Post on 01-May-2015
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Dai numeri figurati al concetto di incommensurabilità:
un possibile percorso!
di Gemma Gallino e Stefania Serre
Pitagora
I numeri figurati
triangolari
136
quadrati
149
I numeri figurati
triangolari
6
Si può osservare che:
Triangolo ottusangolo:
Triangolo acutangolo:
Triangolo rettangolo:
La matematica si discosta dalle
“quel che c’è”,
altre materie perché dimostra non solo
“quello che sicuramente non c’è”
ma anche
E’ utile ricordare che…….
SCOPRIAMO IN QUALE MODO SIA POSSIBILE!
Teniamo presenti i numeri figurati di Pitagora
Se il lato del quadrato si può ricoprire con un numero intero di
palline...
...si potrà fare lo stesso per la diagonale?
Se il lato del quadrato si può ricoprire con un numero intero di
palline...
...si potrà fare lo stesso per la diagonale?
Questa non è una soluzione accettabile: non si possono lasciare
spazi vuoti!
Non funziona!
E se usassimo delle palline più piccole?
Non funziona!
E se usassimo delle palline più piccole?
E se usassimo delle palline più piccole?
Non funziona!
E se usassimo delle palline ancora più piccole?
E se usassimo delle palline ancora più piccole?
Non funziona!
Si riuscirà in qualche modo?
GIOCO della SCACCHIERA
GIOCO della SCACCHIERA
Eliminiamo i due angoli bianchi della scacchiera
Eliminiamo i due angoli bianchi della scacchiera
…proviamo a coprire tutta la scacchiera
Utilizzando questi tasselli...
…proviamo a coprire tutta la scacchiera
…proviamo a coprire tutta la scacchiera
…proviamo a coprire tutta la scacchiera
…proviamo a coprire tutta la scacchiera
E’ possibile coprire tutta la scacchiera ?
Osserviamo che:
Osserviamo che:
Osserviamo che:
• Ogni tassello copre una casella bianca e una nera
• Abbiamo eliminato dalla scacchiera due caselle bianche
• Quante sono le caselle bianche?• Quante sono le caselle nere?
Sono in numero diverso!Resteranno sempre libere due
caselle nere.
Osserviamo che:
• Quante sono le caselle bianche?• Quante sono le caselle nere?
• Ogni tassello copre una casella bianca e una nera
• Abbiamo eliminato dalla scacchiera due caselle bianche
Abbiamo dimostrato che:
E’ impossibile ricoprire questa scacchiera con i
nostri tasselli
- Argomentare logicamente i passaggi effettuati.
- Partire da proprietà accettate come vere.
Dimostrare in matematica significa:
- Arrivare a una conclusione sicuramente vera:
E’ impossibile ricoprire questa scacchiera con i
nostri tasselli
Siamo passati da un approccio sperimentale...
…a un approccio matematico!
“…proviamo...”
“…dimostriamo che è impossibile...”
Lato e diagonale di un quadrato sono
è impossibile trovare un’unità di misura che sia contenuta un numero intero di
volte tanto nel lato quanto nella diagonale
incommensurabili :
Lato e diagonale di un quadrato sono
è impossibile trovare un’unità di misura che sia contenuta un numero intero di
volte tanto nel lato quanto nella diagonale
incommensurabili :
Lato e diagonale di un quadrato sono
è impossibile trovare un’unità di misura che sia contenuta un numero intero di
volte tanto nel lato quanto nella diagonale
incommensurabili :
Rivediamo la dimostrazione proposta nel dialogo tra Ippaso e i
pitagorici.
Supponiamo che:
il rapporto tra diagonale e lato del quadrato sia m :n
nm
Supponiamo che:
il rapporto tra diagonale e lato del quadrato sia m :n
ba
A
D C
B
il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b
il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b
Supponiamo che: b
a
A
D C
B
2b2=4c2
Il triangolo ABD è un triangolo rettangolo isoscele
a2=2b2
a2 è pari
a è pari
b è dispari
a/b è ridotta ai minimi termini
a=2c a2=4c2
Teorema di Pitagora
b2=2c2
b2 è pari
b è pari
il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b
Supponiamo che: b
a
A
D C
B
Il triangolo ABD è un triangolo rettangolo isoscele
a2 è pari
a è pari
b è dispari
a/b è ridotta ai minimi termini
a=2c a2=4c2 2b2=4c2 b2=2c2
b2 è pari
b è pari
a2=2b2
Teorema di Pitagora
il rapporto diagonale:lato ridotto ai minimi termini sia a:b
Supponiamo che: b
a
A
D C
B
Il triangolo ABD è un triangolo rettangolo isoscele
a2 è pari
a è pari
b è dispari
a/b è ridotta ai minimi termini
a=2c a2=4c2 2b2=4c2 b2=2c2
b2 è pari
b è pari
a2=2b2
Teorema di Pitagora
contraddizione
Se supponiamo che:
lato e diagonale siano commensurabili
cioè che esista una unità di misura contenuta a volte
nella diagonale e b volte nel lato...
ba
…. questa affermazione ci porterà a delle conclusioni contraddittorie.
Se supponiamo che:
lato e diagonale siano commensurabili
b è dispari
b è paricontraddizion
e
Se supponiamo che:
lato e diagonale siano commensurabili
lato e diagonale sono incommensurabili
Perciò dobbiamo concludere che:
…. questa affermazione ci porterà a delle conclusioni contraddittorie.
Una dimostrazione matematica,
deve possedere tre qualità:
inevitabilità,
Deve somigliare a una costellazione semplice e ben delineata,
non a un ammasso stellare sparso nella Via Lattea.
per essere soddisfacente,
(Hardy)
imprevedibilità,economia.
fine.
fine.
Queste diapositive fanno parte di un percorso sul significato di dimostrazione intitolato “L’eredità di PITAGORA” elaborato per il CE.SE.DI Torino
Le illustrazioni sono tratte dal libro di Anna Parisi “Numeri magici e stelle vaganti” ed. Lapis