - cupola formata da pietre poste su letti orizzontali in aggetto a formare una struttura anulare regolare
167/222
Cupole
La forma più semplice di cupola si ottiene ruotando un arco intorno al suo asse centrale Un arco semicircolare genera una cupola
emisferica
Altre curve (es. parabole) generano cupole differenti
La cupola tridimensionale è molto diversa dall‟arco bidimensionale, in termini di: Comportamento strutturale
Procedure costruttive.
168/222
Le cupole
La cupola si può considerare una membrana di rivoluzione generata per rotazione di un arco rispetto al suo asse centrale
169/222
Le cupole
La curva generatrice può avere forma circolare, parabolica o un profilo più complesso
170/222
Procedure costruttiveArco
Nella costruzione di un arco, la presenza della centinatura è essenziale
I conci scivolerebbero verso l‟interno
Ipotesi di John Fitchen sulla centinatura del Pont du Gard
Completato l‟arco con la messa in opera del concio di chiave, il trasferimento dei carichi dalla
centina all‟arco avveniva tramite la progressiva rimozione di cunei
di legno inseriti all‟interfaccia.
171/222
Procedure costruttiveCupola
La costruzione di una cupola è più semplice
Un anello completato, essendo virtualmente incompressibile, non può scivolare su quello sottostante verso l‟interno.
172/222
Procedure costruttiveCupola
La costruzione avviene per anelli successivi
Non esiste il concetto di concio di chiave.
173/222
Il funzionamento delle cupole
Analogie Sì: arco corda sospesa
No: cupola membrana sospesa
In termini matematici: Un arco è una figura sviluppabile
Si può ottenere da un foglio di carta
La cupola no Non si può ottenere da un foglio di carta
A meno di tagliare ed incollare
Dopo di che, la cupola risulta rigida.
175/222
Il funzionamento delle cupole
Andamento delle forze normali
N nei meridiani e Nq nei paralleli
176/222
Il comportamento a membrana Un membrana può essere idealizzata
matematicamente come una superficie curva il cui spessore è piccolo se comparato alle altre dimensioni della struttura (R/t > 20) in grado di trasmettere solo sforzi interni giacenti sul piano tangente
Le forze che agiscono sulla membrana si trasformano in stati tensionali di trazione o di compressione contenuti nel suo spessore
178/222
Il funzionamento delle cupole
Andamento delle forze normali
N nei meridiani e Nq nei paralleli
Nq
N
wa
-wa
-½wa
179/222
Il funzionamento delle cupole
Le tensioni che agiscono lungo i meridiani crescono dalla chiave all‟imposta dal valore 0.5wR al valore wR.
180/222
Il funzionamento delle cupole
I paralleli sono compressi in chiave (s=0.5wR) e tesi all‟imposta (s=-wR) con tensioni costanti lungo uno stesso parallelo
181/222
Il funzionamento delle cupole
L‟azione di cerchiatura svolta dai paralleli annulla le spinte dei meridiani
182/222
Differenze tra arco e cupola
Nell‟arco la linea delle pressioni si modifica al variare dei carichi applicati all‟arco (come la catenaria di Hooke si deforma per effetto dei carichi ad essa applicati)
L‟arco è funicolare per una sola condizione di carico
I meridiani di una cupola sono funicolari per qualunque condizione di carico simmetrica per l‟azione di cerchiatura svolta dai paralleli
183/222
Le tensioni nella cupola
La deformazione in sommità non è impedita pertanto si può sviluppare uno stato puro di tensione di membrana
Affinché uno stato puro di tensione di membrana si sviluppi al bordo è necessario che questo si possa spostare verso l‟esterno
184/222
Le tensioni nella cupola
Se questo non avviene (come è in realtà) una sollecitazione di flessione si produce in prossimità del bordo
Ciò avviene ogniqualvolta le reazioni al contorno non sono tangenti ai meridiani (ad es. se la cupola poggia solo su alcuni punti)
185/222
Il funzionamento delle cupole
Le cupole hanno la tendenza a sviluppare fessure lungo i meridiani
Fessure nella cupola di S. Maria del Fiore
186/222
Le cupole in muratura
In una cupola in muratura non ci si può aspettare che l‟azione di cerchiatura svolta dai paralleli si realizzi efficacemente
187/222
Le cupole in muratura
Superata la resistenza a trazione della muratura (cui può contribuire l‟attrito tra i blocchi) si formano lesioni nei meridiani: Si annullano gli sforzi di trazione nei paralleli L‟ipotesi di comportamento a membrana perde
significato
188/222
Le cupole in muratura
Gli spicchi di cupola che rimangono integri si comportano come puntoni e la loro reazione inclinata si trasforma in spinta sull‟imposta
189/222
Il funzionamento delle cupole
Si può ovviare irrigidendo l‟anello di base
Questo però introduce sollecitazioni di flessione, anche se una superficie ridotta (5%) della cupola
190/222
Spessore minimo della cupola
La posizione limite della linea delle pressioni tocca l‟estradosso in P e l‟intradosso in Q e passa attraverso l‟estradosso alla base
Dalla condizione di equilibrio alla rotazione si ottiene la spinta orizzontale H = (1- p/4)W=0.215W
In una cupola emisferica lo spessore minimo è il 4.2% del raggio
Posizione limite della curva delle pressioni e meccanismo di collasso corrispondente
191/222
Arco
Cupola
Il funzionamento delle cupole
Spessore t rispetto al raggio R , in funzione dell‟angolo rispetto alla verticale
Il funzionamento è più efficace di questo
192/222
Alcuni confronti
Spessore/Diametro = 1/10 Pantheon, S. Maria del Fiore, S. Pietro
Spessore/Diametro = 1/100 Uovo
(spessore 0.4 mm, diametro 40 mm) (l‟uovo di Brunelleschi…)
Volte a ventaglio King‟s College a Cambridge
Spessore/Diametro = 1/1000 Coperture moderne in c.a.
193/222
Giovanni PoleniLo studio della cupola di S.Pietro
Giovani Poleni condusse uno studio (1748) sullo stato fessurativo della cupola di S.Pietro 200 anni dopo la sua costruzione
Osservò che le fessure avevano diviso la cupola in spicchi semisferici
La domanda cui dare una risposta era se le fessure fossero pericolose o meno
194/222
Giovanni PoleniLo studio della cupola di S.Pietro
La condizione di partenza era che la condizione di stabilità della volta risiedesse nel fatto che la linea delle pressioni fosse contenuta nello suo spessore
195/222
Giovanni PoleniLo studio della cupola di S.Pietro
Egli immaginò una cupola ideale costituita di un materiale cui attribuì una densità media uniforme per compensare pieni e vuoti
196/222
Giovanni PoleniLo studio della cupola di S.Pietro
Divise il solido ideale in 50 spicchi corrispondenti a 25 archi e studiò l‟equilibrio dell‟arco quasi-bidimensionale formato da uno di questi spicchi.
197/222
Giovanni PoleniLo studio della cupola di S.Pietro
A ciascun arco Poleni attribuì il peso complessivo di 2 milioni di libbre cui aggiunse il peso di 160000 libre della lanterna
Divise ciascun semiarco in 16 parti
198/222
Giovanni PoleniLo studio della cupola di S.Pietro
Facendo riferimento alla catenaria di Hooke caricò una corda flessibile con 32 pesi diseguali corrispondenti alla sezione dell‟arco
L‟inversione della catenaria sembrava effettivamente essere contenuta nello spessore dell‟arco
199/222
Giovanni PoleniLo studio della cupola di S.Pietro
Con questo modello ottenne la curva dell‟equilibrio che fece passare per 4 punti:
I centri delle 2 sezioni di imposta
I centri delle 2 sezioni corrispondenti al vano della lanterna
200/222
Giovanni PoleniLo studio della cupola di S.Pietro
Poleni concluse:
“ E per dir brieve, in questo esame fatto con la catenaria, il punto principale consisteva nel vedere, se veramente alcuna parte della catenaria cadesse fuori de‟ contorni della volta...”
“…in un certo modo convalidata resta anche la proposizione, in cui costituito abbiamo, che per non cattiva la figura della gran volta riputar si debba”
201/222
Giovanni PoleniLo studio della cupola di S.Pietro
Ma uno scostamento della catenaria dalla sagoma dell‟arco avrebbe significato l‟impossibilità di un equilibrio che in realtà si realizzava
Per ottenere la curva funicolare Poleni fu costretto a farla passare per 4 punti
La soluzione che egli ottenne era una delle soluzioni possibili
202/222
Giovanni PoleniLo studio della cupola di S.Pietro
Per escludere che lo stato della cupola potesse peggiorare ritenne necessario inserire delle catene
L‟inclinazione della catenaria in corrispondenza delle imposte rivelava la presenza di spinte che dovevano essere contenute
203/222
Cupole emisferiche incomplete In un arco la mancanza dei conci in chiave
determina il collasso dell‟arco stesso
Nella cupola le tensioni si distribuiscono in più direzioni pertanto una volta che un cerchio è stato completato è stabile senza supporto
Metà cupola è stabile quando è soggetta a forze orizzontali sbilanciate
204/222
Cupole emisferiche incomplete Una cupola emisferica
incompleta può essere utilizzata come contrafforte
La cupola principale di Hagia Sofia (32 m di luce) è sostenuta a est e a ovest da 2 semicupole secondo uno dei sistemi bizantini di sostegno delle alte cupole
Sistemi bizantini di sostegno delle alte cupole
205/222
Cupole emisferiche incomplete
Se lo spessore è sufficiente per sostenere metà cupola allora lo è anche per sostenere tre quarti di cupola
La cupola principale di Hagia Sofia si è trovata 2 volte in queste condizioni: dopo il terremoto del 986 che causò il collasso della
semicupola occidentale e di un quarto della cupola principale dopo il terremoto del 1346 che causò il collasso della
semicupola orientale con il quarto corrispondente di cupola principale
214/222
Danneggiamento delle cupole
• Assestamento delle imposte
• Effetti biologici, ad es. semi…
• Tamburo inefficiente
• Translation of supporting
columns/walls
215/222
Danneggiamento delle cupole
• Assestamento delle imposte
• Effetti biologici, ad es. semi
• Tamburo inefficiente
• Traslazione dei
pilastri/muri di supporto
216/222
• Tamburo insufficiente
• Traslazione delle pareti/colonne di sostegno
Danneggiamento delle cupole Il Pantheon