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Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 0
MATEMATICA FINANZIARIA
Prof. Andrea Berardi
1999
3. RENDITE
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 1
RENDITA
Operazione finanziaria composta, caratterizzata da n+1scadenze ),1,...,,...,1,0( nnt − e da n+1 importi da pagare o
riscuotere a quelle scadenze ),,...,,...,,( 110 nnt RRRRR −
0R 1R … 1−tR tR 1+tR ... 1−nR nR__||____||__________||_____||_____||_________||____||_
0 1 … t-1 t t+1 ... n-1 n
Singoli importi nnt RRRRR ,,...,,...,, 110 −
⇓⇓RATE della rendita
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Se 0=T ⇒⇒ valore attuale della rendita
∑=
⋅=n
ssT sTvRV
0
);(
Se nT = ⇒⇒ montante della rendita
∑=
⋅=n
ssT TsrRW
0
);(
Se nT ≤≤0 ⇒⇒ valore capitale della rendita
∑∑+==
⋅+⋅=n
Tss
T
ssT sTvRTsrRA
10
);();(
⇓⇓Valore capitale di una rendita è la somma delle rate
riportate “finanziariamente” ad una determinata epoca T
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VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA
Valore attuale di una rendita che paga $1 in ogni periodoper n periodi, calcolato utilizzando il tasso effettivo i
0 $1 …. $1 $1 $1 …. $1 $1__||____||________||_____||_____||________||_____||_
0 1 …. t-1 t t+1 …. n-1 n
( )∑∑=
−
=
+⋅=⋅=n
s
sn
s
isvV11
0 11$);0(1$
⇓⇓
( ) ( )i
ii
nn
s
s−
=
− +−=+∑ 111
1
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Dimostrazione per n = 2:
• ( )( ) ( )22
2
1 1
2
1
11
11
ii
iii
s
s
++=
++
+=+∑
=
−
•
( ) ( )( )
( ) ( )22
2
222
1
2
1
)2(
1
1
21
11
11
ii
iiii
iiii
ii
ii
++=
+⋅+⋅=
⋅++=+
−=+− −
⇓⇓
In generale, n∀ , si ha: ( ) ( )i
ii
nn
s
s−
=
− +−=+∑ 111
1
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⇓⇓“ a figurato n al tasso i ”
( )i
ia
n
in
−+−= 11
Valore attuale di un flusso di importi unitari ($1) per nperiodi unitari a partire dal periodo 1, dato un certo tasso i
Esempion = 5 anni, periodo unitario 1 anno, %4=i
( ) ( )452.4
04.004.1111 5
=−=+−=−−
ii
an
in
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MONTANTE DI UNA RENDITA
Montante di una rendita che paga $1 in ogni periodo per nperiodi, calcolato utilizzando il tasso effettivo i
0 $1 …. $1 $1 $1 …. $1 $1__||____||________||_____||_____||_________||_____||_
0 1 …. t-1 t t+1 …. n-1 n
( )∑∑=
−
=
+⋅=⋅=n
s
snn
sn insrW
11
11$);(1$
⇓⇓
( ) ( )ii
inn
s
sn 111
1
−+=+∑=
−
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⇓⇓“ s figurato n al tasso i ”
( )ii
sn
in
11 −+=
Montante di un flusso di importi unitari ($1) per n periodiunitari a partire dal periodo 1, dato un certo tasso i
Esempion = 5 anni, periodo unitario 1 anno, %4=i
( ) ( )416.5
04.0104.111 5
=−=−+=ii
sn
in
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CLASSIFICAZIONE DELLE RENDITE
Periodiche ♦♦ Non periodiche
Costanti ♦♦ Variabili
Intere ♦♦ Frazionate ♦♦ Continue
Temporanee ♦♦ Perpetue
Anticipate ♦♦ Posticipate
Immediate ♦♦ Differite
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PERIODICHEIntervallo di tempo intercorrente fra due rate consecutive èsempre uguale durante l’orizzonte temporale della rendita
NON-PERIODICHEIntervallo di tempo intercorrente fra due rate consecutive
varia durante l’orizzonte temporale della rendita
******************************************
COSTANTIImporti delle singole rate sono tutti uguali
VARIABILIImporti delle singole rate sono variabili
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INTERERate riferite al periodo unitario (anno, semestre,…)
FRAZIONATERate riferite a frazione del periodo unitario
CONTINUERate riferite a frazione infinitesimale del periodo unitario
******************************************
TEMPORANEENumero di rate è finito
PERPETUENumero di rate è un’infinità numerabile
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ANTICIPATELa scadenza di ciascuna rata è riferita all’istante iniziale
del corrispondente periodo
POSTICIPATELa scadenza di ciascuna rata è riferita all’istante finale del
corrispondente periodo
******************************************
IMMEDIATEPrima rata è riferita al primo periodo
DIFFERITEPrima rata è riferita ad un periodo successivo al primo
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FORMULE PER LA VALUTAZIONE DIDIFFERENTI TIPOLOGIE DI RENDITE
A. Rendita costante, periodica, intera, immediata
Costante ⇒⇒ Stessa rata RPeriodica ⇒⇒ Intervallo tra rate sempre uguale
Intera ⇒⇒ Riferita al periodo unitario
Immediata ⇒⇒ Prima rata riferita al primo periodo
⇓⇓Posticipata oppure AnticipataTemporanea oppure Perpetua
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A.1. Rendita costante, periodica, intera, immediataposticipata e temporanea
n rate di uguale ammontare R, ognuna riferita all’istantefinale della corrispondente scadenza
0 R …. R R R …. R R__||____||_______||_____||_____||_________||_____||_
0 1 …. t-1 t t+1 …. n-1 n
( ) ( )i
iRaRiRV
n
in
n
s
s−
=
− +−⋅=⋅=+⋅= ∑ 111
10
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A.2. Rendita costante, periodica, intera, immediataanticipata e temporanea
n rate di uguale ammontare R, ognuna riferita all’istanteiniziale della corrispondente scadenza
R R …. R R R …. R 0__||____||________||____||_____||________||_____||__
0 1 …. t-1 t t+1 …. n-1 n
( ) ( )i
iiRaRiRV
n
in
n
s
s−−
=
− +−⋅+⋅=⋅=+⋅= ∑ 11)1(1
1
00 &&
“ a anticipato figurato n al tasso i ”
inin aia ⋅+= )1(&&
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Esempio A.1
Rendita costante, periodica, intera, immediataposticipata e temporanea
Rendita che inizia oggi, ha durata 5 anni e paga rate annuecostanti posticipate di £ 100 al tasso di interesse effettivo
annuo i = 10%
0 100 100 100 100 100__||_____||______||______||______||______||_
0 1 2 3 4 5
( )08.379
1.01.011
1005
%1050 =+−⋅=⋅=−
aRV
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Esempio A.2
Rendita costante, periodica, intera, immediataanticipata e temporanea
Rendita che inizia oggi, ha durata 5 anni e paga rate annuecostanti anticipate di £ 100 al tasso di interesse effettivo
annuo i = 10%
100 100 100 100 100 0__||_____||______||______||______||______||_
0 1 2 3 4 5
( )99.4161.1
1.01.011
1005
%1050 =⋅+−⋅=⋅=−
aRV &&
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A.3. Rendita costante, periodica, intera, immediataposticipata e perpetua
Infinite rate di uguale ammontare R, ognuna riferitaall’istante finale della corrispondente scadenza
0 R …. R R R ….__||____||________||_____||_____||___________
0 1 …. t-1 t t+1 …. ∞∞
( )iR
aRiRV i
n
s
s
n=⋅=+⋅= ∞
=
−
∞→ ∑1
0 1lim
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⇓⇓
iaa inni
1lim ==
∞→∞
Dimostrazione
( )iii
ia
n
ninn
10111limlim =−=+−=
−
∞→∞→
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A.4. Rendita costante, periodica, intera, immediataanticipata e perpetua
Infinite rate di uguale ammontare R, ognuna riferitaall’istante iniziale della corrispondente scadenza
R R …. R R R ….__||____||_________||_____||_____||____________
0 1 …. t-1 t t+1 …. ∞∞
( )dR
aRiRV i
n
s
s
n=⋅=+⋅= ∞
−
=
−
∞→ ∑ &&1
00 1lim
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⇓⇓
dii
aia ii
11)1( =+=⋅+= ∞∞&&
Dimostrazione
( )
dii
ii
ii
ia
n
ninn
11
)1(01
)1(11
limlim
=+=
+⋅−=+⋅+−=−
∞→∞→&&
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Esempio A.3
Rendita costante, periodica, intera, immediataposticipata e perpetua
Rendita che inizia oggi, ha durata infinita e paga rate annuecostanti posticipate di £ 100 al tasso di interesse effettivo
annuo i = 10%
0 100 100 100 ….__||_____||______||______||___________
0 1 2 3 …. ∞∞
10001.0
100%100 ==⋅= ∞aRV
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Esempio A.4
Rendita costante, periodica, intera, immediataanticipata e perpetua
Rendita che inizia oggi, ha durata infinita e paga rate annuecostanti anticipate di £ 100 al tasso di interesse effettivo
annuo i = 10%
100 100 100 100 ….__||_____||______||______||_____________
0 1 2 3 …. ∞∞
11000909.0100
1.11.0
100%100 ==⋅=⋅= ∞aRV &&
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B. Rendita costante, periodica, intera, differita
Costante ⇒⇒ Stessa rata RPeriodica ⇒⇒ Intervallo tra rate sempre ugualeIntera ⇒⇒ Riferita al periodo unitarioDifferita ⇒⇒ Prima rata riferita a periodo k, k>0
⇓⇓Posticipata oppure AnticipataTemporanea oppure Perpetua
⇓⇓Il valore di una rendita differita di k periodi è uguale al
valore della corrispondente rendita immediatamoltiplicata per ki −+ )1(
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B.1. Rendita costante, periodica, intera, differitaposticipata e temporanea
n rate di uguale ammontare R, ognuna riferita all’istantefinale della corrispondente scadenza.Prima rata riferita al k-esimo periodo
0 R …. R …. R R__||__________||______||________||_________||______||_
0 k k+1 …. k+t …. k+n-1 k+n
( ) ( ) ( )i
iiRiRiV
nk
n
s
sk−
−
=
−− +−⋅+⋅=+⋅⋅+= ∑ 11)1(11
10
“ a figurato n al tasso i differito k ”
ink
ink aia ⋅+= −)1(/
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B.2. Rendita costante, periodica, intera, differitaanticipata e temporanea
n rate di uguale ammontare R, ognuna riferita all’istanteiniziale della corrispondente scadenzaPrima rata riferita al k-esimo periodo
R R …. R …. R 0__||__________||_____||_________||_________||______||_
0 k k+1 …. k+t …. k+n-1 k+n
( ) ( ) ( )i
iiRiRiV
nk
n
s
sk−
+−−
=
−− +−⋅+⋅=+⋅⋅+= ∑ 11)1(11 1
1
00
“ a anticipato figurato n al tasso i differito k ”
ink
ink aia &&&& ⋅+= −)1(/
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Esempio B.1
Rendita costante, periodica, intera, differitaposticipata e temporanea
Rendita che inizia fra 2 anni, ha durata 5 anni e paga rateannue costanti posticipate di £ 100 al tasso di interesse
effettivo annuo i = 10%
0 0 0 100 100 100 100 100__||_____||_____||_____||_____||_____||_____||_____||_
0 1 2 3 4 5 6 7
( )29.313)1.1(
1.01.011
100 25
%105/20 =⋅+−⋅=⋅= −−
aRV
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Esempio B.2
Rendita costante, periodica, intera, differitaanticipata e temporanea
Rendita che inizia fra 2 anni, ha durata 5 anni e paga rateannue costanti anticipate di £ 100 al tasso di interesse
effettivo annuo i = 10%
0 0 100 100 100 100 100 0__||_____||_____||_____||_____||_____||_____||_____||_
0 1 2 3 4 5 6 7
( )62.344)1.1(
1.01.011
100 125
%105/20 =⋅+−⋅=⋅= +−−
aRV &&
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B.3. Rendita costante, periodica, intera, differitaposticipata e perpetua
Infinite rate di uguale ammontare R, ognuna riferitaall’istante finale della corrispondente scadenza
Prima rata riferita al k-esimo periodo
0 R …. R ….__||__________||______||________||____________
0 k k+1 …. k+t …. ∞∞
( ) ( ) ( ) kn
s
s
n
k ii
RiRiV −
=
−
∞→
− +⋅⋅=+⋅⋅+= ∑ 11
1lim11
0
( ) i
k
ik aia ∞−
∞ ⋅+= 1/
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B.4. Rendita costante, periodica, intera, differitaanticipata e perpetua
Infinite rate di uguale ammontare R, ognuna riferitaall’istante iniziale della corrispondente scadenza
Prima rata riferita al k-esimo periodo
R R …. R …….__||__________||______||________||______________
0 k k+1 …. k+t ……. ∞∞
( ) ( ) ( ) kn
s
s
n
k id
RiRiV −−
=
−
∞→
− +⋅⋅=+⋅⋅+= ∑ 11
1lim11
00
( ) i
k
ik aia ∞−
∞ ⋅+= &&&& 1/
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Esempio B.3
Rendita costante, periodica, intera, differitaposticipata e perpetua
Rendita che inizia fra 2 anni, ha durata infinita e paga rateannue costanti posticipate di £ 100 al tasso di interesse
effettivo annuo i = 10%
0 0 0 100 100 100 ….__||_____||____||_____||______||_____||___________
0 1 2 3 4 5 …. ∞∞
24.826)1.1(1.0
100 2%10/20 =⋅=⋅= −
∞aRV
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 31
Esempio B.4
Rendita costante, periodica, intera, differitaanticipata e perpetua
Rendita che fra 2 anni, ha durata infinita e paga rate annuecostanti anticipate di £ 100 al tasso di interesse effettivo
annuo i = 10%
0 0 100 100 100 100 ….__||_____||____||_____||______||_____||___________
0 1 2 3 4 5 …. ∞∞
09.909)1.1(0909.0100
)1.1(1.0
100 212%100 =⋅=⋅=⋅= −+−
∞aRV &&
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C. Rendita costante, periodica, frazionata, immediata
Costante ⇒⇒ Stessa rata RPeriodica ⇒⇒ Intervallo tra rate sempre uguale
Frazionata ⇒⇒ Riferita a frazione di periodo unitario
Immediata ⇒⇒ Prima rata riferita al primo periodo
⇓⇓Posticipata oppure AnticipataTemporanea oppure Perpetua
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C.1. Rendita costante, periodica, frazionata, immediataposticipata e temporanea
n⋅⋅m rate di uguale ammontare R/m, ognuna riferitaall’istante finale della corrispondente scadenza.
m scadenze per periodo unitario
0 R/m R/m … R/m R/m R/m ... R/m … R/m R/m||___||_____||______||____||_____||_______||_____||_____||0 1/m 2/m … 1 1+1/m 1+2/m ... 2 … n-1/m n
m
mn
mmn
s
s
m i
i
mR
imR
V1
1
110
11)1(
⋅−
⋅
=
−
+−
⋅=+⋅= ∑
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 34
⇓⇓)(
0minaRV ⋅=
⇓⇓
inmin a
mji
a ⋅=)(
)(
⇓⇓Dimostrazione
⇓⇓
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( )
( )
in
n
m
mmn
m
mn
mmn
s
s
m
amji
R
mji
ii
R
imi
R
i
i
mR
imR
⋅⋅=
⋅+−⋅=
⋅+−⋅=
+−
⋅=+⋅
−
⋅−
⋅−
⋅
=
−∑
)(
)(11
11
11)1(
1
/
1
1
11
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C.2. Rendita costante, periodica, frazionata, immediataanticipata e temporanea
n⋅⋅m rate di uguale ammontare R/m, ognuna riferitaall’istante iniziale della corrispondente scadenza.
m scadenze per periodo unitario
R/m R/m R/m …R/m R/m R/m … R/m … R/m 0||_____||____||_____||____||_____||_______||______||_____||0 1/m 2/m ... 1 1+1/m 1+2/m … 2 … n-1/m n
)1(11
)1( 11
11
010
mm
mn
mmn
s
s
mi
i
i
mR
imR
V +⋅
+−
⋅=+⋅=
⋅−
−⋅
=
−∑
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 37
⇓⇓)(
0minaRV &&⋅=
⇓⇓
inm
min a
mji
ia ⋅⋅+=)(
)1( 1)(&&
⇓⇓Dimostrazione
(Come sopra)
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Esempio C.1
Rendita costante, periodica, frazionata, immediataposticipata e temporanea
Rendita che inizia oggi, ha durata 3 anni e paga ratesemestrali costanti posticipate di £ 50 (£ 100 in termini
annui) al tasso di interesse effettivo annuo i = 10%
0 100/2 100/2 100/2 100/2 100/2 100/2__||_____||______||______||______||______||______||_
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
( ) ( )75.254
1.01.011
0976.01.0100
0488.00488.011
2100 323
0 =+−⋅⋅=+−⋅=−⋅−
V
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 39
Esempio C.2
Rendita costante, periodica, frazionata, immediataanticipata e temporanea
Rendita che inizia oggi, ha durata 3 anni e paga ratesemestrali costanti anticipate di £ 50 (£ 100 in termini
annui) al tasso di interesse effettivo annuo i = 10%
100/2 100/2 100/2 100/2 100/2 100/2 0____||______||______||______||______||______||_____||_
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
( )19.267)0488.1(
0488.00488.011
2100 23
0 =⋅+−⋅=⋅−
V
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 40
C.3. Rendita costante, periodica, frazionata, immediataposticipata e perpetua
Infinite rate di uguale ammontare R/m, ognuna riferitaall’istante finale della corrispondente scadenza.
m scadenze per periodo unitario
0 R/m R/m ... R/m R/m R/m …. R/m …||_____||_____||______||_____||_____||_______||________0 1/m 2/m ... 1 1+1/m 1+2/m …. 2 … ∞∞
)()1(lim
110 mj
Ri
mR
Vmn
s
s
mn=+⋅= ∑
⋅
=
−
∞→
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 41
⇓⇓
)(1
lim )()(
mjaa m
inn
mi ==
∞→∞
⇓⇓Dimostrazione
)(11
)(
lim)()(
limlim )(
mjimji
amji
amji
a inninn
minn
=⋅=
⋅=⋅=∞→∞→∞→
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 42
C.4. Rendita costante, periodica, frazionata, immediataanticipata e perpetua
Infinite rate di uguale ammontare R/m, ognuna riferitaall’istante iniziale della corrispondente scadenza.
m scadenze per periodo unitario
R/m R/m R/m …. R/m R/m R/m .… R/m ….||_____||_____||______||____||_____||________||________0 1/m 2/m …. 1 1+1/m 1+2/m …. 2 …. ∞∞
)1()(
)1(lim 1
1
010
m
mn
s
s
mni
mjR
imR
V +⋅=+⋅= ∑−⋅
=
−
∞→
)(1
)1(lim 1)()(
mjiaa
m
minn
mi ⋅+==
∞→∞ &&&&
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 43
Esempio C.3
Rendita costante, periodica, frazionata, immediataposticipata e perpetua
Rendita che inizia oggi, ha durata infinita e paga ratesemestrali costanti posticipate di £ 50 (£ 100 in termini
annui) al tasso di interesse effettivo annuo i = 10%
0 100/2 100/2 100/2 100/2__||_____||_____||______||______||___________
0 0.5 1 1.5 2 ∞∞
40.10240976.0100
0 ==V
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 44
Esempio C.4
Rendita costante, periodica, frazionata, immediataposticipata e perpetua
Rendita che inizia oggi, ha durata infinita e paga ratesemestrali costanti anticipate di £ 50 (£ 100 in termini
annui) al tasso di interesse effettivo annuo i = 10%
100/2 100/2 100/2 100/2____||_____||______||______||_________________
0 0.5 1 1.5 ∞∞
40.1074)0488.01(0976.0100
0 =+⋅=V
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 45
D. Rendita costante, periodica, continua, immediata,temporanea
Costante ⇒⇒ Stessa rata RPeriodica ⇒⇒ Intervallo tra rate sempre uguale
Continua ⇒⇒ Riferita a frazione infinitesimale diperiodo unitario
Immediata ⇒⇒ Prima rata riferita al primo periodo
Temporanea ⇒⇒ Numero di rate finito
⇓⇓Posticipata = Anticipata
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 46
⇓⇓Rendite continue caso limite delle rendite frazionate
quando il numero m delle rate corrisposte nel periodounitario tende a diventare infinito
in
mn
s
s
mmaRi
mR
V ⋅=+⋅= ∑⋅
=
−
∞→1
10 )1(lim
inminm
minmin a
iaaa ⋅===
∞→∞→ δ)()( limlim &&
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 47
Rendita costante, periodica, temporanea, immediata
Posticipata Anticipata
Intera ( )i
ia
n
in
−+−= 11 ( ) inin aia ⋅+= 1&&
Frazionatain
min
amji
a ⋅=)(
)(in
m
min
amji
ia ⋅⋅+=)(
)1( 1)(&&
Continua == inin ai
a ⋅=δ
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 48
PROBLEMI INVERSI
Dato valore attuale di una rendita, determinare rata Roppure numero di rate n oppure tasso di interesse i
Si considera il problema per il caso di una renditacostante, periodica, intera, immediata, posticipata etemporanea
0 R …. R R R …. R R__||____||_______||____||____||_________||_____||_
0 1 …. t-1 t t+1 …. n-1 n
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 49
Valore attuale
( )i
iRaRV
n
in
−+−⋅=⋅= 110
Rata
( ) nin i
iVaV
R −+−⋅==
1100
Numero rate
( )iR
iV
n+
⋅
−−=
1log
1log 0
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 50
RICERCA DEL TASSO DI INTERESSE(OVVERO, RICERCA DEL T.I.R.)
Problema:dati 0V , R , n , determinare i nell’espressione
( )i
iRV
n−+−⋅= 110
⇓⇓
( )( )RV
ii
n
0
11 −+−=
⇓⇓)()( iziy =
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 51
METODO ITERATIVO
1. Si fissa un valore iniziale 0i e si calcolano le duefunzioni )(iy e )(iz in corrispondenza di tale tasso
Se )()( 00 iyiz > , allora )()( 10 iyiz = con 01 ii >
2. Si calcolano le funzioni )(iy e )(iz per il tasso 1i
Se )()( 11 iyiz > , allora )()( 21 iyiz = con 12 ii >
3. Si calcolano le funzioni )(iy e )(iz per il tasso 2i
Se )()( 22 iyiz > , allora )()( 32 iyiz = con 23 ii >
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 52
E così via fino all’h-esima iterazione, tale per cui il tasso
hi soddisfa l’uguaglianza fra le due funzioni:
)()( hh iyiz ≅
Il tasso hi è il tasso cercato, ovvero il T.I.R.dell’operazione considerata
⇓⇓Condizione necessaria e sufficiente affinché la rendita abbiaun T.I.R. positivo è che la somma delle rate (incassi futuri)
sia maggiore del valore attuale (prezzo)
Condizione sufficiente affinché esista un unico T.I.R.positivo è che gli importi relativi alla rendita cambino segno
una sola volta (esborso iniziale negativo e rate positive)
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 53
EsempioRendita periodica, intera, immediata, posticipata di
durata 3 anni, rata costante $50 e valore attuale $125Qual è il tasso di interesse (il T.I.R.) della rendita?
Applicazione del metodo iterativo
1. Scelta del valore iniziale %80 =i08.0%)8(08247.0%)8( =>= yz
%)247.8(%)8( yz = e quindi %247.81 =i
2. Calcolo delle funzioni al tasso %247.81 =i08247.0%)247.8(08463.0%)247.8( =>= yz
%)463.8(%)247.8( yz = e quindi %463.82 =i
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 54
…… e così via .…..40. Calcolo delle funzioni al tasso %70.940 =i
%)70.9(097.0%)70.9( yz ==
Iterazione )(iy )(iz Differenza1 0.08000 0.08247 0.002472 0.08247 0.08463 0.002163 0.08463 0.08652 0.00189
………. ………. ………. ……….………. ………. ………. ……….
39 0.09699 0.09700 0.0000140 0.09700 0.09700 0
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 55
INDICI TEMPORALI E INDICI DI VARIABILITA’
Si consideri una rendita variabile, periodica, intera,immediata, posticipata e temporanea (per esempio, un
titolo obbligazionario con cedole annuali)
0 1R ……. 1−tR tR 1+tR .… 1−nR nR__||____||__________||_____||_____||_________||____||_
0 1 ……. t-1 t t+1 …. n-1 n
L’orizzonte temporale di questa rendita è [0 , n]Il tempo alla scadenza della rendita è n
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 56
Scadenza media aritmetica
∑
∑
=
=
⋅= n
ss
n
ss
R
Rst
1
1
Media aritmetica ponderata delle scadenze s ,con pesi pari agli importi futuri sR
⇓⇓Indipendente dal tasso di interesse
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 57
Esempio
Scadenza media aritmetica di un titolo obbligazionario(rendita variabile, periodica, frazionata, immediata,
posticipata e temporanea) con scadenza 3 anni, cedolasemestrale $5 e valore nominale $100
71.2130
5.352
10555555105355.25255.15155.0
3
5.0
3
5.0
==
+++++⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=
⋅=
∑
∑
=
=
ss
ss
R
Rst
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 58
Durata media finanziaria (duration)
( )
( )∑
∑
=
−
=
−
+⋅
+⋅⋅= n
s
ss
n
s
ss
iR
iRsD
1
1
1
1
Media aritmetica ponderata delle scadenze s ,con pesi uguali al valore attuale percentuale degli
importi futuri sR
⇓⇓Funzione del tasso di interesse
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 59
Esempio
Duration (durata media finanziaria) di un titoloobbligazionario (rendita variabile, periodica, frazionata,
immediata, posticipata e temporanea) con scadenza 3 anni,cedola semestrale $5, valore nominale $100 e T.I.R. 7%
68.232.10829.290
)07.1(105)07.1(5)07.1(5
)07.1(5)07.1(5)07.1(5
)07.1(1053)07.1(55.2)07.1(52
)07.1(55.1)07.1(51)07.1(55.0
35.22
5.115.0
35.22
5.115.0
==
⋅+⋅+⋅+
⋅+⋅+⋅
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅
=
−−−
−−−
−−−
−−−
D
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 60
La duration rappresenta anche un indice di variabilitàdel valore di una rendita, in quanto funzione della
derivata del valore attuale rispetto al tasso di interesse
( )
( ) 01
1
00
11
11
1
11
1
VDi
iRDi
iRsidi
dVV
n
s
ss
n
s
ss
⋅⋅+
−=+⋅⋅⋅+
−=
+⋅⋅⋅+
−=≡′
∑
∑
=
−
=
−
⇓⇓
)1(0
0 iVV
D +⋅′
−=
Elasticità del valore attuale rispetto al tasso di interesse
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 61
Duration modificata
0
0
11
VV
Di
DM′
−=⋅+
=
Duration modificata misura la variazione percentuale delvalore attuale della rendita )( 0V al variare del tasso di
interesse i
0
0
0
0 1Vdi
dVVV
DM ⋅−=′
−=
Corso di Matematica Finanziaria 1999 di Andrea Berardi Sezione 3 62
Esempio
Qual è la variazione percentuale del prezzo di un titoloobbligazionario (rendita variabile, periodica, frazionata,
immediata, posticipata e temporanea) con scadenza 3 anni,cedola semestrale $5, valore nominale $100 e T.I.R. 7%, se
il T.I.R. scende al 5%
Duration di questo titolo è 2.68 (esempio precedente)
50.268.207.11
11 =⋅=⋅+
= Di
DM
%505.0)02.0(50.20
0 +==−⋅−=⋅−= diDMVdV