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- Cinematica - 1
Meccanica
Sistemi meccanici:Il più semplice è il PUNTO MATERIALE: oggetto privo di dimensioni
(dotato di massa)Astrazione utile:� per definire in modo semplice alcune grandezze fondamentali� quando interessa il moto globale e non i dettagli
Successivamente vedremmo:• Insiemi di punti materiali centro di massa• Corpo rigido traslazione• Fluido rotazione
Studio del Moto: vogliamo capire come e perche’ si muovono i corpi per poi poter:• fare predizioni (moto delle comete, flusso di correnti)• fare avvenire un moto in un determinato modo (macchine, satelliti artificiali)
- Cinematica - 2
Cinematica
Studio puramente descrittivo del moto dei corpi, indipendentedalle cause (=> forze) che determinano le variazioni dello stato di moto(=> accelerazioni = variazione di velocità)
Cinematica “scalare”:- studia il moto unidimensionale in funzione del tempo- necessita di quantità “scalari”, esprimibili cioè da un’unica funzione
del tempo
Cinematica “vettoriale”:- studia il moto in due o più dimensioni- necessita di “quantità vettoriali”
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- Cinematica - 3
-Traiettoria ( astrazione) : luogo dei punti dello spaziooccupati dal punto materiale durante il moto
Punto materiale, sistema di riferimento
-Punto materiale ( astrazione) : oggetto privo di dimensioni(concretamente: oggetto le cui dimensioni sono trascurabili rispetto a quelle delle regioni di spazio in cui si muove o, meglio,rispetto alle dimensioni tipiche entro cui variano apprezzabilmentele quantità che ne determinano il moto ) ma dimensioni molto piu’
grandi delle dimensioni atomiche.
La descrizione del moto presuppone la definizione di un -“sistema di coordinate” che puo’ assumere varie forme
- la traiettoria, un’origine su di essa e un verso di percorrenza- scelta di un punto arbitrario dello spazio detto “origine” e il raggio vettore che individua la posizione del punto materiale rispetto tale origine.
- scelta di un sistema di “assi coordinati” lungo i quali misurarele distanze e/o rispetto ai quali misurare le posizioni angolari
- Cinematica - 4
uz uy uz
Vettori di modulo unitario
uz
uy
uz
3
- Cinematica - 5
- Cinematica - 6
s(t)(“diagramma orario”)
tt0 t1 t2 t3 t4
s0=s(t0)s1
s3
s2
s4
Grafico della legge del moto:
“traiettoria”
0 s(to) s(t1) s(t3) s(t2) s(t4)….. x
Origine
Moto unidimensionale : supponiamo data la traiettoria ( retta, curva...)
Indichiamo con s coordinata lungo la traiettoria
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- Cinematica - 7
• “Coordinata curvilinea” s(t) :
– spazio percorso al tempo t lungo la “traiettoria”
luogo geometrico dei punti dellospazio occupati dal punto materialedurante il moto
Po
P(t)s(t)
Velocità scalare mediatra due istanti t1 e t2=t1+∆t
s(t)
t
“legge del moto s(t)”
t1 t2
s(t1)
s(t2)
∆t∆s
t
s
t
tsttsm ∆
∆=∆
−∆+= )()(v 11
Coordinata curvilinea e velocità scalare media
- Cinematica - 8
5
- Cinematica - 9
- Cinematica - 10
6
- Cinematica - 11
- Cinematica - 12
t
s(t)
α (t)v(t) = tan(α(t)) = ds/dt
Nota la funzione v(t), la legge del moto s(t) si ottiene perintegrazione:
ds = v(t) dt
dt
tds
t
tsttstv
t
)()()(lim)(
0=
∆−∆+=
→∆
∫+=t
t
dttvtsts0
')'()()( 0
∫∫ =−==∆t
t
s
s
dttvtstsdss00
')'()()( 0
(dimensione : [v] = m/s) :
Velocità scalare istantanea
E’ la derivata rispetto al tempo della coordinata curvilinea s(t):
ds
dt
In un triangolo rettangoloun cateto e’ ugualeall’altro cateto per la tangente dell’angoloopposto al primo
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- Cinematica - 13
∆s : variazione finita di spazio lungo la traiettoria nel tempo finito ∆t
ds : variazione dello spazio lungo la traiettoria nel tempo infinitesimo dt. E’ anch’esso un infinitesimo
s(t)
t
“legge del moto s(t)”
t1 t2
s(t1)
s(t2)
∆t∆s
dt
tds
t
tsttstv
t
)()()(lim)(
0=
∆−∆+=
→∆
Derivata della variabile dipendente s ( funzione
della variabile t ) rispetto la variabile indipendente t
- Cinematica - 14
Spazio: nota la funzione velocitá é l’area sottesa dalla funzione v(t) nell’intervallo di tempo considerato
t
t
t
v(t)
v(t)
to t1 t2 t3 t4
to
∆ t
t
∫+=t
t
dttvtsts0
')'()()( 0
∑=
∆+=5
00 )()()(
ii ttvtsts
∑=
∆+=2
00 )()()(
ii ttvtsts
to t1 t2
v(t)
∆t
dt
integrale definito
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- Cinematica - 15
Accelerazione scalare istantanea:
Data la funzione a(t), la velocità v(t) si ottiene per integrazione:
Accelerazione scalare media nell’intervallo iesimo ..:
dv = a(t) dt
t
v
t
tvttvam ∆
∆=∆
−∆+= )()( 11
2
2
0
)()()()()(lim)(
dt
tsd
dt
tds
dt
d
dt
tdv
t
tvttvta
t≡
==∆
−∆+=→∆
∫∫ =−==∆t
t
v
v
dttatvtvdvv00
')'()()( 0
∫+=t
t
dttatvtv0
')'()()( 0
Accelerazione
(dimensione : [a] = m/s2)
- Cinematica - 16
Sia a= dv(t)/dt o accelerazione tangenziale
uniforme a=0 , v=cost
uniformemente accelerato a=cost
moto armonico a(t) = -k s(t)
moto smorzato esponenzialmente a(t)=-γv
moto vario a=a(t)
Moto rettilineo : la traiettoria e’ una retta e si indica con x la coordinata lungo la retta
Moto circolare : la traiettoria e’ una una circonferenza
Moto vario : la traiettoria e’ una curva
Moto piano : la traiettoria giace in un piano
Esempio di moti unidimensionali
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- Cinematica - 17
Moto rettilineo
La traiettoria piu semplice: un segmento di retta:
Il sistema di riferimento è una retta orientata
direzioneversoorigine O (fissata arbitrariamente)
(dipende dal problema specifico)
Diagramma orario: è il grafico della funzione x(t): come varia x in funzione del tempo. La particella (punto materiale) si muove lungo x.
- Cinematica - 18
Moto rettilineo uniforme
v = cost La velocità non cambia nel tempo
)()()( 000000
ttvxdtvxdttvxtxt
t
t
t−−−−++++====∫∫∫∫++++====∫∫∫∫++++====
Legge oraria del moto rettilineo uniforme
• Lo spazio è funzione lineare del tempo• In tempi uguali sono percorsi spazi uguali• x cresce sempre o decresce sempre• La velocità media coincide con la velocità istantanea
x
t
v
t
Esempio:
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- Cinematica - 19
Moto rettilineo accelerato
La velocità cambia nel tempo12
12 vvv
tttam −
−=∆∆= accelerazione
media
L’accelerazione istantanea è: 2
2
0
vvlim dt
xd
dt
d
ta
t
==∆∆=
→∆
� a = 0 � v = cost � moto rettilineo uniforme
� a = cost � moto rettilineo uniformemente accelerato
� a non è costante � moto vario� a(t)� a > 0 � la velocità cresce
� a < 0 � la velocità decresce
E’ il segno di v quello che da il verso del moto (e non quello dell’accelerazioe!)
L’accelerazione è legata a la forza (Newton, Dinamica)
Unità di misura: [a]=[v]/[t]=m/s2
- Cinematica - 20
L’accelerazione nel moto rettilineo
dt
da
v= dttad )(v = ∫∫ ==−=∆2
1
2
1
)(vvvv 12
v
v
v
v
dttad
∫+=t
t
dttat0
)(v)(v 0relazione generale
È fondamentale conoscere le condizioni iniziali (v0 e t0)
Nota x(t) � Derivata � v(t) � Derivata � a(t)
Nota a(t) � Integrale � v(t) � Integrale � x(t)
Se conosciamo l’accelerazione in funzione della posizione (a(x)):
vv)(
vv
)(
ddxxadx
d
dt
dx
dx
dv
dt
dvxa
=⇒
=== ( )∫∫ −==2
1
2
1
21
22 vv
2
1vv)(
v
v
x
x
ddxxa
11
- Cinematica - 21
Moto rett. uniformemente accelerato
a = cost L’accelerazione non cambia nel tempo
)(vv)()( 0000
00
ttadtadttavtvt
t
t
t
−+=+=+= ∫∫
202
1000
0000
)()(v
)](v[)(v)(00
ttattx
dtttaxdttxtxt
t
t
t
−+−+=
−++=+= ∫∫
Legge oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato
- Cinematica - 22
Moto rettilineo: esempi
mot
o re
ttili
neo
unif
orm
emen
te a
ccel
erat
o
moto rettilineo accelerato
a=cost a≠cost
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- Cinematica - 23
esempioEsercizi : metodo .-Disegno/schizzo-sistema di riferimento con dati iniziali -strategia e leggi.
2.01 Un oggetto e’ sparato verso l’alto in direzione verticale con velocita’ di 98 m/s dalla sommita’ di un edifico alto 100 m. Trovarea) la massima altezza raggiunta rispetto il suolo,b) il tempo necessario per raggiungere tale altezza, c) la velocita’ quando raggiunge il suolo, ed) il tempo totale necessario per raggiungere il suolo.
Risultati :x(max)= 590 mt(max)= 10 sv(suolo+)=107.41m/s t(suolo) =-0.96 e 20.06 m/s
Esercizio proposto. Un sasso e’ lanciato verso l’alto dal tetto di un edificio con velocita’ v0=14.7 m/s e tocca terra in un tempo t3= 5s. Calcolare la velocita’ finale, l’altezza dell’edificio e la massima altezza raggiunta. Rispvf=34.3 m/s ; h0 = 50m , hmax= v02/2g=11.02 m/s (tmax=1.5 s)
- Cinematica - 24
esempioEsercizi : metodo .-Disegno/schizzo-sistema di riferimento con dati iniziali -strategia e leggi.
Esempio 1.4 testo
Due punti materiali si muovono sullo stesso asse nello stesso verso con velocita’ v1 e v2 con v2>v1. All’istante t=0 sono a distanza d con il secondo davanti che iniziaa frenare con accelerazione a negativa , a=-a0 . Determinare la relazione tra v1, v2,d ed a affinche’ il primo punto non tamponi il secondo.
( esempio a=-4m/s2, v1=100km/h, v2=50km/h risposta ;dmin= )
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- Cinematica - 25
Moto verticale di un punto
x
Sperimentalmente è un moto con accelerazione costante
2m/s8.9======== ga (vero in assenza di attrito dell’aria)
202
1000 )()(v)( ttattxtx −+−+=
)(v)(v 00 ttat −+=
Esempio 1 : corpo che cade da un’altezza h con v0 = 0
x
h
gatvhx −−−−================ ,0,0, 000Condizioni iniziali
221)( gthtx −−−−==== gtt =)(v
tempo di caduta (x=0)g
hxt
2)0( ========
velocità al suolo (x=0) ghx 2)0(v ==
- Cinematica - 26
Moto verticale (Esempio 2)Corpo lanciato da terra verso l’alto con velocità iniziale v0
x
v0
gatvx −−−−========>>>>==== ,0,0,0 000Condizioni iniziali
221
0)( gttvtx −−−−==== gtvtv −−−−==== 0)(
altezza massima (v=0)g
hvx2
v)0(
20===
tempo di salita (v=0) ghgvvt /2/)0( 0 ============
� nel istante t(v =0), siamo nell’esempio 1� il tempo di salita è uguale al tempo di caduta� l’altezza raggiunta dipende dal quadrato della velocità� la velocità al suolo è uguale alla velocità di partenza v0
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- Cinematica - 27
Moto armonico semplice (oscillatore armonico)
Il moto segue la legge oraria
0per faseiniziale fase:
pulsazione:
fase:
di valoremax.ampiezza:
)sin()(
=≡
+≡
+=
t
t
xA
tAtx
ϕω
ϕω
ϕω
MOTO PERIODICO: la funzione seno e’ periodica. Il punto descrive un’oscillazione
-A
0
A
x
Il periodo T dell’oscillazione viene dato da:
periodo T
Ttt
tt
txtxttT
========−−−−⇒⇒⇒⇒
++++++++====++++⇒⇒⇒⇒
====⇒⇒⇒⇒−−−−====
ωππϕωϕω
/2
2
)()(
12
12
1212per definizione di periodo
allora le fasi devono essere
definiamo la frequenza
πωυ2
1 ========T
- Cinematica - 28
La velocità e l’accelerazione nel moto armonico semplice
)sin()( ϕω += tAtx
)cos()(v)(v ϕωω +=⇒= tAtdt
dxt
)(
)sin()(v
)(
2
2
tx
tAtadt
dta
ω
ϕωω
−=
+−=⇒=
Massima al centro, nulla agli estremi,valore massimo: ωA
Massima agli estremi, nulla al centro,valore massimo: ω2Ain oposizione di fase con x
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- Cinematica - 29
Moto armonico (cont.)
2/
)cos()(
)2/cos()sin()(
1
1
πϕϕϕω
πϕωϕω
−=+=
−+=+=tAtx
tAtAtx
Le soluzioni seno e coseno sono equivalenti se l’argomento e’sfasato di π/2 , infatti
Possiamo usare la funzione seno oppure coseno come legge oraria di un moto armonico , si dovra’ solo considerare la fase opportuna.
- Cinematica - 30
Moto armonico (cont.)
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- Cinematica - 31
Moto armonico (cont.)
- Cinematica - 32
:
i) Sia dato un moto armonico di frequenza ω data. ii) posizione iniziale nulla con velocità iniziale non nulla:Scegliamo
.0v)0(v
.0)0(
0 >≡===
t
txv0
t
ttx ωω
sinv
)( 0=x t( )
v 0 / ω
− v 0 / ω
ωϕ
/v
.0
0==
Attx ω
ωsin
v)( 0=⇒ ⇒
⇒
⇒ l’oscillazione avviene con ampiezza A = v0 / ωωωω
0vcos)0(v
.0sin)0(
≡=====
ϕωϕ
At
Atx
0v
1cos.0sin
==→=
Aωϕϕ
⇒
0. xv 0
ωω0v−
Moto armonico Condizioni iniziali: esempi di calcolo della fase e dell’ampiezza
)sin()( ϕω += tAtx
0. xv 0
ωω0v−
)sin()( ϕω += tAtx
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- Cinematica - 33
Moto armonico: proiezione sugli assi ortogonali di unmoto circolare uniforme
la velocità angolare costante del moto circolare
costituisce la pulsazione ω del moto armonico:
ϑ(t)
Py
x
x(t) = Rcos[ ϑ (t)] == R cos[ ω t + ϑ0]
ϑ (t) = ω t + ϑ0
R
Proiezione su assi ortogonalidi un moto circolare uniforme
==dt
td )(ϑω
- Cinematica - 34
Equazione differenziale del moto armonico semplice
Abbiamo visto che2
2
2
)(
)()(
dt
xd
dt
dvta
txta
========
−−−−==== ω
)(22
2
txdt
xd ω−−−−====)cos()(
)sin()(
ϕωϕω
++++====⇔⇔⇔⇔++++====⇔⇔⇔⇔
tAtx
tAtx
Dalle condizioni iniziali si possono calcolare A, ω e φ e viceversa:
1) note A, ω e φ, allora, per t=0
ϕωϕω
ϕ
sin)0(
cos)0(
sin)0(
2−−−−====
========
a
Av
Ax
2) note le condizioniiniziali
x(0) = x0, v(0) = v0a(0) = a0 0
020
00
0
2000
,v
,tan
sin,cosv,sin
x
axA
v
x
AaAAx
−=+==
−===
ωω
ωϕ
ϕωϕωϕ
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- Cinematica - 35
Moto smorzato esponenzialmente (1)
x
av
L’accelerazione è di segno opposto alla velocità e proporzionale ad essa:
vka −=
Calcoliamo la velocità a partire dall’accelerazione (integrazione)
vv
kdt
da −== dtkd vv −= dtk
d −=v
v
∫ ∫−=v
v
t
dtkd
0 0v
v tk−=0v
vln tket −= 0v)(v
La velocità decresce esponenzialmentenel tempo ed il punto al limite si ferma
v0
- Cinematica - 36
Moto smorzato esponenzialmente (2)
Calcoliamo come varia la velocità in funzione della posizione: )(v x
vvvvv
kdx
d
dt
dx
dx
d
dt
da −====
kdx
d −=vdxkd −=v ∫∫ −=
x
x
v
v
dxkd00
v
)(v)(v 00 xxkx −−=vLa velocità decresce linearmente nello spazio
x
v0
xf
Il punto si ferma (v=0) nella posizione xf(poniamo x0 = 0)
kx 0
f
v=
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- Cinematica - 37
Moto smorzato esponenzialmente (3)Quanto tempo impiega a fermarsi? (A rigore un tempo INFINITO!!!) ∞→⇒== − tet kt 0v)(v 0
In realtà lo smorzamento esponenziale è molto rapido:
e-kt vale: 1 per t = 01/e = 0.368 t = 1/k1/e2 t = 2/k1/e3 = 0.05 t = 3/k1/e5 = 0.0067 t = 5/k
Chiamando τ = 1/kCOSTANTE DI TEMPODopo t ~ 5 τ la velocitàè quasi trascurabile
Per determinare x(t) integriamo: ∫
−+=t
ktdtextx0
00 v)(
Se x0 = 0
)1(v
][v
)( 00
0 kttkt ek
ek
tx −− −=−=kte−−−−
kte−−−−−−−−1
- Cinematica - 38
Moto smorzato esponenzialmente (4)
)1(v
)( 0 ktek
tx −−=
ktet −= 0v)(v
k
v0
20
- Cinematica - 39
Nota sulle equazioni differenziali (1)
Equazione differenziale: relazione in cui compaiono:1. derivate di una funzione2. eventualmente la funzione stessa e/o termini noti
Risolvere un’equazione differenziale vuol dire trovare le funzioni che soddisfano la relazione
Esempi:
i) costante====
dt
dx quali sono le funzioni con derivata costante?
Le funzioni quadratiche
ctbtx ++++====)( MOTO RETTILINEO UNIFORME
ii) costante2
2
====dt
xd quali sono le funzioni con derivata seconda costante?
ctbtdtx ++++++++==== 2)(MOTO RETTILINEO
UNIFORMEMENTEACCELERATO
Le funzioni lineari
- Cinematica - 40
Nota sulle equazioni differenziali (2)
iii) - 22
2
xdt
xd ω==== quali sono le funzioni la cui derivata secondaè proporzionale all’opposto della funzione stessa?
Le funzioni esponenziali
)cos()(
)sin()(
ϕωϕω
++++====++++====
tAtx
tAtx MOTO ARMONICOSEMPLICE
iv) xkdt
dx ±±±±==== quali sono le funzioni la cui derivata è proporzionalealla funzione stessa o all’opposto?
ktetx ±±±±====)( MOTO SMORZATOESPONENZIALMENTE
Le funzioni senoe coseno