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CORSO DI INTRODUZIONE ALL’OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
Il metodo Amoeba per il dimensionamento delle sezioni in acciaio
Edoardo Rossi
CORSO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
Table of contents
CORSO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
• INTRODUZIONE
•Funzione Obiettivo
•Criteri di Ottimizzazione
•NELDER-MEAD METHOD O AMOEBA
•Storia
•Funzionamento
•Esempio Applicativo
•CONCLUSIONI
E. Rossi
INTRODUZIONE
E. Rossi
Funzione Obiettivo
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
INTRODUZIONE
E. Rossi
Funzione Obiettivo
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
INTRODUZIONE
E. Rossi
Funzione Obiettivo
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
INTRODUZIONE
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALEE. Rossi
Funzione Obiettivo
INTRODUZIONE
E. Rossi
Criteri di Ottimizzazione
Livelli di ottimizzazione:
•Micro livello: ottimizzazione a livello locale, cambiamenti dimensioni sezionali, di spessore..
•Meso Livello: ottimizzazione a livello locale, ma anche sulla forma complessiva degli elementi, sulla posizione dei nodi …
•Macro Livello: ottimizzazione topologica, cambiando il modo in cui gli elementi sono connessi tra loro
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
INTRODUZIONE
E. Rossi
Criteri di Ottimizzazione
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
NELDER-MEAD METHOD O AMOEBA
CORSO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
NELDER-MEAD METHOD
E. Rossi
Storia
Il metodo fu pubblicato nel 1965 sulla rivista The Computer Journal.L’idea originale è da attribuirsi a Spendley et al. i quali pubblicarono un articolo nel 1962 in cuiformulavano un metodo di ottimizzazione in uno spazio multi-dimensionale basato su lacostruzione di un simplesso in grado di generarne altri semplicemente riflettendo uno dei suoipunti.Questa procedura risultava tuttavia troppo rigida risultando poco efficace.Il contributo principale di Nelder e Mead risiede principalmente nella definizione di un simplessoin grado di modificare la propria forma ed adattarsi alla funzione da ottimizzare.
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
NELDER-MEAD METHOD
E. Rossi
Funzionamento
• Si genera un simplesso di n+1 vertici in uno spazio ad n dimensioni• Si valutano i vertici in base al valore che la funzione obiettivo assume in quei punti. Se si
considera un simplesso a tre vertici essi possono essere denotati come: B = Best G = Good W = Worst
Riflessione
Si calcola il punto M come:
M = (B + G)/2
Si calcola il punto R come:
R = 2M - W
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
NELDER-MEAD METHOD
E. Rossi
Funzionamento
Espansione
Si calcola il punto E come:
E = 2R - M
Contrazione
Si calcolano i punti C1 e C2 come:
C1 = (W + M)/2C2 = (M + R)/2
Restringimento
Si calcola il punto S come:
S = (B + W)/2
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
NELDER-MEAD METHOD
E. Rossi
FunzionamentoStart
Generazione Simplesso
Valutazione dei Vertici
Calcolo punti M e R
f(R) < f(G)
f(B) < f(R)
W = R
Calcolo punto E
f(E) < f(B)
W = E W = R
f(C1) < f(C2)
Calcolo punti C1 e C2
f(C1) < f(W) f(C2) < f(W)
W = C1 W = C2
Calcolo punto S
W = SG = M
Y
Y
N
Y NN
Y N
Y YN
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
NELDER-MEAD METHOD
E. Rossi
Esempio ApplicativoOBIETTIVO
Dimensionamento Morfologico di una sezione in acciaio a doppio T che minimizzi l’area necessaria a sopportare un dato momento flettente
CONDIZIONI AL CONTORNO• Momento Flettente costante pari a: 1000 kNm
• Spessore delle ali e dell’anima costanti pari a: 15 mm• Coefficiente di sicurezza pari a: 1
VINCOLI• MRd/Med > 1
• Larghezza minima sezione: 50 mm• Altezza minima sezione: 50mm
RISULTATI ATTESICi si aspetta che la sezione ottima abbia una dimensione prevalente (altezza) e che l’altra
dimensione (larghezza) sia prossima al vincolo imposto
CRITERIO DI CONVERGENZASi assume l’avvenuta convergenza quando la differenza tra la funzione obiettivo nei tre vertici sia
inferiore ad 1 mm
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALE
NELDER-MEAD METHOD
Esempio Applicativoif A(1,1)<A(2,1)
if A(1,1)<A(3,1)B=1;if A(2,1)<A(3,1)
G=2;W=3;
elseG=3;W=2;
endelse
B=3;G=1;W=2;
endelseif A(1,1)<A(3,1)
B=2;G=1;W=3;
elseW=1;if A(2,1)<A(3,1)
B=2;G=3;
elseB=3;G=2;
endend
M=((V(B,:)+V(G,:))/2)R=2*M-V(W,:)if or((((((t*R(1,2)^3)/12)+2*(R(1,1)*t^3/12)+2*R(1,1)*t*(R(1,2)/2+t/2))/(R(1,2)/2)/1000000*fyd)-Med)<0,(R(1,1)<50 | R(1,2)<50))
Ar=(2*t*R(1,1)+t*R(1,2))^2else
Ar=2*t*R(1,1)+t*R(1,2)endif Ar<A(G)
if Ar>A(B)V(W,:)=R
elseE=2*R-Mif or((((((t*E(1,2)^3)/12)+2*(E(1,1)*t^3/12)+2*E(1,1)*t*(E(1,2)/2+t/2))/(E(1,2)/2)/1000000*fyd)-Med)<0,(E(1,1)<50 | E(1,2)<50))
Ae=(2*t*E(1,1)+t*E(1,2))^2else
Ae=2*t*E(1,1)+t*E(1,2)endif Ae>A(B)
V(W,:)=Relse
V(W,:)=Eend
endelse
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALEE. Rossi
NELDER-MEAD METHOD
Esempio Applicativo
-1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
0 50 100 1502
2.5
3
3.5x 10
4
N° of Iterations
Are
a [
mm
2]
Risulati
B H
50.17469 1306.494
50.27328 1306.238
50.94685 1304.936
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALEE. Rossi
CONCLUSIONI
CORDO DI OTTIMIZZAZIONE STRUTTURALEE. Rossi
• Il Metodo Amoeba risulta efficiente nell’ottimizzazione di funzioni ad n variabili in quanto è in grado di fornire una soluzione con un numero ridotto di iterazioni.
• Tale metodo risulta di facile applicazione anche in caso di problemi vincolati in quanto non necessita della continuità della funzione da ottimizzare.
• La scelta delle condizioni iniziali può influire sulla soluzione perciò è opportuno prevedere un restart dell’algoritmo di ottimizzazione con condizioni iniziali definite in maniera random o probabilistica, così da permettere di individuare, nel caso ce ne fossero, sia condizioni di ottimo locale che globale.